2016上海大同杯数学竞赛试题
2016年上海市第三十届初中物理竞赛(大同杯)初赛试卷-详解
上海市第三十届初中物理竞赛(大同中学杯)初赛试卷(兼区县物理竞赛试卷)2016年3月13日上午9：00~10：30说明：1、本试卷共分两部分，第一部分为单项选择题，每题3分，共30题，计90分：第二部分为多项选择题，每题5分，全对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分，共12题，计60分。
全卷满分150分。
2、考试时间为90分钟。
3、考生使用答题纸(卡)，把每题的正确选项填在答题纸(卡)相应位置。
允许使用计算器，考试完毕后，请将试卷、答题纸(卡)一并交给监考人员。
4、常数g=10N/kg。
sin37°=0.6；cos37°=0.8第一部分：单项选择题1．下列用电器中，利用电流热效应工作的是( )(A)电视机(B)电热毯(C)电风扇(D)电脑【答案】B2．目前，很多汽车的驾驶室里都有一个叫做GPS(全球卫星定位系统)接收器的装置。
GPS 接收器通过接收卫星发射的导航信号，实现对车辆的精确定位并导航。
卫星向GPS接收器传送信息依靠的是( )(A)无线电波(B)红外线(C)紫外线(D)激光【答案】A3．在如图所示的四种现象中，可用光的反射定律解释的是( )(A)林中光影(B)日食(C)雨后彩虹(D)水中倒影【答案】D4．甲、乙两个物体相互接触后不发生热传递，这是因为它们具有相同的( )(A)密度(B)温度(C)体积(D)热量【答案】B5．如图所示，水平桌面上叠放着甲、乙两个物体，在拉力F的作用下，乙、甲以相同的速度沿桌面向右做匀速直线运动，在不考虑空气阻力的情况下，乙物体受到的作用力的个数有( )(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个【答案】5【分析】匀速运动甲乙之间不存在摩擦，只有甲对乙的压力。
6．如图所示，两板间夹一木块A，向左右两板施加压力F时，木块A静止，若将压力都增大到2F，则木块A所受的摩擦力( )(A)是原来的2倍(B)是原来的4倍(C)与原来相同(D)无法判断【答案】C【分析】竖直方向，物体受重力和静摩擦力，始终而力平衡。
2005上海大同杯(原宇振杯)数学竞赛试题
10．设 P 为质数，且使关于 x 的方程 x2－px－580p=0 有两个整数根， 则 p 的值为 解答：29 。
二、 （本题 20 分） 已知矩形 ABCD 的相邻两边长为 a、b，是否存在另一个矩形 A’B’C’D’，使它
1 的周长和面积分别是矩形 ABCD 的周长和面积的 ？证明你的结认论。 3
1 化为十进制有限小数的 (3n 32)(4n 1)
解：6，31 4n+1 是奇数 所以它必须是 5 的次方 4n+1=5，25，125，625…… 验证有而且只有 n=6 ，31 满足条件 2．将数码 1，2，3，4，5，6，7，8，9 按某种次序写成一个九位数：
abcdefghi , 令A abc bcd cde def efg fgh ghi ，则 A 的最大可能值是
。 解：假设前 9 个数字是 a、b、c、d、e、f、g、h、i；那么在所有连续三位数 相加的等式中 a 出现 1 次，b 出现 2 次，c 出现 3 次…g 出现 3 次，h 出现 2 次， i 出现 1 次；那么要使值最大，那么数字最小的数字尽可能的出现的次数少，所 有 1、2 被安排在最后，2 在倒数第 2 个数字，1 在最后一个数字，其次是 3、4， 4 在第 2 个数字，3 在第 1 个数字；那么其他的数字均出现了 3 次，分别在百位、 十位、个位出现一次，相加的值为： 100×（5+6+7+8+9）+10×（5+6+7+8+9）+5+6+7+8+9， =100×35+10×35+35，
=（100+10+1）×35， =3885； 最大值为： 3885+3×100+4×100+4×10+2×10+2+1， =3885+300+400+40+20+3， =4648． 答：最大可能的值是 4648． 故答案为：4648．
上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)
上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)BCO 1O 2PA倍，则这三个素数为________．解答：设这三个素数为,,a b c 。
则有23()abc a b c =++。
