华师版数学九年级上册强化专训-二次根式(1)
华师版九年级数学上册《二次根式》阶段核心方法专训比较含二次根式的式子的大小的八种方法
n＋3＋ 2
n＋1＞0，
1y＝
1 n＋2－
＝ n
n＋2＋ 2
n＞0，∵
n＋3＋
n＋1
＞ n＋2＋ n＞0，∴1x＞1y＞0，∴x＜y.
阶段核心方法专训
7 ． 用 “<” 将
x
，
1 x
，
x2
，
x连接起来为
______________________________(0<x<1)．
解：取特殊值 x＝14，则1x＝4，x2＝116， x ＝12，∴x2＜x＜ x＜1x.
3
8 5－a＞ a－6.
阶段核心方法专训
1．比较 6＋ 11与 14＋ 3的大小． 解：因为( 6＋ 11)2＝17＋2 66，( 14＋ 3)2 ＝17＋2 42，17＋2 66＞17＋2 42，所以( 6 ＋ 11)2>( 14＋ 3)2.又因为 6＋ 11>0， 14 ＋ 3>0，所以 6＋ 11＞ 14＋ 3.
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
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1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！
华师版数学九年级上册强化专训-二次根式的除法(1)
华师版数学九年级上册阶段强化专训
二次根式的除法
【知识与技能】
1.理解
b a b a =（a ≥0,b ＞0）和b a b a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算.
2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.
3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
【过程与方法】
1.先由具体数据，发现规律，导出
b a b a = (a ≥0,b ＞0），并用它进行计算.
2.再利用逆向思维，得出
b a b a =（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简.
3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
【情感态度】 通过探究b a b
a =（a ≥0,
b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导b
a b a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.
【教学重点】
1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0），b
a b a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简.
2.最简二次根式的运用.
【教学难点】
发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.
一、情境导入，初步认识
（学生活动）请同学们完成下列各题.
1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式.
2.填空：
3.利用计算器计算填空：
【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评.
二、思考探究，获取新知。
2020华师大版九年级数学上 二次根式(全章)习题及答案
【文库独家】二次根式21.1 二次根式：1. 有意义的条件是 。
2. 当__________3. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
6. 2x =，则x 的取值范围是 。
7. 2x =-，则x 的取值范围是 。
8. )1x 的结果是 。
9. 当15x ≤5_____________x -=。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
11. 11x =+成立的条件是 。
12. 若1a b -+()2005_____________a b -=。
13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x xx x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）15. 若23a ）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -16. 若A ==（ ）A. 24a +B. 22a +C. ()222a + D. ()224a +17. 若1a ≤）A. (1a -B. (1a -C. (1a -D. (1a -18.=x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥19.）A. 0B. 42a -C. 24a -D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）()()()()23123224==-==∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4 21.2440y y -+=，求xy 的值。
22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。
23. 去掉下列各根式内的分母：())10x ())21x24. 已知2310x x -+=25. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。
华师版数学九年级上册强化专训-二次根式的乘法(1)
华师版数学九年级上册阶段强化专训二次根式的乘法说课稿一、教学目标1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．2．会进行简单的二次根式的乘法运算．3．使学生能几何课中学习的勾股定理解决实际问题．二、教学重点和难点1．重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.2．难点：进行二次根式的化简.．重点难点分析：本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.本节难点是掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。
综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.三、教学方法从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．1. 由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解二次根式的乘法时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。
2. 积的算术平方根的性质和（）及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。
由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。
四、教学手段利用投影仪．五、教学过程(一)引入新课观察下面的例子：于是可得到：又如：类似地可以得到：由上一节知道一般地，有a b •=ba •(a 0≥,b 0≥)；通过上面的例子，大家会发现 b a •=b a •(a 0≥,b 0≥) 也成立. (二)新课积的算术平方根．由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有(a ≥0，b ≥0)．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．要注意a ≥0、b ≥0的条件，因为只有a 、b 都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a ≥0、b ≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a 、b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a 、b 的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形。
华师版九年级数学上册《二次根式》专题技能训练(一)
专题技能训练
2．观察下列各式：① 1＋13＝2 13，② 2＋14＝3 14， ③ 3＋15＝4 15，…，根据以上规律，第 n 个等式应为 __________________．
专题技能训练
【点拨】等式左边的被开方数中的第 1 个加数依次为 1、2、3、…，
第 2 个加数的分子为 1，分母比第 1 个加数大 2；等式右边根号
专题技能训练
(3)3 0.5－
315－(2 0.125－ 2(
22－2
5)＝322－455－ 22＋2
5＝
2
解(4＋)：265原32式5－. ＝6 2×413＋2－61×2－33(＋128－3－2(37)．2－3 3)
＝8 2－2 3＋2 3－3 2＋3 3
＝5 2＋3 3.
