17.3 一元二次方程根的判别式
17．3一元二次方程根的判别式
1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点)
2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力．
一、情境导入
1．你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？
2．能力展示：分组比赛解方程．
(1)x2＋4＝4x；
(2)x2＋2x＝3；
(3)x2－x＋2＝0.
3．发现问题
观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？
二、合作探究
探究点：一元二次方程根的判别式
【类型一】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
已知一元二次方程x＋x＝1，下列判断正确的是()
A．该方程有两个相等的实数根
B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根
D．该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B.
方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围
若关于x的一元二次方程kx－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
是()
A．k>－1 B．k>－1且k≠0
C．k<1 D．k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，同时要求二次项
系数不为0，即⎩
⎪⎨⎪⎧（－2）2－4·k ·（－1）>0，k ≠0，解得k >－1且k ≠0.故选B. 易错提醒：利用b 2－4ac 判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题容易误选A.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合
已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x
＋c 2＝0没有实数根．
解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a ，b ，c 是三角形三条边的长可知a ，b ，c 都是正数．由三角形的三边关系可知a ＋b >c ，a ＋c >b ，b ＋c >a .
证明：∵b 为三角形一边的长，∴b ≠0，∴b 2≠0，∴b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0是关于x 的一元二次方程．∴Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2＋2bc )(b 2＋c 2－a 2－2bc )＝[(b ＋c )2－a 2][(b －c )2－a 2]＝(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )(b －c ＋a )(b －c －a )＝(a ＋b ＋c )[(b ＋c )－a ][(a ＋b )－c ][b －(a ＋c )]．∵a ，b ，c 是三角形三条边的长，∴a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c >0，a ＋b >c ，b ＋c >a ，a ＋c >b .∴(b ＋c )－a >0，(a ＋b )－c >0，b －(a ＋c )<0，∴(a ＋b ＋c )[(b ＋c )－a ][(a ＋b )－c ][b －(a ＋c )]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．
方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
【类型四】 利用根的判别式解决存在性问题
是否存在这样的非负整数m ，使关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0有
两个不相等的实数根？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．
解：不存在，理由如下：
假设m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m －1)]2－4m 2>0，解得m <14
.∵m 为非负整数，∴m ＝0.
而当m ＝0时，原方程m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．
∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．
易错提醒：在求出m ＝0后，常常会草率地认为m ＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题
三、板书设计
本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范
围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调。
上海初中八年级数学上---17.3一元二次方程根的判别式(含答案)
17.3(1)一元二次方程根的判别式一．填空题：1．下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是 。
2．方程0ab -x b -a 2-4x 2=）（的根的判别式是 。
二、选择题：3．关于x 的一元二次方程0322=-+ax x 的根的情况是 （ ）（A ） 有两个不相等的实数根（B ）有两个相等的实数根 （C ）没有实数根（D ）不能确定4．一元二次方程0322=+-x x 的根的情况是 （ ）（A ） 有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根，且两根同号（C ） 有两个不相等的实数根，且两根异号 （D 没有实数根5．关于x 的一元二次方程042=++c x ax ，若a 、c 异号，则该方程根的情况是 （ ）（A ） 有两个相等的实根 （B ） 有两个不相等的实根（C ） 没有实数根（D ）无法确定三、不解方程，判断下列方程根的情况6. 2x 2＋3x ＋1＝07.02)51(52=-+t t8．0222=++-k kx x 9. (x ＋2)(x ＋3)＝－1110. 2y 2－y ＋14＝0 11. x 2＋(2k －1)x ＋(－k －1)＝0012=+x 02=+x x 012=-+x x 02=-x x四、 解答题12.已知关于x 的一元二次方程3x 2－7x ＋k ＋2＝0的根的判别式的值等于289，求k 的值．13. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，试判别关于x 的方程x 2＋2(a －b )x ＋c 2＝0的根的情况．五、提高题14.求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实根m 03)7(92=-++-m x m x17.3（2）一元二次方程根的判别式一、 填空题1．已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 。
