高宏2014年第2次习题课(1)
宏观高宏答案1中文
第一章1．如教材中方程（⒈10）所示，一个变量的增长率等于其对数的时间导数。
则， （a ）若)()()(t Y t X t Z =，有：[]dtt Y t X d dt t z d t z t z )()(ln )(ln )()(==•利用导数的性质可得：[])()()()()(ln )(ln )(ln )(ln )()(t Y t Y t X t X dt t Y d dt t X d dt t Y t X d t z t z •••+=+=+=（b ）若)()()(t Y t X t Z =，有：[][]dtt Y t X d dt t Y t X d dt t z d t z t z )(ln )(ln )()(ln )(ln )()(−===•)()()()()(ln )(ln t Y t Y t X t X dt t Y d dt t X d ••−=−=（c ）若，有：)()(t X t Z α=)()()(ln ln )(ln )()()(t X t X dt t X d dt d dt t z d t z t z t X ••====ααα⒉（a ）由已知可得，时间函数X 的增长率的图形为：即，从0至t 1，增长率为常数，且,至a 0>a t 1时刻下降为0，在t 1至t2的时间段，X 的增长率逐渐上升至，并于a t2后保持不变的增长率。
（b ）时间函数关于时间t 的斜率为：X ln)()()(ln t X t X dt t X d •=，即斜率为X 的增长率，由此可知：即：从0至t 1，)(lnt X 为一条斜率为的线段，从a t 1至t 2，)(ln t X 的斜率从0逐渐增大直至斜率恢复到a 的状态，从t2起，)(ln t X 又是一条斜率为的直线。
a⒊持平投资线为()k g n δ++，实际投资线为)(k sf（a ）持平投资线的斜率给定为()δ++g n ，故折旧率δ的下降，意味着持平投资线斜率的减小。
高2014级第二次诊断性测试题语文试卷
高2014级第二次诊断性测试题语文1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.选择题答案用2B铅笔填涂在“机读部分”处。
第一部分阅读（70分）―、现代文阅读（35分）（一）论述类文本(9分)阅读下面的文字，完成1～3题。
本次全国人大会议将审议、表决民法总则草案，这是中国法治建设的大事件。
舆论对此总体上反应正面、热烈，但也有一些人泼冷水，其中“操之过急”论、“条件不成熟”论都比较典型。
众所周知，民法是离老百姓最近的法律，一个人一辈子都可能沾不到刑法的边，但每个人却无时无刻不“生活在民法当中”。
一个国家只有民法完善了，并让它在社会生活中发挥主导作用了，依法治国才算真的落到了实处。
中国1986年通过了民法通则，至今30年过去，社会发生了翻天覆地的变化，我们个人生活的维度前所未有，各种权利意识不断觉醒，完善民法因此成了当务之急。
这一立法的浩大工程无疑具有历史意义，它既契合了中国改革开放近40年所形成的社会权利关系面貌，也将对未来中国法治的进一步演进打下坚实基础。
世界上的立法没有一次是“百分百成熟”的，也几乎不可能管住立法之后长时间里的全部社会实践，否则的话，宪法就不会有修正案，各种法律也就不需修订了。
有人批评对编纂民法总则草案泼冷水的人说，没有民法的时候，他们说中国不重视法律；真的修民法总则了，他们又嫌修得太快了，质疑其质量。
总之，怎么都无法让他们高兴。
中国是不是很需要一部完整的民法典？回答无疑是肯定的。
那么国家就应致力于民法典的编纂和施行，这当中如果有什么困难和问题，都是应当全力克服的，而不应把它们作为推迟民法典修订的理由。
民法总则针对了今天中国社会的大量关切，比如父母子女之间的抚养、赡养关系，胎儿权利，保护见义勇为的行为，保护个人隐私，网络世界的一些权利义务关系等等。
绝大多数老百姓对有一部民法典来保护他们的权利充满期待。
高宏2014年第1次习题课
]] σ／(σ-1)
] σ／(σ-1)
所以生产函数为规模报酬不变的。 b) 对生产函数两边均除以 AL：Y／AL=[ (K／AL)(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1) 取 k=K／AL,y=Y／AL=f(k), 则可以得到生产函数的密集形式 ： a) f(k)= [k(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1) c）对(1)式两边对 k 求导数： f′(k)= [σ／(σ-1)] [k(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1)-1[(σ-1)／σ] k[(σ-1)／
2014 年高级宏观经济学第 1 次习题课
1.1 考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济，为了简单，假定无技术进步。现在假定 人口增长率下降。 a) 处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均消费 将发生什么变化？画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的 路径。 b) 说明人口增长率下降对产量路径(总产量，而非每工人平均产量)的影响。 答： a) k˙=sf(k)-(n+σ)k 假 设 经 济 在 初 始 时 处 于 平 衡 增 长 路 径 上 ， 即 满 足 k*˙=sf(k*)-(n+σ)k*=0.此时，经济中的实际投资等于持平投资，两条线相交于 (k*,y*) 。在 t0 时刻，当人口增长率由 n 下降到 nnew 后，实际投资线不变， 持平投资线发生偏转。此时，k*˙=sf(k*)-(nnew+σ)k*>0,实际投资超过持平投资， 每个人平均资本开始增加。在 t1 时刻之后，经济重新达到平衡增长路径后。 k*new˙=sf(k* new)-(nnew+σ)k* new =0, 单位有效劳动（由于没有技术进步，相当于 每人）实际投资等处持平投资 。在 t0 时刻到 t1 时刻之间，由于 k˙>0，所以 每个人平均资本逐步增长。而由于生产函数固定，所以每个人平均产出伴随 每个人平均资本的增加而增加，每个人平均消费也将随之逐步增加 （c=(1-s)f(k) ） 。
