3-8.曲率及其应用
角膜曲率
角膜曲率仪测定角膜前表面曲率可为选择合适的软性角膜接触镜基弧提供依据，也可通过角膜曲率仪检查了解角膜散光度，为验光提供参考依据。
利用角膜曲率仪检测角膜前表面曲率半径，以毫米（mm，）表示。
软性角膜接触镜的验配，通常是将垂直和水平的曲率半径相加除以2，得平均值，再根据不同镜片的特性增加5%—10%的角膜曲率半径值即为所选用软性角膜接触镜的基弧。
例如，测得被检者角膜曲率半径平均值为7.6mm，如选用强生月抛型镜片，其基弧有8.4mm及8.8mm供选择，我们应选用基弧为8.4mm的镜片。
消费者常见的眼睛角膜曲率为7.0mm—8.5mm。
软性角膜接触镜常见的基弧有：博士伦软性角膜接触镜8.3mm、8.5mm、8.7mm；视康软性角膜接触镜8.6mm；卫康软性角膜接触镜8.4mm、8.6mm等。
角膜小曲率，选择过大基弧镜片。
如某消费者角膜曲率为7.3mm，但选配了8.7mm的博士伦软性角膜接触镜，将直接导致镜片松紧度过松、覆盖度差、中心定位不良、移动度过大，造成眼睛异物感，瞬目后因镜片偏位而发生视力模糊等不良后果。
角膜大曲率，选择过小基弧镜片。
如某消费者角膜曲率为8.0mm，但选配了8.4mm的卫康软性角膜接触镜，将直接导致镜片松紧度过紧、移动度过小，造成镜片下的泪液长时间不能排出，代谢产物积聚诱发角膜上皮毒性反应及角膜缺氧，进而因镜片的边缘压迫阻断角膜缘血管网的血供，导致紧镜综合征。
然而镜片移动小在早期并无不适感，不易发现，但镜片移动过小最为验配所忌。
如消费者的眼睛角膜曲率小于7.0mm或大于8.5mm，是不适合配戴软性角膜接触镜的。
如果没有角膜曲率仪，就无从知晓消费者的角膜曲率半径，当然无法判断应该为消费者选配多大基弧镜片，或者根本就不能配隐形眼镜。
验配员仅凭想象，主观臆断为消费者选配自己店内利润高的镜片，必然让消费者受到不可挽回的伤害。
在医疗器械经营许可证的办理中，大多数眼镜店都配备了角膜曲率计。
但是对于它的使用及具体作用还有很多人不是太了解，下面就角膜曲率计的使用及作用作下介绍。
《物理光学》§3-8用牛顿环测量透镜的曲率半径
分振幅干涉的基本内容回顾
由于两相干光束会聚角为2 由于两相干光束会聚角为2α， α楔形板的楔角。 λ 则，等厚条纹的间距为 则，等厚条纹的间距为 e = 2nα 由 Δ=2nhcosθ2(+λ/2)=m λ可知 =2nhcosθ (+λ 随着θ 随着θ2的增大，条纹将会发生弯曲，其规 律是朝向楔棱方向凸出。 薄膜的干涉与此原理相同，也是等厚条纹。 薄膜的干涉与此原理相同，也是等厚条纹。
D2 N= ∆C 4λ
§3－9 平面干涉仪
§3－9 平面干涉仪
是利用两个表面（一个是标准平面，一个是被检 平面）之间的楔形空气层产生的等厚干涉条纹检 L G G 验平面零件的仪器。 M 一、 原理： S 如图：
1 2
O ①标准平板G1； ①标准平板G1； 通常有很小的楔角，目的是使上表面和下表面的 反射光束分开一定角度，使上表面反射光束移出 视场之外。 ②被检测平板和标准平板之间的楔角和方向可以 通过它所在的调节盘进行调节，因而条纹间距和 方向可以随之变化。
分振幅干涉的基本内容回顾
一、平行平板——等倾条纹 平行平板——等倾条纹 由于光程差Δ=2nhcosθ (+λ 由于光程差Δ=2nhcosθ2(+λ/2)=m λ 故：若nh是均匀的，则条纹 故：若nh是均匀的，则条纹是θ2的函数； 即， θ2相同，则Δ相同、 m相同； 相同，则Δ 此时在观察屏上将形成环形条纹； 条纹是入射光对平行平板倾角相同的点的 条纹是入射光对平行平板倾角相同的点的 轨迹，且其定域面在无穷远处，须用望远 系统或在透镜焦平面上来观察其干涉图。
分振幅干涉的基本内容回顾
两类分振幅干涉装置产生的定域干涉图 （条纹）分别对应于： 平行平板——等倾条纹 平行平板——等倾条纹 楔形平板——等厚条纹 楔形平板——等厚条纹 其共同特点在于： 其共同特点在于： 光程相差Δ=2nhcosθ (+λ/2)的两束相干 光程相差Δ=2nhcosθ2(+λ/2)的两束相干 光分别由同一入射光在平板的上下两表面 产生。 其不同点在于： 其不同点在于：
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
弧微分公式 曲率的概念与曲率的计算 曲率圆与曲率半径
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
一、弧微分公式
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 1 y2 dx
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
2
(2) 曲线弧由参数方程给出:
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
6
2.曲率的计算公式 K d .
