gabor变换.
短时傅立叶变换_Gabor变换和Wigner-Ville分布实验
1 | X N (e j ) |2 N
图 2 语音信号功率谱分析
3、短时 Fourier 变换
这里加的窗为 Hamming 窗，窗宽度为 L 85 。
图 3 短时傅里叶变换
4、Gabor 变换
这里的高斯窗，宽度取为 N 160
图 4 Gabor 变换
5、Wigner-Ville 分布
这里采用整段时序信号中最前面 800 个点的信号进行分析。 从结果可以看出， Wigner-Ville 分布得到了信号分析时较高的频率分辨率。
a、Gabor 变换，N=80
b、Gabor 变换，N=320
图 6 分辨率理解示意图
一个高斯函数有两个原因：一是高斯函数的 Fourier 变换仍为高斯函数，这使得 Fourier 逆变换也是用窗函数局部化，同时体现了频域的局部化；二是 Gabor 变 换是最优的窗口 Fourier 变换。
2.3 Wigner-Ville 分布
对信号 s(t ) ，其 Wigner Ville 分布定义为：
% 通道1,取2s数据
f = Fs*(0:halfLength)/Nfft; figure; plot(f,Pyy(1:halfLength+1)); xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('Power Spectrum'); title('Power Spectrum Analysis'); % <二、短时傅里叶变换;利用时频分析包进行分析> L = 85; hHamming = hamming(L); T = 1:Nfft; N = 256; % time instant(s) and number of frequency bins
第二章-短时傅立叶变换-与-Gabor
• 结论： 时宽和时间中心 t 无关 ，带宽中 心频率 无关
举例讨论 STFT的时－频分辨率和窗函数的 关系
• 例2.1.1 令 x( ) ( 0) ，可以求出其
STFTx (t, ) ( 0 )g( t)e j g( 0 t)e j0
设给定的信号为对应211式24gaborgabor早在1946年gabor就提出可以用二维的时频平面上离散栅格处的点来表示一个一维的信号即241241式中的是一维信号的展开系数作移位和调制生成的如图242所示htahtnahtahtna求解系数的过程称为gabor变换
第二章 短时傅立叶变换 与 Gabor变换
0.5 0
-0.5
|STFT|2, Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
Energy spectral density
0.4 0.3 0.2 0.1
0 168 84 0
Frequency [Hz]
20 40 60 80 100 120 Time [s]
STFTx (m, e j ) x(n)g*(n mN )e jn
n
x(n), g(n mN)e jn
• 反变换是
M 1
x(n)
1 M
STFTx (m, k )WMnk
m k0
2.4 信号的Gabor展开及Gabor变换
• 早在1946年，Gabor就提出可以用二维的 时－频平面上离散栅格处的点来表示一个 一维的信号，即
令 t
x( )g( t) ( )d x()g( t)
x(t)
1
2g (0)
STFTx (t, )e jtd
6.3 连续Gabor变换_定义与窗函数
6.3 连续Gabor 变换：定义与窗函数6.3.1 Gabor 变换：定义与说明一、δ函数与广义函数在式（6.2.1）中的δ函数，数学上称为第一个广义函数①，是狄喇克在量子物理的研究中提出的一个怪函数：它的一种定义形式为⎪⎭⎫⎝⎛==→⎪⎭⎫ ⎝⎛-→a t g a at a a t a 1lime 21lim)(02102πδ． （6.3.1） 将式（6.3.1）代入式（5.2.1）：⎰+∞-∞=→⎪⎭⎫⎝⎛-=t a t a t g a t s s d 1)(lim)(0ττ （6.3.2）（对时间进行一定精度定位），再重写式（5.1.1a ）于下⎰+∞-∞=-=t tΩt t s Ωsd e)()(ˆj （6.3.3）（对频率准确定位），对比分析以上两个式子：一个在一定精度下定位时间（即式（6.3.2）），其方法是在时间轴上用低通函数g 开出一个窗口——时间窗口，窗口持续时间用参量a 来控制，其定位功能则通过该窗口对信号在时间上进行扫描；另一个准确定位频率（即式（6.3.3））．对频率的准确定位需要宽时窗口：∞→a ，而这又不能对时间精确定位，对时间的准确定位需要窄时窗口：0→a ．我们可否折衷考虑取a 为一恰当的数值∞<<a 0放宽对时间准确定位要求，只要达到一定的精度即可，也就是说，将（6.3.5）中的a 固定——我们认为可以接受的某一确定值，在保证时间窗口函数g 满足低通性①广义函数（generalized function ）［９：Ｐ３５８，１０：Ｐ３-１２５，１１:Ｐ２７６］亦称分布（distribution ）.（low-pass property ）1d )(d )(==⎰⎰ttt t t t g δ （6.3.4）的条件下，将δ分析式（6.3.2）改写成()⎰-=tg t t g t s s d )()(ττ （6.3.5）（对时间具有一定定位能力）对比式（6.3.3）与式（6.3.5），这两个变换式在形式又何其地相似！将两个式子融和在一起，就能达到同时对时间、对频率的一定定位能力呢？由此而来我们引入如下的Gabor 变换．二、连续Gabor 变换Gabor ．．．．．变换定义．．．．