2．已知关于x 的方程0)3(4122=+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是 。
3．若关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则k 的值为 。
一元二次方程根的判别式
17.3一元二次方程根的判别式【知识梳理】1.一元二次方程根的判别式我们把24b ac -叫做20(ax bx c a ++=≠0)的根的判别式，用符号∆来表示。
对于一元二次方程20(ax bx c a ++=≠0)，其根的情况与判别式的关系是：当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.特别的：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。
即当方程有两个实数根时，240b ac ∆=->；当方程有两个相等的实数根时，240b ac ∆=-=；当方程没有实数根时，240b ac ∆=-<；2.一元二次方程的根的判别式的应用①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式24b ac ∆=-的值，最后根据∆的符号来确定根的情况；②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。
若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系数（含字母）是否为零进行讨论；③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.3.利用根的判别式解题时的几点注意：①运用“∆”时必须把方程化为一般式;②不解方程判定方程的根的情况要由“∆”的符号判定；③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【典型例题】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）221150x x +-=（2）232x +=（3）(1)(2)8x x --=-【思路分析：一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的a b c 、、，计算出∆的值，判断∆的符号】【答案：（1）221150x x +-=2,11,5a b c ===- 2241142(5)121401610b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=+=>即∆>0∴方程有两个不相等的实数根.（2）232x +=将方程整理为一般式：2320x -+=3,2a b c ==-=224(4320b ac ∆=-=--⨯⨯=即0∆=∴方程有两个相等的实数根.（3）(1)(2)8x x --=-将方程化为一般式：23280x x -++=1,3,10a b c ==-=224(3)4110940310b ac ∆=-=--⨯⨯=-=-<即0∆<∴方程没有实数根】【小结：运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定各项系数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号】课堂练习1：如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A .k ＞14-B .k ＞14-且0k ≠C .k ＜14-D .14k ≥-且0k ≠课堂练习2：如果关于x 的方程：2320x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是_____.例2：求证方程2(1)310(0)m x mx m m -+++=≠必有两个不相等的实数根.【思路分析：欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论m 取任何实数，都有0∆>即可】【答案：1m ≠ 10m ∴-≠∴此方程是关于x 的一元二次方程2222(3)4(1)(1)94454m m m m m m ∆=--+=-+=+ 不论m 取任何不为1的值时都有25m ≥024m ∴5+>0即2540m ∆=+>∴方程必有两个不相等的实根】【小结：证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式的符号才有意义】课堂练习3：关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D .不能确定例3：当m 为何值时，关于x 的方程222(41)210x m m -++-=（1）有两个不相等的实根？（2）有两个相等的实根？（3）无实数根？【思路分析：根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的根本判别式的另一类典型运用。
17.3一元二次方程根的判别式(第1课时)(教学课件)-2024-2025学年八年级数学上册同步精品
4ac ＜ 0时，方程没有实数根.
b
2a
我们把 b 2 4ac叫做一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0)的根的判别式，
通常用符号“ ”来表示，记作 b 2 4ac，
一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0)
当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
2 8 3＜0
所以，原方程无实数根。
2 关于x的方程mx 2 (m 1) x 1 0(其中m 0）一定有实数根吗？为什么？
a m, b m 1, c 1
解：因为m 0，所以此方程为一元二次方程。
(m 1) 2 4m
m2 2m 1 4m
课堂小结
1、什么是一元二次方程 ax 2 bx c 0(其中a 0）根的判别式？
为什么？
2、如何利用 b 2 4ac来判别根的情况？
当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
当 b 2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根
当 b 2 4ac 0时， 方程没有实数根
a 2, b 4, c 3
解：因为 42 4 2 3
16 24
8 0
所以此方程没有实数根
例题1 不解方程，判别下列方程的根的情况：
不解方程，
判别一元二次方程根的情况
（3）
2x2 3 2 6x
方程先化
为一般式
解：把原方程变形为
2x2 2 6x 3 0
25 4 64 4
1049 0
所以此方程有两个不相等的实数根
解：原方程化为：x 2 12 x 36 0
17.3 一元二次方程根的判别式
