高中数学构造法求数列通
(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总
用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。
但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。
而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。
对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。
下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。
例如：中，若求a n }{n a 数列),(411,211N n a a a nn ∈+==++4,n n nn b b a b ==+1,1则设即＝４，n n b b -+1｝是等差数列。
n b {∴可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{ a n }的通项。
n b 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足求a n),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+2)数列{ a n }中，求a n 通项公式。
,22,111+==+n nn a a a a 3)数列{ a n }中,求a n .),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且二．构造形如的数列。
2n n a b =例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，,),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-求数列{ a n }的通项公式。
2008高考数学复习 数列通项的五种求法
2008高考数学复习 数列通项的五种求法求数列的通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既可考查等价转化与化归的数学思想，又能反映考生对等差与等现象数列理想的深度，具有一定的技巧性，因此经常渗透在高考和竞赛中，要正确写出数列通项，其关键是：找出n a 与n 的对应关系，而其中数列的通项求法比较灵活。
下面分别介绍几种常见的数列通项的求法，请同学们学习。
一、常规数列的通项例1 写出下列数列的一个通项公式。
(1) 3, 5, 7, 9.... (2) 3, 5, 9, 17. (3)⋯,638,356,154,32(4)⋯,917,710,1,32 解 （1）（方法一）注意观察，该数列前四项均为奇数，所以归纳出它的通项公式是a n =2n+1. （方法二）发现后一项比前一项都多2，前4项依次可写成a 1=3, a 2=3+2, a 3=3+2×2, a 4=3+2×3, ∴a n =3+2(n-1).（2）观察发现，前四项依次为2+1，22+1，23+1，24+1，∴a n =2n +1.（3）每一项的分子均为偶数，分母依次为1×3，3×5，5×7，7×9，…，均是相邻的两奇数之积，∴.)12)(12(2+-=n n n a n（4）各项依次可写成，，，，，⋯9177105532分子依次是项数的平方数加1，∴.1212++=n n a n小结 认真观察（注意分解式子）所给数据的结构特征，正确写出对应的表达式。
二、摆动数列的通项例2 写出下列数列的一个通项公式。
（1）1，5，1，5，1，5，…. （2）⋯--,78,54,32,1.（3）1，2，2，4，3，8，4，16，….解 （1）（方法一）∵奇数项均为1，偶数项均为5，∴⎩⎨⎧=，a n 5,1为n n 为正偶数.正奇数，（方法二）∵1与5的平均数为3，∴前四项依次可看成3-2，3+2，3-2，3+2. ∴a n =3+(-1)n ×2.（2）前四项可写成.122)1(,72)1(,52,32)1(,1211321--=∴⨯-⨯---n a n n n（3）∵a 1=1, a 3=2, a 5=3, a 7=4,…, ∴当n 为奇数时,21+=n a n ,∵a 2=2, a 4=4, a 6=8, a 8=16,…, ∴当n 为偶数时，.22nn a =∴⎪⎩⎪⎨⎧+=，n a n n 22,21为n n 为.正偶数正奇数，小结 这类题需要看清奇、偶项的正、负，可用(-1)n 或(-1)n+1等形式表示，或用分段形式表示。
高中精品-数学求递推数列通项公式的十种策略例析
3.3递推数列一、基本知识简述1．有关概念：我们在研究数列{a n }时，如果任一项a n 与它的前一项1-n a （或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。
通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。
主要有以下几种方法：（1） 构造法：通过构造特殊的数列（一般为等差数列或等列），利用特殊数列的通项求递推数列的通项.（2） 迭代法：将递推式适当变形后，用下标较小的项代替某些下标较大的项，在一般项和初始之间建立某种联系，从而求出通项.（3） 代换法：包括代数代换、三角代换等（4） 待定系数法：先设定通项的基本形式，再根据题设条件求出待定的系数。
3.思想策略：构造新数列的思想。
4.常见类型： 类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）类型II :分式线性递推数列:)0(1≠++=+A BAa DCa a n n n二、例题：例1：231+=-n n a a ，21=a ，求通项n a分析：构造辅助数列， )1(311+=+-n n a a ，则13-=nn a求通项过程中，多次利用递推的思想方法以及把一般数列转化为等差、等比数列去讨论，从而求出了通项公式n a 。