因为23是素数，从23()abc a b c =++，可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。
从而可以得到其中有一个素数必为23。
假设23a = 这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++⇒--+=⇒--==⨯=⨯因为,b c 为素数，所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。
5. 如图，圆1O 与圆 2O 外切于点P ，从圆1O 上点A作圆2O 的切线AB ， B 是切点，连接AP 并延长，与圆2O 交于点C ．已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1，则ACAB=________．解答：做如图所示的辅助线。
可以得到21211//2CO PC AO CO PA AO ⇒==为此设PC k=，则2.PA k = 应用切割线定理有：223.AB AP AC k k AB=⋅=⨯⇒=所以AC AB ==。
A 'B AM NPQ6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON的两边分别是射线 y x (x0)与x 轴正 半轴．点A (6,5)，B (10,2)是MON内的两个定点，点P 、Q 分别是MON两边上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________．解答：本题主要就是应用对称。
应为四边形ABQP ，其中一个边AB 为定值。
要求四边形 ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。
从对称可以得到/(5,6)A ,/(10,2)B -.四边形另外三边的最小值为//A B依据两点间距离公式有 。
//22(105)(26)89A B=----=22(105)(25)34AB =---=8934+。
上海市第22届大同杯复赛试题及答案
第二十二届上海市初中物理竞赛 复赛说明：1．本试卷共有五大题，答题时间为120分钟，试题满分为150分。
2．答案及解答过程均写在答卷纸上。
其中第一、第二大题只要写出答案，不写解答过程；第三至第五大题按题型要求写出完整的解答过程。
解答过程中可以使用计算器。
3．考试完毕只交答卷纸，试卷可以带回。
4．本试卷中常数g 取10 N/kg ，水的比热容4.2⨯103 J/kg ︒C ，水的密度1.0⨯103 kg/m 3，冰的密度0.9⨯103 kg/m 3。
一、选择题（以下每题只有一个选项符合题意，每小题4分，共32分） 1．根据你的日常生活经验，你认为雪的密度（ ）（A ）大于103 kg/m 3 （B ）小于103 kg/m 3（C ）等于103 kg/m 3 （D ）以上三种情况都有可能2．彩色电视荧光屏上呈现各种颜色，都是由3种基本色光合成的，这3种基本色光是（）（A ）红、橙、黄 （B ）黄、绿、蓝 （C ）橙、靛、紫（D ）绿、红、蓝3．如图所示，斜面上质量为m 的物体受到方向沿斜面向上、大小为7 N 的力F 作用物体静止在斜面上，则关于斜面对物体的静摩擦力，以下说法中正确的是（）（A ）方向一定沿斜面向上 （B ）方向一定沿斜面向下 （C ）大小不可能大于7 N （D ）大小可能等于7 N4．如果不考虑散热的影响，给一定质量的水加热，水的温度与时间的关系如图中实线a 所示，其他条件不变，仅将水的质量增加，则水的温度与时间的关系图像正确的是（）（A ）a（B ）b（C ）c（D ）d5．在大楼电梯的箱顶上用绳悬挂一个物体，电梯静止时剪断悬绳，物体下落至电梯底板所需时间为t 1，电梯在匀速下降过程中，剪断悬绳，物体下落至电梯底板所需时间为t 2，则（） （A ）t 1大于t 2（B ）t 1小于t 2（C ）t 1等于t 2 （D ）无法判断6．白炽灯泡用旧后，灯丝容易在最细处熔断。
这是因为旧白炽灯在工作时，灯丝最细处（） （A ）通过的电流最大 （B ）发热的功率最大 （C ）通过的电量最大（D ）电阻率最大7．如图a 所示，在一个电阻均匀的金属圆环上有两A 、B 、C 、D 四点。
2016年第30届大同杯初赛试卷及答案
“ .在 同一 平面上的
'C、
BD两 杆 ,分 别 以相 同的转动周期绕 Z、 B
