随机微分方程2种数值方法的稳定性分析_邱妍
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性随机微分方程是描述随机系统行为的数学模型，其在金融、生物学、物理学等领域有着广泛的应用。
分段连续型随机微分方程是一类比较常见的随机微分方程，在数值求解时需要考虑其收敛性和稳定性。
本文将从分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性两个方面进行探讨。
一、分段连续型随机微分方程的数值方法分段连续型随机微分方程是指其漂移系数和扩散系数在不同区间内可以是连续函数，而在不同区间之间可以有跳跃。
对于这样的随机微分方程，常见的数值求解方法有欧拉方法、Milstein方法等。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的随机微分方程数值求解方法之一，其基本形式可以表示为：\[Y_{n+1}=Y_n+a_n(\theta_n-Y_n)Δt+b_nΔW_n \]\(a_n\)是漂移系数，\(b_n\)是扩散系数，\(\theta_n\)是对应的确定性微分方程的解，\(Δt\)为时间步长，\(ΔW_n\)为布朗运动的增量。
二、分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性对于分段连续型随机微分方程的数值求解方法，其收敛性是一个重要的性质。
收敛性是指在网格逼近下，数值解是否能够逼近真实解。
通常来说，数值方法的收敛性可以通过两个方面来进行分析：弱收敛性和强收敛性。
1. 弱收敛性对于分段连续型随机微分方程的数值方法，弱收敛性是指数值解在某种意义下以概率收敛于真实解。
对于欧拉方法和Milstein方法，已经有一些研究证明了它们在一定条件下的弱收敛性。
比如在一维情况下，对于线性随机微分方程，欧拉方法是一阶弱收敛的，而Milstein方法是二阶弱收敛的。
1. 稳定性概念对于随机微分方程的数值方法，稳定性主要涉及到数值解的增长率和真实解的增长率。
如果数值解的增长率随着时间的增长而趋于有界，则该数值方法是稳定的；否则，则是不稳定的。
2. 欧拉方法的稳定性对于欧拉方法来说，其稳定性分析相对简单，通常只需要考虑离散时间步长是否足够小，以保证数值解在有限时间内不会发散。
微分方程中的数值解法稳定性分析
微分方程中的数值解法稳定性分析数值解法是微分方程求解中常用的方法之一。
对于许多复杂的微分方程，往往无法通过解析方法获得精确解，因此需要借助数值方法来进行近似求解。
然而，不同的数值解法存在着不同的稳定性特点，其对解的精确度和稳定性有着重要影响。
本文将对微分方程中常见的数值解法进行稳定性分析。
一、欧拉法欧拉法是最简单直观的数值解法，它采用离散化的方式逼近微分方程的解。
对于一阶常微分方程dy/dt = f(t,y)，欧拉法的迭代格式为：y_i+1 = y_i + h*f(t_i, y_i)其中，h为步长，t_i为离散的时间点。
欧拉法的稳定性分析可以通过线性稳定性分析方法进行。
假设精确解为y(t)，采用欧拉法得到的数值解为y_i，则欧拉法的局部截断误差为O(h^2)，即e_i = O(h^2)。
由此可以推导出欧拉法的增长因子为：g(h) = 1 + hf'(t_i, y_i)当|h*f'(t_i, y_i)| < 1时，欧拉法是稳定的；当|h*f'(t_i, y_i)| > 1时，欧拉法是不稳定的。
因此，欧拉法的稳定性要求步长h不能太大，且f(t, y)的绝对值不能太大。
二、改进的欧拉法（Heun法）改进的欧拉法，也称为Heun法，是对欧拉法的一种改进。
它通过估计两个点处的斜率来提高解的精确度。
Heun法的迭代格式为：k_1 = hf(t_i, y_i)k_2 = hf(t_i + h, y_i + k_1)y_i+1 = y_i + 0.5*(k_1 + k_2)Heun法的稳定性分析类似于欧拉法。
同样地，当|h*f'(t_i, y_i)| < 1时，Heun法是稳定的。
三、Runge-Kutta法Runge-Kutta法是一类常用的数值解法，包括二阶(两步)、四阶(四步)、六阶(六步)等不同阶数的方法。