[一般形式] 已知q pa a n n +=-1，a a =1，其中p,q,a 为常数，求通项n a [同类变式]已知数列}{n a 满足)12(21-+=+n a a n n ，且21=a ，求通项n a分析：（待定系数），构造数列}{b kn a n ++使其为等比数列， 即)(2)1(1b kn a b n k a n n ++=++++，解得1,2==b k求得12251--⋅=-n a n n[归纳]： 类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）1)(=n p 时,)(1n q a a n n +=+利用累加法，将)1(1-+=-n q a a n n ，=-1n a 2-n a +)2(-n q ,=2a 1a +)1(q …,各式相加，得 =n a 1a +∑-=11)(n k k q (n ≥2)(2)0)(=n q 时,n n a n p a )(1=+;利用累乘法,∏-==111)(n k n k p a a（3）q n q p n p ==)(,)(时,)0(1≠+=+p qpa a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列法1：(常数变易法) 设)(1x a p x a n n +=+- 则)1(1-+=-p x pa a n n ，从而1-=p qx 亦即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 是以1-+p q a n为首项，公比为p 的等比数列， 从而可得：11)1(1--+=-+n n p p qa p q a ， 1)1(1---+=-p q p p q a a n n 1])1([1--⋅+-=-p q p q p a n法2：)(211----=-n n n n a a p a a利用{}1--n n a a 成等比数列求出1--n n a a ，再利用迭代或迭另法求出n a 法3：由q pa a n n +=-1，则可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=-------21221221111........p q p a p a p qp a pa p q p a p a n n n n n nn n nn,从而又可得n n n p q p q p q p a p a ++++=...321 即)]...11([121-+++⋅+=n nn pq p p p q p a p a 1])1([1--⋅+-=-p qp q p a n（4）q n q p n p ==)(,)(n时,)0(1≠+=+p qpa a n n n两边同除以np例2：数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n S ＝*)(2N n a n n ∈，求数列}{n a 的通项公式.例3：数列}{n a 中，且311=a ，1221+=+n nn a a a ，求数列}{n a 的通项公式.[提示]112111+=+nn a a[归纳]：类型II :分式线性递推数列:)0(1≠++=+A BAa DCa a n n n练习：1.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。
专题 构造法求数列通项的八种技巧
专题 构造法求数列通项的八种技巧【必备知识点】◆构造一:待定系数之1n n a Aa B +=+型构造等比数列求关于1n n a Aa B +=+(其中,A B 均为常数,(1)0AB A -≠)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为()1n n a M A a M ++=+,再利用待定系数法求出M 的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数M ,构造成等比数列.常数M 的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.◆构造二:待定系数之1n n a Aa Bn C +=++型构造等比数列求关于1(1,0,0)n n a Aa Bn C A C B +=++≠≠≠类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项Bn ,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项pn 再构造等比数列就可以,即令()1(1)n n a p n q A a pn q ++++=++,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,p q ,从而得到{}n a pn q ++是公比为A 的等比数列.◆构造三:待定系数之1n n n a pa q +=+型构造数列求关于1nn n a pa q +=+(其中,p q 均为常数,(1)0pq p -≠)类型的通项公式时,共有3种方法.方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为()11n n n n a q p a q λλ+++=+,根据对应项系数相等求出λ的值,再利用换元法转化为等比数列求解. 方法二:先在递推公式两边同除以1n q+,得111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,引入辅助数列{}n b (其中n b nna q=),得11n n p b b q q+=⋅+,再利用待定系数法解决； 方法二:也可以在原递推公式两边同除以1n p +,得111nn n n n a a q p p p p ++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭,引入辅助数列{}n b (其中n n na b p =),得11n n b b p +-=⋅.nq p ⎛⎫⎪⎝⎭,再利用叠加法(逐差相加法)求解. ◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧. 模型一:111(1)1n n n n n n a a n a n a n +++−=−−−−→⋅+=⋅+左右同乘,构造n n b n a =⋅,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型二:11111n n n n n a a n a a n n n +++−−−−−⋅→+==+左右同除,构造n n a b n=,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列. 