静定平面桁架
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结构力学静定平面桁架
三角形：内力分布不均
精品课件
5.6 组合结构 是指只承受轴力的二力杆和承受弯矩、剪力、轴 力的梁式杆组合而成的结构。如屋架等
钢筋混凝土
钢筋混凝土
型钢
Ｅ Ｄ Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ Ｅ
精品课件
型钢
例 计算图示组合结构的内力。
8kN
解：1)求支反力
AD
C
FAy F
E
B
MB 0 得
FBy G
2m
FAy=5kN
FBy=3kN
2.5 1.125 0.75
1.125
剪力与轴力
FS FYcosFHsin
M图( kN.m)
FN FYsinFHcos
精品s 课件 in 0 .083c5 o s0 .99
FS FY
FN
15 A
FH
2.5 1.74
剪力与轴力
FS FYcosFHsin FN FYsinFHcos
sin 0 .083c5 o s0 .99
FN
l
ly
FN
=
FX lx
= FY ly
3）、结点上两杆均为斜杆的杆件内力计算：
F1x B b
F1
F 如图，若仍用水平和竖向投影来求F1 F2， A 则需解联立方程，要避免解联立方程可用
h
F2
力矩平衡方程求解。
a
如以C为矩心，F1沿1杆在B点处分解为F1x，
C
F2x
d
则由
MC 0得： F1x=Fhd
由图(c)所示截面左侧隔离体求出截面截断的三根杆的轴 力后，即可依次按结点法求出所有杆的轴力。
精品课件
取截面II—II下为隔离体，见图(d)
精品课件
5.6 组合结构 是指只承受轴力的二力杆和承受弯矩、剪力、轴 力的梁式杆组合而成的结构。如屋架等
钢筋混凝土
钢筋混凝土
型钢
Ｅ Ｄ Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ Ｅ
精品课件
型钢
例 计算图示组合结构的内力。
8kN
解：1)求支反力
AD
C
FAy F
E
B
MB 0 得
FBy G
2m
FAy=5kN
FBy=3kN
2.5 1.125 0.75
1.125
剪力与轴力
FS FYcosFHsin
M图( kN.m)
FN FYsinFHcos
精品s 课件 in 0 .083c5 o s0 .99
FS FY
FN
15 A
FH
2.5 1.74
剪力与轴力
FS FYcosFHsin FN FYsinFHcos
sin 0 .083c5 o s0 .99
FN
l
ly
FN
=
FX lx
= FY ly
3）、结点上两杆均为斜杆的杆件内力计算：
F1x B b
F1
F 如图，若仍用水平和竖向投影来求F1 F2， A 则需解联立方程，要避免解联立方程可用
h
F2
力矩平衡方程求解。
a
如以C为矩心，F1沿1杆在B点处分解为F1x，
C
F2x
d
则由
MC 0得： F1x=Fhd
由图(c)所示截面左侧隔离体求出截面截断的三根杆的轴 力后，即可依次按结点法求出所有杆的轴力。
精品课件
取截面II—II下为隔离体，见图(d)
§3-5 静定平面桁架
FNDE = −5.4 KN ⇒ FNDF = 37.5 KN
E
-33KN -5.4KN
∑F ∑F
x y
=0 =0
【例3.8】 试求桁架的内力图
4 4
O
7
O O O
2
3m
1 9
7 6 8 3 2
O O O6 N1 N1 N1 1 9 8 3 O N2 P
5
2m
P
5
Step2：求各杆内力
4m 4m 0
根据以上假设，理想桁架中各杆 均为二力杆（轴力杆、链杆） 实际桁架 理想桁架
按理想平面桁架计 算得到的应力 实际桁架与理想桁 架间的差异引 起的 附加内力
主内力
次内力
弦杆
上弦杆 下弦杆 竖杆 斜杆
2 桁架的组成
腹杆
节间长度、跨度、桁高 3 桁架的分类
平行弦桁架 按外形分 折弦桁架 三角形桁架 梁式桁架 (无推力桁架) 按支座反力 的性质分 拱式桁架 (有推力桁架)
综上所求，得： FNa = −16 .67 KN
FNb = −26 .67 KN FNc = 16 .67 KN
【例3.10】 试求1、2、3、4杆
的内力
P
I
Step2： 截面法求指 定杆内力
Ⅰ—Ⅰ截面
P
J 4 Ⅰ a
Ⅰ
H G 3 1 A a B a
Ⅱ P Ⅲ P
a F 2 E I
P
J
∑ MG = 0 ⇒
1 桁架定义及其特点
实际桁架 结点 轴线 荷载 材料 介于铰于刚结之间 不能绝对平、直；各杆也不一定完 全相交于一点。有个结合区 非结点荷载：自重、荷载、支反力 弹塑性材料 理想桁架（计算简图） 所有结点为理想铰，光滑、无摩擦 绝对平直、一平面内、通过铰的中心 （理想轴） 结点荷载 线弹性材料，小变形
静定结构的内力—结点法求静定平面桁架内力(建筑力学)
20kN
FyDC FNDC
C
30 5
D A
FNDF
2m
F
FxDF
4m
FyDF
FNDF
51
2
Fy 0，
FyDC 30 20 FyDF 0
(FyDF 10kN )
FyDC 30 20 10 20kN
FNDC FyDC (l / l y ) 20( 5 / 1) 44.72kN (压)
FAy= FBy= 30kN (↑) FAx= 0KN
2）判断零杆： 见图中标注。 3）求各杆轴力：
20kN
D 0
0
AE
