2.1 等式性质与不等式性质 课件-人教A版高中数学必修第一册
§2.1 等式性质与不等式性质
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的 不 等关系吗? (1)某路段限速40km/h; 设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h,“限速 40km/h”就是v的大小不能超过40,于是0< v ≤ 40
(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%;
§2.1 等式性质与不等式性质
问题1:这会标中含有哪 些几何图形?
直角三角形,正方形
问题2:你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系?
§2.1 等式性质与不等式性质
问题3:四个三角形的总的
D
面积是多少?外部的正方 形ABCD的面积是多少?
2ab, a2 b2
GF
C
问题4:你能从左图中从 面积的角度比较这两个
思考3:如果两个实数的差是正数,那么这两个实数
的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语言描 述这个原理?
a-b＞0 a＞b
思考4:如果两个实数的差等于零,那么这两个实数
的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语言描述 这个原理?
a-b=0 a=b
§2.1 等式性质与不等式性质
思考5:如果两个实数的差是负数,那么这两个实数 的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语言描 述这个原理?
性质8 (可开方性):
如果a b 0, 那么n a n b,(n N , n 2)
当不等式的两边都是正数时,不等式的两 边同时开方所得得不等式和原不等式同向.
§2.1 等式性质与不等式性质
例2 已知a b 0, c 0, 证明：c c . ab
分析 要证明 c c ,因为c 0, 所以可 ab
不等关系与不等式 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、 “≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示 它们之间的不等关系，含有这些符号的式子， 叫做不等式。
不等式: 用不等号表示不等关系的式子。
文字语言
大于、 高于、 超过、 多于
小于、 低于、 少于
大于等于、 小于等于、
至少、
至多、
不低于
不多于、
a2 +b2 2ab 当且仅当a b时取等号.
§2.1 等式性质与不等式性质
重要不等式 一般地,对于任意实数a、b,我们有
a2 b2 2a b
当且仅当a=b时,等号成立.
§2.1 等式性质与不等式性质
思考:请你先梳理等式的基本性质,再观察它们的共 性.你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗?
§2.1 等式性质与不等式性质 5、下列命题正确的是( B )
①a b,则ac2 bc2;
②a | b |,则a2 b2;
③a b,则a3 b3;
④|a | b,则a2 b2 .
性质5(同向可加性): 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. 两个同向不等式相加,所 得不等式与原不等式同向.
性质6 (同向同正可乘性): 如果a>b>0,c>d>0,那么 ac>bd.
两边都是正数的同向不等式相乘， 所得的不等式和原不等式同向.
§2.1 等式性质与不等式性质
不等式的性质
性质7(可乘方性): 如果a b 0, 那么an bn ,(n N , n 1) 当不等式的两边都是正数时,不等式的两 边同时乘方所得得不等式和原不等式同向.
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的 不 等关系吗? (1)某路段限速40km/h; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 犳应不少于2.5%,蛋白质的含量狆应不少于2.3%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第 三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂 线 段最短．
以先证明 1 1 , 利用已知a b 0和 ab
性质3,即可证明 1 1 . ab
§2.1 等式性质与不等式性质
例2 已知a b 0, c 0, 证明：c c . ab
证明 :因为a b 0, 所以ab 0, 1 0
ab
于是a 1 b 1
ab
ab
即1 1 ba
由c 0, 得 c c . ab
第二章 一元二次函数、 方程和不等式
情景导学
购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超 过 1.1 m(含 1.1 m)而不超过 1.5 m 的儿童，享受半价客 票、加快票和空调票(简称儿童票)，超 1.5 m 时应买全 价票．每一成人旅客可免费携带一名身高不足 1.1 米的 儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．从数学 的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？
§2.1 等式性质与不等式性质 1、已知a>b,c>d,且c、d不为0,那么下列不等式 成立的是( D ) A、ad>bc B、ac>bc C、a-c>b-d D、a+c>b+d
§2.1 等式性质与不等式性质
2、下列命题中正确的是( C ) A、若a>b,则ac2>bc2 B、若a>b,c<d,则a+c>b+d
不超过
> 符号语言
<
≥≤
§2.1 等式性质与不等式性质
在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关 系和不等关系,例如多与少、大与小、长与短、高 与矮、远与近、快 与慢、涨与跌、轻与重、不超 过或不少于等.类似于这样的 问题,反映在数量关 系上,就是相等与不等.相等用等式表 示,不等用不 等式表示．
§2.1 等式性质与不等式性质
A
a
B
x
b
a<b
B
A
x
b
a
a>b
§2.1 等式性质与不等式性质
不等式基本原理
思考1:实数可以比较大小,对于两个实数a,b, 其
大小关系有哪几种可能?
a＞b,a=b,a＜b
思考2:任何一个实数都对应数轴上的一个点,那
么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何?