两轴顺时针匀速转动 ,当 两杆转动到如 图所示 的位置时 ,￡ AB=ZDB/
=6O° ,此 时两杆交点 M的 速度为 叻。若 BD杆 变为逆时针匀速转动 ,不
改变两杆 的转动 周期 ,当 两杆恰好也转动 到如 图所示 的位置时 ,两 杆交 ) 点 M的 速度为 呦。则关于 叻 关系的判断正确的是 (
第 一部分 :单 项选择题
1.下 列用 电器 中 ,利 用 电流热效应 I作 的是 ( (A)电 视机 (C)电 (B)电 热毯
)
风扇
(D)电 脑
) 接收器传送信息依靠的是 ( (A)无 线电波 (B)红 外线
2.目 前 ,很 多汽车 的驾驶室里都有一 个叫做 GPs(全 球卫星定位 系统 )接 收器的装 卫星 向 GPS GPs接 收器通过接收卫星发射 的导航信号 ,实 现对车辆 的精确定位并导航 。 置。
上海市第三十届初中物理竟赛初赛试卷 第 2页 共 8页
,
10.白 炽灯泡的灯丝断开后 ,可 把断头搭接起来使用 ,这 时灯丝的 (A)电 阻变小 ,电 流强度变大 (B)电 阻变大 ,电 流强度变小 (C)电 阻和电流强度都变大 (D)电 阻和电流强度都变小
(
11.荷 兰人华伦海特引入 了华氏温度 。规定水凝固时的温度为 32华 氏度 ,标 准天气 压下水沸腾的温度为 212华 氏度 ,中 间分为 180等 份 ,每 一等份代表 1华 氏度 。今年 1月 ) 10摄 氏度 ,换 算成华氏温度为 ( 份上海出现了近几年罕见的低温 ,最 低温度接近ˉ
心 为 o。
14.如 图所示 ,一 柬粒子沿水平方向飞过小磁针的下方 ,此 时小磁 ) 针的 N极 向纸内偏转 ,这 一束粒子可能是 (
上海市大同中学2016届高三上学期10月考试数学试题
2016届大同中学高三数学10月考试试题 2015年10月9日班级 姓名 学号 成绩一、填空题（本大题满分56分） 本大题共有14题，将结果直接填写在答题纸相应的空格内1.集合2{(,)|,},{(,)|,}A x y y x x R B x y y x x R ==∈==∈，则A B ={}（0,0）,(1,1).2. 已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题．给出下列四个命题：① M 的元素不都是P 的元素； ② M 的元素都不是P 的元素；③ M 中有P 的元素； ④ 存在M x ∈，使得P x ∉.其中真命题的序号是 ① ， ④ ．（将正确命题的序号都填上）3. 已知x y 、均是正实数，且21x y +=，则11x y+的最小值是 322+ ． 4. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有0、1、2 ， 则实数b 的取值范围为24b <<．5. 已知函数23()log log 2(,f x a x b x a b =-+为实常数），且1()42015f =,则(2015)f 的值为 0 ．6．函数y =3-|x -1|-m 的图象与x 轴有交点时，m 的取值范围是 (]0,1 .7．对于定义在R 上的函数f （x ），若实数x 0满足f （x 0）=x 0，则称x 0是函数f （xf (x )=x 2+ax +1没有不动点，则实数a 的取值范围是 ()1,3- ．8. 对于在区间],[b a 上有意义的两个函数)(x f 和)(x g ，如果对任意],[b a x ∈，均有|()()|1f x g x -<,那么我们称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是接近的．若2()log (1)f x kx =+与x x g 2log )(=在闭区间]2,1[上是接近的，则实数k 的一个可能值是 （0，1） 中的值 ．9.若椭圆两焦点为12(4,0),(4,0)F F -点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是221259x y += ． 10.设正数数列{a n }前n 项和为S n ，且对所有自然数n 12n n a S +=，则S n = 2n ． 11. （理） 已知函数3()f x x x =+，关于x 的不等式(2)()0f mx f x -+<在区间[1,2]上有解，则实数m 的取值范围为 1m < ．（文）已知函数()()12,2++=-=ax x x g a x x f （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图像，在y轴上的截距相等，则a 的值为 1 ．