【2014朝阳二模】北京市朝阳区2014届高三第二次综合练习 文科数学 Word版含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于 （A ）()U AB ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U AB ð （2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（A ） sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ） 2x y = （3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=)用不等式组可表示为（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩（6）在区间ππ[-,]上随机取一个数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为 （A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n nS a +的最小值为 （A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+ ( 8 )已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是(A) 4π (B) 16π ( C) 32π （D ）36π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.计算12i1i+=- . 10.已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点坐标是 . 11.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ．12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是 ；表面积是 ．13.设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m .22俯视图侧视图正视图（第12题图）14.在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是___； 截得的平面图形中面积最大的值是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（满分13分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =π3A =.（Ⅰ）若b =C 的大小；（Ⅱ）若2c =，求边b 的长. 16. （本小题满分13分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数； （Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若2PA PD AD ==，AA求证：平面PAB ⊥平面PCD ．18.（本小题满分13分）已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()na f n =，*n ∈N .（Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值;（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅲ）若311()()42n naa nb +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习15. （Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a b A B =，得=，解得sin 2B =. 由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. ………6分 （Ⅱ）依题意，222cos 2b c a A bc+-=，即2141224b b +-=.整理得2280b b --=， 又0b >，所以4b =. ………13分另解：由于sin sin a cA C=2sin C =，解得1sin 2C =. 由于a c >,所以π6C =.由π3A =，得π2B =.由勾股定理222b c a =+，解得4b =. …13分 16. 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人），参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）． 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． ………5分 （Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A ．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ； 参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =．………13分 17. 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，APA ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． ………4分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥， 所以CD ⊥面PAD ．又因为PA ⊂平面PAD ， 所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． …9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==，所以PA PD ⊥． 由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CDPD D ，所以PA ⊥平面PCD ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以面PAB ⊥平面PCD ． …14分18. （Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠.当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. ………………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.由于22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数； 当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数.（2）若0a <， 当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.