20kN
C
20kN
G
1m
0
1m
F
H
B
30kN 2m 2m 2m 2m 30kN
取结点隔离体的顺序为：A、E、D、C。
由于结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。
结点A： Fy 0，
4) 运用比例关系：
FN Fx 。Fy l lx ly
结点受力的特殊情况：
1）
FN1
0。
90
0
FN2
s
结点上无荷载，则FN1＝FN2＝0。
由∑FS＝0，可得FN2＝0，故FN1＝0。
2）
FN1
FN2
Fy 0， FN 3 0；
0
FN3
Fx 0，
FN 1
FN
。
2
3） FN1
FN4 FN3
结点C：
Fy 0，
FNCF 20 40 0， FNCF 20kN(拉)。
20 5
20k N
C
20 5
FNCF
20kN
第五章 静定桁架
解：1.求支座反力
4m
a
D
A
60kN
b
M
A
0, VB 6 60 9 0
VB 90kN ()
c
B
3m 3m VB
HA
3m 3m VA
Y 0, X 0,
VA VB 60 0
VA 30kN ()
HA 0
第五章 静定桁架
[例5-3]用截面法求图示桁 架a、b、c三杆的内力。 4m
1)判别零杆 2)由结点法求内力
D
P
图5-10
B
第五章 静定桁架
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆 p p
第五章 静定桁架
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
P P P
第五章 静定桁架
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
P
第五章 静定桁架
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
F 2
30
o
NAD NAC
RA 2F
N AD 3F N AC 2.598 F
(压力） (拉力）
x
第五章 静定桁架
练习：试求图示桁架的各杆内力
(2)求各杆内力
取D结点为脱离体，列结 点平衡方程： Y 0,
- F cos 30 N DC 0
2F
y
2F
x
N DC 0.866 F
第五章 静定桁架
3、按桁架受竖向荷载作用有否水平反力分为
a、梁式桁架
b、拱式桁架
第五章 静定桁架
§5-2 静定平面桁架的计算
一、结点法： 以结点作为研究对象来计算结构内力的方法 结点法的计算要点：
4m
a
D
A
60kN
b
M
A
0, VB 6 60 9 0
VB 90kN ()
c
B
3m 3m VB
HA
3m 3m VA
Y 0, X 0,
VA VB 60 0
VA 30kN ()
HA 0
第五章 静定桁架
[例5-3]用截面法求图示桁 架a、b、c三杆的内力。 4m
1)判别零杆 2)由结点法求内力
D
P
图5-10
B
第五章 静定桁架
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆 p p
第五章 静定桁架
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
P P P
第五章 静定桁架
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
P
第五章 静定桁架
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
F 2
30
o
NAD NAC
RA 2F
N AD 3F N AC 2.598 F
(压力） (拉力）
x
第五章 静定桁架
练习：试求图示桁架的各杆内力
(2)求各杆内力
取D结点为脱离体，列结 点平衡方程： Y 0,
- F cos 30 N DC 0
2F
y
2F
x
N DC 0.866 F
第五章 静定桁架
3、按桁架受竖向荷载作用有否水平反力分为
a、梁式桁架
b、拱式桁架
第五章 静定桁架
§5-2 静定平面桁架的计算
一、结点法： 以结点作为研究对象来计算结构内力的方法 结点法的计算要点：
教学课件第五章静定平面桁架
60
40
20
-
A
-120 C -20 F -20
15kN 15kN
4m
4m
4m
G
15kN
结点分析时把所有杆内力均画成拉力（含已求得的压力）并代 入方程，然后是拉力的得正值，是压力的得负值。结果为正说 明该杆受拉，结果为负说明该杆受压，这样做不易出错。
§5-2 结点法
小结
• 以结点作为平衡对象，结点承受汇交力 系作用；
2.对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称: 受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称。
E 点无荷载,红色杆对不称受轴力处垂的直杆对不称受轴的力杆不受力
FFAAyy
FFBBy y
§5-2 结点法
2.对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称: 受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称。 对称结构:几何形状和支座对某轴对称的结构.