专题技能训练 1．观察分析下列数据，寻找规律：0，－ 5， 10，－ 15，2 5，
－5， 30，…，则第 100 个数据应是_－__3__5_5__．
【点拨】观察发现第偶数个数为负，第奇数个数为正(第 1 个数 据除外)，且被开方数都是 5 的整数倍，故可得第 n 个数据为 (－1)n＋1· 5（n－1），则第 100 个数据为－ 495＝－3 55.
华师版 九年级上
第21章 二次根式
专题技能训练(一)
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训练1 1 见习题 2 见习题
3 见习题
答案显示
训练2 1 －3 55
5 见习题
2 见习题 6 见习题
3 x＜－1－ 3
4 见习题
专题技能训练
训练1 二次根式的运算
专题技能训练 1．计算：
(1)2 12×34÷3 2； 解：原式＝2×34×13× 122＝12 6.
华师大版九年级上册课件：21 1二次根式(1)
0.012 0.01
Hale Waihona Puke 1 2 1 3 3a2 a (a≥0)
( a)2与 a2有区别吗?
计算：
52 5
当a 0时
a2 a
1 1 2 6 6
当a 0时
a2 a
1:从运算顺序来看,
2 a
先开方,后平方
? 在实数范围内,负数没有平方根
例1： 当x取何值时，下列各式有意义？
(1) x 5 (2) x2 2
(3) x 1 x3
(4) x 2 2 x 1
( 4)2 4 ( 0)2 0
1
(
0.01)2 0.01 (
3 1 )2
3
2 a a (a≥0)
42 4
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣=
-a (a＜0) 思考：若 (m 4)2 4 m,则m的取值范围是 _m____4___
例2:
(1)计算 2
2
3
（2）若实数x、y，满足 x 2 ( y 3)2 则xy的值是 ______.
九年级（上 册） 华东师大版§21.1
二 次根 式
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那
么这个数叫做a的平方根。
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根
用 a (a 0)表示.
华师大版初中数学九年级上册22.1《二次根式》ppt课件1
9 (4) (6)2
课堂练习
▪ 练习：P3第1、2、 3
a a 0是一个非负数，即 a 0a 0
a 2 a 0等于什么？
2
a aa 0
性质1：
1 a 0a 0
2 a 2 aa 0
计算：
( 5)2 5
( 100)2 100
( 2 )2 5
2 5
( 3)2 3
练习：
( 13)2 ( 16)2 ( 1 )2
3 ( 7)2
1. 16的平方根是 ±4;
2. 9的算术平方根是 3 ;
25
3. 的平方根是 ± 5;
1. a表示什么?
2.a需要满足什么条件?为什么?
当a是正数时， a表示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时， a等于0，也叫零的算术平方根； 当A是负数时，a没有意义.
a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
分析：要使式子 x 有1意义，必须x-1≥0，
即x≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0,
∴x≥1
X是怎样的数时,下列各式在实数范围内 有意义?
(1) x 3; (2) 2 4 x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
阅P3“思考”
性质2：
a2
|
a
|
a(a 0), a(a 0).
计算：
二次根式概念
形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式.
【说明】 二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0.