以四阶Runge-Kutta法为例，其迭代格式为：k1 = hf(t_i, y_i)k2 = hf(t_i + h/2, y_i + 0.5*k1)k3 = hf(t_i + h/2, y_i + 0.5*k2)k4 = hf(t_i + h, y_i + k3)y_i+1 = y_i + (1/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)与欧拉法和Heun法相比，四阶Runge-Kutta法具有更高的精确度和稳定性。
微分方程数值方法中的稳定性分析
微分方程数值方法中的稳定性分析微分方程是描述自然现象和工程问题的重要数学模型，其解析解往往难以求得。
为了得到数值解，人们发展了各种微分方程数值方法。
在应用这些方法时，我们不仅要考虑其精确度和收敛性，还需要关注其稳定性，确保数值解的可靠性和准确性。
稳定性是微分方程数值方法中一个重要的性质，它描述了当初始条件有微小的变化时，数值解的变动情况。
解的稳定性可以保证当初始条件有微小扰动时，数值解不会产生剧烈的变化，从而使得数值结果更加可靠。
在微分方程数值方法中，稳定性通常通过离散化的截断误差来分析。
截断误差是数值解与确切解之间的差异，它由数值方法的近似性质和离散化过程中的舍入误差所决定。
当离散化误差的增长速度受到一定限制时，数值方法被认为是稳定的。
常见的微分方程数值方法中，有一些方法具有稳定性的特点。
例如，欧拉方法是最简单的一种数值方法，它是显式的一阶方法。
当微分方程满足一定的稳定性条件时，欧拉方法是稳定的。
另外，当微分方程是抛物型或拟抛物型时，差分方法具有稳定的特性。
此外，有限差分方法、有限元方法、谱方法等在不同的条件下也可以具有稳定性。
稳定性分析在选择合适的数值方法时起到重要的指导作用。
当我们面临多个数值方法选择时，稳定性可以帮助我们判断哪种方法更适合我们的问题。
当我们的微分方程具有稳定性条件时，我们可以选择稳定的数值方法进行求解，以确保数值结果的准确性。
除了稳定性分析，我们还可以通过数值实验来验证数值方法的稳定性。
通过选取不同的初始条件和参数，及时数值解是否在不同的情况下保持稳定性。
通过这种方法，我们可以更加直观地了解数值方法的稳定性表现，并根据实验结果进行方法的选择和改进。
总结起来，稳定性是微分方程数值方法中不可忽视的一个重要性质。
通过稳定性分析，我们可以选择合适的数值方法来求解微分方程，确保数值结果的可靠性。
与此同时，数值实验也可以作为一种验证方法，来进一步验证所选方法的稳定性。
稳定性分析和验证的有效性可以为微分方程数值方法的应用提供可靠的理论和实践基础。
求解随机微分方程数值方法的稳定性与收敛性
1、For Itoˆ stochastic differential equations, The numerical method and its stability was studied mainly. First, θ-Heun method was obtained by improving the Heun method. Then, according to the definition of the mean square stability and exponential stability of numerical method, the mean square stability condition and the exponential stability condition of the θ-Heun method and its stability regions were gain. What’s more, the range of the θ that makes the stability of θ-Heun method was given, and the numerical validation was performed. Finally, the mean square stability and the asymptotic stability of these two methods were compared by numerical examples.
