陈维桓微分几何教学大纲.
《微分几何》课程教学大纲
Differe ntial Geometry
理学院数学系
数学系数学与应用数学专业
、课程基本信息 课程编号 X55010005 课程名称
微分几何
先修课程 数学分析，解析几何，高等代数，常微分方程
课程类别 指导性选修课
选用教材 微分几何 陈维桓编著北京大学出版社2006年6月第一版 主要教学 参考书
吴大任，微分几何讲义，高等教育出版社 苏步青等，微分几何，高等教育出版社
微分几何是用数学分析为工具研究空间图形性质的数学分支，主要讨论光滑 曲线和曲面的性质。本课程主要为经典微分几何，包括少量整体微分几何和近代 微分几何，使学生既学会应用数学分析工具研究光滑曲线和曲面的经典方法和内
本课程 任务和 目的
容，又稍微了解近代方法和内容，为进一步学习近代数学各分支打下基础。
教学大纲制订 单位
理学院数学系 教学大纲制订时间 2009年1月
课程英文名称 总学时数
64
授课 学时
48
实践 学时
实验 学时
习题课 学时
16
开课单位 适用专业
设计 学时
、课程内容及基本要求
第一章为预备知识。要求学生掌握标架、向量函数的概念，及常用的公式与性质定理。 了解曲线的参数化， 正则曲线，弧长的概念。 会熟练
地计算曲线的曲率、挠率。掌握运用
Frenet 标架和Frenet 公式研究空间（或平面）曲线的几何性质的
基本方法。了解曲线论基本定理的内容和证明方法。
第三章介绍曲面的第一基本形式。掌握参数曲面、正则曲面、切平面、法线和切向量的概念。能熟 练计算曲面的第一基本形式，第一类基本量。了解参数曲线网、正交曲线网、保长（等距）对应、保角 （共形）对应的概念。掌握可展曲面的定义和分类定理。
第四章介绍曲面的第二基本形式。能熟练计算曲面的第二基本形式，第二类基本量。掌握法曲率、 高斯映射和 Weingarten 变换的概念。了解渐近方向、主方向、主曲率和欧拉公式。能计算曲面的主曲 率，确定对应的主方向。了解Du pin 标形和曲面的局部近似形状。
了解常曲率旋转曲面和极小旋转曲面。
第五章介绍曲面论基本定理。了解曲面的 Gauss-Codazzi 方程。会计算 Christoffel 符号和 Riemann
曲率。了解曲面论基本定理的内容。掌握
Gauss 定理的内容及其应用。
第六章介绍曲面上的测地曲率和测地线。
掌握测地曲率、测地挠率的概念，计算测地曲率的Liouville
公式。了解测地线的局部短程性、 测地平行坐标系和测地极坐标系， 运用测地坐标系证明具有相同常曲
率的曲面相互等距。了解切向量沿曲面上一条曲线平行移动的概念。掌握
三、学时分配表:
四、课程教学的有关说明
要求学生课前预习，认真完成课外作业。 每周安排一次课外答疑时间。
在授课过程中，对部分较容易理解的内容开展几次讨论和课堂报告，培养学生的自学能力。
第二章介绍空间曲线的基本理论与研究方法。 Gauss-B onnet 公式的内容。
南昌大学课程教学进度表
（2006— 2007学年第二学期适用）
任课教师在每学期开课前根据教学大纲编写“课程进度表” 在开学后一周内发至学生班级，并送学生所在系一份。
系主任签字:
,经教研室讨论 院: 理学院 系: 数学系任课教师:
黎镇琦
别:
龄:
58 职 称: 历:
博士 所学专业: 基础数学任课班级:
数学系061班
课程名称:
微分几何
微分几何陈维桓新编习题答案
习 题答案2 p. 58 习题 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=u u u v v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠v v . (3) 因此(,)r r u v =v v 给出了2\{}S N 的正则参数表示. (2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-u u u v u u v u u u v ，222/(1)t u v =++， 22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++??u u u v ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+v ， 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠v v . (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为 22u u u v =+，22 v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知
微分几何课程教学大纲
“微分几何”课程教学大纲 英文名称： 课程编号： 学时：学分： 适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下） 先修课程：数学分析、高等代数与几何 使用教材及参考书： 陈维恒著，《微分几何初步》，北大出版社 梅向明著，《微分几何》 虞言林著，《微分几何》 一、课程性质、目的和任务 本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。 二、教学基本要求 本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。 三、教学内容及要求 第一章预备知识 标架 向量值函数 第二章曲线论 参数曲线 曲线的弧长 曲线的曲率和标架 挠率和公式 曲线论基本定理 曲线在一点的标准展开 平面曲线 重点掌握：曲线的标架及公式 第三章曲面的第一基本形式 曲面的定义 切不面及切向量 曲面的第一基本形式 曲面上正交参数曲面网的存在性 保长对应和保角对应 可展曲面 重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。 第四章曲面的第二基本形式 第二基本形式 法曲率 映射和映射 主方向和主曲率的计算 标形和曲面在一点的近似展开 某些特殊曲面。