FP
§5-2 结点法
关于零杆的判断
桁架中的零杆虽然不受力，但却是保持 结构坚固性所必需的。因为桁架中的载荷往 往是变化的。在一种载荷工况下的零杆，在 另种载荷工况下就有可能承载。如果缺少了 它，就不能保证桁架的坚固性。
分析桁架内力时，如首先确定其中的零杆， 这对后续分析往往有利。
§5-2 结点法
• 按与“组成顺序相反”的原则，逐次建 立各结点的平衡方程，则桁架各结点未 知内力数目一定不超过独立平衡方程数；
• 由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
§5-2 结点法 二、结点法计算简化的途径
1. 对于一些特殊的结点，可以应用平衡条件直 接判断该结点的某些杆件内力为零。 零杆
(1) L型结点：两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆 的内力都为零。
静定平面桁架(5-2-6-1)
FAy
ɑ
F
F
F FN2 FN3 FN1
FN4
FN2 = －0.417F= －4.17KN FN3= 0.417F=4.17KN
4、四杆结点无荷载。
1 4 3 2 N1=N2 N3=N4
1
F2 F1
2
N1=F1 N2=F2 3 F1 2 N3= –F1 N1≠N2
5、四杆结点无荷载。
3 1 4 2
1
N3= –N4 N1≠N2
判别结构中的零杆
F F F
P
由力矩平衡方程得 N1= N2= N3=0 N1
Ⅰ
P
Ⅰ
N3
N2
▲ 利用结构的对称性 由于结构对称，荷载对称， 由于结构对称，荷载对称，其内力和反力一定对 结构反对称，荷载反对称， 称。结构反对称，荷载反对称，其内力和反力一定 也反对称。利用这个规律可以进行零杆的判断。 也反对称。利用这个规律可以进行零杆的判断。
有些情况下, 结点法求解不方便, 有些情况下,用结点法求解不方便,如: 求解不方便
开始没法用结点法
用结点法计算量大
A.定义： A.定义： 定义 截面法是截取桁架一部分作为研究对 截面法是截取桁架一部分作为研究对 象计算桁架内力的方法。 象计算桁架内力的方法。 B.要求 要求： B.要求： 截面法将桁架截成二部分， 截面法将桁架截成二部分，每一部分至少有 一根完整的杆件（否则为结点法 结点法）。 一根完整的杆件（否则为结点法）。 C.要点 要点： C.要点： 一个截面将桁架截成二部分， 一个截面将桁架截成二部分，取一部分作为研 究对象时。隔离体上的力是一个平面任意力系, 究对象时。隔离体上的力是一个平面任意力系, 可列出三个独立的平衡方程。取隔离体时一般 可列出三个独立的平衡方程。取隔离体时一般 切断的未知轴力的杆件不多余三根。 切断的未知轴力的杆件不多余三根。
ɑ
F
F
F FN2 FN3 FN1
FN4
FN2 = －0.417F= －4.17KN FN3= 0.417F=4.17KN
4、四杆结点无荷载。
1 4 3 2 N1=N2 N3=N4
1
F2 F1
2
N1=F1 N2=F2 3 F1 2 N3= –F1 N1≠N2
5、四杆结点无荷载。
3 1 4 2
1
N3= –N4 N1≠N2
判别结构中的零杆
F F F
P
由力矩平衡方程得 N1= N2= N3=0 N1
Ⅰ
P
Ⅰ
N3
N2
▲ 利用结构的对称性 由于结构对称，荷载对称， 由于结构对称，荷载对称，其内力和反力一定对 结构反对称，荷载反对称， 称。结构反对称，荷载反对称，其内力和反力一定 也反对称。利用这个规律可以进行零杆的判断。 也反对称。利用这个规律可以进行零杆的判断。
有些情况下, 结点法求解不方便, 有些情况下,用结点法求解不方便,如: 求解不方便
开始没法用结点法
用结点法计算量大
A.定义： A.定义： 定义 截面法是截取桁架一部分作为研究对 截面法是截取桁架一部分作为研究对 象计算桁架内力的方法。 象计算桁架内力的方法。 B.要求 要求： B.要求： 截面法将桁架截成二部分， 截面法将桁架截成二部分，每一部分至少有 一根完整的杆件（否则为结点法 结点法）。 一根完整的杆件（否则为结点法）。 C.要点 要点： C.要点： 一个截面将桁架截成二部分， 一个截面将桁架截成二部分，取一部分作为研 究对象时。隔离体上的力是一个平面任意力系, 究对象时。隔离体上的力是一个平面任意力系, 可列出三个独立的平衡方程。取隔离体时一般 可列出三个独立的平衡方程。取隔离体时一般 切断的未知轴力的杆件不多余三根。 切断的未知轴力的杆件不多余三根。
静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算
图13-11
静定平面桁架的内力计算
按照桁架的杆件所在位 置不同，可分为弦杆和腹杆 两类。弦杆是指在桁架上、 下外围的杆件，上边的杆件 称为上弦杆，下边的杆件称 为下弦杆。桁架上弦杆和下 弦杆之间的杆件称为腹杆， 腹杆又称为竖杆和斜杆。弦 杆上相邻两结点之间的区间 称为节间，其距离d称为节间 长度（见图13-12）。
静定平面桁架的内力计算
常用的桁架一般是按下列两种方式组成的。 （1）由基础或由一个基本铰结三角形开始，依 次增加二元体，组成一个桁架，如图13-11（a）、 （b）、（c）所示。这样的桁架称为简单桁架。 （2）几个简单桁架按照几何不变体系的简单组 成规则联成一个桁架，如图13-11（d）、（e）所 示。这样的桁架称为联合桁架。
静定平面桁架的内力计算
【例13-5】
图13-16
静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算