12.（理）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 262n n -+ ． （文）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = 9513.(理） 集合A ={ t | t Z ∈, 且关于x 的不等式22x x t ≤--至少有一个负数解 },则集合A 中的元素之和等于 2- ．（文）已知136)(2+--=x x x x f ，且定义域为[]1,0，则函数()f x 的最小值为 -4 14. （理）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a +b 、a -b ， ab 、a b∈P （除数b ≠0），则称PQ 是数域；数集{},F a b Q =+∈也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④ ③④ ．（把你认为正确的命题的序号填填上） （文）若)0)(4sin()4sin()(≠-++=ab x b x a x f ππ是偶函数, 则有序实数对),(b a 可以是_ ()()()()1,1,1,1,3,30a b ---+=等等满足即可．(注: 写出你认为正确的一组数字即可) 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，在答题纸上将代表正确答案的小方格涂黑2215.,x y R x y x y ∈>>若，则“”是“”的 ( D )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 设()11x f x x+=-，记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则()2015f x = ( C ) A ．1x - B ．x C ．11x x -+ D ．11x x+- 17. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(0)1f =，则(2016)f 的值为 ( B )A ．0B ．1C ．2015D ．201618. 不等式222xy ax y ≤+ 对任意[]1,2x ∈及[]2,3y ∈恒成立，则实数a 的范围是 ( C ) A. 3519a -≤≤- B.3a ≥- C.1a ≥- D.31a -≤≤-三、解答题（本大题满分74分） 本大题共有5题，须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤19. （本题满分12分）已知向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的最大值及相应的x 的值；（2）若8()5f θ=，求πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 解：（1）22()1sin 2sin cos 1sin 2cos2f x x x x x x =++-=+-π214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，当ππ22π42x k -=+，即3ππ8x k =+（k ∈Z ）时，()f x1； （2）由()1sin 2cos2f θθθ=+-及8()5f θ=得3sin 2cos25θθ-=，两边平方得 91sin 425θ-=，即16sin 425θ=． 因此，ππ16cos22cos 4sin 44225θθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20. （本题满分12分）关于x 的不等式 31()x Z x>∈的解集为A ，关于x 的方程220()x mx m R -+=∈ 的解集为B . （1）求集合A ；（2）若 B A B =，求实数m 的取值范围.解：（1）A ={1,2} (2) BA B = 即B ⊆A.集合A={1，2}的子集有φ、{1}、{2}、{1，2}. 当B φ=时，280m ∆=-<，解得22m 22<<-.当B ={1}或{2}时，2280,80,120,4220.m m m m ⎧⎧∆=-=∆=-=⎨⎨-+=-+=⎩⎩或，则m 无解. 