………………….9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1xa x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()exxg x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)eg x g ==.从而1e a ≥.另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1e a ≥. 综上所述，1ea ≥． .13分 19. （Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ………………….4分 （Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=. 即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=, 整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾． 所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. ………………….14分 20. 解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-， 在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，…………2分 （Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =， 得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . …………6分 （Ⅲ）{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na n t -==，则22111()816256nb t t t =-=--， 显然102t <≤，又因为N n *∈，所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =. 当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-. …………13分。
高宏(08)2014年11月17日§2.1§2.2(纯白)
•第三次作业：第117页：•2.8 —2.11•11月24日交第3次作业2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有2•四、家庭的最大化问题•1、家庭最大化问题的一阶条件•家庭的问题是，在预算约束条件下选择c(t)的路径以最大化一生效用。
尽管这涉及选择每一时点上的c(而非像标准的最大化问题那样，仅选择有限的一组变量)，传统的最大化方法仍可使用。
2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有3•由于消费的边际效用总为正，所以家庭满足其预算约束的等号形式。
因此，我们可用目标函数(2.14)和预算约束(2.7)来构造拉格朗日函数：•目标函数：∞[ e -βt c(t)1-θ／(1-θ) ] dt (2.14)•U ≡ B∫t=02014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有4•约束条件：•∫t=0∞e -R(t) c(t) e(n+g)t dt•≤ k(0) + ∫t=0∞e -R(t) w(t) e(n+g)t dt (2.7)•L= B∫t=0∞[e -βt c(t) 1-θ／(1-θ)]dt +λ[ k(0) +•∫t=0∞e -R(t) e(n+g)t w(t)dt -∫t=0∞e -R(t) e(n+g)t c(t)dt ]•(2.15)2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有5•c(t)：选择变量，政策可控制。
如何选择，以最大化一生的效用。
•k(t)：状态变量。
•t ：时间变量。
2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有6•即以某一时期t为例，写出某一时期t的拉格朗日函数：•L = B e -βt c(t)1-θ／(1-θ) +•λ [ k(0) +e -R(t)e(n+g)t w(t) -e -R(t)e(n+g)t c(t) ]•存在极值的一阶条件为：•∂L ／∂c=B e-βt c(t)-θ-λe -R(t)e(n + g)t= 0 2014-11-17 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
2014GCT模考二(答案)
清华 在 线2014年模考二答案第一部分 语言表达能力测试答案： 01-10：DBCCDCBCAD 11-20：DBBADCDCDC 21-30：DBBBDBAAAA 31-40：ABCDCDDDAD 41-50：CACDCDCABC答案分布统计：10A 10B 14C 16D第二部分 数学基础能力测试1. C ，2. A ，3．D ，4．D ，5．B ，6．A ，7．B ，8．A ，9．B ，10．D ，11．C ，12．C ， 13．A ，14．A ，15．B ，16．D ，17．D ，18．B ，19．A ，20．A ，21．C ，22．A ，23．B ， 24．C ，25．D第三部分 逻辑推理能力测试解析： 1答案：A 。
显然，“不是不可能”即“可能”。
不要多想。
2如果D 项为真，即事实上，许多在洛杉矶生产的漂亮请贴就是被洛杉矶的聚会所购买的。
而只有很多聚会同时开，主人才发漂亮请贴。
由此得出结论：洛杉矶的聚会一定多。
3[解题分析]答案：A 。
此题考查平均数和离散度的关系。
4答案是A 。
政府的选择是很多的，不仅仅就是题干提出的两条路。
改造现房也是一条路子。
所以，需要补充一个选择。
5 [解题分析]答案：B 。
否定带入，非“只有该总裁的继任者喜欢被批评的感觉，他才会批评继任者”。
即，批评继任者，且在该总裁的继任者不喜欢被批评的感觉的时候。
显然这个命题违背题干的意思。
6 答案：D 。
题干中董事A 从全球范围内烟草业在广告上的收益正好等于其支出，就推出自己公司的烟草广告完全可以不做，犯了“平均数”的逻辑错误。
因为很可能Z 烟草公司烟草业在广告上的收益远远大于其支出。
如果不广告可能不会达到目前的利润水平。
7 [解题分析]答案：D 。
D 选项指出“实体商店”是“网络商店”的必要条件，所以，题干受到了直接的严重削弱。
其它选项都是另有他因的间接削弱，所以不如D 选项。
8 答案：A 。
题目试图论证：“经常吃沙棘果对儿童的智力发育有益。
2014年高考训练二