重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。第五章曲面论基本定理 自然标架的运动公式 曲面一唯一性定理 曲面论基本议程 曲面的存在定理 定理。 重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的内在计算（定理）。第六章测地曲率和测地线 测地曲率和测地挠率 测地线 测地坐标系 常曲率曲面 向量场的平行移动 公式 重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。 大纲制定者：李洪军执笔 大纲审定者：陈红斌 大纲批准者：张胜利 大纲校对者：李洪军 “数学分析”课程教学大纲 英文名称： 课程编号： 课程类型：必修课 学时：学分： 适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生 先修课程：高中数学 使用教材及参考书： ．陈传璋等，《数学分析》，高等教育出版社。 ．张筑生主编，《数学分析新讲》，北京大学出版社，年
【精品】第1章高等数学规划预备知识
第1章预备知识 §1。1基本概念与术语 1。1.1数学规划问题举例 例1食谱（配食）问题 假设市场上有n 种不同的食物，第j 种食物每个单位的销售价为),,2,1(n j c j =。 人体在正常生命活动过程中需要m 种基本的营养成分。为了保证人体的健康，一个人每天至少需要摄入第i 种营养成分),,2,1(m i b i =个单位。 第j 种食物的每个单位包含第i 种营养成分ij a 个单位. 食谱（配食)问题就是要求在满足人体基本营养需求的前提下,寻找最经济的配食方案（食谱)。 建立食谱的数学模型 引入决策变量i x ：食谱中第i 种食物的单位数量
i n i i x c ∑=1 min s 。t.m i b x a i j n j ij ,,2,1 ,1 =≥∑= n j x j ,,2,1 ,0 =≥ 例2选址与运输问题 ● 假设某大型建筑公司有m 个项目在不同的地点同时开工建设。记工地的位置分别为 m i b a P i i i ,,2,1 ),,( ==. ● 第i 个工地对某种建筑材料的日用量是已知的（比如水泥的日用量(单位:t ）为i D ）． ● 该公司准备分别在),(111y x T =和),(222y x T =两个地点建造临时料场，并且保证临时料 场对材料的日储量（单位:t ）分别为1M 和2M ． 如何为该公司确定临时料场的位置，并且制订每天的材料供应计划，使建筑材料的总体运输负担最小？ 建立选址与运输问题的数学模型 引入决策变量：位置变量),(k k y x ，从临时料场向各工地运送的材料数量 ),,2,1 ;2,1(m i k z ki ==. ∑∑-+-==211 22)()(min k m i i k i k ki b y a x z s 。t 。2 ,1 ,1 =≤∑=k M z k m i ki
大学物理物理知识点总结!!!!!!word版本
B r ? A r B r y r ? 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r 称为位矢 位矢r xi yj =+,大小 2r r x y ==+运动方程 ()r r t = 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?△，2r x =?+△路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=??? ??+??? ??== ds dr dt dt = 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=? 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?△ a 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ??+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x 二.抛体运动
微分几何课程大纲