一般截面法截断的杆件个数不超过三根可以直 接求得杆的内力，但有一些特殊情况虽然截开的杆件 个数超过三个，但对于某一个杆件仍可以直接求解， 如图13-17所示。图13-17(a)中除a杆外截断的其他 杆件交于一点K，则取隔离体对K点取矩，可以直接 求得a杆轴力；图13-17（b）中除b杆外，截断的其 他杆件都相互平行，则取隔离体，利用∑Fx=0，可能完全符合上述理想情况。例如，桁架的 结点具有一定的刚性，有些杆件在结点处可能是连续直杆，或杆 件之间的夹角几乎不变动。另外，各杆轴无法绝对平直，结点上 各杆的轴线也不一定全交于一点，荷载不一定都作用在结点上等。 因此，桁架在荷载作用下，其中某些杆件必将发生弯曲而产生弯 曲应力，并不能如理想情况下只产生轴向均匀分布的应力。通常 把桁架理想情况下计算出来的应力称为初应力或基本应力，由非 理想情况产生的附加应力称为次应力。关于次应力的计算有专门 的参考文献论述，本节只限于讨论桁架的理想情况。
第5章 静定平面桁架
2. T形结点：三杆结点上无 荷载作用时如果其中有两杆 在一直线上，则另一杆必为 零杆。此结点成为T形结点
3. X形结点：四杆结点且 两两共线，并且结点上无 荷载时，则共线两杆内力 大小相等方向相同
4. K形结点：四杆结点，其中两杆 共线，而另外两杆在此直线同侧且 交角相等，并且结点上无荷载，则 非共线两杆内力大小相等方向相反
§5.4
静定结构特性
静定结构有静定梁、静定刚架、三铰拱、静定桁架等类型。 虽然这些结构形式各有不同，但它们有如下的共同特性：
1. 在几何组成方面，静定结构是没有多余联系的几何不变体 系。在静力平衡方面，静定结构的全部反力可以有静力平衡方 程求得，其解答是唯一的确定值。
2. 由于静定结构的反力和内力仅用静力平衡条件就可以确定， 不需要考虑结构的变形条件，所以静定结构的反力和内力只与 荷载、结构的几何形状和尺寸有关，而与构件所用的材料、截 面的形状和尺寸无关。
§5.2
桁架内力的计算方法
5. 对称性：首先结构对称，结构的杆件以及支座对一个轴 对称，则称该结构为对称结构。其次荷载对称，荷载的大 小、作用点、方向都关于一个轴对称。并且结构与荷载同 一个对称轴，其内力和反力也基于该对称轴对称。
§5.2
桁架内力的计算方法
上述结论都不难由结点平衡条件得到证实。在分析桁架时， 可先利用上述原则找出特殊结点，然后进行下一步的计算，使 计算变得1、平行弦桁架 图b所示桁架，上下弦受力两头小中间大，这与图5.21a所示
简支梁的上下层纤维受力相似，即与梁的弯矩分布相似。腹杆 内力与简支梁的剪力分布规律一致，两头大中间小。因此静定 平行弦桁架的受力相当于一个空腹梁。
为使得设计上的受力合理，应按杆轴力的大小选取截面大小。 所以平行弦桁架杆件的截面积变化较大，给施工带来不便。在 实际工程中，常采用标准节间，逐段改变截面的大小，把材料
第五章静定平面桁架
（2）求FNEF：Σ mD=0， FNEF沿作用线平移到F点分解
1 F [ F 2 dF dFd ] x E F A 1 2 2 H
M H
0 D
（压力）
结论：可证简支桁架，竖直向下荷载作用 下弦杆受拉力，上弦杆受压力 —— 对应梁，受竖直向下荷载的下、上边缘
（3）斜杆FNED EF、CD交点O，Σm0=0，FNED平移到D分解
桁架各部分名称
弦杆：上、下弦杆 腹杆：斜杆、竖杆 节间：弦杆上， 相邻结点区间 跨度、桁髙
桁架类型
（外形） a）平行弦 b）折弦 c）三角形 （是否有推力） a,b,c）无推力 d）有推力（拱式）
（几何组成方式）——与求解方法有关 （1）简单桁架（a，b，c）——二元体 （2）联合桁架（d，e）——三、二刚片规则 （3）复杂桁架（f）——非基本组成规则方式
1 F [ F aF ( ad ) ] Y E D A 1aF 2 a 2 d
（可能＋、－）
2．投影（方程）法 （上、下弦杆平行） （1）求斜杆DG Ⅱ—Ⅱ截面（左） ∑Y=0 FYDG＝-（FA－F1－F2－F3） ＝－F0SDG ——剪力法
F0SDG
截面法： ①所截杆件一般不超过三根 ——三个独立平衡方程可解 ②截面多于三个未知力， 如其中除一根外，其余均交于一点、或平行 ——可解此杆——截面单杆 ③几何组成相反次序求解
§5－6 组 合 结 构 计 算
组合结构——链杆与梁式杆，组合而成结构 （轴力杆：FN）（受弯杆件：M、FS、FN） 计算顺序：反力—链杆—梁式杆 【例5－3】 ①几何组成 ②求解次序 ③反力 FAV=5kN， FBV=3kN ④链杆 FNDE： ⑤梁式杆：受荷载、 链杆的作用力FN ⑥校核结点A/B，F/G
1 F [ F 2 dF dFd ] x E F A 1 2 2 H
M H
0 D
（压力）
结论：可证简支桁架，竖直向下荷载作用 下弦杆受拉力，上弦杆受压力 —— 对应梁，受竖直向下荷载的下、上边缘
（3）斜杆FNED EF、CD交点O，Σm0=0，FNED平移到D分解
桁架各部分名称
弦杆：上、下弦杆 腹杆：斜杆、竖杆 节间：弦杆上， 相邻结点区间 跨度、桁髙
桁架类型
（外形） a）平行弦 b）折弦 c）三角形 （是否有推力） a,b,c）无推力 d）有推力（拱式）
（几何组成方式）——与求解方法有关 （1）简单桁架（a，b，c）——二元体 （2）联合桁架（d，e）——三、二刚片规则 （3）复杂桁架（f）——非基本组成规则方式
1 F [ F aF ( ad ) ] Y E D A 1aF 2 a 2 d
（可能＋、－）
2．投影（方程）法 （上、下弦杆平行） （1）求斜杆DG Ⅱ—Ⅱ截面（左） ∑Y=0 FYDG＝-（FA－F1－F2－F3） ＝－F0SDG ——剪力法
F0SDG
截面法： ①所截杆件一般不超过三根 ——三个独立平衡方程可解 ②截面多于三个未知力， 如其中除一根外，其余均交于一点、或平行 ——可解此杆——截面单杆 ③几何组成相反次序求解
§5－6 组 合 结 构 计 算
组合结构——链杆与梁式杆，组合而成结构 （轴力杆：FN）（受弯杆件：M、FS、FN） 计算顺序：反力—链杆—梁式杆 【例5－3】 ①几何组成 ②求解次序 ③反力 FAV=5kN， FBV=3kN ④链杆 FNDE： ⑤梁式杆：受荷载、 链杆的作用力FN ⑥校核结点A/B，F/G
结构力学第5章
F
x
0
FN 3 0
M
B
3-5 静定平面桁架
例 求桁架各杆内力 Ⅰ A 4×d FP FP Ⅰ B Ⅱ
解 Ⅰ-Ⅰ:
FxA A FyA
FP
FP
FxB FyB
M