对频率定位，必需保留频率Ω变量，对时间定位必需保留扫描时间τ变量，因此，信号的一种时-频表示应当是将式（6.3.3）与（6.3.5）结合在一起：⎰--=tt Ωs t t g t s ΩG d e )()(),(j ττ （6.3.6）这就是连续Gabor 变换定义，在许多地方称为窗口付里叶变换（windowed Fourier Transform ），或短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform →STFT ）——如果我们取窗口函数为矩形情形．式（6.3.6）的物理意义是：Gabor 变换),(ΩG s τ在扫描时间τ附近局部地测量了频率为Ω的正弦分量t Ωj e 的幅度．也就是说，),(ΩG s τ表示在窗口)(τ-t g 内观察到的那部分信号)()(τ-t g t s 的频率结构情况．实际上就是用窗口函数g 先对信号)(t s 在时间轴上进行扫描并定位，然后进行富利叶变换．对信号的开窗过程我们可用图 6.3.1来说明．图 6.3.1(a)表示了用小时宽窗口函数)(t g 在信号时间2-==τt 和5.3处开窗，得到该两时刻附近的信号)2()(+t g t s 和)5.3()(-t g t s ；图6.3.4(b)表示了用大时宽窗口函数)(t g 在相同两时刻开窗情形．显然，信号)(t s 的Gabor 变换精确地按窗口宽度分解了信号的频谱)(ˆΩs，提取出它的局部频谱信息，当τ在整个信号时间轴t 上扫描时，就给出了s 的完整频谱．因此，并没有损失信号s 在频域上的任何信息．时．-．频窗口函数．．．．．式（6.3.6）中g 通常称为时间窗口函数（time window function ），简称时窗函数．除满足式（6.3.4）低通性外，为了同时具有一定的时间、频率定位与分辨率，时窗函数g 应当具有好的时-频局域化特征，其时-频胞元面积越小越好，基于这一特性，将g 称为时-频窗函数（time-frequency window function ）更为贴切．图6.3.1 Gabor 变换对信号的开窗最初，Gabor 选取g 为高斯函数：()222121e )(ˆe π21)(a Ωa a t a Ωgat g -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇔= （6.3.7） ⇓ ⇓a T a 2= a B a 2= （6.3.8）我们知道这是最佳的时-频窗口函数，它具有最小的胞元面积: 2==a a g B T C ．总结以上分析得出：时-频窗口函数g 应当具有一定时-频局域化特征的低通函数．但并没有限制它的取值是实数还是复数，因此，更为一般化的连续Gabor 变换定义成如下的形式⎰-*-=tt Ωs t t g t s ΩG d e )()(),(j ττ． （6.3.9a ）GT ．．的基函数．．．．——积分核、时．．．．．-．频分析胞元．．．．．将Gabor 变换式（6.3.12a ）写成内积形式则为)(),(e )(),(),(,j t g t s t g t s ΩG t Ωs Ωτττ=-= （6.3.9b ）其基函数Ωg ,τ，也即式（6.3.9a ）中的积分核函数，当o ττ=，o ΩΩ=时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--)(j o ,j o ,o o o o o o o e)(ˆ)(ˆe )()(ΩΩΩtΩΩΩΩg Ωg t g t g ττττ． （6.3.10） 改变o Ω与o τ就可对整个时-频相平面中的任意信号进行扫描，得到信号的一种时-频表示，因而人们常常称o o ,Ωg τ为GT 分析元（analysis cell ），用它就可对时-频平面上分布的任何信号进行分析．在这里我们仿照o τ的称谓——扫描时间，也叫o Ω为扫描频率（scanning frequency ），如图6.3.2所示．ˆo τg图6.3.2 GT 时-频分析胞元：)(ˆ)(o ,o o ,o ΩΩτΩτgt g ⇔ 一旦选定时-频窗函数g ，其时-频胞元形状及其面积就被确定了，用它来分析信号，对时间、频率的定位准确性和分辨率也随之被确定了．当时-频指标（o τ，o Ω）在2R 内变化时，分析元o o ,Ωg τ的Heisenberg 盒将覆盖整个时-频相平面，时-频相平面中任何分布的信号，其所有信息都包含中),(ΩG s τ．可以预见，在此种情况下，信号s 完全可以由它的连续Gabor 变换),(ΩG s τ来恢复．6.3.2 Gabor 变换：分析实例Gabor 变换对信号真的具有时-频表示或时-频分析能力吗？例6.3.1 用Gabor 变换分析双δ信号（采用实超高斯窗口函数）．考虑信号)()()(21t s t s t s +=)()(11t t t t -+-=δδ， （6.3.11）代入式（6.3.9）得⎰∞-∞=--+=t t Ωs t t g t s t s ΩG d e )()}()({),(j 21ττ),(),(11ΩG ΩG s s ττ+= （6.3.12）21j 2j 1e)(e)(t Ωt Ωt g t g ---+-=ττ ． （6.3.13）显然，该函数是复函数．取窗口函数为实的超高斯函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==mm a a t a t g t g 21exp π21)()( ， （6.3.14a ） 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ΩτΩτΩτΩτ2211j exp 21exp π21),(j exp 21exp π21),(21t a t a G t a t a G ms m s ． （6.3.14a ） 现在根据上式用ＭＡＴＬＡＢ来编程绘制双δ信号的GT ：=),(ΩG s τ +),(1ΩG s τ),(1ΩG s τ图形，使我们对它们有一个更直观的认识．