《微分几何》课程大纲 一、课程简介 教学目标：经典曲线曲面论、少量的整体微分几何与二维内蕴几何学 主要内容：（见教学内容） 二、教学内容 第一章曲线的局部理论 主要内容：平面曲线与空间曲线的曲率、空间曲线的绕率、Frenet标架、曲线论基本定理、n维空间的推广 重点与难点：空间曲线的绕率、曲线论基本定理 第二章曲线的整体几何 主要内容：旋转数，旋转指标定理、凸曲线 重点与难点：旋转指标定理及其应用 第三章曲面的局部理论（外在形式） 主要内容：第一基本形式、第二基本形式、主曲率、高斯曲率、平均曲率、结构方程重点与难点：结构方程与曲面论基本定理 第四章曲面的局部理论（内在形式） 主要内容：向量场、共变导数、平行移动、测地线 重点与难点：共变导数和平行移动 第五章二维黎曼几何 主要内容：局部黎曼几何、切丛、指数映射、测地极坐标、Jacobi场、流形 重点与难点：指数映射和Jacobi场 第六章曲面的整体几何 主要内容：Gauss-Bonnet定理、完备性、共轭点和曲率、闭测地线和基本群 重点与难点：Gauss-Bonnet定理和共轭点 三、教学进度安排（抱歉这个目前还安排不了） 可以参照以下表格形式 教学内容教学形式作业 第一周 第二周
四、课程考核及说明 平时成绩与口试相结合的方式。平时20%，口试80%。 五、教材与参考书 Wilhelm Klingenberg， A Course in Differential Geometry Manfredo P.Do Carmo，Differential Geometry of Curves and Surfaces 陈维桓，微分几何
高斯曲率的意义与作用
高斯曲率的意义与作用 1引言 在曲面论中,应用较多的是高斯曲率．高斯曲率是微分几何学发展的里程碑，开创了微分几何学的一个新纪元．正是高斯这一伟大发现启发我们对于抽象的曲面进行研究，也就是对于只给定第一基本形式的曲面研究其几何性质．同时高斯定理说明，曲面的度量性质本身蕴含着一定的弯曲性质，这是曲线所不具有的特点． 2 预备知识 2.1 主曲率 2.1.1 主曲率的定义 [1](99) p 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率. 由于曲面上一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，因此主曲率也就是曲面上一点处沿曲率线方向的法曲率． 2.1.2 主曲率的计算公式 主曲率满足 0N N N N L k E M k F M k F N k G --=-- 即 222()(2)()N N EG F K LG MF NE K LN M ---++-=[1](102)0p 2.1.3 有关主曲率的一个命题 [1](102) p 曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值. 2.2 高斯映射（球面表示） 设σ是曲面S ：(,)r r u v =r r 上一块不大的区域，另外再做一个单位球面．现在建立σ中的点和 单位球面的点的对应关系如下：σ中任取一点(,)P u v =，作曲面在P 点处的单位法向量 (,)n n u v =r r ，然后把n r 的始端平移到单位球的中心，则n r 的另一端点就在单位球面上，设该点为P '，这样对于曲面的小区域σ中的每一点(,)r u v r ，(,)u v σ∈与球面上向径为(,)n u v r 的点对应．因此， 曲面上所给出的小区域σ表示到单位球面的对应区域* σ上．也就是说，建立了曲面的小区域σ到单位球面上区域* σ的对应.我们把曲面上的点与球面上的点的这种对应称为曲面的球面表示，也称
《高等数学》读书笔记
类型课程学习名称：高等数学 1 时间：2006.7.7 体裁：说明文 知识内容与结构备注一.课程目录 1函数 2极限和连续 3一元函数的导数和微分 4微分中值定理和导数的应用 5一元函数积分学 6多元函数微积分 二.知识层次分解2.3说明： 函数 1.预备知识 1)集合及其运算 1>概念 集合： 元素 2>绝对值及其基本性质
>区间和邻域 2.函数 3.基本特性 4.反函数 5.复合函数 6.初等数学 7.简单函数关系的建立 极限和连续 1数列极限 2数列级数的基本概念 3函数的极限 4极限的运算法则 5无穷小（量）和无穷大（量）6两个重要的极限 7函数的连续性和连续函数 8函数的间断点 一元函数的导数和微分 1导数的概念 2求导法则
基本求导公式 4高阶导数 5函数的微分 6导数和微分在经济学中的简单应用 微分中值定理和导数的应用 1微分中值定理 2洛必达法则 3 函数的单调性 4 曲线的凹凸性和拐点 5函数的极值与最值 一元函数积分学 1原函数和不定积分的概念 2基本积分公式 3换元积分法 4分部积分法 5微分方程初步 6定积分的概念及其基本性质 7 微积分基本公式 8 定积分的换元积分法和分部积分法 9 无穷限反常积分 10 定积分的应用
1空间解析几何 2多元函数的基本概念 3偏导数 4全微分 5多元复合函数的求导法则 6隐函数及其求导法则 7二元函数的极值 8二重积分 注： 1标识符：红色已领会理解橙色已弄懂粉色已记住绿色已会用蓝色已掌握 黑色增删修内容 2 说明：凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次 的说明内容的意思 3 步骤：1 填写结构 2 对照课程阅读，理解弄懂
大学物理知识点
A r r y r ? 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r 称为位矢 位矢r xi yj =+,大小 2r r x y ==+运动方程 ()r r t = 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?△，2r x =?+△路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确 r ?、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??== ds dr dt dt = 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?= ? 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?△ a 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+