Ⅱ-Ⅱ: C Ⅱ 4×d C FP
A
0
FyB FP
FyB FxB
同理可求出A、C两点的约束力。 进而可求其它杆件的内力
M
C
0
由比例关系得
Ⅲ-Ⅲ：
Fx1 FP 3
FN1 5FP 3
Fx 0
FN3 cos 45 Fx1 0
FP
FP
FP
FP
FN3 2 FP 3
3-5 静定平面桁架
求解由两个刚片组成的体系
FN3
FN2 FN1
利用三个平衡方程，求FN1、FN2、FN3。 然后，求解内外两个三角形各杆轴力。
2 FP 2
2 FP 2
F
FP/2 FN图
G
3-7 组合结构
例 FP 做组合的内力图 E D
解
FP
再请学 生判断 零杆。 FNEC FNDC FNDB
a
A a C B a
FN DB FP
FN EC 2FP
FN DC 0
FPa
2FPa
FP 2FP
M图 FQ图 2FP FP
FN图
3-7 组合结构
3-5 静定平面桁架
例 求指定杆轴力
2 A FP1 FP2 5×d 3 FP3 1 B A FP1 FP2 FN2 FN3 解 取出一个三角形刚片
FN1
取出另一个三角形刚片
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1. 结点法和截面法
结点法—最适用于计算简单桁架。
结构力学
取结点为隔离体，建立（汇交力系）平衡方程求解。 原则上应使每一结点只有两根未知内力的杆件。
通常假定未知的轴力为拉力，计算结果得负值表示轴 力为压力。
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12:02
§5-2 结点法
例5-1 试用结点法求三角形桁架各杆轴力。
10 kN 5 kN 2m
实际桁架不完全符合上述假定, 但次内力的影响是次要的。
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§5-1 平面桁架的计算简图
2、桁架的分类 一、根据维数分类
1）. 平面（二维）桁架（plane truss）
结构力学
——所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一 平面内
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§5-1 平面桁架的计算简图
屋架 计算简图
16m
128m
64m
武汉长江大桥所采用的桁架型式
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§5-1 平面桁架的计算简图
空间桁架荷载传递途径：
结构力学
横梁 主桁架 纵梁
荷载传递: 轨枕-> 纵梁-> 结点横梁-> 主桁架
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§5-1 平面桁架的计算简图
桁架各部分名称：
斜杆 Diagonal chard
FAd-F1d-F2×0-FNCDh=0
FNCD=(FAd-F1d-F2×0)/h
与等代梁比较，得出：FNCD=M0E/h （自己总结）
当荷载向下时，M0E为正，FNCD为拉力，即简支桁 架下弦杆受拉。
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§5-3 截面法
(3) 求上弦杆EF内力
结构力学
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 由 力 矩 平 衡 方 程 ∑MD=0，先求EF杆的水平分力 FxEF，此时力臂即为桁 高 H。 FA×2d-F1×2d-F2d+FxEFH=0 FxEF=-(FA×2d-F1×2d-F2d)/H 与等代梁比较，得出： FxEF=-M0D/H， 再由比例关系求FNEF。 当荷载向下时，M0D为正，FNEF为压力，即简支桁 架上弦杆受压。
结构力学
1. 对于一些特殊的结点，可以应用平衡条件直
接判断该结点的某些杆件的内力为零。 零杆
(1) 两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都
为零。
FN1 F N2
FN1 = F N2= 0
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§5-2 结点法
结构力学
(2) 三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则 第三杆是零杆，而在直线上的两杆内力大小相等，且性质相
结构力学
分类 力矩法和投影法
1. 求反力(同静定梁)； 2. 作截面(用平截面，也可用曲截面)截断桁架，取隔离体； 3. (1)选取矩心，列力矩平衡方程(力矩法)(2)列投影方程(投影法)； 4. 解方程。
注意事项
1、尽量使所截断的杆件不超过三根(隔离体上未知力不超过三个)， 可一次性求出全部内力； 2、选择适宜的平衡方程，最好使每个方程中只包含一个未知力， 避免求解联立方程。 3、若所作截面截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，
1 F A
2 F
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§5-2 结点法
结点法计算简化的途径：
结构力学
2.对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称:
受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称。
E 点无荷载,红色杆不受力 垂直对称轴的杆不受力 对称轴处的杆不受力
FAy FAy
FBy FBy
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§5-3 截面法
(4) 斜杆ED
结构力学