模型三:()()21112(1)(2)(1)n n n n n n a a n a a n n n n n ++++−−−−+=⋅=+−→++−左右同除,构造(1)n n a b n n =+,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型四:()111(1)221n n n n n n n a a na n a n +++−−−−−→=+=+左右同除,构造n n ab n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型五:11111222212n n n n n n n n n n n n n a S S S S S n n S S S nn n ++++++++=⋅=⋅=⇒-⇒−−−−−→+⋅=左右同除,构造nn S b n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型六:1111111n n n n n a a n a a n n n n ++++=⋅=+++−−−+−−→左右同除,构造n n a b n=,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型七:12111122122n n n n n n n n a a a a +++++−=+=−−−→+−左右同除,构造2nnna b =,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列. 模型八:1111111n n a an n n n n n a a a a a a ++++-−−=-=−−−→左右同除,构造1n nb a=,则11n n b b +-=,{}n b 为等差数列. 看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将1n +和1n a +,n 和n a 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.◆构造五:取倒数构造等差类型一:数列{}n a 满足:1n n n ba a ka b+=+,则有111n n n n b ka ka ba ab ++==+. 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,kb 为公差的等差数列,即111(1)n k n a a b =+-.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 类型二:数列{}n a 满足:1112n n n n na a a a a -+-=-,则有11111211111n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+-+--=⇔-=-. 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.类型三:若数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足10n n n a kS S -+=,则有110n n n n S S kS S ---+=,两边同除以1n n S S -得:111n n k S S --=,故1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,k 为公差的等差数列,即111(1)n n k S a =+-,再用1n n n a S S -=-,求{}n a .◆构造六:取对数构造法型如1k n n a ca +=,1n k n a ca -=或者1(),n n kb b b ac a -++=为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于11n n n a Aa Ba +-=+的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +--=--,利用{}1n n a a +-成等比数列,以及叠加法求出n a .还有一小部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +-=+++,利用{}1+n n a a +成等比数列求出n a .此方法可以解决大多数的11n n n a Aa Ba +-=+,1A B +=模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造{}1n n a a +-成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.秒杀求法:21(,0)n n n a pa qa p q ++=+≠类通项公式暴力秒杀求法21(,0)n n n a pa qa p q ++=+≠对应的特征方程为:2x px q =+,设其两根为12,x x当12x x ≠时, 2212n n n a Ax Bx --=+，当12x x =时, 21()n n a An B x -=+其中A ,B 的值的求法,用12,a a 的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)针对1n n n ax bx cx d++=+这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.对于函数()f x ,若存在实数0x ,使得()00f x x =,则称0x x =是函数()f x 的不动点. 在几何上，曲线()y f x =与曲线y x =的交点的横坐标即为函数()f x 的不动点.一般地,数列{}n x 的递推式可以由公式()1n n x f x +=给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列{}n x ,若其递推式为()1n n x f x +=,且存在实数0x ,使得()00f x x =,则称0x 是数列{}n x 的不动点。