当B ={1，2}时，280,12, 3.3.12 2.m m m m m m ⎧∆=->⎧<->⎪⎪+=⇒⇒=⎨⎨=⎪⎩⎪⨯=⎩ 综上所述，实数m的取值范围是m -<<m =3.21. （本题满分14分） 过点),0(a A 作直线交圆M ：1)2(22=+-y x 于点B C 、，（理）在BC 上取一点P ，使P 点满足：AC AB λ=,)(,R PC BP ∈=λλ（文）在线段BC 取一点P ，使点B P C 、、的横坐标的倒数成等差数列（1）求点P 的轨迹方程；（2）若（1）的轨迹交圆M 于点R S 、，求MRS ∆面积的最大值.解：（1）（理）令),(y x P ，因为AC AB λ=,)(,R PC BP ∈=λλ所以)(,x x x x x x C B C B -=-=λλCB C B C B C B x x x x x x x x x x x +=∴=--∴2, ① 设过A 所作的直线方程为a kx y +=，（显然k 存在）又由22(2)1y kx ax y =+⎧⎨-+=⎩得222(1)(24)30k x ak x a ++-++= 222423,11B C B C ak a x x x x k k -+∴+==++ 代入①，得2323,22a a k x y kx a ak ak++=∴=+=-- 消去k ，得所求轨迹为230x ay --=，（在圆M 内部）（文）令),(y x P ，因为点B 、P 、C 的横坐标的倒数成等差数列所以 2211B c B c B cx x x x x x x x =+⇒=+ （以下同理） （2）上述轨迹过为定点（3,02）的直线在圆M 内部分，由22230(2)1x ay x y --=⎧⎨-+=⎩得22(4)230a y ay +--=则12||y y -==1122MRS S ∴=⨯⨯== 令23t a =+，则3t ≥，而函数1()f t t t =+在3t ≥时递增，4MRS S ∴≤=max |MRS S ∴= ，此时0,3==a t . 22. （本题满分18分）函数()y f x =的定义域{|,0}D x x R x =∈≠且，对定义域D 内任意两个实数12,x x ，都有1212()()()f x f x f x x +=成立.（1）求(1)f -的值并证明()y f x =为偶函数；（2） 若(4)4f -=，记 (1)(2)(,1)n n n a f n N n =-⋅∈≥，求数列{}n a 的前2015项的和2015S ；（3）（理） 若1()0x f x ><时,，且不等式)()()(22a f xy f y x f +≤+对任意正实数,x y 恒成立，求非零实数a 的取值范围.（文）若1()0x f x ><时,，解关于x 的不等式 (3)0f x -≥.（1）赋值得(1)(1)0f f =-=，()(1)()()f x f f x f x -=-+=为偶函数（2） (4)4f -=得(2)2f =，1(2)(2)(2)n n f f f -=+；(2)2n f n =2(1)n n a n =⋅-，20152016S =-（3）设 101,1x x <<>则，10(1)()()f f x f x ==+，得()0(01)f x x ><<（理）)()()(22a f xy f y x f +≤+得0f ≤⇔1≥||a ≤,≥，从而0||a <≤.（文）(3)0f x -≥⇔0|3|1x <-≤⇔233<x 4x ≤<≤或 .23. （本题满分18分） 第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知二次函数2()f x x x =+的定义域D 恰是不等式 ()()2||f x f x x -+≤的解集,其值域为A . 函数 31()32g x x tx t =-+ 的定义域为 [0,1] ，值域为B .（1） 求f (x ) 的定义域D 和值域 A ；（2）（理） 试用函数单调性的定义解决下列问题：若存在实数0(0,1)x ∈，使得函数 31()32g x x tx t =-+在0[0,]x 上单调递减，在0[,1]x 上单调递增，求实数t 的取值范围并用t 表示0x .（3）（理） 是否存在实数t ，使得A ⊆ B 成立？若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）（文） 是否存在负实数t ，使得A ⊆ B 成立？若存在，求负实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.