大数对应的点位于小数对应的点的右边
§2.1 等式性质与不等式性质
不等式基本原理
a-b＞0 a＞b
a=b a-b=0 a＜b a-b＜0
从上述基本事实可知,要比较两个实数的大 小,可以转化为比较它们的差与０的 大小．
§2.1 等式性质与不等式性质
比较两数(式)的大小的最基本和首选的方法： 例1 比较( x 2)( x 3)与( x 1)( x 4)的大小. 分析:通过考察这两个多项式的差与０的大小 关系,可以得出它们的大小关系．
性质1(对称性): 如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么
a>b.即
abba
性质2(传递性): 如果a>b,b>c,那么a>c.即
a b,b c a c
§2.1 等式性质与不等式性质 性质2(传递性)的证明
a b
b c
a b
b c
0
0
(a
b)
(b
c)
0
ac 0
ac
§2.1 等式性质与不等式性质
a-b＜0 a＜b
不等式基本原理
ab0ab
ab 0 a b
ab0ab
比较两个实数大小的方法——作差法
§2.1 等式性质与不等式性质
关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实：
如果a-b是正数,那么a＞b;如果a-b等于０,那 么a=b;如果a-b是负数,那么a＜b.反过来也对. 这 个基本事实可以表示为:
A
a
H b
E
数的大小吗?
a2 b2 2ab
a2 b2
B
§2.1 等式性质与不等式性质
D
GF
A
a
H b
E
a2 b2
B
问题5:当直角三角形变为 等腰直角三角形,即a=b 时, 正方形 EFGH缩为一个点, 这时有三角形的面积和与 C 正方形的面积之间有何关 系?
a2 b2 =2ab
§2.1 等式性质与不等式性质
线段最短．
C
如图一是点线,则段CADB＜上C不E同．于D的任A
ED
B
§2.1 等式性质与不等式性质
问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以 售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元销 售量就可能相应减少2000本.如何定价才能使提 价后的销售总收入 不低于20万元? 设提价后每本杂志的定价为x元,则销售总收入为
不等式的性质
性质3(可加性): 如果a>b,那么a+c>b+c. 不等式的两边都加上同一个实 数,所得不等式与原不等式同向.
a b c a b (b) c (b) a c b
不等式中任何一项可以改变 符号后移到不等号的另一边.
§2.1 等式性质与不等式性质
不等式的性质
性质4(可乘性): 如果a>b,c>0,那么ac>bc.如果 a>b,c<0,那么ac<bc.
解: 因为( x 2)( x 3) ( x 1)( x 4)
( x2 5x 6) ( x2 5x 4) 20
所以( x 2)( x 3) ( x 1)( x 4) 比较两个数(式)的大小的方法:作差,与零比较大小.
§2.1 等式性质与不等式性质
1、已知x>1,比较x3+6x与x2+6的大小． 解： ∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6
实际上,在初中我们已经通过具体实例归纳出 了一些不等式的性质.那么,这些性质为什么是正 确的?还有其他不等式的性质吗?回答这些问题要 用到关于两个实数大小关系 的基本事实．
§2.1 等式性质与不等式性质
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人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
习题2.1 第7、10题
等式2 + 2 ≥ 2;
2.习题2.1 第2、3、8题
0,要证
>
0,求证
1
,即证
证： 因为 > > 0,
1
1
所以
< ,
又因为 < 0,
所以
> ,
得证.
<
1
.
>
.
LOGO
例2：求解本节问题2所列不等式 8 −
解： 8 −
−0.5
0.1
−0.5
0.1
× 0.2 ≥ 20
× 0.2 − 20 ≥ 0
−2 2 + 13 − 20 ≥ 0
f≥2.5%,g≥2.3%
2
连接直线外一点与直线上
各点的所有线段中，垂线
段最短。
CD<CE
3
三角形两边之和大于第三
边，两边之差小于第三边；
a+b>c;a-b<c
LOGO
情景导入
某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可
提价后的销售总收
入≥2 x 1 x 4
作差
变形
定号
结论
在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边的长为, .