Display_GT_633.m运行上述程序便得到双δ信号的Gabor 变换),(ΩG s τ如图6.3.3所示．该图正确反映了双δ信号的时-频结构．在图 6.3.3中，我们取窗口函数中的尺度因子1=a ，相对于两个纯时间信号的距离112=-=t t t ∆是比较小的，如果再减小尺度因子a ，则变换),(ΩG s τ更接近双δ信号的理想时-频分布结构．图6.3.3 双δ信号的GT 变换：5,4,2,8/121====t t m a反之，增大尺度因子a 情况将会是怎么样呢？图6.3.4给出了21=a 时双δ信号的),(ΩG s τ情形，其它参数与图6.3.3中所取参数完全一样．此时，由于较大时宽窗口（相对112=-=t t t ∆来说），使得),(1ΩG s τ，),(1ΩG s τ在时间τ轴方向上的伸展而相互重叠，产生的重叠干扰将会影图6.3.4 双δ信号的GT 变换：5,4,2,2/121====t t m a响时域的分辨．特别其幅度，也即绝对值，不但相互重叠，而且还存在交叉相干项：{}{}{}),(Re ),(Re ),(Re 21ΩG ΩG ΩG s s s τττ+=)cos(1)cos(12211ΩτΩτt a t g a t a t g a ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=， （6.3.15a ） 重叠干扰{}{}{}),(Im ),(Im ),(Im 21ΩG ΩG ΩG s s s τττ+=)sin(1)sin(12211ΩτΩτt a t g a t a t g a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，（6.3.15b ） 重叠干扰),(),(),(111ΩG ΩG ΩG s s s τττ+=2122),(),(),(),(),(),(212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=**ΩG ΩG ΩG ΩG ΩG ΩG s s s s s s ττττττ{}2112212221])cos[()()(2)()(Ωττττt t t g t g t g t g ---+-+-=．（6.3.15c ） 重叠干扰 交叉相干项这将给我们的判断带来困难，但此时仍然能够区分两个δ信号．若进一步增大尺度因子a ，则就越来越难区分两个δ信号，最终使我们不能区分是两个δ 信号．对于纯时间信号，或者瞬间即逝的短时间信号，尺度因子越小，对信号的时间分辩率越好．以上两幅分析图我们均选用了实高斯窗口函数．当然也可以选用其它的窗口函数，在Display_GT_633.m 程序中只需改变m 的取值，就能得到不同阶数的实超高斯窗口．图6.3.5给出了5.5=m 时双δ信号的),(ΩG s τ情形，其它参数与图6.3.3图6.3.5 双δ信号的GT 变换：5,4,5.5,8/121====t t m a中所取参数完全一样．以上三维网格立体图与二维灰度图在表现),(ΩG s τ方面是完全等价的，只要读者习惯了，用二维灰度图来表示),(ΩG s τ是很方便的，横坐标是扫描时间τ，纵坐标为频率πΩ．例6.3.2 用Gabor 变换分析双频信号（采用实高斯窗口函数）．考虑信号t t t s t s t s 21j j 43e e )()()(ΩΩ+=+=， （6.3.16）代入式（6.3.9）得⎰--+=tt t t s t t g ΩG d e )(]e e [),(j j j 21ΩΩΩττ⎰⎰-----+-=tt tt t t g t t g d e )(d e )()j()j(21ΩΩΩΩττ)(j 2)(j 121e )(ˆe )(ˆΩΩΩΩΩΩg ΩΩg-----+-=ττ （6.3.17） ),(),(43ΩG ΩG s s ττ+=． （6.3.18）如果取窗口函数为可调宽度的实高斯函数：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇔⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==22)(21exp )(ˆ21exp 21)()(Ωπa Ωg a t a t g t g a a ，则有[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=--⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=)(j exp )]([21exp ),()(j exp )]([21exp ),(22212143ΩΩτΩΩΩτΩΩτΩΩΩτa G a G s s ．（6.3.19） 为了图示),(ΩG s τ，我们必须对两个自变量τ和Ω进行离散化，即对),(ΩG s τ进行等间隔均匀采样：Z n m n m ∈⎩⎨⎧==,SSΩΩττ， （6.3.20）得到],[),(S S n m G n Ωm G s s =τ，由此绘出),(ΩG s τ的二维灰度图像．取πΩπΩ4,2,2121===a ，由式（6.3.17）～（6.3.19）所给出双频信号的Gabor 变换),(ΩG s τ的二维灰度图如图6.3.6所示．从该图我们可以定性得出：①),(S S n Ωm G s τ的实部{}),(Re S S n Ωm G s τ与虚部{}),(Im S S n Ωm G s τ图案与点格采样间隔S τ和S Ω密切相关．