（3）（文） 若函数31()32g x x tx t =-+ 在定义域 [0,1]上单调递减，求实数t 的取值范围. 解：（1）定义域D =[－1,1] 值域 A=1[,2]4-（2）（理）在0[0,]x 上任取12,x x ，且12x x <，则12()()g x g x >，得1222123t x x x x >++，得0233t x ≥ ； 同理 由在0[,1]x 上单调递增得0233t x ≤ ；所以 00233,t x x ==.由0(0,1)x ∈得(0,1)t ∈ （3）（理） 由（2）的单调性分析同理可得 t 的不同取值，函数g(x)的单调性① 当 t ≤0时，函数 g (x ) = x 3－3tx + t 2 在 x ∈[0,1]单调递增，∴B = [t 2 ,t 251-]， ∴15121,2422t t t ≤-≤-≤-且解得， ② 当 0 < t < 1 时，函数 g (x )的减区间为：],0[t ；g (x )的增区间为：[t ,1].g (x )在 x = t 达到最小值.1(0)2(1)24g g g ≥≥≤-或；且 此与0 < t < 1矛盾. ③ 当t ≥1时，函数 g (x ) 在区间 [0,1]单调递减， ∴B = [2,251t t -] ∴51214224t t t ≥-≤-≥且，即 综上所述：t 的取值范围是：),4[]21,(+∞⋃--∞. （2）（文） 即（3）（理） ① 得 12t ≤-. （3）（文） 类比 （2）（理） 得1t ≥ .。
2016年上海市第三十届初中物理竞赛(大同杯)初赛试卷及答案
上海市第三十届初中物理竞赛(大同中学杯)初赛试卷(兼区县物理竞赛试卷)2016年3月31日上午9：00~10：30说明：1、本试卷共分两部分，第一部分为单项选择题，每题3分，共30题，计90分：第二部分为多项选择题，每题5分，全对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分，共12题，计60分。
全卷满分150分。
2、考试时间为90分钟。
3、考生使用答题纸(卡)，把每题的正确选项填在答题纸(卡)相应位置。
允许使用计算器，考试完毕后，请将试卷、答题纸(卡)一并交给监考人员。
4、常数g=10N/kg。
sin37°=0.6；cos37°=0.8第一部分：单项选择题1．下列用电器中，利用电流热效应工作的是()(A)电视机(B)电热毯(C)电风扇(D)电脑【答案】B2．目前，很多汽车的驾驶室里都有一个叫做GPS(全球卫星定位系统)接收器的装置。
GPS接收器通过接收卫星发射的导航信号，实现对车辆的精确定位并导航。
卫星向GPS接收器传送信息依靠的是()(A)无线电波(B)红外线(C)紫外线(D)激光【答案】A3．在如图所示的四种现象中，可用光的反射定律解释的是()(A)林中光影(B)日食(C)雨后彩虹(D)水中倒影【答案】D4．甲、乙两个物体相互接触后不发生热传递，这是因为它们具有相同的()(A)密度(B)温度(C)体积(D)热量【答案】B5．如图所示，水平桌面上叠放着甲、乙两个物体，在拉力F的作用下，乙、甲以相同的速度沿桌面向右做匀速直线运动，在不考虑空气阻力的情况下，乙物体受到的作用力的个数有()(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个【答案】5【分析】匀速运动甲乙之间不存在摩擦，只有甲对乙的压力。
6．如图所示，两板间夹一木块A，向左右两板施加压力F时，木块A静止，若将压力都增大到2F，则木块A所受的摩擦力()(A)是原来的2倍(B)是原来的4倍(C)与原来相同(D)无法判断【答案】C【分析】竖直方向，物体受重力和静摩擦力，始终而力平衡。
2017年上海初三数学竞赛(大同中学杯)静安区选拔试题(附答案详解)