> 4△
= 4△
=
（1）如图，可得不等式
2
+
2
> 2
2.1等式性质与不等式性质(共2课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
1 比较两数(式)的大小
目 录
01 新知探究
问题2你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
01 新知探究
问题2 常见的不等关系下列，你能用文字语言和符号语言表述吗？
文字 语言
大于
大于 等于
小于
小于 等于
至多
至少 不少于 不多于
符号 语言
>
≥
<
≤≤
≥ ≥≤
问题3 在初中阶段如何比较两个实数的大小关系呢？
还有其他方法吗
A
B
C
－4 －3 －2 －1
0
1 2 3 4 5x
实数与数轴上的点一一对应,且从左到右依次增大。
01 新知1——比较两数(式)的大小
1.两实数大小关系的基本事实 作差法
B
A
b
x
A（B）
（b）
x
A
B
b
x
0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”.
练一练
练一练
例 2.已知a≥1,试比较 M a 1 a
解 依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200.
例2.一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70， 用不等式表示为1_0_y_＋__x_>_7_0____.
解 ∵该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x>70.
04 题型1－作差法比较大小
例3 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小. 解 (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34. ∵x＋122≥0， ∴x＋122＋34≥34>0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
2.1+等式性质与不等式性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
() () ()
例2已知12 a 60,15 b 36,求 a b和 a 的范围. b
例题选讲
例 3 已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的取值范围．
解: ∵已知－π2≤α＜β≤2π,∴－π4≤α2＜π4,－π4＜β2≤4π, 两式相加,得－2π＜α＋2 β＜π2.
∵－4π＜β2≤π4. ∴－π4≤－β2＜π4. ∴－π2≤α－2 β＜π2，
收费总额分别为 y 甲、y 乙，一张全票价为 a 元，则
y 甲＝a＋0.55ax，
y 乙＝0.75(x＋1)a.
y 甲－y 乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a＝0.2a(1.25－x),
当 x＞1.25 (x∈N)时, y 甲＜y 乙; 当 x＜1.25,即 x＝1 时, y 甲＞y 乙.
2.1 等式与不等式的基本性质
生活中的相等关系和不等关系
问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可 以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元销 售量就可能减少2000本. 如何定价才能使提价后 的销售总收入不低于20万元?
(8 x 2.5 0.2)x 20 0.1
[例3] (1)已知a，b均为正实数．试利用作 差法比较大小：
①a3＋b3与a2b＋ab2； ②a5＋b5与a3b2＋a2b3. (2)根据(1)中比较大小的结果，你认为有更 一般的结论吗？若有，请证明你的结论．
[解] (1)①a3＋b3－(a2b＋ab2)
＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
人教版高中数学必修第一册2.1等式性质与不等式性质 第1课时【课件】
D.4ab＝200
题型二 比较大小
例2 (1)比较x2＋3与3x的大小，其中x∈R. (2)已知x>3，比较x3＋3与3x2＋x的大小． (3)已知x，y∈R，求证：x2＋2y2≥2xy＋2y－1.
【解析】 (1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝x－322＋34≥34>0， ∴x2＋3>3x. (2)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3) ＝(x－3)(x＋1)(x－1)． ∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0， ∴x3＋3>3x2＋x. (3)证明：由题意x2＋2y2－(2xy＋2y－1)＝x2－2xy＋y2＋y2－2y＋1＝(x－y)2＋ (y－1)2≥0，∴x2＋2y2≥2xy＋2y－1成立．
方法二：∵a>b，∴a－b>0，∴a3－b3－ab(a－b)＝(a－b)(a2＋ab＋b2)－ab(a
－b)＝(a－b)(a2＋b2)>0，
∴a3－b3>ab(a－b)．
题型三 重要不等式的应用
例3 已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 【证明】 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0. ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， 即2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)≥0. ∴a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)≥0. ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 当且仅当a＝b＝c时取等号．
2.1 等式性质与不等式性质(第1课时) 不等关系与比较大小
要点1 比较两实数a，b大小的依据
文字叙述
符号表示
如果a－b是正数，那么a>b
a－b>0⇔__a_>_b____
题型二 比较大小
例2 (1)比较x2＋3与3x的大小，其中x∈R. (2)已知x>3，比较x3＋3与3x2＋x的大小． (3)已知x，y∈R，求证：x2＋2y2≥2xy＋2y－1.
