二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质PPT课件1 人教版
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2
y=a(x-h)2+k
y = a( x – h )2 + k 平左 移右 y = ax2 + k 平上 移下
y = a (x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
3、已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2 +bx－4 的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴直线 是x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式. 4.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点在第二象限 且开口向下（要求用一般式表示）
5.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
A
B
C
D
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下 列各式中是正数的有（ ）
①a ② b ④ a+b+c ⑥ 4a+b A.5个 C.3个 ③ c ⑤ a-b+c ⑦ 2a+b
y
y
B.4个 D.2个
-1
.
B
1 . .2 x
7.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， 下列结论： ①a+b+c<0 ②a-b+c>0 ③acb>0 ④b=2a, 其中正确的结论的个数是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1 y
(2)能否说出二次函数 y ax bx c
2
图象的对称轴与顶点坐 标？
一般地，我们可以用配方法求抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴
2 y=ax +bx+c
b 2 4ac b a( x ) 2a 4a
2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
b 对称轴为：直线x ， 2a b 4ac b 2 顶点坐标是： 2a , 4a
• 有关的数学名言 • ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及 最高级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人 精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗 庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自 然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。—— 本杰明
向上 向下
对称轴
顶点坐标
对称轴 ( -3, 5 ) 直线 x=-3 顶点坐标
直线x=1 直线x=3
( 1 , -2 ) ( 3 , 7) ( 2 , -6 )
直线x=2
1 2 能否说出二次函数 y x 6 x 21 2 图象的对称轴与顶点坐 标呢？
1 2 (1)能否说出二次函数 y x 6 x 21 2 图象的对称轴与顶点坐 标？
1.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是 （2，-3），求m，n的值。
2.不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可 由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到？
3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如 图所示，试求出a,b,c的值。 y
3 0
2 x
课后拓展
1.如图，隧道横截面的下部是矩 形，上部是半圆，周长为16米。 ⑴求截面积S（米2）关于底部宽 x（米）的函数解析式，及自变 量x 的取值范围？ ⑵试问：当底部宽x为几米时， 隧道的截面积S最大（结果精确 到0.01米）？
抛物线y=a(x-h)2+k的图像与性质： 1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
开口方向 向上 向下
1、利用公式法求出下列抛物线对称轴及顶点坐标，并 说出它的开口方向及最值？
（1）y=3x2+2x
（3）y=-2x2+8x-8
（2）y=-x2-2x
1 2 4 y x 4 x 3 2
?
2、当m=_____时，抛物线y=mx2 +2(m+2)x+m+3的 对称轴是y轴； 当m=_____时，图象与y轴交点的纵坐标是1； 当m=_____时，函数的最小值是－2.
的顶点是最低（高）点，所以 b 当x 时，二次函数y ax 2 bx c 2a 4ac b 2 有最小（大）值 4a
一般地，因为抛物线y ax 2 bx c
例1：利用公式法求下列抛物线的对 称轴和顶点坐标并指出它的最值。 (1) y=x2+4x-1 (2) y=-0.5x2+2x-1
-1 0
1
x
例2.用总长为60m的篱笆墙围成 矩形场地，矩形面积S随矩形一 边长L的变化而变化，当L多少时， 场地的面积S最大？
?
已知直角三角形两条直角边的和 等于8，两条直角边各为多少时， 这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
?
心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出 概念所用的时间x(分钟)之间满足函数关系： y=－0.1x2 +2.6x+43(0≤x≤30)，y值越大表示接受 能力越强. (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？ x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10 分钟时，学生的接受能力是多少？ 几分钟时，学生的接受能力最强？
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2
y=a(x-h)2+k
y = a( x – h )2 + k 平左 移右 y = ax2 + k 平上 移下
y = a (x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
3、已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2 +bx－4 的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴直线 是x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式. 4.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点在第二象限 且开口向下（要求用一般式表示）
5.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
A
B
C
D
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下 列各式中是正数的有（ ）
①a ② b ④ a+b+c ⑥ 4a+b A.5个 C.3个 ③ c ⑤ a-b+c ⑦ 2a+b
y
y
B.4个 D.2个
-1
.