由一道高考题浅谈用构造法求数列通项公式
类型３ ： ａ ｎ ＋
（ ｐ ， ｄ 为非零常数 ， 且ｑ ≠１ ， ｄ ≠
ｄ－ ￣ ｄ ｄ ｄ ｄ
ｘ ２ － ｐ －ｑ， ｌ － ｐ， ． ‘ ． Ｘ ２ ＝Ｏ ￣
１ ） ， 这类数列可变换成 ＝ ・ ＋ ， 令６ ＝ ， 则 转化为类型１ ： ６ ， ＝ ｐ ｂ 型。 类型４ ： ａ ｎ ＋ １ ＝ ： ｃ 口 ： （ ％＞ ０ ， ｃ ＞ Ｏ ， ｐ ＞ Ｏ ， Ｐ ≠１ ） ， 这类数列 可取对数得ｌ ｇ Ｉ ＝ ｐ ｌ ｇ ａ ￣ ＋ ｌ ｇ ｃ ，从而转化为类型 １ ： ６ １ ＝
＝ｑ
ｐ ｘ ＋ ｑ ＝ ０ 的根 ， 由题 意 可 知 ， ｓ ｌ ＝ ０ ／ ， ｓ ２
① 当 ≠ 卢 时 ， 此 时 方 程 组 ｛ 的 解 记 为 ｛
ｆ 【 ２ ０ １
￡ ２
‘ ． ．
Ｘ ｎ － ￣ 一 ｌ ＝ （ ｎ － ｌ － Ｏ Ｌ ｇ ｄ ｎ ＿ ２ ） ， Ｘ ｎ ］ １ ＝ （ ｌ — １
１ 问也 能很 好 处 理 式 子 ＝
三、 挖 掘教 材
０ ｌ ＋ ｎ一１
似 ｌ ＝ （ ２ 一 僦１ ～， ‘ ． ‘
． Ｘ ｎ － Ｏ Ｌ ￣ ＝ （ ２ 一 １ ）
（ 以＋ Ａ） ，
（ ２ ０ ０ ８ 广 东 高考 数 学 ） 设ｐ ， ｑ 为实数 ， ， 是 方 程 ＿ ， Ｊ ＋ ｑ ＝ ０ 的两个 实根 ， 数列 ｛ Ｘ ｎ ｝ 满 足 ｌ ＿ － ｐ， Ｘ ２ 一 ｑ ，
Ｐ ， 卜 ｌ — ｑ ｘ ． － ２ （ ｎ ＝ ３， ４， …） ． ｌ ＝ｎ ＋ ｄ ＝
旦 ・
Ｃ
＋
，
令６ ＝ 一 １， 从 而转化 为类 型 １ ： ｂ
谈构造法在高中数学解题中的重要应用 --以“数列的通项公式求法”教学为例
谈构造法在高中数学解题中的重要应用 --以“数列的通项公式求法”教学为例提要：构造法是高中化归与转化思想的重要组成部分，也是高中数学的解题方法之一，它是将未知化已知，复杂化简单的重要途径，为高中数学的函数、导数、数列、不等式等问题提供重要解题思路。
在数学中应用构造法，能提升学生的逻辑思维能力，发展学生的创新能力。
在新课改的教学背景下，数列的通项公式作为解决数列问题的基础与重点，也是高考中的重点考察内容之一，利用构造法发现数列模型，可以帮助学生快速找到突破口，解决难题并提高解题速度。
关键词：数列；通项公式；构造法；化归与转化思想在高中数学课程标准中明确提出数学教育促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律。
[1]构造法是具有创造性的解题方法，体现了数学中的化归与转化思想，凸显数学的内在逻辑和思想方法。
构造法在高中数学中应用广泛，如构造不等式求最值、构造数列求通项公式、构造函数得到基本初等函数模型、构造几何体求外接球、构造向量求证正弦定理等，对数学学习的拓展与思维发展有积极作用。
构造法主要应用于两个方面：（1）当某些数学问题无法用定向思维解决时，可以根据条件与结论的性质，从新的角度和观点观察分析条件（结论）与已有数学模型或性质的联系，通过类比、想象构造新的数学模型，进而解决问题；（2）可以用于概念、定理推导，逻辑推理。
在数学中构造法解题的本质是利用已有条件与已知的定理公式，构造新的数学对象或模型，发现条件和结论中隐含的性质与数学形式，利用新的数学对象或模型解决问题。
其中构造法还可以促进学生创新思维的发展，促进学生达成不同阶段的数学核心素养。
构造法解题一般步骤如下：通过对近年高考真题分析，发现数列通项公式问题灵活多变，学生难以自如应用构造法，创新解题，失分较严重。
本节课通过设计数列的通项公式求解，以学生为主进行探究，发现构造法在求解数列通项公式中的积极作用，感受由难化简，由未知化已知的创造思维，提高数学洞察力和理解力，利用构造法为新的数学问题建立新的方法与策略。
高考数学构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版)
构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如a n +1=ca n k ,a n =ca n -1k或者a n +b =c (a n -1+b )k ,b 为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列a n 中, a 1=2,a n +1=a n 2,求数列a n 的通项公式.【解析】取以a 1=2为底的对数(不能取c 为底,因为c =1,不能作为对数的底数),得到log a n +12=log an22,log a n +12=2log a n2,设b n =log a n2,则有b n +1=2b n ,所以b n 是以b 1=log a 12=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n =2n -1,所以log a n2=2n -1,a n =22n -1.【经典例题2】数列a n 中,a 1=1,a n +1=2a n 2,求数列a n 的通项公式.【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取a 1=1为底数的对数了吧),得到log a n +12=log 2a n22,log an +12=log 22+2log a n2,log a n +12=1+2log a n2设b n =log an2,则有b n +1=1+2b n ,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出b n +1+1=2(b n +1),所以b n +1 是以b 1+1=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n +1=2n -1,所以b n =2n -1-1,log a n2=2n -1-1,a n =22n -1-1.【经典例题3】已知a 1=2,点a n ,a n +1 在函数f x =x 2+2x 的图像上,其中n ∈N *,求数列a n 的通项公式.