ds
设y f ( x)二阶可导,
有 arctan y,
tan y,
d
y 1 y2
dx,
ds 1 y2dx. k
y 3.
(1 y2 )2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
7
设曲线方程为
x (t),
y
(t
),
(t)， (t)二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
y
a1
cost
一拱的弧长。
0 t 2
解 由公式得
l 2 [a(1 cost)]2 (a sin t)2 dt 0
o
2a
2
2a
1 costdt 2a 2 sin t dt
极限曲率法及其应用
石油学报 1997年7月ACT A PETROLEI SINICA第18卷 第3期*苏义脑,1976年毕业于武汉钢铁学院机械系,分别于1982年、1988年获硕士、博士学位。
现为石油勘探开发科学研究院教授级高级工程师,博士生导师。
通讯处:北京学院路910信箱。
邮政编码:100083。
极限曲率法及其应用苏义脑*(石油勘探开发科学研究院 北京)摘 要 水平井井眼轨道预测和控制问题的技术关键是准确计算各种造斜工具的造斜能力。
在综合分析定向井轨道预测方法和水平井预测控制特点的基础上,提出了一种计算导向动力钻具和各种转盘钻钻具组合造斜能力的新方法——“极限曲率法”,并对国际上当前流行的“三点定圆法”及极限曲率法作了讨论和对比;给出了极限曲率法在计算工具造斜能力和工具选型、系列工具的总体设计和井眼轨道的预测控制这三方面的应用实例,表明该方法是一种与实践相符程度较高、实用性较好的新方法。
主题词 水平井 轨道控制 轨道预测 分析研究1 前 言井眼轨道预测是井眼轨道控制技术的基础和重要组成部分。
对定向井井眼轨道的预测方法,目前国内外主要有[1]:(1)根据经验评选钻具组合的造斜率并以此预测井斜变化;(2)把钻头侧向力作为定量指标来预测井斜变化;(3)把钻头合力方向作为实际钻进方向;(4)把钻头轴线方向作为实际钻进方向;(5)把“平衡曲率”作为钻进曲率以确定钻进方向;(6)用岩石—钻头的相互作用模型确定钻进方向;(7)用力—位移模型确定钻进方向。
钻井实践表明,在上述几种方法中,如(6)、(7),固然可以作为精确的预测方法和手段,但预测程序中要用到地层、钻头的很多特征参数以作为输入参数,而这些参数在实际中较难准确地加以确定,因此其实际应用受到限制;如(2)、(3)、(4),因未考虑地层因素的影响,其预测结果往往误差较大;如(5),井眼实钻轨道并不会遵循“平均曲率”,在理论上和实践上均有一定问题;对(1),由于是根据经验,将使这种方法应用的普遍性受到较大限制。
材料力学填空与判断题解
实用文档第1 章 绪论一、是非判断题1-1 材料力学是研究构件承载能力的一门学科。
（ √ ） 1-2 材料力学的任务是尽可能使构件安全地工作。
（ × ） 1-3 材料力学主要研究弹性范围内的小变形情况。
（ √ ）1-4 因为构件是变形固体，在研究构件的平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。
（×） 1-5 外力就是构件所承受的载荷。
（ × ）1-6 材料力学研究的内力是构件各部分间的相互作用力。
（ × ）1-7 用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任一部分进行平衡计算。
（ √ ） 1-8 压强是构件表面的正应力。
（ × ） 1-9 应力是横截面上的平均内力。
（ × ）1-10 材料力学只研究因构件变形引起的位移。
（ √ ） 1-11 线应变是构件中单位长度的变形量。
（ × ） 1-12 构件内一点处各方向线应变均相等。
（ × ）1-13 切应变是变形后构件中任意两根微线段夹角的变化量。
（ × ） 1-14 材料力学只限于研究等截面直杆。
（ × ）1-15 杆件的基本变形只是拉（压）、剪、扭和弯四种。
如果还有另一种变形，必定是这四种变形的某种组合。
（ √ ）第 2 章 轴向拉伸与压缩 一、是非判断题2-1 使杆件产生轴向拉压变形的外力必须是一对沿杆轴线的集中力。
（×） 2-2 拉杆伸长后，横向会缩短，这是因为杆有横向应力存在。
（×） 2-3 虎克定律适用于弹性变形范围内。
（×） 2-4 材料的延伸率与试件尺寸有关。
（√）2-5 只有超静定结构才可能有装配应力和温度应力。
（√） 二、填空题2-6 承受轴向拉压的杆件，只有在（加力端一定距离外）长度范围内变形才是均匀的。
2-7 根据强度条件][σσ≤可以进行（强度校核、设计截面、确定许可载荷）三方面的强度计算。
2-8 低碳钢材料由于冷作硬化，会使（比例极限）提高，而使（塑性）降低。
材料力学填空与判断题解
第一章 绪论第1 章 绪论一、是非判断题1-1 材料力学是研究构件承载能力的一门学科。
（ √ ） 1-2 材料力学的任务是尽可能使构件安全地工作。
（ × ） 1-3 材料力学主要研究弹性范围内的小变形情况。
（ √ ）1-4 因为构件是变形固体，在研究构件的平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。