B
1 . .2 x
7.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， 下列结论： ①a+b+c<0 ②a-b+c>0 ③acb>0 ④b=2a, 其中正确的结论的个数是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1 y
(2)能否说出二次函数 y ax bx c
2
图象的对称轴与顶点坐 标？
一般地，我们可以用配方法求抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴
2 y=ax +bx+c
b 2 4ac b a( x ) 2a 4a
2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
b 对称轴为：直线x ， 2a b 4ac b 2 顶点坐标是： 2a , 4a
• 有关的数学名言 • ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及 最高级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人 精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗 庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自 然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。—— 本杰明
向上 向下
对称轴
顶点坐标
对称轴 ( -3, 5 ) 直线 x=-3 顶点坐标
直线x=1 直线x=3
( 1 , -2 ) ( 3 , 7) ( 2 , -6 )
直线x=2
1 2 能否说出二次函数 y x 6 x 21 2 图象的对称轴与顶点坐 标呢？
1 2 (1)能否说出二次函数 y x 6 x 21 2 图象的对称轴与顶点坐 标？
1.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是 （2，-3），求m，n的值。
2.不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可 由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到？
3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如 图所示，试求出a,b,c的值。 y
3 0
2 x
课后拓展
1.如图，隧道横截面的下部是矩 形，上部是半圆，周长为16米。 ⑴求截面积S（米2）关于底部宽 x（米）的函数解析式，及自变 量x 的取值范围？ ⑵试问：当底部宽x为几米时， 隧道的截面积S最大（结果精确 到0.01米）？
抛物线y=a(x-h)2+k的图像与性质： 1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
开口方向 向上 向下
1、利用公式法求出下列抛物线对称轴及顶点坐标，并 说出它的开口方向及最值？
（1）y=3x2+2x
（3）y=-2x2+8x-8
（2）y=-x2-2x
1 2 4 y x 4 x 3 2
?
2、当m=_____时，抛物线y=mx2 +2(m+2)x+m+3的 对称轴是y轴； 当m=_____时，图象与y轴交点的纵坐标是1； 当m=_____时，函数的最小值是－2.
的顶点是最低（高）点，所以 b 当x 时，二次函数y ax 2 bx c 2a 4ac b 2 有最小（大）值 4a
一般地，因为抛物线y ax 2 bx c
例1：利用公式法求下列抛物线的对 称轴和顶点坐标并指出它的最值。 (1) y=x2+4x-1 (2) y=-0.5x2+2x-1
-1 0
1
x
例2.用总长为60m的篱笆墙围成 矩形场地，矩形面积S随矩形一 边长L的变化而变化，当L多少时， 场地的面积S最大？
?
已知直角三角形两条直角边的和 等于8，两条直角边各为多少时， 这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
?
心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出 概念所用的时间x(分钟)之间满足函数关系： y=－0.1x2 +2.6x+43(0≤x≤30)，y值越大表示接受 能力越强. (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？ x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10 分钟时，学生的接受能力是多少？ 几分钟时，学生的接受能力最强？
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人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
பைடு நூலகம்
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
|a|越大,抛物线的开口越小;
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
(0,0)最低点
开口方向 开口向上
开口向下
对称轴 对称轴是y轴，即直线x＝0
顶点
顶点坐标是原点（0，0）
最值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
3
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x>0时，y随x的增大而增大
增大；当x>0时，y随x的 增大而减小
|a|越大,抛物线的开口越小;
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》二次函数PPT精品课件
和一次项同时提取公因数a，再进行配方会更简便.