这种关联性将给我们分析和判断带来干扰，因此Ω /πτ τ τ(a) τS =1/10, Ω S = π/10τ τ τΩ /π(b) τS =1/20, Ω S = π/10τ τ τΩ /π(c) τS =1/10, Ω S = π/20τ ττΩ /π(d) τS =1/20, Ω S = π/20图6.3.6 双频信号的GT 变换：πΩπΩ4,2,2/121===a{}),(Re S S n Ωm G s τ与{}),(Im S S n Ωm G s τ的图示不能真实反映{}),(Re ΩG s τ与{}),(Im ΩG s τ的情形．上述现象可能是由于实部：[][][][])(cos )(cos 2)(cos )(cos 1221122121ΩΩττΩΩΩτΩΩτΩΩτ+--=-+- 虚部：[][][][])(sin )(cos 2)(sin )(sin 1221122121ΩΩττΩΩΩτΩΩτΩΩτ+--=-+-点格采样后再进行低阶数内插以及某些时-频区域的点格采样不满足采样定理条件而引起的．如果读者有兴趣，可以观察和分析)cos(τΩ点格采样后再进行低阶数内插得到的二维灰度图或二维伪彩色图，它们是许许多多栩栩如生的美丽分形图案．一个极其简单的系统，（可能）蕴涵着无穷奥妙．②),(S S n Ωm G s τ的绝对值),(s s s n m G Ωτ图案与S τ和S Ω几乎没有什么关系． 由])cos[(),(),(2),(),(),(12224343τΩΩΩτΩτΩτΩτΩτ-++=s s s s s G G G G G[]τΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ)(cos )(ˆ)(ˆ2)(ˆ)(ˆ12112221---+-+-=a a a a g g g g（6.3.21）知，),(Ωτs G 只有在其交叉项[]τΩΩΩΩΩΩ)(cos )(ˆ)(ˆ21211---a a g g中关于τ才存在周期性——周期为122ΩΩπ-，因此，如果12S 2ΩΩπτ-<<就能很容易由),(s s s n m G Ωτ恢复),(ΩG s τ的真实情况．在图6.3.6中，12201101S 2,ΩΩπτ-<<=1=，所以),(s s s n m G Ωτ很真实地显示了),(ΩG s τ的原貌．在信号分析与处理领域，通常称),(Ωτs G 或2),(Ωτs G 的二维灰度图或二维伪彩色图为信号的时-频谱图（time-frequency spectrogram ），简称谱图（spectrogram ）．同样，对于双频信号的时-频谱图，用于分辨两个纯频率信号，其频率分辩率也是与尺度因子有关：尺度因子越大，对信号的频率分辩率越高．这一结论可以从如下的图6.3.7中一眼看出．τ τΩ /πΩ /πΩ /πΩ /πΩ /πΩ /πa=1/4 |G s | a=1/4 |G s | 2a=1/2 |G s | a=1/2 |G s | 2a=1/4 |G s | a=1/4 |G s | 2a=1 |G s | a=1 |G s | 2图6.3.7 双频信号的时-频谱图：πΩπΩ4,221==例6.3.3 用Gabor 变换分析双δ 双频信号（采用实高斯窗口函数）．考虑双δ 双频信号)()()()()(4321t s t s t s t s t s +++=，则有=),(ΩG s τ),(),(),(),(4321ΩG ΩG ΩG ΩG s s s s ττττ+++， （6.3.23）式中的四个信号就是前两个例子中所用的信号，它们的参量也完全一样：t 1=4，t 2=5，Ω1=2π，Ω2=4π．当尺度因子1,,2141=a 时，其时-频谱如图6.3.11所示．ττΩ /πΩ /πΩ /πΩ /πΩ /πΩ /π|G s | a =1/4a =1/2a =1|G s |2 a =1/4a =1/2a =1分析 胞元分析 胞元图6.3.11双δ双频信号的时-频谱图：πΩπΩ4,2,5,42121====t t观测分析图6.3.11所示的双δ 双频信号时-频谱图可知，尺度因子的选取是很重要的．对于给定的窗口函数，在取定尺度因子后，其时间分辨率与频率分辨率就被完全确定．本例我们有2π2212212>=⋅=-⋅-=⋅=πΩΩ∆∆∆Ωt t t ， （6.3.26）并用了时-频最佳的高斯窗函数，所以恰当选取尺度因子a ，就能够将四个不同的信号区分开来．四、Gabor 反变换为了使Gabor 变换真正具有实用价值的非平稳信号分析工具，必须存在反变换，即由),(ΩG s τ重构原信号)(t s ．G ．ab ．or ．反变换与完全重构条件．．．．．．．．．．仿照付里叶反变换，设Gabor 变换重构公式为⎰⎰-=ΩτττγτΩt ΩG t s t Ωs d d e )(),(π21)(j R ， （6.3.27） 式中)(t γ称为重构窗口函数，)(R t s 称为重构信号．将式(6.3.12)代入上式，有⎰⎰⎰-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'-''=''-*ΩτττγτπΩt t t g t s t s t Ωt t Ωd d e )(d e )()(21)(j j R ⎰⎰⎰'-'-*'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--''=τΩτπτγτt t t Ωt Ωt t g t s d d d e 21)]()()([)(j []⎰⎰'*'-'--''=ττδτγτt t t t t t g t s d d )()()()(⎰--=*τττγτd )()()(t t g t s⎰--=*τττγτd )()()(t t g t s ， （6.3.28） 作简单的变量代换，就得⎰*=tt t t g t s t s d )()()()(R γ． （6.3.29）当重构结果)(R t s 恒等于原始信号)(t s 时，我们称这样的重构为“完全重构（Perfect reconstruction ）”．