（×） 1-5 外力就是构件所承受的载荷。
（ × ）1-6 材料力学研究的内力是构件各部分间的相互作用力。
（ × ）1-7 用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任一部分进行平衡计算。
（ √ ） 1-8 压强是构件表面的正应力。
（ × ） 1-9 应力是横截面上的平均内力。
（ × ）1-10 材料力学只研究因构件变形引起的位移。
（ √ ） 1-11 线应变是构件中单位长度的变形量。
（ × ） 1-12 构件内一点处各方向线应变均相等。
（ × ）1-13 切应变是变形后构件中任意两根微线段夹角的变化量。
（ × ） 1-14 材料力学只限于研究等截面直杆。
（ × ）1-15 杆件的基本变形只是拉（压）、剪、扭和弯四种。
如果还有另一种变形，必定是这四种变形的某种组合。
（ √ ）第 2 章 轴向拉伸与压缩 一、是非判断题2-1 使杆件产生轴向拉压变形的外力必须是一对沿杆轴线的集中力。
（×） 2-2 拉杆伸长后，横向会缩短，这是因为杆有横向应力存在。
（×） 2-3 虎克定律适用于弹性变形范围内。
（×） 2-4 材料的延伸率与试件尺寸有关。
（√）2-5 只有超静定结构才可能有装配应力和温度应力。
（√） 二、填空题2-6 承受轴向拉压的杆件，只有在（加力端一定距离外）长度范围内变形才是均匀的。
2-7 根据强度条件][σσ≤可以进行（强度校核、设计截面、确定许可载荷）三方面的强度计算。
2-8 低碳钢材料由于冷作硬化，会使（比例极限）提高，而使（塑性）降低。
曲率与挠率的关系及其应用
2 (- κ β) = - κ β, 于是 β( s) = - β( s) , 进而 对该式两边关于 s 求导 , 得κ( s)β = ε
_
_
_
_
_
_
_ γ( s) = α( s) × β( s) = ε γ ×( - β( s) ) = ε α ( s) . _ _ _ τ ( ) κ _ κ β( s) d s = ε s d s β( s) = 1 κ β( s) . 于 再对该式两边关于 s 求导 , 可得 - τ( s)β( s) = ε κ λ τ ( ) λ τ ( ) d s ds s s 1 1 κ ( s) = φ( s)κ, 是τ( s) = . 由于 s 是 s 的函数 , 故τ( s) = τ( s ( s) ) = τ( s) , 令 φ( s) = , 则τ λ τ( s) λ τ( s) 1 因此对于 Γ , 满足τ( t) = φ( t)κ( t) 的 φ( s) = , 其中τ是 Γ 的侣线 Γ 的挠率 , 而λ是常数 . λ τ( s) 3 公式τ( t) = φ( t)κ( t) 的应用 命题 2 一条非直线的曲线Γ ∶_ r = _ r ( t) 成为平面曲线的充要条件是Γ 的曲率和挠率所满足 的关系式τ( t) = φ( t)κ( t) 中的函数 φ( t) = 0 . 证明 必要性 :因Γ是非直线的平面曲线 , 故τ( t) = 0 ,κ( t) ≠0 , 于是由关系式可知φ( t) = 0 . 充分性 :因关系式中的 φ( t) = 0 , 故τ( t) = 0 , 这说明曲线Γ 是平面曲线 . 命题 3 一条曲线Γ ∶_ r = _ r ( s) ( 其中 s 为自然参数) 成为圆的充要条件是Γ 的曲率和挠率所 满足的关系式τ( t) = φ( t)κ( t) 中的函数 φ( s) = 0 且κ = C ( 其中 C 为非零常数) . 证明 必要性 :设曲线Γ为圆 , 于是Γ 的方程可写为 _ r ( s) = { aco s s , asin s , 0} ( 其中 a > 0 为常 1 数且 s 为自然参数) . 经计算圆的曲率和挠率分别为κ( s) = = C 和τ( s) = 0 , 于是满足相应关系
大口径球面反射镜曲率半径的精确测量
第7卷 第1期2014年2月 中国光学 Chinese Optics Vol.7 No.1 Feb.2014 收稿日期:2013⁃10⁃14;修订日期:2013⁃12⁃16 基金项目:中国科学院三期创新重大研究资助项目(No.O65X32C060)文章编号 2095⁃1531(2014)01⁃0163⁃06大口径球面反射镜曲率半径的精确测量陈宝刚∗,明 名,吕天宇(中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林长春130033)摘要:介绍了大口径球面反射镜曲率半径的传统测量方法,提出了利用组合测杆结合激光干涉仪测量球面反射镜曲率半径的新方法。
首先利用激光干涉仪检测球面反射镜的面型,调整干涉仪与被测镜的位置,使被测镜达到零条纹干涉状态,然后架设合理长度组合测杆,调整组合测杆靠近干涉仪端测量球头的位置,使之达到零条纹干涉状态,再使组合测杆另一端测头与镜面接触完成测量,通过计算分析即可得到被测球面镜的曲率半径。
对该方法的基本测量原理进行了研究分析,并对口径为600mm 的望远镜球面主镜的曲率半径进行了多次测量,测得其曲率半径均值为2836.774mm,标准偏差为0.071mm。
最后对该方法的测量不确定度进行了分析,找出了影响测量精度的主要因素,合成标准不确定度为0.061mm。