第十七章 第3讲 一元二次方程根的判别式知识概要1.根的判别式在推导一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式时，我们得到 22244)2(a ac b a b x -=+. 我们发现，一元二次方程是否有实数根或者实数根的情况具体如何，关键在于ac b 42-.因此，我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，用符号“∆”表示，读作“/'/'∂delt ”(1)当042>-=∆ac b 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，a ac b b x 2421-+-=， aac b b x 2422---=； (2)当042=-=∆ac b 时，一元二次方程有两个相等的实数根，ab x x 221-==； (3)当042<-=∆ac b 时，一元二次方程没有实数根. 显然，上述结论，反过来亦成立.2.根的判别式的应用判别式是判别一元二次方程有无实数根的主要方法.从判别式与零的大小关系上，有两个相等与不相等的实数根，还有无实数根三种情况，合理地运用这种关系，能够巧妙地解决某些方程问题、不等式问题、最值问题以及字母参数的取值范围问题等.经典题型精析(一)根的判别式例1.不解方程，判断下列关于x (或y )的方程的根的情况：(1)03452=--x x ； (2)01232=++x x ； (3)01442=++x x ；(4)0)1(422=-+-m my y ； (5)0)52(2422=+-++n n mx x ； (6)02=+c ax .试一试：不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)03542=--x x ； (2)03422=++x x ； (3)x x 62322=+.例2.在关于x 的一元二次方程1)2(42=++-k x k x 中，k 为何值时，方程有两个相等的实数根?并求出这两个实数根.试一试：当m 取何值时，关于x 的方程041)2(22=+-+m x m x (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (2)没有实数根?例3.当m 为何值时，关于x 的方程m x mx mx -=-+2122有实数根?试一试：关于x 的方程01)1(2=+++x m mx (其中0≠m )一定有实数根吗?为什么?例4.当k 为何值时，关于x 的方程0)12(422=-+-k kx x 有实数根?并求出这时方程的根(用含k 的代数式表示).例5.若关于x 的一元二次方程0122=+-+k x x 无实数根.求证：一元二次方程1122=++k kx x 一定有两个不相等的实数根.例6.若c b a 、、为实数，关于x 的一元二次方程0)()()(22222=-+-+-+c b b a x c a x 有两个相等的实数根，求证：b c a 2=+.试一试：求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
17.3一元二次方程根的判别式--
17.3一元二次方程的解法 根的判别式
想一想
用配方法解一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
2 b b 4ac (a 0) x 2 2a 4a
2
a 0, 4a 2 0
b 4ac和0是什么关系？
2
Δ = b2－4ac ＜ 0 4、当一元二次方程有两个实数根时 Δ = b2－4ac≥0
3、当方程没有实数根时
试一试：
关于x的一元二次方程x2－3x + k = 0， 问k取值时 （1）方程有两个不相等的实数根? （2）方程有两个相等的实数根? （3）方程没有实数根?
（2）解：∵方程有两个相等的实数根 ∴Δ= 0
3x 1 0
原方程有两个相等的实数根。
2
2 解： （ 3） 4 2 1 5＜0 原方程没有实数根。
例：不解方程，判别关于 x 的方程
2 的根的情况 x 2 2kx k 0 . 2
解： 2 2k 4 1 k
2
2
系数含有字 母的方程
8k 4k
当 b 2 4ac ＞0 时， 方程的右边是一个正数， 方程有两个不
b b2 4ac b b2 4ac 相等的实数根： x1 ; x2 ; 2a 2a
当 b 2 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
b 实数根： x1 x2 ; 2a 2
2
ax bx c 0(a 0)中
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根 2 b 4ac C.没有实数根 2 b 4acБайду номын сангаас 0 D.根的情况无法
八年级数学下册 17.3 一元二次方程的根的判别式教案 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中八年级下册
讨论补充记录
板书
设计
教 学 反 思
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
一元二次方程的根的判别式
教学
目标
知识与能力：1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程。
2、会运用根的判别式，求一元二次方程中字母系数的取值X围。
过程与方法：培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观：向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；培养学生的协作精神。
重、难点
重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用。
一二次方程 根的情况由 来定
我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“ ”
来表示。即 =
2.一般地，方程
=
3、例1、4、补例
巩固练习（10分钟左右）
1.不解方程，判别下列方程的根的情况
(2).在一元二次方程
A、有两个不相D、根的情况无法确定。
(3)方程有等根时,实数a的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
(4)关于 x 的一元二次方程
有两个实数根，则m的取值X围为_________.
小结 ：本节课你有哪收获？（2分钟左右）
17.3(2)一元二次方程根的判别式
利用根的判别式“△= ”，根据题意，确定方程中字母系数的值。
梳理知识,使知识系统化.
课内练习一
课内练习二
一元二次方程的根的判别式的应用训练.
注意先把方程化为一般式.
一元二次方程的根的判别式的应用训练.
注意先把方程化为一般式
课内练习三
课内练习四
说说你是怎么想的？
进一步巩固的根的判别式的应用
注意先利用一元二次方程的定义，使二次项系数不为零.
培养学生数学发散思维能力.
可利用平方的结果是非负数解题.
教材
分析
教学重点
能利用根的判别式，确定方程中字母系数的值.
教学难点
一元二次方程根的判别式的综合应用.
相关链接
课件内容
教学过程（师生活动及预测和对策）
教后记
课前练习一
1、一元二次方程的一般形式是___________，它的求根公式是_____________，根的判别式是_____________。
当△=______时，方程有两个不相等的实数根；
初中数学电子教案
执教：___________________
年级
课题
日期
七年级（下）
17.3（2）一元二次方程根的判别式
教学
目标
知识与技能
掌握利用根的判别式，确定方程中字母系数的值.