由上式可以看出，为了实现完全重构，即使)()(R t s t s =，要求窗口函数)(t g 和)(t γ必须满足条件：1d )()()(),(==⎰*tt t t g t g t γγ， （6.3.30a ）或写成内积形式π2)(ˆ),(ˆ1)(),(=⇔=ΩΩγγgt g t ． （6.3.30b ） 这称之为Gabor 变换的完全重构条件（Perfect reconstruction condition ）．现在我们有两个窗口函数：)(t g——分析（analysis ）窗函数或分解（decomposition ）窗函数 )(t γ ——综合（synthesis ）窗函数或重构（reconstruction ）窗函数重构窗口函数的三种简单选择．．．．．．．．．．．．．完全重构条件是一个十分宽松的条件，对于一个给定的分析窗函数)(t g （——具有一定时-频局域化的低通函数），满足完全重构条件式（6.3.29）的重构窗函数)(t γ可以有无数多种可能！如何选择一个合适的综合窗函数)(t γ呢？存在特别优良的窗口函数对（g ，γ）吗？我们还是采取“简单策略”原则．仔细考察关系式（6.3.30），函数对（g ，γ）都是一维的时域函数．在给定分析窗口函数g 的前提下，对于重构窗口函数γ，最简单的三种选择是：① 全时域的重构窗口：1)(1)(≡=t t γ，R ∈t这可能是最最简单的一种选择，直观上看来好像没有重构窗口函数似的．此时此刻，完全重构条件对分析窗口g 的要求是满足低通性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔=⎰⎰⎰*虚部非低通通低部实0d )(1d )(1d )(Im Re tttt g t g t g ， （6.3.31）我们得到的Gabor 变换对（分析与重构公式）为正变换—分析公式：⎰-*-=tt Ωs t t g t s ΩG d e )()(),(j ττ （6.3.32a ）反变换—重构公式： ⎰⎰=ΩτττΩΩG t s t Ωs d d e ),(π21)(j ． （6.3.32b ） ② 时间定位的重构窗口：)()(t t δγ=这种选择，完全重构条件对分析窗口g 的要求是满足采样特性：1)0(d )()(==**⎰g t t t g tδ， （6.3.33）得到的重构公式为⎰=ΩΩΩt G t s t Ωs d e ),(π21)(j ． （6.3.34） ③ 等同的重构窗口：)()(t g t =γ这种选择，完全重构条件对窗口的要求是满足能量归一化性质：1d |)(|d |)(|22==⎰⎰ttt t t t g γ．得到的Gabor 变换对为正变换—分析公式：⎰-*-=tt Ωs t t g t s ΩG d e )()(),(j ττ （6.3.35a ）反变换—重构公式： ⎰⎰-=ΩττττΩt g ΩG t s t Ωs d d e )(),(π21)(j （6.3.35b ） 注意：选择不同的重构窗函数)(t γ，得到的完全重构公式是不一样的，但他们都能够精确恢复原始信号．重构窗口函数的一般选择．．．．．．．．．．．上述重构窗口的三种选择，是我们采用“简单性原则”依据完全重构条件，凭直觉来完成的．等同的重构窗口是特殊情形．而全时域与时间定位的重构窗口是平凡选择．一个时宽无限，带宽为零：∞=γT ，0=γB ；一个时宽为零，带宽无限：0=γT ，∞=γB ．它们是两种极端情形，只具有理论意义，在实际计算中是很难实现．在一般意义下，我们该怎样依据完全重构条件来选择重构窗口γ呢？为了回答该问题，我们首先应当弄清楚重构窗口在重构公式有什么作用！在时域有什么作用？在频域有什么作用？这实质上是要我们回答重构窗口函数)(ˆ)(Ωγγ⇔t 应当具有那些基本性质！回到原始的重构公式，即式（6.3.27），我们有如下几种等价形式：⎰⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=ΩτττγτΩt ΩG t s tΩs d e d )(),(π21)(j R 在时域加权开窗、扫描 （6.3.36a ）时域局部加权积分（获取时域t 时刻局部的全频域信息）⎰⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'''=''ΩΩΩΩγΩΩΩG t Ωt Ωs d e d e )(ˆ),(ˆπ21π21j j 在频域进行滤波（利用Parseval 定理） ⎰⎰''+'⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧''=ΩΩΩΩΩΩγΩΩG t Ωs d d e ),(ˆπ21)(ˆπ21)(j⎰⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'''-'='ΩΩΩΩΩγΩΩΩΩG t s d e d )(ˆ),(ˆπ21π21j 在频域进行滤波（简单变量代换） ⎰⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'-'-''-='ΩΩΩΩΩΩγΩΩΩΩG t s d e d )]([ˆ),(ˆπ21π21j 在频域加权开窗与扫描．（6.3.36a ） 频域局部加权积分：获取Ω 频点局部的全时域信息由此可见，重构窗口γ，无论在时域，还是在频域，其作用都是加权开窗与扫描！