关 键 词:光学测量;球面反射镜;曲率半径;组合测杆;大口径中图分类号:O436.1;TH744 文献标识码:A doi:10.3788/CO.20140701.0163Precise measurement of curvature radius for sphericalmirror with large apertureCHEN Bao⁃gang ∗,MING Ming,LYU Tian⁃yu(Changchun Institute of Optics ,Fine Mechanics and Physics ,Chinese Academy of Sciences ,Changchun 130033,China )∗Corresponding author ,E⁃mail :cbg 0813@ Abstract :Conventional testing methods for the curvature radius of spherical mirror with large aperture are in⁃troduced briefly,and a novel method using combined rods and laser interferometer is proposed.Firstly,the surface figure of spherical mirror is tested with laser interferometer.The position of interferometer and tested mirror is adjusted to make the focus of the exit wave front and the center of curvature of tested mirror to be confocal.Then the suitable combined rods are setup,and the position of probe spheric head which is close to interferometer is adjusted to make the focus of the exit wave front and the center of the probe spheric head con⁃focal.Next,another probe spheric head is adjusted to contact the surface of the tested mirror.The curvature radius of the spheric mirror can be calculated by the data.The basic principle of the testing method is ana⁃lyzed.A telescope spheric primary mirror with a aperture of 600mm is tested many times with this method.The average radius of curvature is calculated to be 2836.774mm,and the root mean square is 0.071mm.Fi⁃nally,the measurement uncertainty of this method is analyzed,and the main factors affecting the measurementaccuracy are found out,and the composed standard uncertainty is0.061mm.Key words:optical testing;spherical mirror;radius of curvature;combined rods;large aperture1 引 言 光学球面曲率半径的精密测量是光学加工检测过程中的重要环节,作为大口径球面反射镜的一个重要参数,其曲率半径的高精度测量是一个急待解决的关键技术。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、正文编写思路及特点：
思路：首先复习弧微分的相关知识，然后导出曲率概念。
特点：通过介绍生活中的实际现象，引出“弯曲程度”这一概念，使得抽象概念具体化，学生更容易接受。
二、授课部分
（一）复习引入
曲线的弧微分和曲线的凹凸性（弯曲方向）
（二）新课讲授 1、曲率的概念
曲线的弯曲程度对于工程学来说有着非常重要的作用，那么曲线的弯曲程度到底跟哪些因素相关呢？观察下图：
（1）图1中，12M M 与23M M 弧长相等，23M M 的切线转角β比12
M M 的切线转角α大，23M M 比12M M 弯曲程度大。
（2）图2中，12M M 与12N N 的切线转角相等，12N N 比12M M 弧长短，12N N 比12M M 弯曲程度大。
总结：曲线的弯曲程度与转角成正比与弧长成反比。
据此，我们给出曲率的定义。
当C 上的动点从M 移到M ′时，切线转过了角度Δα（称为转角），而所对应的弧增量Δs =
M M '.