取EF和CD杆的延长线交点 O为矩心，并将FNED在D 点分解为水平和竖向分力 FxED和 FyED，由力矩平衡方 程∑MO=0，先求ED杆的竖向分力FyED，此时力臂即为 a+2d。 -FAa+F1a+F2(a+d)+FyED (a+2d) =0 FyED=(FAa-F1a-F2(a+d))/ (a+2d) 再由比例关系求FNED，其拉或压需视上式右端分子 为正或为负而定。 (5) DG杆如何求？
除一杆外，其余均汇交于一点(力矩法)或均平行(投影法)，则该杆
内力仍可首先求得。
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§5-3 截面法
结构力学
示例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
截面如何选择？
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§5-3 截面法
解: (1) 求出支座反力FA和FB。
结构力学
(2) 求下弦杆CD内力，利用I-I截面 ，力矩法 取EF和ED杆的交点E为矩心， CD杆内力臂为竖杆 高h，由力矩平衡方程∑ME=0，可求CD杆内力。
结构力学
2. 联合桁架 （combined truss）
3. 复杂桁架 （complicated truss）
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§5-1 平面桁架的计算简图
四、按受力特点分类
结构力学
1. 梁式桁架
2. 拱式桁架
竖向荷载下将产 生水平反力
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§5-2 结点法 二、桁架的内力计算
§5-3 截面法
截面法定义:
结构力学
作一截面将桁架分成两部分，然后任取一部分为隔离体 ( 隔离体包含一个以上的结点 ) ，根据平衡条件来计算所截 杆件的内力。 应用范围 1、求指定杆件的内力； 2、计算联合桁架。
联合桁架(联合杆件)
指定杆件(如斜杆)
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§5-3 截面法
截面法计算步骤
10 kN E G D 2 m 4=8 m H 10 kN C 10 kN F B 20 kN 5 kN
F N ED
A 20 kN
取E点为隔离体，由
X 0
Y 0
FNEC cos FNED cos FNEA cos 0
FNEC FNED 33.54 kN FNEC sin - FNED sin FNEA sin 10 kN 0
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§5-2 结点法
10 kN 5 kN 2m
结构力学
10 kN C 10 kN F 5 kN
E G D 2 m 4=8 m H
A 20 kN
B 20 kN
可以看出，桁架在对称轴右边各杆的内力与左 边是对称相等的。
结论：对称结构，荷载也对称，则内力也 是对称的。
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§5-2 结点法
小结:
结构力学
•以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作用。 •按与“组成顺序相反”的原则，逐次建立各结点 的平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一定不超 过独立平衡方程数。 •由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
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§5-2 结点法
结点法计算简化的途径：
结构力学
弦杆
下弦杆 Bottom chard
竖杆Vertical chard 上弦杆 Top chard
腹杆 桁高
d 节间
跨度
经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷 载作用的直杆、铰结体系”的工程结构—桁架
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§5-1 平面桁架的计算简图
桁架计算简图假定：
结构力学
(1) 各杆在两端用绝对光滑而无摩擦的铰（理想铰）相互联结。 (2) 各杆的轴线都是直线,而且处在同一平面内，并且通过铰 的几何中心。 (3) 荷载和支座反力都作用在结点上 ,其作用线都在桁架平面 内。 思考: 实际桁架是否完全符合上述假定? 主内力: 按理想桁架算出的内力，各杆只有轴力。 次内力：实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲， 由此引起的内力。
同（同为拉力或压力）。
FN1 FN3 FN1 = FN2 FN3 = 0 FN2
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§5-2 结点法
结构力学
(3) 四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则 在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。 推论，若将其中一杆换成外力F，则与F 在同一直 线上的杆的内力大小为F ，性质与F 相同。
FNEC FNED 10 5 33.5
联立解出
FNEC 22.36 kN
退出
， FNED 11.18 kN
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§5-2 结点法
10 kN 5 kN 2m
结构力学
10 kN C 10 kN F 5 kN