扫描的目的是为了利用整个时-频平面上伽柏变换),(Ωτs G 的信息而不漏掉任何数据，这与γ的选择无直接关系．加权开窗的目的是为了有选择地获取局部信息！“获取局部信息”——获取信号s 伽柏变换),(Ωτs G 的局部数据，这就要求γ不但具有有限的时宽，而且也具有有限的带宽，综合起来就是需要满足一定的时-频局域化特征：+∞<=≤γγγB T C 2． （6.3.37）这一点要求是与对分析窗口函数g 的要求是一致的．实现“有选择地”这一要求，必须对重构窗口在时域与频域形状加以限制．伽柏变换的冗余性．．．．．．．．对于一个具有优良性能的分析窗函数)(t g ，只要满足完全重构条件式（6.3.30），就能恢复原始信号．重构窗函数)(t γ有无数多种选择，因此我们可以得到无数多种不同的完全重构公式！重构的非唯一性说明：信号的伽柏变换数据是高度冗余的！五、窗口函数的基本性质现在我们有两个窗口函数：)(t g——分析（Analysis ）窗函数或分解（decomposition ）窗函数 )(t γ ——综合（Synthesis ）窗函数或重构窗函数。
基于Gabor变换的纹理图像分割算法及应用
摘
要 ：基 于 Ｇ ａ ｂ ｏ ｒ 小波的多尺度、多方向性 ，结合模极值特征提取方法和聚类算法提 出一种新的纹理 图像分割算 法，
并将算法应用到竹材横 端面的识别 中。二维 Ｇ ａ ｂ ｏ ｒ 小波可以在 空域、频域和方 向上 获得 最佳的分辨 率，利 用其对 纹理 图像 进 行分解 ，提取 图像模极值纹理特征 ，用聚类算法对纹理 图像进行 分割 。实验结果表 明，提 出的方法对合成 纹理 图像 有理
ｔ ｉ ｏ ｎ． Ｇａ ｂ ｏ ｒ ｗａ ｖ ｅ ｌ ｅ ｔ Ｗａ ｓ ｕ ｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｄ ｅ ｃ ｏ ｍｐ ｏ ｓ ｅ ｔ ｅ ｘ ｔ ｒｅ ｕ ｉ ｍａ ｇ ｅ ａ ｎ ｄ ｅ ｘ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｔ ｈ ｅ ｔ ｅ ｘ ｔ ｕ ｒ ｅ ｆ ｅ ａ ｔ ｒｅ ｕ ｓ ｂ ｙ ｍｏ ｄ ｕ ｌ ｕ ｓ ｅ ｘ ｔ ｒ ｅ ｍｕ ｍ． Ａｔ ｌ ｓｔ ａ ，ｔ ｅ ｘ ｔ ｒｅ ｕ ｉ ｍａ ｇ ｅ Ｗａ ｓ ｓ ｅ ｇ ｍｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ｂ ｙ Ｋ— ｍｅ ａ ｎ ｓ ｃ ｌ ｕｓ ｔ ｅ ｉｎ ｒ ｇ ａ ｌ ｇ ｏ ｉｔ ｒ ｈｍ． Ｅｘ ｅｒ ｐ ｉｍｅ ｎ ｔ ｒ ｅ ｓ ｌｔ ｕ ｓ ｈ ｏ ｗｓ ｅ ｄ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｇ ｏ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ｓ ｙ ｎ ｔ ｈｅ ｔ ｉ ｃ ａ ｎ ｄ ｎ ａ ｔ ｒａ ｕ ｌ ｔ ｅ ｘ ｔ ｒｅ ｕ ｉ ｍａ ｇ ｅ ｓ
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基于Gabor小波变换的增强2DPCA方法
基于Gabor小波变换的增强2DPCA方法摘要:传统的PCA方法在图像识别中都是基于图像向量的,在人脸识别前二维的人脸图像矩阵首先要转化成一维的图像向量,这样就造成图像向量维数通常较高,使特征提取中耗费大量计算时间,降低了识别效率。
在传统PCA基础上,Yang等人在2004年提出了二维主成分分析(2DPCA),这种方法直接基十二维图像矩阵运算,特征提取速度大大加快,计算方法也较简单。
关健词:Gabor小波变换2DPCA方法1 人脸图像预处理预处理是人脸识别过程中的一个重要步骤。
由于各种原因,我们获得的原始图像都不是特别完美的。
对人脸图像进行预处理可以减少人脸在图像中的位置、大小、旋转角度和光照等条件的不同对特征提取的影响。
所以预处理后的图像更有利于人脸识别的后续阶段如特征提取和分析识别。
图像预处理一般包括几何归一化、直方图均衡化、灰度归一化、直方图均衡化。
(1)人脸图像几何归一化。
对由于角度旋转和尺度放缩造成的影响,可以用人脸图像的几何归一化来消除,并且可以在一定程度上保持人脸图像的几何不变性。
常用的几何校正方法主要包括缩放、旋转、平移等。
人脸图像经过了缩放、旋转和平移等标准化处理后,使所有图像的的大小都达成一致,人物的眼睛、嘴巴等主要局部特征都处十预先指定的位置。
经过这样的处理后对人脸的后续处理有积极的作用。
实验中采用的人脸几何归一化的过程如下:首先对人眼进行定位,获得人脸的左右两眼的中心位置,记为E,和E,.,然后旋转图像使E,和E,.的连线保持水平。
再根据比例关系对人脸图像进行裁剪以获得最有效的区域,最后对图像进行缩放,得到统一大小的标准图像。
缩放图像的方法有两种,一种是直接用灰度插值的方法,另一种是用小波变换的方法对图像进行分解。
本文采用的是速度和效果均比较好的双线性差值法,图1,图2。
(2)直方图均衡化。
图像的直方图是图像的重要统计特征,灰度直方图可以描述图像的灰度分布情况,反应了不同灰度值出现的频率。
基于实值Gabor变换的无损测温方法
生物医学超声大作业医电72朱岱松07121047基于实值Gabor变换的无损测温方法HIFU是近年来兴起的一种无创局部治疗技术，可用于良、恶性肿瘤的治疗。
其主要原理是通过HIFU在焦斑处产生65℃以上的高温，加上超声在生物组织中的空化效应，使焦斑处的肿瘤组织迅速损伤、坏死，而对焦斑以外的组织损伤较小。