【解析】 (1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝x－322＋34≥34>0， ∴x2＋3>3x. (2)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3) ＝(x－3)(x＋1)(x－1)． ∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0， ∴x3＋3>3x2＋x. (3)证明：由题意x2＋2y2－(2xy＋2y－1)＝x2－2xy＋y2＋y2－2y＋1＝(x－y)2＋ (y－1)2≥0，∴x2＋2y2≥2xy＋2y－1成立．
方法二：∵a>b，∴a－b>0，∴a3－b3－ab(a－b)＝(a－b)(a2＋ab＋b2)－ab(a
－b)＝(a－b)(a2＋b2)>0，
∴a3－b3>ab(a－b)．
题型三 重要不等式的应用
例3 已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 【证明】 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0. ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， 即2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)≥0. ∴a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)≥0. ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 当且仅当a＝b＝c时取等号．
2.1 等式性质与不等式性质(第1课时) 不等关系与比较大小
要点1 比较两实数a，b大小的依据
文字叙述
符号表示
如果a－b是正数，那么a>b
a－b>0⇔__a_>_b____
2.1等式性质与不等式性质第1课时课件高一上学期数学人教A版
例1 比较(x +2)(x +3)和(x +1)(x +4)的大小.
所以(x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)．
2 ＞0
四、作差法比较大小
四、作差法比较大小
小结：用作差法比较两个实数（式子）大小的基本步骤
四、作差法比较大小
四、作差法比较大小
总结：本节课我们学会了从实际问题 所蕴含的不等关系中抽象出不等式； 能运用两个实数大小关系这个基本事 实来比较两个代数式的大小.
二、从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h；
从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （4）解：如图，设C是线段AB外任意一点，CD垂直于AB，垂 足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD<CE.
高一— 2019人教A版—数学—必修一第二章
2.1等式性质与不等式性质（第1课时）
学习目标
会从实际问题所蕴 含的不等关系中抽 象出不等式，提升 学生的数学抽象素 养
理解两个实数大 小关系的基本事 实，能运用这个 基本事实比较两 个代数式的大小
一、引入新 课
天平 ——平衡——相等关系 跷跷板——失衡——不等关系
拓展探究：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万 本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少 2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
方法二：设提价后每本杂志的定价为x元，
想要继续解这个不等式，请关注下一节课《等性质式与不等式性质（第 二课时）》
所以(x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)．
2 ＞0
四、作差法比较大小
四、作差法比较大小
小结：用作差法比较两个实数（式子）大小的基本步骤
四、作差法比较大小
四、作差法比较大小
总结：本节课我们学会了从实际问题 所蕴含的不等关系中抽象出不等式； 能运用两个实数大小关系这个基本事 实来比较两个代数式的大小.
二、从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h；
从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （4）解：如图，设C是线段AB外任意一点，CD垂直于AB，垂 足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD<CE.
高一— 2019人教A版—数学—必修一第二章
2.1等式性质与不等式性质（第1课时）
学习目标
会从实际问题所蕴 含的不等关系中抽 象出不等式，提升 学生的数学抽象素 养
理解两个实数大 小关系的基本事 实，能运用这个 基本事实比较两 个代数式的大小
一、引入新 课
天平 ——平衡——相等关系 跷跷板——失衡——不等关系
拓展探究：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万 本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少 2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
方法二：设提价后每本杂志的定价为x元，
想要继续解这个不等式，请关注下一节课《等性质式与不等式性质（第 二课时）》
人教高中数学必修一2.1.等式性质与不等式性质课件
0 <v≤40
B,C
新课引入
练习：用不等式表示下面的不等关系：
1、a与b的和是非负数；
2、某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”
想一想,你还能举出哪些类似的例子?
a+b≥0
H≤4
学习新知
例题讲授
例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
3、a是一个非负实数。
在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？
7℃≤t≤13℃
AB+AC>BC或……
a≥0
新课引入
4、右图是限速40km/h的路标，指导司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
练习巩固
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？
完成课本第40页第2题
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
变式：
例题讲授
例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
B,C
新课引入
练习：用不等式表示下面的不等关系：
1、a与b的和是非负数；
2、某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”
想一想,你还能举出哪些类似的例子?
a+b≥0
H≤4
学习新知
例题讲授
例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
3、a是一个非负实数。
在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？
7℃≤t≤13℃
AB+AC>BC或……
a≥0
新课引入
4、右图是限速40km/h的路标，指导司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
练习巩固
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？
完成课本第40页第2题
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
变式：
例题讲授
例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
人教A版高数必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
D
GFC
A
H a
E
a2+b2
b B
等式性质与不等式性质(1)
实际 一 不
问题
等
一 不等式
不等 式性
?