2017年上海初三数学竞赛(大同中学杯)静安区选拔赛解答本试卷可以使用科学计算器 一、填空题(每题10分，共80分)1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为2＜x ＜4，则ab 的值是 ． 2．已知实数x 、y 、z 满足x ＋y ＝2，364z xy y +=--，则x ＋2y ＋3z ＝ ． 3．若a 2＋b 2＝4＝ ．4．设a 、b 都是实数，函数f (x )＝ax 2＋b (x ＋1)－2．若对任意实数b ，方程ax 2＋b (x ＋1)－2＝x 有两个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ． 5．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且∠D ＝90°．设CD 上有一点E ，使得AE ＝BE ，且△AED 与△CEB 相似但不全等．已知2017CD AB =，则BCAD的值为 ． 6．若x 、y 都是正数，且79xy x y ++=，则22x y xy -+的最大值为 ． 7．有一个六位数，它的数码和可被26整除．这个六位数加1，所得的数的数码之和也可被26整除.则满足上述条件的最小的六位数是 ．8．如图，点B 、C 在以AD 为直径的半圆上，且C 是弧BD 的中点，AC 与BD 交于点P ．若BP ＝4，CD ，则AB ＝ ．二、解答题(第9、10题，每题15分；第11、12题每题20分，共70分) 9．设a 、b 、c 、d 为四个不同的实数，若a 、b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的解，c 、d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的解．求a ＋b ＋c ＋d 的值．(第8题图)10．求所有的素数对(p，q)，使得p2＋10pq＋9q2为完全平方数？11．已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，DA，CB的延长线交于点Q．过点P作PE⊥BC，交边AB于点E．若PQ⊥AC，证明：点E为边AB的中点．Array(第11题图)12．从1，2，3，…，2017中选取n个数，使得这n个数中的任意两数的差的绝对值既不等于4，也不等于5，求n的最大值．2017年上海初三数学竞赛(大同中学杯)静安区选拔赛解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题(每题10分，共80分)1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为2＜x ＜4，则ab 的值是 ． 解：－3．由题设，b ＞0，不等式x a b +<等价于－a －b ＜x ＜－a ＋b ．从而24a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得a ＝－3，b ＝1，ab ＝－3．2．已知实数x 、y 、z 满足x ＋y ＝2，364z xy y +=--，则x ＋2y ＋3z ＝ ． 解：－9．由x ＋y ＝2，得x ＝2－y ，则()2326444z y y y y y +=---=---，即()2320z y +++=．因此z ＝－3，y ＝－2，x ＝4，x ＋2y ＋3z ＝－9.3．若a 2＋b 2＝4＝ ．解：2．由a 2＋b 2＝4，得－2≤a 、b ≤2，所以a ＋2≥0，且b －3＜0． 又ab －3a ＋2b －6≥0，即(a ＋2)(b －3)≥0， 所以a ＝－2，b ＝0，原式＝2．4．设a 、b 都是实数，函数f (x )＝ax 2＋b (x ＋1)－2．若对任意实数b ，方程ax 2＋b (x ＋1)－2＝x 有两个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ． 解：0＜a ＜1．由题意得()()210,1420a b a b ≠⎧⎪⎨∆=--->⎪⎩，即()210,212810.a b a b a ≠⎧⎨∆=-+++>⎩ 因为对任意实数b 恒成立，所以()()224124810a a ∆=+-+<，解得0＜a ＜1．5．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且∠D ＝90°．设CD 上有一点E ，使得AE ＝BE ，且△AED 与△CEB 相似但不全等，已知2017CD AB =，则BCAD的值为．6．若x 、y 都是正数，且79xy x y ++=，则22x y xy -+的最大值为 ． 解：881.因为79xy x y xy =++≥+，所以2≤169，0＜xy ≤19．所以22x y xy -+＝221111182492481xy ⎛⎫⎛⎫--+≤--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，当19xy =时,即13x y ==时, 22x y xy -+取最大值为881.7．