在HIFU辐射的过程中，如果HIFU焦域组织的温度过高，病人将很难承受，如果温度过低，又无法达到治疗的效果。
准确地监控焦域组织的温度在HIFU治疗的过程中是一个非常重要的研究课题。
有损测温方法须将热电偶或热敏电阻等温度传感器插入待测部位的组织中，进行单点或多点的测温。
但热偶探针不容易被插入，针头容易被损且会干扰超声辐照，给病人带来痛苦，还可能引起癌细胞的转移等问题。
在HIFU治疗的过程中，无损测温将是主要的测温手段。
本章将采取实值Gabor变换对HIFU辐射前后的超声图像进行实时无损测温，给主治医生提供可靠的实时温度信息。
1研究现状1．1无损测温技术人体表面温度分布的无损测量，通常使用红外扫描热像仪。
1991年的国际讨论会上，有的专家认为这种静态热像图未能反映人体本身的动性，从而降低了诊断价值，以最成功的乳腺癌早期诊断为例，准确率60％左右。
因此，无损测温技术是医学上研究人体内部温度情况的主要手段，也是当前研究热点之一。
至于深部温度分布，从原理上讲，有不少人体信息可用于人体温度的无损测量，来替代有损测温，但尚处于研究开发阶段，近年有较大进展。
如电阻抗断层成像(EIT)、X．CT、核磁共振成像(MRI)、微波、超声波等。
1、电阻抗断层电阻抗断层成像(EIT,Electrical Impedance Tomography，也称Applied Potential Tomography)，是应用于医学和过程控制的一种新技术。
与X．CT、正电子发射断层扫描等技术相比，EIT大约便宜1000倍，体积小1000倍，并且没有电离辐射。
多窗实值离散Gabor变换及其快速算法
Gabor变换是重要的时频分析方法之一,广泛应用于非平稳信号 的检测、分析与处理。然而由于Heisenberg不确定原理的制约, 传统的单窗Gabor变换的时频局域性(或者时频分辨精度)受到很 大限制。
由于分析窗和综合窗函数宽度是固定的,由单窗Gabor变换获得 的时频谱时间分辨精度与频率分辨精度也是固定的,并且不可能 同时都好,二者是矛盾的。采用宽窗将产生高频率分辨率但低时 间分辨率的时频谱；反之,使用窄窗将产生高时间分辨率但低频 率分辨率的时频谱。
每一并行通道计算复杂性只决定于输入离散信号的长度及Gabor 频率抽样点数,不会随M-RDGT过抽样率及窗数增加而增大,因此, 每一并行通道的计算复杂性非常小。最后,本文对包含冲激函数 的正弦函数序列、指数衰减正弦类瞬变序列以及Apnea-ECG数据 库中的心电(ECG)序列进行了M-RDGT和时频谱计算实验,实验结 果表明所提出的M-RDGT提供了一种快速有效的方法分析和展示 包含有多个或时变频率分量信号的动态时频内容。
借助于多抽样率数字滤波器组的分析与综合基本原理和多窗离 散Gabor展开与变换中分析(求变换系数)与综合(展开即信号重 建)原理的相似性,设计了一种并行多抽样率分析与综合卷积器 组来实现多窗实值离散Gabor展开与变换。所设计的分析和综合 卷积组中的每一并行通道具有一致的结构并能够利用快速DHT算 法减小计算量。
提出了超长(或无限长)序列M-RDGT及其快速算法。在有限长系 列(周期)的M-RDGT中,窗函数长度与待分析序列长度必须相同, 对于超长序列的M-RDGT计算,无疑将大幅增加求解窗函数所需的 计算量及存储空间,有时甚至导致求解数值不稳定。
为了使得窗函数长度不随待分析序列长度变化,即用长度较短的 窗函数分析超长甚至无限长待分析序列GT及其快速算法,推导了超长序 列M-RDGT在满足完备性条件下新的窗函数双正交关系式。提出 了多抽样率快速并行实现多窗实值离散Gabor变换方法。
gabor小波变换
Gabor小波与人类视觉系统中简单细胞的视觉刺激响应超级相似。
它在提取目标的局部空间和频率域信息方面具有良好的特性。
尽管Gabor小波本身并非能组成正交基，但在特定参数下可组成紧框架。
Gabor小波关于图像的边缘灵敏，能够提供良好的方向选择和尺度选择特性，而且关于光照转变不灵敏,能够提供对光照转变良好的适应性。
上述特点使Gabor小波被普遍应用于视觉信息明白得。
二维Gabor小波变换是在时频域进行信号分析处置的重要工具，其变换系数有着良好的视觉特性和生物学背景，因此被普遍应用于图像处置、模式识别等领域。
与传统的傅立叶变换相较，Gabor小波变换具有良好的时频局部化特性。
即超级容易地调整Gabor滤波器的方向、基频带宽及中心频率从而能够最好的兼顾信号在时空域和频域中的分辨能力；Gabor小波变换具有多分辨率特性即变焦能力。
即采纳多通道滤波技术，将一组具有不同时频域特性的Gabor小波应用于图像变换，每一个通道都能够取得输入图像的某种局部特性，如此能够依照需要在不同粗细粒度上分析图像。
另外，在特点提取方面，Gabor小波变换与其它方式相较：一方面其处置的数据量较少，能知足系统的实时性要求；另一方面，小波变换对光照转变不灵敏，且能容忍必然程度的图像旋转和变形，当采纳基于欧氏距离进行识别时，特点模式与待测特点不需要严格的对应系统的鲁棒性。
不管从生物学的角度仍是技术的角度，Gabor特点都有专门大的优越性。
研究说明，在大体视觉皮层里的简单细胞的感受野局限在很小的空域范围内，而且高度结构化。
Gabor变换所采纳的核（Kernels）与哺乳动物视觉皮层简单细胞2D感受野剖面（Profile）超级相似，具有优良的空间局部性和方向选择性，能够抓住图像局部区域内多个方向的空间频率（尺度）和局部性结构特点。
如此，Gabor分解能够看做一个对方向和尺度灵敏的有方向性的显微镜。