微分几何 陈维桓 习题答案
习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ，
大学物理物理知识点总结
y 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ??+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+ r r r
常微分方程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲 课程代码： 090131009 课程英文名称：Ordinary Differential Equations 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得关于常微分方程的基本理论知识，掌握普通的线性微分方程的求解办法，为对非线性微分方程的求解打下一定的基础，同时，使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题, 是进一步学习偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。 2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法；求矩阵指数，求解常系数线性微分方程组；非线性微分方程的稳定性、V函数方法。 2.基本理论和方法：掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯一性定理及解的延拓、解对初值的连续依赖定理等理论，并能应用到具体的证明题中。了解非线性微分方程的基本理论，会对稳定性等做出讨论。培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；对微分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。 3.基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。 （三）实施说明 1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 2．教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数2。 （五）对习题课、实践环节的要求 1. 至少两章安排一次习题课，总学时在6学时左右。 2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。
(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.
§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲
线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==
第四版微分几何期末复习总结
( )2 211 22222222221212u u 2222221u u 1.I I du sinh udv ,u=v u=v I du sinh udu =+sinh u du =cos h udu ,u=v A(u ),B(u )u 求曲率和挠率.（1）题1=解:求，，，，，，，，，/()（2）题2 ={}{ }{ }1212223123322112212222 ).r ),r r (1+t ),r 6a 0,6a ,(r r r )=216a k 1/[3a(1+t )],=k;(3).r a cos ,asin ,b k,;,,.r r r absin ,ab cos ,a ,r r k a /(a b ), =b /(a τθθθταβγθθτ?=?==-?=?=?=-?=?=++解：...，，，题3求圆柱螺线=的解：...{ }{ }{}1 2 1 1 12121 112121112b );=r /r -asin ,a cos ,b ,=(r r )/r r bsin ,b cos ,a =[(r r )r -(r r )r ]/[r r r ]cos ,-sin ,0. αθθγαβ θθβθθ=??=?=-????=-切向量, 主法u 222u u u uu u u uu u 3.(1) 1.r {(u)cos ,(u)sin ,(u)},(u)0,r ,r E=r r ='+',F=r r =0,G=r r r ,r ,r n [r r ]/L=n r =-[''''M=n r 0,N=n r [']/θθθθθθθθθθθ?θ?θψ??ψ??ψ?ψ?ψ =>?? ??== ?=? ?-?=?=题求的高斯曲率和平均曲率.