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5, a (a 0), 3 8, a (a 0)
华师版数学九年级上册强化专训-二次根式的加减
华师版数学九年级上册阶段强化专训二次根式的加减 一、学习目标1.了解同类二次根式的定义。
2.能熟练进行二次根式的加减运算。
二、学习重点重点：二次根式加减法的运算。
难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。
三、自主预习1.计算：（1）2x-3x+5x （2）2223a b ba ab +-2.自学课本内容，完成下面的题目：观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：（1）2322与 （2）32与 （3）205与 （4）1218与你判断同类二次根式的方法： 。
3.自学课本，仿例计算：（1）8+18 （2）7+27+397⨯ （3）348-913+312小结：进行二次根式的加减法分三个步骤：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
四、 合作探究1.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（293x x +y 3x y ）-（x 1x-5x y x ）的值。
五、巩固反馈1.二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④2.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A 、2x 与2yB 、3449a b 与5892a bC 、mn 与nD 、m n +与n m + 3.已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式，则满足条件的 a,b 的值（ ）A ．不存在B ．有一组C ．有二组D ．多于二组4.计算：（1）7238550 （2）)27131(12-- （3）213904540（4）x x x x 1246932-+ （5）232282xy x x +-(0,0)x y >>(6) yy x y x x 1241+-+ （7）)461(9322x x x x x x --5.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（293x x +y 3x y ）-（x 1x-5x y x ）的值。
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华师版数学九年级上册阶段强化专训
二次根式说课稿
一、教材分析
随着实际问题的复杂化,学生的学习逐渐涉及到较复杂的平方根、算术平方根的计算和应用。
本章开始就提出第一宇宙速度问题，出现了较复杂的算术平方根表示式情形，激发学生的求知欲，引入本章的学习。
第一节主要研究了二次根式的概念和性质，教科书首先要求学生回顾已学的平方根和算术平方根的知识，由此引出二次根式的概念。
在二次根式的概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求，教科书结合例题对此进行了较详细的分析。
“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，本章是在前面所学的基础上进一步研究二次根式的概念、性质和运算的内容与已学内容“实数”、“整式”、“勾股定理”等紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。
这一节研究的二次根式的概念和性质等内容，既是学习二次根式的化简和运算的依据，也是学习本章的关键。
二、教学目标
根据教材内容和学生的特点确定本课时的教学目标为：
1、知识技能：使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围。
2、数学思考：使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性。
3、解决问题：提高学生的数学探究能力和归纳表达能力及分类讨论思想。
4、情感态度：学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动体验发现的乐趣，并提高应用的意识，进一步培养学生的分类数学思想以及辩证的认知观点。
三、教学重难点
教学重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
教学难点：综合运用性质)0
)
=a
a
a。
(2≥
(0≥
(
≥a
a和)0
四、学情分析
1、学生已学习了平方根、算术平方根等有关知识，有了一定的知识基础和认知能力。
2、本课时及后面的知识学习对学生思维的严谨性、分类讨论及类比的数学思想等都有更高的要求，如果学生在此不能很好地理解和正确地认知，将对后续学习产生很大的影响，所以要求学生积极探究、思考，及时加以训练巩固，克服学习困难，真正“学会”。
五、教法和学法
1、注意加强知识间的纵向
前面已经学习了平方根、立方根的概念和求法等，学生对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受，因此，教学时要注意与已有经验的。
2、加强与实际的
理解二次根式的概念既是数学课程学习的需要，也是实际的需要，教材注意了与实际的。
如第一宇宙速度问题。
因此教学时要注意实际，使学生在解决实际问题过程中，认识二次根式的有关概念和运算。
3、体现由特殊到一般的认识过程
对于一些重要结论，让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出一般性结论，以此发展学生的思维能力，改变学生的学习方式，掌握认识事物的一般规律。
4、适当加强练习，为后续学习打好基础
本节内容属于“数与代数”领域中较基础的内容，尤其是下面的二次根式的加、减、乘、除运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数等知识的重要基础，教学中可以适当增加练习，使学生较好地理解二次根式的意义，掌握二次根式的性质和运算，为后续的学习打下良好的基础。
5、引导学生理解数学的本质
本节的重点是让学生理解二次根式的概念及性质和运算，对于概念应突出其实质，使学生将学习的重点放在理解数学的本质上来。
教学活动的本质是一种合作、一种交流，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者本节课主要采用合作探究、类比学习、引领提升等方式展开，让学生养成学习习惯。
六、教学过程
情境导入，初步认识——思考探究，获取新知——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结
七、总结收获�
1、二次根式的定义及被开方数的取值范围;
2、被开方数的取值范围在计算中经常作为隐含条件给出,注意合理应用。
学生总结有何收获和经验教训,教师根据学生反馈的情况适当补充、强调等。
有助于培养学生的总结能力,特别是让学生能够说出自己存在的错误，及时总结经验教训，避免今后出现类似的错误。