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c=0的图象和性质(共22张PPT)
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=－x2+1
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT优秀课件
函数
与一元二次方程
人教版九年级上册数学
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
___x___是自变量，__y__是__x__的函数。
当 y = 0 时， ax²+ bx + c = 0
ax²+ bx + c = 0
这是什么方程？ 一元二次方程与二次函数 有什么关系？
上一章中我们学习了“一元二次方程”
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
探究
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1） y = 2x2＋x－3
y
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1
o
x
令 y= 0，解一元二次方程的根
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的 飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
探究
（1） y = 2x2＋x－3 y
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
3
o
x 1 =－ ，x 2 = 1
x
2
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
b 4ac b2
显然，二次函数y a( x
b
)2
4ac
b2
的顶点坐标为
2a
,
4a
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系
思考 探索二次函数函数y 1 x2 - 6x 21的图象和性质。 2
解：y
1 2
x2
6x
21
配
12（x 6）2 3
方
有哪几种画
图方法？
y
1 2
x2
6x
21
12（x 6）2 3
方法一：平移法
y
8
6
y 1 x2
4
2
y=ax2+bx+c (a≠0)
a(x2 b x) c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化
成y=a(x-h)2+k情势.
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 与的图象与性质
O
x
x
b 2a
（a>0）
O
x
x
b 2a
（a<0）
人教版九年级数学上册22.2：二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课件 (共46张PPT)
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
方法归纳
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时,y有最大(最小)
值 y= 4ac－b2
______________________
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
的平方
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
b
2
4ac
b2
.
化简:去掉中括号
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax2 bx c的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:( b , 4ac b2 ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
D. 4ac-b2 >0-1 o 1 x 4a
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
教学课件： 二次函数y=ax2 bx c的图象和性质 第1课时1
<0)
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x b 时,最小值为 4ac b2 当x b 时,最大值为 4ac b2
(2)都是轴对称图形.
(与3)都y有=最a大x(²或的小)值关. 系
(4)a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小. 在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大. a<0时，开口向下， 在对称轴左侧，y都随x的增大而增大.在对称轴右侧，y都随 x的增大而减小.
2.不同点: (1)位置不同. (2)顶点不同:分别是__(__2ba_,_4a_c4_a_b2_) 和(0,0). (3)对称轴不同:分别是__直__线__x ___2_ba_和y轴.
15
怎样平移抛物线
y＝
1 2
x2得到抛物线
10
y＝
1 2
(x－6)2＋3？
· · 5 （4，5）
（8，5）
·(6，3)
当_x__>_6_时y随 x的增大而增 大
O
5x ＝6 10
x
【 思考】
你能把函数y=ax²+bx+c通过配方法化成顶点式吗？
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方 法推导出它的对称轴和顶点坐标.
2a
4a
化简
【 归纳】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)
人教版九年级上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)课件
2
b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x
2
2a
4a
2
b
4
ac
b
a x
.
2a
4a
2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac
b
y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2
2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21
b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x
2
2a
4a
2
b
4
ac
b
a x
.
2a
4a
2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac
b
y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2
2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21
人教版九年级上册22.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质课件
例题详解
2.函数y=-3x2+12x-16的图象能否由函数y=-3x2的图象通过平移变换得 到？若能，请说出平移过程，并画示意图； 说出函数图象的对称轴和顶点坐标。
例题详解 y 2.
-6. - - 0 2 4 6
x
4. 2 -.
...
-24.
-6. -8.
-
-10. 12
y=-3(x-
y=-3(xy3=x2-2)2
=2(x-2)2-7≥-7 所以当x＝2时，y最小值=-7 。
例题详解
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线y=2x2-8x+1有最低点，所以y有最小值，
因为 － b 8 2, 4ac b2 4 21 82 7
2a 2 2
4a
42
所以当x＝2时，y最小值=-7。
总结：求二次函数最值，有两个方法。 (1)用配方法；(2)用公式法。
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当x<
b 2a
时，y随x的增大而增大。
知识点详解
（6）抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴的交点。 ①抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点坐标为（0，c）。 ②抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0),其中为x1,x2方程 y=ax²+bx+c的两实数根。
第二十二章 ·二次函数
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
温故知新
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和y=ax2的图象之间的关系。
y=ax2(a≠0)图像 当m>0时
当m<0时