解：求求23/2121222212xOz x=(z)z (u)u L=-M 0,N=F=M 0k L/E ''/[(1')],k N/G 1/[k k k -''/[(1')];H k +k '''(?ψ???????????==? ====-+==?==+-取平面上最初的曲线为得因为，所以旋转面的坐标曲线为曲率线，并且主曲率为高斯曲率平均曲率为=[1/2]()=[1+]/[223/222N T N N N N 222222*********')(2).r ucosv usinv bv k ,K,H.E=1,F=0,G=u +b ;L=0,L k E,M k F;M k F,N k G]0K b /[u +b ],K b /[u +b ];K K K b /[(u +b )],H [1/2](K +K )0..?+----=== -==- ==]. 题2 求正螺面={,,}的解:由题意得代入主曲率公式[解得（3）题3确定抛222200000T N N 12z a x +y .p ax q ay,r a,s 0,t a p q ,r a,s 0,t a E=1+p =1,F=pq=0,G=1+q 1,L=r /a M=s /N=t /a a-k ,0;0,a-k ]0K K ======?=====物面=()在（0,0）的主曲率解:由题意得=2,=222在(0,0)处=0,=022；2，，2代入主曲率公式得[22解得2a.“求主曲率，高斯曲率和平均曲率” 4.k 0k r 0,r =0r =a(),r a b,b =0r =0,r =a()s ττγαγγγ?? ?? ? ? ≡≡=≡+≡???证明的曲线是直线;0的曲线是平面曲线.证：已知因而，由此得到常向量再积分=其中也是常向量，即得证;若0,则是固定向量,但是我们已知，因而有积分后得常数，所以曲线在一个平面上。
自考笔记 00020 高等数学(一) 完整免费版
自考笔记 00020 高等数学（一）完整免费版小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问https://www.360docs.net/doc/4a2356370.html, 前言《高等数学一》共6章第一章函数 1.主要是对高中知识的复习; 2. 为今后知识打下良好的基础; 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是 5分左右. 第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础; 本章内容在历年考题中所占分值为20左右. 第三章导数与微分主要是学习函数 的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题; 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念; 本章内容在历年考题 中所占分值为25分左右. 第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分 的计算; 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章函数1.1 预备 知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 2关于x的方程ax，bx， c,0(a?0)，称为一元二次方程，称为此方程的判别式. (1)求根公式: 当?,0时，方程有两个不同的实根: 当?,0时，方程有一个二重实根: 当?,0时，方程有一对共轭复根: (2)根与系数的关系(韦达定理): 2(3)一元二次函数(抛物线):y,ax，bx，c(a?0)，当a,0时，开口向上，当 a,0时，开口向下. 对称轴 顶点坐标 322例1.若x，x，ax，b能被x,3x，2整除，则a、b是多少, 结论:多项式f(x)，g(x).若f(x)能被g(x)整除，则g(x),0的根均为f(x),0的根. 2解:令x,3x，2,0，解得x,1或2，代入被除式得
大学物理知识点汇总
大学物理I期末复习知识点汇总 （2011-5-12） 第一章：质点运动学 1、参考系坐标系质点 2、位置矢量位移速度加速度 3、角量和线量的关系（角量：角坐标角速度角加速度） 4、运动方程和轨迹方程 5、相对运动绝对=牵连+相对 第二章：牛顿运动定律 1、牛顿运动定律（牛顿第一定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律） 2、常见的三种力（万有引力、弹性力、摩擦力） 第三章：动量守恒定律和能量守恒定律 1、动量冲量质点和质点系的动量定理以及动量守恒定律 2、功保守力和非保守力的功势能 常见的保守力：重力弹性力万有引力 势能：引力势能重力势能弹性势能 3、质点和质点系的动能定理 4、系统的功能原理 5、机械能守恒定律 6、质心质心运动定理 第四章：刚体 1、刚体刚体的运动 2、刚体的定轴转动 3、力矩转动惯量转动定律 4、质点的角动量质点的角动量定理质点的角动量守恒定律 5、刚体定轴转动角动量 6、刚体定轴转动的角动量定理 7、刚体定轴转动的角动量守恒定律 8、刚体定轴转动时力矩做功 9、刚体定轴转动的动能定理 第五章：静电场