地质二中高三第一学期第二次文科综合测试12．假定去年某国待售商品价格总额为2000亿元，货币流通次数为4次。
今年该国待售商品价格总额增加了10﹪，而实际纸币发行量为660亿元。
在其他条件不变的情况下，去年售价50元的商品今年的售价应为（）A．40元B．60元C．50元D．70元13．“好事都是从拉手开始的，别的不说了，团购上拉手网，就这么定了”，这是电影明星葛优为当今国内团购网站“拉手网”做的广告。
从2010年开始，团购网站在我国兴起，这为中国网民带来一种新型的网络购物方式，由于它提供的多是服务类型产品而受到消费者的热捧。
网络购物的盛行（）①使货币职能发生了本质性的变化②没有改变商品交换的本质③使商品交换的方式发生了变化④表明纸币已经由电子货币取代A．①②B．②③C．①③D．①④14．据国家统计局发布的数据显示，2011年6月份，全国居民消费价格总水平同比上涨6．4%。
其中，城市上涨6．2%，农村上涨7．0%；食品价格上涨14．4%，非食品价格上涨3．0%；消费品价格上涨7．4%，服务项目价格上涨4．0%。
全国居民消费价格总水平环比上涨0．3%。
在其他条件不变的前提下，CPI指数上升可能会（）①物价上涨，降低居民购买力②促使企业扩大生产规模③人们消费水平会急剧降低④促使企业提高商品的价值量，获得更多利润A．②④B．①④C．①②D．②③15．甲商品的价格（P）与数量（Q）之间存在如图6所示关系。
假设甲商品曲线D3不变，当甲商品曲线从D1移到D2时，市场可能出现的情况有（）①甲商品供不应求，价格上涨②甲商品的替代产品供给增加③甲商品的互补商品需求减少④甲商品的替代商品需求减少A．②③B．③④C．①②D．①④16．2010年1月13日召开的国务院常务会议决定，加快推进电信网、广播电视网和互联网三网融合，并提出了推进三网融合的阶段性目标，探索形成保障三网融合规范有序开展的政策体系和体制机制。
为满足居民对三网融合后产品的需求，新一轮三网融合相关的投资热潮已经暗流涌动，有望成为2010年通信信息领域最大的投资亮点。
北京市朝阳区2014届高三第二次综合练习-理科数学-Word版包含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=（A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C） （D)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P 的轨迹长度是 （A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____． （10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延BA长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____． （12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为 ．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数 ①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()xf x x=； ④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos2B 的值．A （第11题图）22俯视图侧视图正视图（第12题图）（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率； （Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．服务时间/小时FABCDP E（19）（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ； （Ⅱ）求证：543T mT tT =--；（Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5二、填空题（满分30分）三、解答题（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 23ABC S c ∆2π=⨯⨯=． 所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =． ……………7分（Ⅱ）由sin sin a bA B=3sin B =，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=； 3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=． 随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以355E ξ=⨯=． ……………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形， 所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ． ……………4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD面=ABCD AD ，E P DCBAF所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥． 又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 因为2PA PD AD ===，所以OP =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P，1(2E ，(0,1,0)F ． 于是(0,2,0)AB =，3(,0,22DE =，(1,1,0)DF =． 因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量． 设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n． 由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A …10分 （Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ． 因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λn ．于是，111,1,xy z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=． 又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线．