【解析】将a n ,a n +1 代入函数得a n +1=a n 2+2a n ,a n +1+1=a n 2+2a n +1=a n +1 2,即a n +1+1=a n +1 2两边同时取以3为底的对数,得log a n +1+13=log a n+123⇒log a n +1+13=2log a n+13(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为log a 1+13,a 1+1=3,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以log a n+1 3 是以1为首项,2为公比的等比数列,即log a n+1 3=1×2n -1,a n +1=32n -1,a n =32n -1-1.【经典例题4】在数列a n 中, a 1=1,当n ≥2时,有a n +1=a n 2+4a n +2,求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=a n 2+4a n +2,得a n +1+2=a n 2+4a n +4,即a n +1+2=a n +2 2,两边同取以3为底的对数,得log a n +1+23=log a n+223,即log a n +1+23=2log a n+2 3,所以数列log a n+2 3是以1为首项,2为公比的等比数列,log a n+23=2n -1,a n +2=32n -1,即a n =32n -1-2.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于a n +1=Aa n +Ba n -1的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为a n +1-a n =(A -1)a n -a n -1 ,利用a n +1-a n 成等比数列,以及叠加法求出a n .还有一小部分题型可转化为a n +1+a n =(A +1)a n +a n -1 ,利用a n +1+a n 成等比数列求出a n .【经典例题1】已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3,a n +2=3a n +1-2a n n ∈N * ,求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=3a n -2a n -1⇒a n +1-a n =2a n -a n -1 ,故a n +1-a n 是以a 2-a 1=2为首项,2为公比的等比数列,即a n +1-a n =a 2-a 1 2n -1=2n ,接下来就是叠加法啦,a n -a n -1=2n -1...a 2-a 1=2全部相加得:a n -a 1=2n-2,所以a n =2n -1.【经典例题2】已知数列a n 中,a 1=1,a 2=2,a n +2=23a n +1+13a n ,求数列a n 的通项公式。
构造法求递推数列的通项公式
巧用构造法求递推数列的通项公式蒋明权利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，自从二十世纪八十年代以来，一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。
本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略，希望能抛砖引玉。
一、构造等差数列法例1.在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项公式a n 。
解：对原递推式两边同除以n n n ()()++12可得：a n n a n nn n +++=++12112()()()① 令b a n nn n =+()1② 则①即为b b n n +=+12，则数列{b n }为首项是b a 1111132=+=()×，公差是b b n n +-=12的等差数列，因而b n n n =+-=-3221212()，代入②式中得a n n n n =+-12141()()。
故所求的通项公式是a n n n n =+-12141()() 二、构造等比数列法1.定义构造法 利用等比数列的定义q a a n n=+1，通过变换，构造等比数列的方法。
例2.设在数列{a n }中，a a a a n n n 112222==++，，求{a n }的通项公式。
解：将原递推式变形为a a a n n n++=+12222()① a a a n n n+-=-12222()② ①/②得：a a a a n n n n +++-=+-1122222[]， 即lg lg[]a a a a n n n n +++-=+-1122222③ 设b a a n n n =+-lg[]22④ ③式可化为a a n n +=12，则数列{b n }是以b 1＝lg[]lg lg()a a 11222222221+-=+-=+为首项，公比为2的等比数列，于是b n n n =+=+-22122211lg()lg()×，代入④式得：a a n n +-22＝()212+n ，解得a n n n=+++-221121122[()]()为所求。
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构造法求数列通项例题分析
型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列
(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a n+1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与
)1(11p
q
a p p q a n n --=--
+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．
例1、已知数列{}n a 满足11
2a =，132
n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=
，得111(1)2n n a a --=--，又11
2
10a -=≠， 所以数列{1}n a -是首项为12，公比为1
2
-的等比数列， ∴1
111
1(1)()
1()2
2
n n n a a -=---=+-．
