2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题含答案

2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷

数学试题

第I 卷（必做题，共160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知集合A ＝{2，5}，B ＝{3，5}，则A U B ＝ ． 2．已知复数z 满足

12i

i z

+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 3．A ，B ，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为 ． 4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值 为 ．

5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛 一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看 电影，则该同学在家学习的概率为 ．

6．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则

6a 的值为 ． 第4题

7．已知函数()Asin()f x x ω?=+(A ＞0，ω＞0，?＜2

π

)的部分图象如图所示，则(0)f 的值为 ．

第11题 第12题 第7题

8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22

221x y a b

-=(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，若过右焦点且

与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c 2，则双曲线的离心率为 ． 9．已知m ，n 为正实数，且m ＋n ＝mn ，则m ＋2n 的最小值为 ． 10．已知函数()4f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为 ．

11．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一 个半径为1

的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为 ． 12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是BC ，CD 的中

点，若AE DE 1?=-u u u r u u u r ，则AF CD ?u u u r u u u r

的值为 ．

13．函数()f x 满足()(4)f x f x =-，当x ∈[﹣2，2)时，3223 2()1, 2x x a x a

f x x a x ?++-≤≤=?-<

,，

若函数()f x 在[0，2020)上有1515个零点，则实数a 的范围为 ．

14．已知圆O ：2

2

4x y +=，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A(2，2)，若AP 2＋AQ 2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）

如图，已知在三棱锥P—ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F ，G 分别为AC ，PA ，PB 的中点，且AC ＝2BE ．

（1）求证：PB ⊥BC ；

（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点．

16．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m u r ＝(a ，b ﹣c )，n r

＝(sinA ﹣

sinB ，sinB ＋sinC)，p u r ＝(1，2)，且m u r ⊥n r

．

（1）求角C 的值；

（2）求n p ?r u r

的最大值．

17．（本小题满分14分）

已知椭圆C ：22

221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12

，

P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合），且△PF 1F 2的周长为6，点P 关于原点的对

称点为Q ，直线AP ，QF 2交于点M ．

（1）求椭圆方程；

（2）若直线PF 2与椭圆交于另一点N ，且22AF M AF N 4S S =△△，求点P 的坐标．

18．（本小题满分16分）

管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，θ∈(0，

2

π)）． （1）请用角θ表示清洁棒的长L ；

（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度．

19．（本小题满分16分）

已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，且1122b a ==，2354b S =，2211a T +=．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++L ； （3）是否存在正整数m ，使得

1

m m m m

S T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求

出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分）

已知函数4

()(1)e x

f x x

=-，()1a

g x x

=

-(a ∈R)（e 是自然对数的底数，e ≈2.718…）． （1）求函数()f x 的图像在x ＝1处的切线方程； （2）若函数()

()

f x y

g x =

在区间[4，5]上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0，+∞)上有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且

1()h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．

第II 卷（附加题，共40分）

21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵M ＝ 1 4a b -??

????

(a ，

b ∈R)不存在逆矩阵，且非零特征值对应的一个特征向量αu r ＝11??

????

，求a ，b 的值．

B ．选修4—4：坐标系与参数方程

以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线C 1

：sin()4π

ρθ+=曲线C 2：cos 2sin x y θ

θ

=??=?（θ为参数），求曲线C 1，C 2交点的直角坐标．

C ．选修4—5：不等式选讲

已知凸n 边形A 1A 2A 3…A n 的面积为1，边长A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)，A n A 1＝n a ，其内部一点P 到边A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)的距离分别为d 1，d 2，d 3，…，d n ．

求证：

212

12222(n n

a a a d d d +++≥L ．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD// BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ．

（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；

（2）若CQ CP λ=u u u r u u u r (0≤λ≤1)，且直线BQ 与平面PDC 所成角为3

π

，求λ的值．

23．（本小题满分10分）

如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A ，I 处的红绿灯），出发时的两条路线(I →F ，I →H)等可能选择，且总是走最近路线．

（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？

（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；

（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？

备用图

参考答案