因为(1,2,PC =-，111(+1,2,)CG x y z =-， 所以111212x y +--==．所以1112λλ+---==，无解． 故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2ex f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直， 所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． ……………3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2ex f x a +'=-． （1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞； 令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． ……………8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=． 令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤． 又因为a 32e <， 所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． ……………13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时， 可得11ln 0222a -≤． 由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， 所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立． （3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<． 由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥， 解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=． 解得1c =，2a =． 所以2223b a c =-=． 所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． ……………4分 （Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=． 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k+=-+，212241234m x x k -=+． 若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=． 1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m km k km m k k -+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+． 将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->， 解得，234m >． 又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120n n r r n r T xx -==∑，所以11112120r r r T x x x x m -===+=-∑． 222222************()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． …………3分 （Ⅱ）由120k k r r k r T x x -==∑，得 545455512112214200r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑． 即55142T x T x =+，同理，44132T x T x =+．所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数． 由120k k r r k r T xx -==∑，得111112112200k kk r r k r r k k r r T x x x x x x ++--++====+∑∑． 即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T x T x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-． 即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数．即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120n n r r r x x -=∑的值都是整数． ………13分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
K t sY t K K t
H t B aK K t aH H t A t L t
1
H H t ， 0, 0, 1
yi t Yi t / Ai t Li t ， ki t Ki t / Ai t Li t ，i=N, S
如同索洛模型一样， Ki t sYi t Ki t ， Li t nLi t ，假定两国具有 相同的储蓄率和人口增长率，最后 AN t gAN t ， AS t AN t 。 i. 证明两国平衡增长路径上的 k 值是相同的。 ii. 引入资本是否改变 a)问的答案，并作出解释（继续假定 g=3%） 。 答： a)
L t nL t ， A t gA t
aK 和 aH 分别为实物资本和人力资本存量中用于教育部门的比例
a) 定义 k K / AL ， h H / AL ，推导 k 和 h 方程。 b) 求使得 k 0 的 k 和 h 组合所构成的方程， 在(h, K)空间中画出它， 对 h 亦如此。 c) 该经济是否有一平衡增长路径？如果有，它是否唯一？它是否稳定？平衡增 长路径上人均产量、人均实物资本、人均人力资本的增长率是多少？ d) 假定最初经济处于平衡增长路径上，此时 s 有一个永久性增加，这如何影响 人均产量随时间变动的路径？ 答： a) k 动态学： y(t ) [(1 aK )k (t )] [(1 aH )h(t )]1
i. ii.
B gP
， B
g P (t ) (1 ) g K (t ) ， gC (t )
B (1 ) g K (t )
C (t ) ag K (t ) ， gC (t ) g K (t ) (2) C (t )