1、点电荷电荷守恒定律库伦定律 2、电场强度电场叠加原理 3、电势电势叠加原理 4、静电场的高斯定理 5、静电场的环路定理 6、电场强度和电势梯度之间的关系 7、求场强的三种方法： （1）已知空间电荷分布，用场强叠加原理求场强 （2）已知电荷分布，电荷分布具有高度对称性，高斯定律求场强（3）已知电势分布，可利用电势梯度来计算电场强度 第六章：静电场中的导体与电介质 1、静电场中的导体 （1）均匀导体静电平衡的条件：导体内部电场强度处处为零。 （2）根据均匀导体的静电平衡条件，可以得到以下推论： （a）导体为等势体，其表面为等势面 （b）导体表面上任意一点的电场强度的方向都垂直于该处表面 （c）当带点导体处于静电平衡时，导体内部处处没有净电荷存在，电荷只能分布在导体表面 （d）导体表面附近的电场强度大小与该处电荷的面密度成正比。即（e）孤立带电导体表面各处电荷密度的大小与该处表面的曲率半径有关，曲率半径越大的地方，电荷面密度越小。 （3）静电屏蔽 在静电平衡条件下： （a）外电场不可能对空腔内部空间发生任何影响 （b）接地封闭导体腔外电场不受腔内电荷的影响 2、静电场中的电介质 （1）电介质的极化外电场作用下，电介质表面出现束缚电荷的现象（2）电极化强度矢量 P （3）电位移矢量D P、D、E之间的关系 （4）有电介质时的高斯定理 3、电容器电容 （1）电容的定义 （2）串联和并联的等效电容 4、静电能 （1）电场的能量密度
高等数学考研大总结系列之一预备知识
第一章 预备知识 一， 函数 1 函数的定义：?传统定义：如果在某变化过程中的两个变量x ,y 并且对于x 在某个范围内的每一个．．．确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一．．确定的值与之对应，那么y 就是x 的函数。 ?近代定义：函数就是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。记： ()y x f x f →=:（X ∈A ）其中x 称为自变量，y 称为因变量。()x f 表示函数f 在点x 处 的值，A 称为函数的定义域，记为：()f D ；()(){} B A x x f A f ?∈=称为函数的值域，记为：()f R 。 解析：两变量之间是否构成函数关系，不在于一个变量引起另一个变量的变化，而在于是否存在对应法则（对函数变量的作用模式）使一个变量在其取值范围内任取一值时，另一个变量总有确定的值与之对应。函数的本质就是对应关系。 2 函数的三要素：定义域，值域，对应法则。 解析：?常见函数定义域的求法：①分式函数分母不能为0。②)(*2N n x y n ∈=定义域{}0≥x x 。 ③)(N n x y n ∈=-定义域{}0≠x x 。④x a y l o g =（ａ>O ，ａ≠1）定义域{}0>x x 。⑤x y tan =定义域? ?? ? ??∈+ ≠Z k k x x ,2π π。⑥x y cot =定义域{}Z k k x x ∈≠,π。⑦x y ar csin =定义域{}11≤≤-x x 。⑧x y arccos =定义域{}11≤≤-x x 。⑨x y sec =定 义域? ?? ? ??∈+ ≠Z k k x x ,2π π。⑩x y csc =定义域{}Z k k x x ∈≠,π。⑴某些实际问题要注意函数的实际意义。⑵求复杂函数的定义域时要综合考虑取各部分的交集。 ?在研究函数时要树立定义域优先的原则。 ?注意定义域与定义区间的区别：对于初等函数定义区间即为它的连续区间，但须小心定义域与定义区间是不同的例如：1cos -= x y 的定义域由)(2Z k k x ∈=π这些孤立的点组成 而无定义区间。（结合幂级数的收敛域和收敛区间） ?函数值域的常见求法：①配方法（类二次函数）②判别式法（要求X R ∈）③反函数法（即互换法）。④均值定理法。⑤函数的单调性法（一般方法）⑥换元法：㈠代数换元法㈡三角换元法。⑦复数法（利用复数的模）⑧构造法（构造函数，向量（内积与模积的关系），绝对值不等式（利用其性质，两点间距离公式等。）⑨形如)0(>+ =k x k x y 的对号函数（图象命名）在不能用重要不等式的情况下（等号不成立）可考虑用函数的单调性当x >O 时，单减区间为(]k ,0，单增区间为[)+∞,k 其分界点为( ) k k 2,至于x y 第一章 质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移 是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D ==+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+ r r r 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42r()d =1,2,3t t -?， {}6 4r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则4 6 22()()a r t dt+b a r t dt=?????{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 0()d f g dt dt ?=? 4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2c o s ,2c o s ,2c o s t t t t v t u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则大学物理学习知识重点(全)
微分几何练习题库及参考答案(已修改)..