10 kN C F NCE FNCD
20 kN
E G D 2 m 4=8 m H
2）. 空间（三维）桁架（space truss） ——组成桁架的杆件不都在同一平面内
结构力学
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§5-1 平面桁架的计算简图
二、按外型分类
1. 平行弦桁架
结构力学
2. 三角形桁架
3. 抛物线桁架
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结点法—最适用于计算简单桁架。
结构力学
取结点为隔离体，建立（汇交力系）平衡方程求解。 原则上应使每一结点只有两根未知内力的杆件。
通常假定未知的轴力为拉力，计算结果得负值表示轴 力为压力。
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§5-2 结点法
例5-1 试用结点法求三角形桁架各杆轴力。
10 kN 5 kN 2m
实际桁架不完全符合上述假定, 但次内力的影响是次要的。
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§5-1 平面桁架的计算简图
2、桁架的分类 一、根据维数分类
1）. 平面（二维）桁架（plane truss）
结构力学
——所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一 平面内
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§5-1 平面桁架的计算简图
屋架 计算简图
16m
128m
64m
武汉长江大桥所采用的桁架型式
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§5-1 平面桁架的计算简图
空间桁架荷载传递途径：
结构力学
横梁 主桁架 纵梁
荷载传递: 轨枕-> 纵梁-> 结点横梁-> 主桁架
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§5-1 平面桁架的计算简图
桁架各部分名称：
斜杆 Diagonal chard
FAd-F1d-F2×0-FNCDh=0
FNCD=(FAd-F1d-F2×0)/h
与等代梁比较，得出：FNCD=M0E/h （自己总结）
当荷载向下时，M0E为正，FNCD为拉力，即简支桁 架下弦杆受拉。
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§5-3 截面法
(3) 求上弦杆EF内力
结构力学
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 由 力 矩 平 衡 方 程 ∑MD=0，先求EF杆的水平分力 FxEF，此时力臂即为桁 高 H。 FA×2d-F1×2d-F2d+FxEFH=0 FxEF=-(FA×2d-F1×2d-F2d)/H 与等代梁比较，得出： FxEF=-M0D/H， 再由比例关系求FNEF。 当荷载向下时，M0D为正，FNEF为压力，即简支桁 架上弦杆受压。
结构力学
1. 对于一些特殊的结点，可以应用平衡条件直
接判断该结点的某些杆件的内力为零。 零杆
(1) 两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都
为零。
FN1 F N2
FN1 = F N2= 0
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§5-2 结点法
结构力学
(2) 三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则 第三杆是零杆，而在直线上的两杆内力大小相等，且性质相
结构力学
分类 力矩法和投影法
1. 求反力(同静定梁)； 2. 作截面(用平截面，也可用曲截面)截断桁架，取隔离体； 3. (1)选取矩心，列力矩平衡方程(力矩法)(2)列投影方程(投影法)； 4. 解方程。
注意事项
1、尽量使所截断的杆件不超过三根(隔离体上未知力不超过三个)， 可一次性求出全部内力； 2、选择适宜的平衡方程，最好使每个方程中只包含一个未知力， 避免求解联立方程。 3、若所作截面截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，
1 F A
2 F
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§5-2 结点法
结点法计算简化的途径：
结构力学
2.对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称:
受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称。
E 点无荷载,红色杆不受力 垂直对称轴的杆不受力 对称轴处的杆不受力
FAy FAy
FBy FBy
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§5-3 截面法
(4) 斜杆ED
结构力学
取EF和CD杆的延长线交点 O为矩心，并将FNED在D 点分解为水平和竖向分力 FxED和 FyED，由力矩平衡方 程∑MO=0，先求ED杆的竖向分力FyED，此时力臂即为 a+2d。 -FAa+F1a+F2(a+d)+FyED (a+2d) =0 FyED=(FAa-F1a-F2(a+d))/ (a+2d) 再由比例关系求FNED，其拉或压需视上式右端分子 为正或为负而定。 (5) DG杆如何求？
除一杆外，其余均汇交于一点(力矩法)或均平行(投影法)，则该杆
内力仍可首先求得。
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§5-3 截面法