B(1 g ) K t ()
3.9 假定有两种生产要素：资本和土地。资本被用于两个部门，而土地仅被用于生产 消费品。 具体而言， 生产函数为 C (t ) KC (t ) R1 ，K (t ) BK K (t ) ， 其中 K C 和 K K 分别为两个部门中利用的资本量 ( KC (t ) K K (t ) K (t ) )。R=1，0 1 ， B 0 。 a) 令 PK (t ) 为 t 时资本品对消费品的相对价格。在两部门中，以消费品单位表示 的资本收入应相等。 用这一事实推导一个将 PK t ，KC t 和参数 , B 联系起 来的条件。如果 K C 以速率 g K t 增长，那么 PK 的增长率 g P t 是多少？
答： a) 每单位资本生产的消费品：
C (t ) [ KC (t )] 1 KC (t )
每单位资本生产的资本品：
K (t ) B K K (t )
由于资本是可以自由流动的。所以两部门每单位资本生产的价值相同即：
[ KC (t )] 1 BPK (t )
PK (t )
利用你在 a）问的结论，用 g K t 表示 gC t 。 给定消费品生产函数， K C 必须以什么速率增长才能使 C 以速率 gC t 增 长？
iii. c)
求以各参数表示的 g K t 和 gC t 。
假定投资收入被征税， 从而家庭面临的真实利率为 1 B g P t 。 税率 如何影响消费的均衡增长率？
由(1)(2)可得： yN (t ) yS (t ) AN (t ) AN (t )
10
b)
e0.03t e0.03(t )
76.8
a) 证明：北部和南部的差别在于南部技术落后北部。由于索洛模型，则有：
ki (t ) sf [ki (t )] (n Ai (t ) Ai (t ) )[ki (t )], i N , S
结果和 a)中一样，单位有效劳动的产量相同，但每工人平均产量不同所以 索洛模型中，经济长期增长只来源于技术进步。
3.15
5
2014 年高级宏观经济学第 2 次习题课
考虑对我们的具有实物资本和人力资本的模型的如下形式变化：
Y t 1 aK K t 1 aH H t
aL 接近于 0 得到 yN (t ) AN (t ) (1)
4
2014 年高级宏观经济学第 2 次习题课
北部技术增长率为： g N (t ) aN LN
yN (t ) yN (t ) g N (t ) 3%
AN (t ) e0.03t AN (0)
yS (t ) AS (t ) AN (t ) (2)
g A (t ) BK (t ) A(t ) ， g K (t ) sK (t ) 1 A(t )1
BK (t ) A(t ) sK (t ) 1 A(t )1 K (t ) / A(t ) s / B
所以 g K (t ) g A (t ) s B1
A(t ) BY (t ) BK (t ) A(t )1
g A (t ) A(t ) A(t ) BK (t ) A(t ) g K (t ) K (t ) K (t ) sK (t ) 1 A(t )1
b)
(1) ((2)
g A (t ) g A (t ) g K (t ) g A (t ) g A (t ) 0 g K (t ) g A (t ) g K (t ) 0 g K (t ) g A (t )
2014 年高级宏观经济学第 2 次习题课
3.7 干中学。假定产量由方程 (3.22) 决定： Y (t ) K (t ) [ A(t ) L(t )]1 ，L 为常数且等 于 1， K (t ) sY (t ) ， A(t ) BY (t ) 。 a) 用 A t ， K t 和各参数表示 g A t 和 g K t 。 b) 在 g A , g K 空间中画出 g A 0 和 g K 0 曲线。 c) 该经济是否收敛于一平衡增长路径？若是这样，该经济中 K、A 和 Y 的增长 率是多少？ d) s 的增加如何影响长期增长？ 答： a)
k (t ) k (t ) K (t ) K (t ) A(t ) A(t ) L(t ) L(t )
k (t ) sy (t ) [ K n g ]k (t )
k (t ) s[(1 aK )k (t )] [(1 aH )h(t )]1 ( K n g )k (t )
所以，消费的均衡增长率随税率的上升而下降。
3.11 知识向穷国传播的延迟。 a) 假 定 世 界 由 北 部 和 南 部 两 个 地 区 构 成 。 北 部 由 YN (t ) AN (t )(1 aL ) LN 和 南部不进行研究和开发， 但是其技术会比北部延迟 AN (t ) aN LN AN (t ) 描述。 年。YS (t ) AS (t ) LS ， AS (t ) AN (t ) 。如果北部每工人平均产量的增长率为 3%，且 aL 接近于 0，要使北部每工人平均产量为南部的 10 倍， 为多少？ b) 假定南北两地区均由索洛模型描述。 yi t f ki t ，其中：
(1 )( B g P (t ))
g K (t )
(1 ) B (1 ) B ， gC (t ) g K (t ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
gC (t ) 2 B (1 ) 0 [ (1 )(1 )]2
c)
在 45 度线上，点点都处于平衡增长路径。 在 D 点 g K (t ) 0, g A (t ) 0 则受到向右下方的合力； 在 F 点 g K (t ) 0, g A (t ) 0 2 次习题课
一旦达到平衡增长路径则： g K (t ) g A (t ) 0 ， g K (t ) g A (t ) 但具体哪个点要看初始的情况。
* k* (t ) kS (t ) N
两国平衡增长路径上的 k 值是相同的。 b) yN
YN Y yN AN ， yS S yS AS LN LS
* * y* AN ， yS yS AS 在 BGP 上 y* N N
10 yN yS AN AS e0.03 76.8
g K (t )
3
2014 年高级宏观经济学第 2 次习题课
g K (t )
B (1 ) B (B ) gC (t ) g K (t ) (1 ) ， (1 )
g K (t )
iii. c)
真实利率为 (1 )( B g P (t )) ，所以 gC (t ) 将(1)、(2)代入得到：
令 cK s(1 aK ) (1 aH )1
k (t ) cK k (t ) h(t )1 ( K n g )k (t ) (1)
h 动态学：
h(t ) h(t ) H (t ) H (t ) A(t ) A(t ) L(t ) L(t )
B
[ KC (t )] 1
K C 以速率 g K t 增长，所以 g P (t )
K (t ) PK (t ) ( 1) C (1 ) g K (t ) PK (t ) KC (t )
g P (t ) (1 ) g K (t ) (1)
b)
gC