微分方程数值解方法与稳定性分析
微分方程数值解方法与稳定性分析微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术等领域。
求解微分方程的精确解并非总是可行的，因此需要借助数值方法来逼近方程的解。
本文将介绍微分方程数值解方法以及稳定性分析。
一、欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一，它基于微分方程的定义，通过离散化自变量的步长来逼近解。
假设我们有一个一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，初始条件为y(x0) = y0，我们可以将自变量x离散化为x0, x1, x2, ..., xn，步长为h = (xn - x0)/n。
利用欧拉方法，我们可以得到逼近解y1, y2, ..., yn。
具体而言，我们可以通过迭代公式y_{i+1} = y_i + h*f(x_i, y_i)，其中i = 0,1, ..., n-1，来计算逼近解。
这个迭代过程从初始条件y0开始，一步一步地逼近真实解。
然而，欧拉方法的精度较低，容易积累误差，并且对于某些微分方程可能不稳定。
二、改进的欧拉方法为了提高数值解的精度，可以使用改进的欧拉方法，如改进的欧拉方法和改进的欧拉-Cauchy方法。
改进的欧拉方法是在欧拉方法的基础上，利用两个点的斜率来逼近解。
具体而言，我们可以使用迭代公式y_{i+1} = y_i + h*(f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y_i + h*f(x_i,y_i))/2)，来计算逼近解。
这种方法可以减小误差，并提高数值解的精度。
改进的欧拉-Cauchy方法是在欧拉方法的基础上，利用四个点的斜率来逼近解。
具体而言，我们可以使用迭代公式y_{i+1} = y_i + h*(f(x_i, y_i) + 3*f(x_{i+1}, y_i + h*f(x_i, y_i))/4)，来计算逼近解。
这种方法进一步提高了数值解的精度。
三、龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一类常用的数值解法，包括经典的四阶龙格-库塔方法。
它通过计算多个点的斜率来逼近解，并且具有较高的精度和稳定性。
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性
浅谈分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性随机微分方程是描述概率性系统的数学模型，它是普通微分方程与随机过程的结合。
随机微分方程在很多领域有着重要的应用，如金融工程、生物学、气象学等。
而分段连续型随机微分方程是随机微分方程的一种特殊形式，它的解在时间上是非连续的。
本文将围绕分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性展开讨论。
我们来看数值方法的收敛性。
在数值方法中，我们通常会用离散化的方法来逼近随机微分方程的解。
对于分段连续型随机微分方程，我们可以采用Euler方法、Milstein方法等来进行数值求解。
Euler方法是一种简单而常用的数值方法，它将时间区间等分，然后利用微分方程的近似值来计算下一个时间点的值。
Milstein方法是一种改进的方法，它在Euler方法的基础上增加了一项修正项，从而提高了数值解的精度。
对于分段连续型随机微分方程的数值方法而言，其收敛性是至关重要的。
收敛性意味着当离散化的步长趋于零时，数值解会逼近真实解。
一般来说，我们可以通过理论分析和数值实验来判断数值方法的收敛性。
对于Euler方法而言，当离散化的步长趋于零时，数值解与真实解之间的误差是会逐渐减小的，因此Euler方法是收敛的。
而对于Milstein方法，由于其更高的数值精度，其收敛性也是可以得到保证的。
我们来看数值方法的稳定性。
稳定性是指当系统的初始条件有微小变化时，数值解的变化情况。
对于分段连续型随机微分方程而言，其解在时间上是非连续的，因此其稳定性对于数值方法来说是一个很大的挑战。