练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n n a ．
(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++n
n
n n q a p q a q
， 令n
n
n
a b q =
，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解． 例1、已知数列{a n }中，a 1=65，1
111()32
n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=3
2(2 n
a n )+1，令
b n =2 n a n ， 则b n+1=32b n +1，b n+1-3=3
2
（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)3
2
(341+--n ， ∴ a n =n
n 2332+-
． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ． 答案：3
1()222
n
n a n =-．
(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）
例1、已知数列{}n a 满足11=a ，11
212
n n a a n -=+-（2n ≥），求
．
解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--， ∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件，
得11[(1)]212
n n b An B b A n B n ---=---+-，
即11111(2)(1)2222
n n b b A n A B -=++++-，
令
202A +=，1022
A B
+-=，解得A =－4，B=6， 所以11
2n n b b -=，且46n n b a n =-+，
∴{}n b 是以3为首项、以1
2
为公比的等比数列，
故132n n b -=
，故1
3462n
n a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．
练习：在数列{}a n 中，13
2
a =
，1263n n a a n --=-，求通项a n ． 答案：a n n n
-+=69912
·()．
解：由1263n n a a n --=-，得111
(63)22
n n a a n -=+-，
令11
[(1)]2
n n a An B a A n B -++=+-+，
比较系数可得：A =－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又119
2
b a A B ==++，
∴{}n b 是首项为9
2，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n -+=69912
·()．
(4) f(n)为非等差数列，非等比数列 法一、构造等差数列法
例1、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*
+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的
通项公式．
解：由条件可得1
1
1221n n
n n
n n a a λλλλ+++⎛⎫
⎛⎫
-=-+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， ∴数列2n
n n a λλ⎧⎫⎪⎪
⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是首项为0，公差为1的等差数列，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，
∴(1)2n n n a n λ=-+．
练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。
答案a n n n n =
+-1
2
141()()． 解：由条件可得：12(1)(2)(1)
n n
a a n n n n +=++++，
∴数列{
}(1)n a n n +是首项为13
(11)12
a =+×、公差为2的等差数列。
法二、构造等比数列法
例1、⑴在数列}{n a 中，12a =，23a =，2132n n n a a a ++=⋅-⋅，求n a ；
⑵在数列{}n a 中，11a =，22a =，2121
33
n n n a a a ++=+，求n a ．
解：⑴由条件,2312n n n a a a ⋅-⋅=++
∴),(2112n n n n a a a a -=-+++ 故1
212
n n n a a -++-=， 叠加法得：2222(12)
2112
n n n a a --=+=--；
⑵由条件可得2111
()3n n n n a a a a +++-=--（等比数列）， 故n a =1)3
1(4347---n ．
点拨：形如0),(12=++n n n a a a f ，的复合数列，可把复合数列转化为等差或等比数列，再用初等方法求得n a ．
例2、已知数列{}n a 满足11a =，13524n n n a a +=+⨯+，求数列{}n a 的通项公式． 解：设1
12
3(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+，将已知条件代入此式，整理后得
(52)24323n n x y x y +⨯++=⨯+，令52343x x
y y +=⎧⎨+=⎩
，解得52x y =⎧⎨=⎩，
∴有1
152
23(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+，
又1
1522112130a +⨯+=+=≠，
且5220n n a +⨯+≠，故数列{522}n n a +⨯+
是以1
152211213a +⨯+=+=为首项，以3为公比的等比数列，
∴1522133n n n a -+⨯+=⨯，故1133522n n
n a -=⨯-⨯-．。