定义1：若将单位弧段上切线转角的大小称为M M '的平均曲率，记为k ，则
k =
s
α
∆∆. 将上述平均曲率当Δs →0（即M ′→M ）时的极限，即
k =0
lim
s ∆→s α∆∆=d d s
α
称为曲线C 在点M 处的曲率。
特别的，对于直线，倾角α始终不变，故Δα=0，从而k =0，即“直线不弯曲”。
对于圆，设半径为R ，由图4知，任意两点M ，M '处圆之切线所夹的角Δα等
于中心角MDM '∠，而MDM '∠=s
R
∆，于是
s α∆∆=s R s ∆∆=1
R
，故 k =0
lim
s ∆→s α∆∆=1
R
. 图4
即圆上任一点处的曲率都相等且等于其半径的倒数。
若半径无限增大，则曲率就无限趋近于零。
从这个意义上看，直线是半径为无穷大的圆。
2、曲率的计算方法
（1）一般曲线方程曲率计算公式
设曲线方程为()y f x =，且()f x 具有二阶导数.由于tan y α'=，
2csc 41)cos 1(2csc 21)(2
cos )cos 1(sin 4222
t a t a t dt
dx dx dy dt d dx y d t t a t a dx dy -=--=
==-= 故得曲率
2csc 41)
2
cot 1(2csc 412
3
24
t a t t a k =+= 令,3
π
=
t 得
a
k 21=
向学生简单介绍曲率在工程技术上的一些应用
（四）曲率的一些简单应用
（1）曲率圆与曲率半径
设光滑曲线C 上点M 处的曲率为k （k≠0）.在C 上点M 作法线，
并在凹向一侧取点D ，使得R k
DM ==1
,以D 为圆心，R 为半径作
圆，⊙D 为曲线C 在点M 处的曲率圆,圆心D 称为C 在点M 处的曲率中心,R 称为C 在点M 处的曲率半径，如图5所示.
图5
故曲线y=f(x)在点M 的曲率圆有下列性质: (1)在点M 处的曲率与曲线的相同;
(2)在点M 处与曲线相切,且在切点附近有相同凹凸性.
由性质(2)还可知道,点M 处曲率圆的圆心位于曲线在该点的法线上.
小结：对于曲线)(x f y =在点0x 处，圆心为),(b a ，半径为R 的曲率圆的计算公式为
)()]([1)(02
00x f x f x f b '''++
=
)
(}
)]([1{)()]([1)
(02
32002
000x f x f R x f x f x f x a '''+=
'''+'-=
（2）曲率的应用实例
(选讲)例3 用圆柱形铣刀加工一弧长不大的椭圆形工件，该段弧的中点为椭圆长轴的顶点，该椭圆的方程为（单位为mm ）
22
2214050
x y += 应选用多大直径的铣刀，可得较好的近似效果？（二级）
解 顶点坐标为)50,0(，将方程改写为
216004
5
x y -=
则 32
1,000=
''='==x x y y 代入曲率半径公式可得32=R （mm ）
所以，应选用直径为64mm 的铣刀，可得较好的近似效果.
例4 某工件内表面的型线为y=0.4x 2,现要用砂轮磨削内表面,问应选多大直径的砂轮?（二级）
解 为使磨削时不会多磨掉不应磨去的部分,砂轮半径应不超过抛物线上各点处曲率半径的最小值，如图6所示.
图6
对于y=0.4x 2,有y′=0.8x,y″=0.8.曲率半径最小,应是曲率最大,而
k=
()3
22
0.810.8x ⎡⎤+⎣⎦
.
当x=0时，k 取最大值0.8,即顶点处曲率最大,因而有
R=1
k
=1.25, 故砂轮直径不得超过2.50单位长.
三、能力反馈部分（考查学生对曲线曲率求法的掌握情况）
（1）计算抛物线y=4x -x 2在它顶点处的曲率.（一级）。