一般来说，我们可以通过线性稳定性和非线性稳定性来评判数值方法的稳定性。
线性稳定性是指当系统的初始条件有微小变化时，数值解的变化情况是否受到限制；非线性稳定性是指当系统的初始条件发生较大变化时，数值解的变化情况。
分段连续型随机微分方程是一个重要的数学模型，其在实际应用中有着广泛的用途。
对于分段连续型随机微分方程的数值方法的收敛性和稳定性，我们可以通过理论分析和数值实验来进行评判。
微分方程数值解法的稳定性和收敛性分析
微分方程数值解法的稳定性和收敛性分析微分方程是描述自然界中许多现象和过程的重要数学工具。
在实际问题中，我们常常需要通过数值方法来求解微分方程，以得到近似的解析解。
然而，数值解法的稳定性和收敛性是决定求解效果好坏的关键因素。
一、稳定性分析稳定性是指在微分方程数值解法中，当初始条件有微小变化时，解的计算结果是否也有微小变化。
稳定性的分析是判断数值解法是否能够稳定地求解微分方程的重要方法。
1. 显式数值方法显式数值方法是指数值解法中，每个时间步骤的计算是通过已知的前一时间步骤得到的解来进行的。
例如，常见的显式欧拉法、显式Euler法和显式龙格-库塔法等。
显式数值方法通常具有简单和易于实现的优点，但其稳定性较差。
对于一些具有特殊特征的微分方程，如刚性方程，显式数值方法往往很难保持稳定，甚至会导致数值解的发散。
2. 隐式数值方法隐式数值方法是指数值解法中，每个时间步骤的计算是通过未知的当前时间步骤得到的解来进行的。
隐式方法常常需要求解一个非线性方程，因此计算量较大。
然而，隐式方法通常具有良好的稳定性。
例如，隐式欧拉法、隐式梯形法和隐式龙格-库塔法等都属于隐式数值方法。
这些方法对于刚性方程的求解具有一定的优势，能够更稳定地求得数值解。
3. 李普希茨稳定性除了显式和隐式数值方法外，还有一种稳定性分析方法是通过李普希茨稳定性进行判断。
李普希茨稳定性是指对于微分方程的解和微分方程中的函数，存在一个常数K，使得在给定区间内，解的变化不超过K倍的函数的变化。
具有李普希茨稳定性的数值方法可以保证数值解的稳定性，并且能够更好地控制误差的增长。
二、收敛性分析收敛性是指数值解法中的数值解是否在步长逐渐缩小的情况下趋向于解析解。
收敛性的分析是判断数值解法是否能够得到精确解的重要方法。
1. 局部截断误差局部截断误差是指数值解法中每个时间步长的计算结果与精确解之间的差值。
通过分析局部截断误差的大小，可以判断数值解法的收敛性。
对于显式数值方法，局部截断误差通常跟时间步长成正比。
微分方程的数值解法与稳定性分析
微分方程的数值解法与稳定性分析微分方程是研究自然现象和物理问题的重要数学工具。
在实际问题中，许多微分方程往往难以解析求解，因此需要借助计算机进行数值求解。
本文将介绍微分方程的数值解法以及稳定性分析。
一、欧拉法欧拉法是最简单、最基础的数值解法之一。
基本思想是将微分方程中的导数用差商逼近，得到差分方程，再求解差分方程以获得离散的数值解。
考虑一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，将自变量 x 分割为若干小区间，步长为 h。
欧拉法的迭代公式为 y_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i)，其中 y_i 和 x_i 是第 i 个点的数值解和自变量值。
欧拉法的简单易懂，但存在局限性。
当步长过大时，数值解的稳定性较差，可能出现数值误差增大、解发散等问题。
二、改进的欧拉法（改进欧拉法）为克服欧拉法的局限性，改进的欧拉法在迭代过程中增加了更高阶的差商项，提高了数值解的精度和稳定性。
举例说明，考虑一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，改进的欧拉法的迭代公式为 y_{i+1} = y_i + h * (f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y_i + h * f(x_i, y_i))) / 2。
改进的欧拉法相比于欧拉法具有更好的数值稳定性和精度，但复杂度略高。