结构力学
示例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
截面如何选择？
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§5-3 截面法
解: (1) 求出支座反力FA和FB。
结构力学
(2) 求下弦杆CD内力，利用I-I截面 ，力矩法 取EF和ED杆的交点E为矩心， CD杆内力臂为竖杆 高h，由力矩平衡方程∑ME=0，可求CD杆内力。
结构力学
2. 联合桁架 （combined truss）
3. 复杂桁架 （complicated truss）
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§5-1 平面桁架的计算简图
四、按受力特点分类
结构力学
1. 梁式桁架
2. 拱式桁架
竖向荷载下将产 生水平反力
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§5-2 结点法 二、桁架的内力计算
§5-3 截面法
截面法定义:
结构力学
作一截面将桁架分成两部分，然后任取一部分为隔离体 ( 隔离体包含一个以上的结点 ) ，根据平衡条件来计算所截 杆件的内力。 应用范围 1、求指定杆件的内力； 2、计算联合桁架。
联合桁架(联合杆件)
指定杆件(如斜杆)
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§5-3 截面法
截面法计算步骤
10 kN E G D 2 m 4=8 m H 10 kN C 10 kN F B 20 kN 5 kN
F N ED
A 20 kN
取E点为隔离体，由
X 0
Y 0
FNEC cos FNED cos FNEA cos 0
FNEC FNED 33.54 kN FNEC sin - FNED sin FNEA sin 10 kN 0
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§5-2 结点法
10 kN 5 kN 2m
结构力学
10 kN C 10 kN F 5 kN
E G D 2 m 4=8 m H
A 20 kN
B 20 kN
可以看出，桁架在对称轴右边各杆的内力与左 边是对称相等的。
结论：对称结构，荷载也对称，则内力也 是对称的。
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§5-2 结点法
小结:
结构力学
•以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作用。 •按与“组成顺序相反”的原则，逐次建立各结点 的平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一定不超 过独立平衡方程数。 •由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
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§5-2 结点法
结点法计算简化的途径：
结构力学
弦杆
下弦杆 Bottom chard
竖杆Vertical chard 上弦杆 Top chard
腹杆 桁高
d 节间
跨度
经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷 载作用的直杆、铰结体系”的工程结构—桁架
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§5-1 平面桁架的计算简图
桁架计算简图假定：
结构力学
(1) 各杆在两端用绝对光滑而无摩擦的铰（理想铰）相互联结。 (2) 各杆的轴线都是直线,而且处在同一平面内，并且通过铰 的几何中心。 (3) 荷载和支座反力都作用在结点上 ,其作用线都在桁架平面 内。 思考: 实际桁架是否完全符合上述假定? 主内力: 按理想桁架算出的内力，各杆只有轴力。 次内力：实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲， 由此引起的内力。
同（同为拉力或压力）。
FN1 FN3 FN1 = FN2 FN3 = 0 FN2
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§5-2 结点法
结构力学
(3) 四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则 在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。 推论，若将其中一杆换成外力F，则与F 在同一直 线上的杆的内力大小为F ，性质与F 相同。
FNEC FNED 10 5 33.5
联立解出
FNEC 22.36 kN
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， FNED 11.18 kN
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§5-2 结点法
10 kN 5 kN 2m
结构力学
10 kN C 10 kN F 5 kN
10 kN C F NCE FNCD
20 kN
E G D 2 m 4=8 m H
2）. 空间（三维）桁架（space truss） ——组成桁架的杆件不都在同一平面内
结构力学
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§5-1 平面桁架的计算简图
二、按外型分类
1. 平行弦桁架
结构力学
2. 三角形桁架
3. 抛物线桁架
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