关系
质
数学抽象
两个实数大小 关系的基本事 实（作差法）
高中数学
高中数学
注：a + c ＞ b ，a – c ＜ b 等其它合理情势也正确.
高中数学
问题2： 你能用不等式或不等式组表示下列问题中
的不等关系吗？
（4） 连接直线外 一 点与直线上各点的所有线段中，
垂线段最短.
解：如图， 设C是直线AB外的任意一 点，
C
CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任
意 一 点， 连接线段CE， 则CD＜CE.
等式性质与不等式性质(1)
高中数学
代数学习
等式 → 方程（组）
数式
函数
不等式
一
一 元 一 次不 等式（组）
解不等式（组） 的理论根据是什么？
方程（组） 、 不等式与函数之间有什么联系？
高中数学
问题1： 常见的不等关系有哪些？ 你能用文字语言 和符号语言表述吗？
文字语言
符号语言
大于
>
小于
<
大于或等于（ 不小于）
≥
小于或等于（ 不大于）
≤
高中数学
问题2： 你能用不等式或不等式组表示下列问题中 的不等关系吗？
（ 1） 某路段限速40 km/h； 解：设在该路段行驶的汽车的速度为 v km/h，“ 限 速40 km/h ”就是 v 的大小不能超过40， 于是0 ＜v ≤ 40.
高中数学
等式性质与不等式性质课件(1)高一上学期数学人教A版
每本提价 0.2 元，则发行量将减少 4000 本，为使销 售总收入不小于 9 万元，需确定提价的范围，请用 不等式表示该不等关系.
解：若幼儿图书的定价为x元，则销售量减少：
x 2 0.4万本, 因此，销售总收入为： 0.2 (5 x 2 0.4)x万元.
0.2 那么不等关系“销售总收入不小于9万元”可以用不 等式为：
Hale Waihona Puke 例题课本38页例1：比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．
解：(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)
作差
＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4) 变形
作 差 比
＝2>0，
定符号 较
∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
确定大小 法
归纳总结
作差比较法的一般步骤是：①作差；②变形；③定号；
2.1 等式性质与不等式性质（1）
《必修》（第一册）P37 ~ P40
复习引入
1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等 和不等关系，例如：
长短 大小
轻重 高矮
在数学中，我 们怎样表示相 等与不等关系？
相等用等式表 示，不等用不 等式表示
2.我们用数学符号 , , , , 连接两个数或代数式，
分析：(1 )销售量减少了多少? x 2.5 0.2万本
0.1
(2)现在销售量是多少? (8 x 2.5 0.2)万本
0.1
(3)销售总收入为多少? (8 x 2.5 0.2)x万元
0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万本, 因此，销售总收入为： 0.1
解：若幼儿图书的定价为x元，则销售量减少：
x 2 0.4万本, 因此，销售总收入为： 0.2 (5 x 2 0.4)x万元.
0.2 那么不等关系“销售总收入不小于9万元”可以用不 等式为：
Hale Waihona Puke 例题课本38页例1：比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．
解：(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)
作差
＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4) 变形
作 差 比
＝2>0，
定符号 较
∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
确定大小 法
归纳总结
作差比较法的一般步骤是：①作差；②变形；③定号；
2.1 等式性质与不等式性质（1）
《必修》（第一册）P37 ~ P40
复习引入
1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等 和不等关系，例如：
长短 大小
轻重 高矮
在数学中，我 们怎样表示相 等与不等关系？
相等用等式表 示，不等用不 等式表示
2.我们用数学符号 , , , , 连接两个数或代数式，
分析：(1 )销售量减少了多少? x 2.5 0.2万本
0.1
(2)现在销售量是多少? (8 x 2.5 0.2)万本
0.1
(3)销售总收入为多少? (8 x 2.5 0.2)x万元
0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万本, 因此，销售总收入为： 0.1
高中数学人教A版必修第一册课件2.1等式性质与不等式性质(课件共11张PPT)
性质3 若a b,则a c b c 不等式左右两边同时加上(或减去)同一个数,不等号方向不变.
性质3的推论 若a b c,则a c b. 不等式中的项移到另一边时，要改变符号.
性质4 若a b, c 0则ac bc. 若a b, c 0则ac bc.