同时，二维Gabor函数也类似于增强边缘和峰、谷、脊轮廓等底层图像特点，这相当于增强了被以为是脸部关键部件的眼睛、鼻子、嘴巴等信息，同时也增强了诸于黑痣、酒窝、伤疤等局部特点，从而使得在保留整体人脸信息的同时增强局部特性成为可能.它的小波特性说明了Gabor滤波结果是描述图像局部灰度散布的有力工具,因此,能够利用Gabor滤波来抽取图像的纹理信息. 由于Gabor特点具有良好的空间局部性和方向选择性，而且对光照、姿态具有必然的鲁棒性，因此在人脸识别中取得了成功的应用。
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• 时域基函数为高斯的，频域也为高斯的。
• 高斯基函数的功率谱为均匀的，均匀Gabor采样。
Gabor基函数的选择（5）
非均匀Gabor采样 • 例4：Gabor基函数的时域形式为：
g T (t mT), s 0 2 g ms (t ) 1 s 1 [2 s (t 2 mT )] exp[ jn( s 1)t ], s 0 g T
12
t 1 p 2 T f * (t )
Gabor基函数的选择（3）
例2：高斯窗函数
t 2 e g (t ) T T
12
2
对偶函数为：
1 K0 (t ) 2T
,s 0
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37
20
展开系数的确定
2018/11/8
21
0.4 0.3
h(t)
0.2 0.1 0
0
5
10
15
20
25
30
35
0.6 0.4
g(t)
0.2 0 -0.2 -0.4 0 50 100 150 200 250 300
图2.4.3 在ab=1 时高斯窗的对偶函数
2018/11/8 22
2018/11/8
12 3 2
e
t T
2
n 1 / 2
(1) e 1
n T
n 1 / 2
2
Gabor基函数的选择（4）
基函数有两种常用的表达式。 jnt 高斯函数 g mn (t ) g T (t m T)e
g T (t ) e
( t / T ) 2
2 g mn ( w) g ( w n)e jmT ( wn)
Gabor变换
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1
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2
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3
2018/11/8
4
2018/11/8
5
h(t)
h(t-a)
h(t-na)
0
a h(t-a)exp(j2pi*b*t)
na
t
a
na
t
h(t-a)exp(j2pi*m*b*t)
a
na
t
2018/11/8
6
2018/11/8
0.4
Energy spectral density
Frequency [Hz]
500 250 0
0.3
0.2
0.1
0 0 50 100 150 Time [s] 200
2018/11/8
30
Signal in time 1
Real part
Linear scale
0.5 0 -0.5
GABOR, Lh=16, Nf=16, N=32, Q=4, lin. scale, imagesc, Thld=5%
7
2018/11/8
8
2018/11/8
9
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10
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11
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13
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14
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19
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0.4
Energy spectral density
Frequency [Hz]
868 434 0
0.3
0.2
0.1
0 0 50 100 150 Time [s] 200 250
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31
Gabor基函数的选择（1）
几种不同窗函数的举例：
例1． 令矩形函数的时宽为 T，即
g (t )
1 T
12
t p 2 T
其中， p ( x ) 1, x [ 1,1]
1 G (t , w) T
12
1 (t , w) T
12
Gabor基函数的选择（2）
1 故得到 (t ) T
( ) 2 G ms 2 s 1
频域 Gabor基函数为：
2 ( ) exp( jmT ), s 0 g n( s 1) s 1 exp j mT n s 1 g 2 s 1 2
12
t p 2 g (t ) T
(t)=g(t)与 g(t)自动满足双正交条件，
所以上面的矩形窗函数 g(t)与其对偶 函数 (t)完全相同。
1 g (t ) T
12
t p 2 f (t ) T
1 (t ) T
23
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24
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29
Signal in time 1
Real part
Linear scale
0.5 0 -0.5 GABOR, Lh=16, Nf=8, N=16, Q=1, lin. scale, imagesc, Thld=5%