过程与方法
经历观察、推理、交流等数学活动过程，学会运用根的判别式解决综合问题.
情感态度
与价值观
通过对问题的分析及实际问题的解决，进一步提高学生思维的能力，逐步培养应用数学的意识.
当△=______时，方程有两个相等的实数根；
当△=______时，方程没有实数根，培养学生学习习惯.
初中数学沪教版八年级上册一元二次方程根的判别式 课件PPT
值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范 围。
注意： 运用定理和逆定理时，必须把所给的方
程化成一般形式后方可使用。
1.不解方程，判断下列方程根的情况. (1)2x2－5x－4=0； (2)7t2－5t+2=0； (3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 3y.
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△。
②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△ 的符号。 ③根据根的判别式定理，写出结论。
例3、利用一元二次方程的判别式求字母的取值范围
已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，问k取何值时， 这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？
记住了， 别搞错!
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 b2 4ac
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? (1)在什么情况下，一元二次方程有解? (2)有什么样的解?它的解是多少？ (3)什么情况下一元二次方程无解?
2、同步练习17.3
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
老师的 “绝活”
不解一元二次方程，就能很快 知道它的根的大致情况。 你相信吗？
1、用公式法解下列方程
（1）x2 3x 2 0 （2）x2 8x 16 0
（3）3y2 10 2 y
2、一元二次方程根的判别式
初中数学沪教版八年级上册 《一元二次方程根的判别式》
17.3一元二次方程根的判别式(沪科版)
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
归纳与总结：
一元二次方程根的判别式：
一元二次方程
ax 2 bx c 0 (a 0) 根的判别式（ b2 4ac
有实数根
）：
0 方程有两个不相等的实数根； 2 b 4ac 0 方程有两个相等的实数根； 0 方程没有实数根；
4
4m 8 0，即m 2 时，方程有两个不 （1）当 相等的实数根. （2）当4m 8 0 ，即m 2 时，方程有两个相 等的实数根. （3）当4m 8 0 ，即 m 2时，方程没有实数根
例1、如果关于x的一元二次方程 (k-2)x2+k=(2k-1)x 有实数根，那么k的取值范围是什么？
注意：应用判别式求字母的取值范围时，二次项系数中含
有字母参数时，要特别注意一元二次方程的前提条件，即 二次项系数不为0.
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式. 2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程 是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
典例分析
例2.求证：无论a取何实数，关于x的方程 2 ax (1 3a) x 2a 1 0 总有实数根.
练习: 2.证明:m为任何实数时, 方程 2 x ( m 1) x m 4 0都有两
2
(2) x 8x 16 0
2
(3) y 2 y 5 0
2
b b 4ac 2 x b 4ac 0 2a
2
一元二次方程根的判别式：
b 4ac
2
想一想：
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解? 有什么样的解? 什么情况下一元二次方根的情况，求字母的取值范围
17.3 一元二次方程根的判别式教学反思
17.3一元二次方程根的判别式教学反思甘通过本节课教学，主要是让学生理解一元二次方程根的判别式，并能用判别式判别根的情况。
本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了学生自学教师引导、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对Δ=b2-4ac 的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究Δ=b2-4ac作用，它是前面知识的深化与总结。
从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。
所以课堂上通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
课堂上先让学生通过自学阅读课本内容解决相关的老师提出的问题，从而了解到了本节课的学习目标，通过模仿课本例题的解题格式进一步理解了根的判别式的意义，从而调动了学生学习的积极性，又很自然地进入本课所研究的重点内容。
在整个课堂学习中，学生口、脑、手并用，小组讨论交流，整体合作，解决问题，既提高了学生的自学能力，又提高了学生分析问题、解决问题的能力。
同时，学生通过自己自学、讨论、合作解决问题，体会到探索的乐趣和成功的欢乐，进一步培养了学生热爱数学的思想。
整节课的实施过程很顺利，部分学生对本课的知识掌握程度不错，能很好地达到本课的教学目的。
在教学过程中，每节课总会有这有那的一些不尽人意的地方，本课也是一样，在分层教学方面体现少，“让每位学生都有收获”达不到，所以在教学设计方面还有待改进。
在往后的教学中，课堂练习要设计不同层次的题目，让优生做有难度的题目，让他们多多思考，提高思含量。
对于学习有困难的学生，降低学习要求，努力达到基本要求。