不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变. 不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
探究: 当 a>b 时, 1a与1b的大小关系如何？
一个重要的常用不等式:
a>b,
ab>0
11 a<b
例1
(1)已知a b, c d , 求证：a c b d; (2)已知a b c 0, 求证： b b c .
ab ac ac
练习
(1)已知 a>b>0,c<0, 求证: ac>bc
达式中，从而用f (1)与f (2)来表示f (3)。最后运用已知条
件确定f (3)的取值范围。
解：
f
x
ax2
c
f (1) a c f (2) 4a c
即4aacc
f (1) .
f (2)
解之得ca113[[ff((22))4ff((11))]]
f
(3)
9a c
8 3
f
(2)
5 3
f
例 2 已知 f(x)=ax2－c, 且－4≤ f(1) ≤－1, －1≤f(2)≤5, 求 f(3)的取值范围.
例 2:已知函数f (x) ax2 c, 4 f (1) 1,
1 f (2) 5,求f (3)的取值范围.
分析：利用f (1)与f (2)设法表示a、c然后再代入f (3)的表
性质3的推论 若a b c,则a c b. 不等式中的项移到另一边时，要改变符号.
性质4 若a b, c 0则ac bc. 若a b, c 0则ac bc.
不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变. 不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
探究: 当 a>b 时, 1a与1b的大小关系如何？
一个重要的常用不等式:
a>b,
ab>0
11 a<b
例1
(1)已知a b, c d , 求证：a c b d; (2)已知a b c 0, 求证： b b c .
ab ac ac
练习
(1)已知 a>b>0,c<0, 求证: ac>bc
达式中，从而用f (1)与f (2)来表示f (3)。最后运用已知条
件确定f (3)的取值范围。
解：
f
x
ax2
c
f (1) a c f (2) 4a c
即4aacc
f (1) .
f (2)
解之得ca113[[ff((22))4ff((11))]]
f
(3)
9a c
8 3
f
(2)
5 3
f
例 2 已知 f(x)=ax2－c, 且－4≤ f(1) ≤－1, －1≤f(2)≤5, 求 f(3)的取值范围.
例 2:已知函数f (x) ax2 c, 4 f (1) 1,
1 f (2) 5,求f (3)的取值范围.
分析：利用f (1)与f (2)设法表示a、c然后再代入f (3)的表
人教A版必修第一册高中数学2.1等式性质与不等式性质【教学课件】
杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使
提价后的销售总收入不低于20万元?
学习新知
如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式
的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．
在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质
为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？
[练习2]比较大小 : x2 2 y 2 ____
> 2xy 2 y 2.
①画图
②配方
析 : x2 2 y 2 (2 xy 2 y 2) ( x y)2 ( y 1)2 1
2
2
2.重要不等式：a, b R, a b 2ab(当且仅当a b时等号成立).
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．
这是解决不等式问题的常用方法．
应用新知
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．
其思维过程：作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论，
其中变形是判断符号的前提．
作差法比较大小的基本步骤：
（1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
（2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
④限制宽度3m, 0 < ≤ 3.
④通行时间7: 30 − 10: 00,7.5 ≤ ≤ 10.
引入新知
在数学中，我们用不等式来表示不等关系.
文字语言
数学符号
文字语言
大于
＞
大于，高于，超过
小于
＜
小于，低于，少于
大于或等于
≥
至少，不少于，不低于
小于或等于
≤
至多,不多于,不超过
提价后的销售总收入不低于20万元?
学习新知
如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式
的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．
在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质
为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？
[练习2]比较大小 : x2 2 y 2 ____
> 2xy 2 y 2.
①画图
②配方
析 : x2 2 y 2 (2 xy 2 y 2) ( x y)2 ( y 1)2 1
2
2
2.重要不等式：a, b R, a b 2ab(当且仅当a b时等号成立).
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．
这是解决不等式问题的常用方法．
应用新知
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．
其思维过程：作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论，
其中变形是判断符号的前提．
作差法比较大小的基本步骤：
（1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
（2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
④限制宽度3m, 0 < ≤ 3.
④通行时间7: 30 − 10: 00,7.5 ≤ ≤ 10.
引入新知
在数学中，我们用不等式来表示不等关系.
文字语言
数学符号
文字语言
大于
＞
大于，高于，超过
小于
＜
小于，低于，少于
大于或等于
≥
至少，不少于，不低于
小于或等于
≤
至多,不多于,不超过