三、龙格-库塔法（RK方法）龙格-库塔法是一类常用的高精度数值解法，其思想是通过多个对函数 f(x, y) 的估计来提高数值解的准确性。
最常见的四阶龙格-库塔法（RK4）是利用四个不同的斜率估计来计算数值解。
其迭代公式为：k_1 = h * f(x_i, y_i)k_2 = h * f(x_i + h/2, y_i + k_1/2)k_3 = h * f(x_i + h/2, y_i + k_2/2)k_4 = h * f(x_i + h, y_i + k_3)y_{i+1} = y_i + (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) / 6龙格-库塔法具有较高的精度和数值稳定性，适用于各种类型的微分方程。
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－ ｇ（ Ｘｎ－
!ｈ） ］ ［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］
ｎ ＝ ０， １， …；
! ＝ １， ２， …
（ ６）
２ 均方稳定性
根据式（ ２） 的理论解 Ｘ（ ｔ） ＝ ｅｘｐ［ （ " － １ μ２） ｔ ＋ μ!Ｗ（ ｔ） ］ ， 得如下命题： ２
命题 １［３－４］ Ｘ（ ｔ） 均方稳定， 即ｌｉｍ Ｅ（ Ｘ（ ｔ） ２） ＝ ０ 的充要条件是 ｒ（ "） ＋ １ μ ２ ＜ ０， 式中， ｒ（ "） 为 " 的实部．
ｎ ＝ ０， １， …
（ ９）
式中， Ｙｎ 为不依赖于 Ｘｎ 的随机变量． 数值方法的绝对稳定域 Ｄ ＝ ｛!ｈ｜ｒ（ !） ＜０， 且｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＜ １｝．
定义 １［５］ 若数值方法的绝对稳定域包含整个左半平面， 即 ｒ（ !） ＜ ０ #｜Ｇ（ !ｈ） ｜＜１， 则称数值方法是 Ａ! 稳
定的．
３．１ 向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的 Ａ! 稳定性
将数值方法式（ ５） 应用到式（ ３） 得： （ １ － !ｈ） Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ "#Ｗｎ． 根据式（ ９） 有 Ｇ（ !ｈ） ＝ （ １ － !ｈ） －１， 其中 ! ＝ " ＋ ｉ #， 由定义 １ 可得
｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＝ ｜（ １ － !ｈ） －１｜ ＜ １#（ １ － "ｈ） ２ ＋ （ #ｈ） ２ ＞ １
ｐ） －１
２
＝ （ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ２
故向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法均方稳定的充要条件是（ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ＜ １， 即（ １ ＋ ｑ２ ） ２ － ２（ １ － ｐ） ２ ＋１＜ ０ ； 相应的 ２
& $ 均方稳定域 Ｓ ＝
域 Ｓ ＝ "（ ｐ， ｑ） ∶Ｒ（ ｐ， ｑ） ＜ １ #．
２．１ 向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的均方稳定性
将数值方法式（ ５） 应用于式（ ２） 得如下差分方程：
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ "ｈＸｎ＋１ ＋ μ!Ｗｎ Ｘｎ ＋
１ ２
μ２Ｘｎ （ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ）
（ ７）
整理得
" $ Ｘｎ＋１ ＝
第 ２１ 卷第 ４ 期 ２００７ 年 １２ 月
河海大学常州分校学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＯＨＡＩ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＣＨＡＮＧＺＨＯＵ
Ｖｏ１．２１ Ｎｏ．４ Ｄｅｃ． ２００７
文章编号： １００９－ １１３０（ ２００７） ０４－ ００３５－ ０４
随机微分方程 ２ 种数值方法的稳定性分析
邱 妍， 朱永忠
ｔ→∞
定的． 这是因为 ｈ ＝ １ 时， ｐ ＝ !ｈ ＝ － ２， ｑ ＝ μ$ ｈ ＝ １， （ １ ＋ ｐ） ２ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ／ ２ ＝ １ ＋１ ＋ １ ＝ ５ ＞ １， 不满足
２２ 均方稳定的充要条件； 而当 ｈ＝１ ／ ２ 时， ｐ ＝ !ｈ ＝ － １，
｜Ｇ（ !ｈ） ｜ ＝ ｜（ １ ＋ !ｈ） ｜ ＜ １#（ １ ＋ "ｈ） ２ ＋ （ #ｈ） ２ ＜ １
因此有限差分法的绝对稳定域是以 １ ＋ ｉ０ 为圆心， 以 １ 为半径的圆的内部区域， 但不是 Ａ! 稳定的．
４ 仿真实例
在试验方程式（ ２） 中取 ! ＝ － ２， $ ＝ １， 得：
!ｄＸ（ ｔ） ＝ － ２Ｘｄｔ ＋ ＸｄＷ（ ｔ）
（ ｐ， ｑ） ∶（ １ ＋ ｑ２ ＋ １ ｑ４） （ １ － ｐ） －２ ＜ １ ２
．
２．２ 有限差分法的均方稳定性
将数值方法式（ ６） 应用于式（ ２） 可得如下差分格式：
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ "ｈＸｎ ＋ μＸｎ!Ｗｎ ＋
１ ２
μ２Ｘｎ ［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］
（ ８）
整理后得
Ｘｎ＋１ ＝ ｛１ ＋ "ｈ ＋ μ!Ｗｎ ＋
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ ｆ（ Ｘｎ＋１） ｈ ＋ ｇ（ Ｘｎ） !Ｗｎ ＋
１ ２
［ ｇ＇ ｇ］ （ Ｘｎ ） ［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］ ，
ｎ ＝ ０， １， …
（ ５）
ｂ． 有限差分法， 其表达式为
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ ｆ（ Ｘｎ） ｈ ＋ ｇ（ Ｘｎ） !Ｗｎ ＋
１ ４!ｈ
ｇ（ Ｘｎ ） ［ ｇ（ Ｘｎ＋ !ｈ）
（ １０）
Ｘ（ ０） ＝ １ ｔ∈［ ０， １］
! " 在初始条件下式（ １０） 的精确解为 Ｘ（ ｔ） ＝ ｅｘｐ
－
５ ２
ｔ ＋ Ｗ（ ｔ）
．
因为 ｒ（ !） ＋
１ ２
$ ２ ＝ － ２ ＋ １ ＝ － ３ ＜ ０， 所以由 ２２
命题 １ 可知 Ｘ（ ｔ） 是均方稳定的．
为数值模拟精确解， 取步长 ｈ ＝ ２－８， ｔ∈［ ０， １］ ， 在 ＭａｔＬａｂ 中分别做出精确解曲线和 ２ 种数值方法的仿真曲
３７
因此有限差分法均方稳定的充要条件是（ １ ＋ ｐ） ２ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ＜ １， 相应的均方稳定域为 ２
! " Ｓ ＝ （ ｐ ＋ ｑ） ∶（ １ ＋ ｐ） ２ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ＜ １ ２
３ Ａ! 稳定性
将数值方法应用于式（ ３） 可得如下递归式：
Ｘｎ＋１ ＝ Ｇ（ !ｈ） Ｘｎ ＋ Ｙｎ
１ ２
μ２［ （ !Ｗｎ） ２ －
ｈ］ ｝Ｘｎ
采样同样的方法可得有限差分法的均方稳定函数
’ ( Ｒ（ ｐ， ｑ） ＝ Ｅ
［１
＋ｐ
＋ ｑＨｎ ＋
１ ２
ｑ２（ Ｈ２ｎ －
１） ］
２
＝ （ １ ＋ ｐ） ２ ＋ ｑ２ ＋ ｑ４ ２
第 ２１ 卷第 ４ 期
邱 妍， 等 随机微分方程 ２ 种数值方法的稳定性分析
ｔ→∞
２
当参数 " 和 μ满足命题 １ 时， 关心的问题是 ｈ 取何值时， 数值方法是稳定的， 即模拟意义上的均方稳定．