有一个六位数，它的数码和可被26整除.这个六位数加1，所得的数的数码之和也可被26整除.则满足上述条件的最小的六位数是 . 解：898999．显然，这个六位数加1以后有进位．要使数码和为26的倍数，至少需要进3位．因此，此六位数的后三位均为9，前三位的数码和是25．因此满足条件的最小的数为898999．8．如图，点B 、C 在以AD 为直径的半圆上，且C 是弧BD 的中点，AC 与BD 交于点P ．若BP ＝4，CD＝2，则AB ＝ ． 解：12．延长AB 、DC 交于点E ．因为AD 为直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°， 因此∠EBP ＝90°＝∠DCP ，所以E 、B 、P 、C 四点共圆，DC ·DE ＝DP ·DB ． 因为C 是弧BD 的中点，所以∠EAC ＝∠DAC ，EC ＝DC＝2，45＝DP ·(DP ＋4)，解得DP ＝5． 由勾股定理得，CP＝2CP ·AP ＝DP ·BP，即2AP ＝5×4，AP＝．所以AB12=．(第8题图)二、解答题(第9、10题，每题15分；第11、12题每题20分，共70分)9．设a 、b 、c 、d 为四个不同的实数，若a 、b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的解，c 、d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的解．求a ＋b ＋c ＋d 的值．解：由一元二次方程根与系数的关系得 a ＋b ＝10c ，c ＋d ＝10a ． 两式相加得 a ＋b ＋c ＋d ＝10(a ＋c )．因为a 是方程程x 2－10cx －11d ＝0的解，且d ＝10a －c ，所以，0＝a 2－10ac －11d ＝a 2－10ac －11(10a －c )＝a 2－110a ＋11c －10ac ．① 类似地，c 2－110c ＋11a －10ac ＝0．② ①－②得(a －c )(a ＋c －121)＝0． 因为a ≠c ，所以a ＋c ＝121． 因此，a ＋b ＋c ＋d ＝10×121＝1210．10．求所有的素数对(p ，q )，使得p 2＋10pq ＋9q 2为完全平方数？ 解：设p 2＋10pq ＋9q 2＝k 2(k ∈N*)，则(p ＋3q )2＋4pq ＝k 2，(k －p －3q )(k ＋p ＋3q )＝4pq ． 因为p 、q 都是素数，所以(k －p －3q ，k ＋p ＋3q )＝(1，4pq )，(2，2pq )，(4，pq )，(p ，2q )，(q ，2p )，(2p ，q )，(2q ，p )．则2(p ＋3q )＝4pq －1,2pq －2，pq －4，p －2q ，q －2p ，2p －q ，2q －p ． 因为2(p ＋3q )是偶数，4pq －1是奇数，所以2(p ＋3q )≠4pq －1． 因为2(p ＋3q )＞p －2q ，q －2p ，2p －q ，2q －p ， 所以2(p ＋3q )≠p －2q ，q －2p ，2p －q ，2q －p ．若因此2(p ＋3q )＝pq －4，则p 、q 中必有一个为2，代入后无符合题意的解． 若2(p ＋3q )＝2pq －2，则pq －p －3q ＝1，(p －3)(q －1)＝4， (p －3，q －1)＝(1,4)，(2,2)，(4,1)． 解得(p ，q )＝(4,5)（舍），(5,3)，(7,2). 综上所述，(p ，q )＝(5,3)，(7,2).…11．已知圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，DA ，CB 的延长线交于点Q ．过点P 作PE ⊥BC ，交边AB 于点E .若PQ ⊥AC ，证明：点E 为边AB 的中点． 证明：在PC 上截取P A ′＝P A ，则∠P A ′Q ＝∠P AQ ，点P 为AA ′中点．(5分) 联结A ′B ．因为∠P A ′Q ＝∠P AQ ＝180°－∠DAC ＝180°－∠DBC ＝∠PBQ ， 所以A ′、P 、Q 、B 四点共圆． 所以∠A ′BC ＝∠QPC ＝90°，即A ′B ⊥BC . 因为PE ⊥BC ，所以A ′B ∥PE ．因为点P 为AA ′中点，所以点E 为边AB 的中点.(第11题图)法二：延长PE 交CQ 于点F ，则∠PFB ＝∠APQ ＝90°。