为此将数值方法应用于式（ ２） ， 得递归式 Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ＋ ｙ（ "， μ， ｈ， !Ｗｎ） Ｘｎ． 命题 ２［３－４］ 数值方法均方稳定的充要条件是均方稳定函数 Ｒ（ ｐ， ｑ） ＝ Ｅ ｙ（ "， μ， ｈ， !Ｗｎ） ２ ＜ １， 且其稳定
ｐ） － １ Ｘｎ
等式两端同时平方后取期望得
& $ Ｅ（ Ｘｎ＋１ ２） ＝ Ｅ
［ １ ＋ ｑＨｎ ＋
１ ２
ｑ２（ Ｈｎ２ － １） ］ （ １ －
ｐ） －１
２
Ｅ（
Ｘｎ
２）
根据递归式和命题 ２ 可知稳定函数
& $ Ｒ（ ｐ， ｑ） ＝ Ｅ
［ １ ＋ ｑＨｎ ＋
１ ２
ｑ２（ Ｈｎ２ － １） ］ （ １ －
为讨论 ２ 种数值方法的均方稳定性和 Ａ! 稳定性， 给出式（ １） 的 ２ 类试验方程， 即
ｄＸ（ ｔ） ＝ !Ｘ（ ｔ） ｄｔ ＋ "Ｘ（ ｔ） ｄＷ（ ｔ）
（ ２）
ｄＸ（ ｔ） ＝ !Ｘ（ ｔ） ｄｔ ＋ #ｄＷ（ ｔ）
（ ３）
式中： !， "， # 是常系数．
对于求解随机微分方程的数值方法， １９７４ 年， Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 给出了以下差分格式［２］：
Ｘｎ＋１ ＝ Ｘｎ ＋ ｆ（ Ｘｎ） ｈ ＋ ｇ（ Ｘｎ） "Ｗｎ ＋
１ ２
［ ｇ′ｇ］ （ Ｘｎ ） ［ （ "Ｗｎ） ２ －
ｈ］
ｎ ＝ ０， １， …
（ ４）
并 证 明 了 该 方 法 在 均 方 意 义 下 的 收 敛 阶 为 Ｏ（ ｈ） ． 本 文 在 此 基 础 上 给 出 了 ２ 种 数 值 方 法 ： 第 １ 种 为 向
均方稳定理论的正确性．
关键词： 随机微分方程； 均方稳定； Ａ! 稳定； 向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法； 有限差分法
中图分类号： Ｏ２４１．８
文献标识码： Ａ
随机微分方程是针对物理、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型， 其理论研究和实际应用均取 得了丰富而又成熟的成果． 但在多数情况下随机微分方程与常微分方程类似， 其解析解不易求出， 因此， 构 造有效的数值方法进行数值求解显得十分重要． 近 ２０ 年来， 随机微分方程数值计算方法不仅作为随机分 析、微分方程数值分析的交叉研究方向得到了高度重视和发展， 而 且在自然科 学以及工程 领域得 到 了 广 泛 的应用， 但随机变量的存在给数值方法的构造和各种性质的研究带来了一定的难度． 本文中作者在 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法的基础上建立有限差分格式， 讨论了向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法［１］和有限差分法的均方稳定性和 Ａ! 稳定性．
（ 河海大学 理学院， 江苏 南京 ２１００９８）
摘要： 给出了求解随机微分方程的 ２ 种数值方法： 有限差分法和向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法， 基于随机微分方 程的试验方程分
析讨论了 ２ 种数值方法的均方稳定性和 Ａ! 稳定性， 得到了相应的稳定性条件和稳定域． 最后应用 ＭａｔＬａｂ 进行模拟
演示， 模拟演示结果表明， 有限差分法和向后 Ｍｉｌｓｔｅｉｎ 法都全局一阶强收敛于随机微分方程的求解过程， 并且验证了
ａｐｐｒ ｏｘｉｍａｔｉｏｎ
图 ２ 精确解与有限差分法近似解 Ｆｉｇ． ２ Ｔｒ ｕｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ａ ｆｉｎｉｔｅ
ｄｉｆｆｅｒ ｅｎｃｅ ａｐｐｒ ｏｘｉｍａｔｉｏｎ
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河海大学常州分校学报
２００７ 年 １２ 月
差分法的最大误差为 ０．００２， 平均误差为 ９．３４×１０－４．
选取 ｔ∈［ ０， ２０］ ， ｈ ＝ １， １ ／ ２， １ ／ ４， 对有限差分
１＋
μ!Ｗｎ
＋
１ ２
μ２［ （ !Ｗｎ） ２ －