六方晶格第一布里渊区

布里渊区图示

a 3 正格子原胞基矢 a1 ai, a2 i aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2 (a2 k ) 2 2 b1 i j a 3a 2 (k a1 ) 4 b2 j 3a
的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区
由4个倒格点
的垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第一、第二和第三布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
选一个倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，分别是
b1 , b2 , (b1 b2 )
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动与晶体的热学性质

正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质

正方格子其它布里渊和第一布里渊区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质

二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状

固体物理基础课后1到10题答案

一．本章习题P272习题1.试证理想六方密堆结构中c/a=.一．说明：C 是上下底面距离，a 是六边形边长。

二．分析：首先看是怎样密堆的。

如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。

（同一面上有6个，上下各有3个）上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。

中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。

球心之间距离为a 。

所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。

三．证明：如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点33'a AB AO ==∴（由余弦定理)330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οοο633.1322384132)2()2()3()2(2222222222''≈===∴+=+=+=a c c a ac a ac OA AO OO2．若晶胞基矢c b a ρρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。

一、分析：我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ2=。

倒格矢与晶面族（hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ++=写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρρρ的关系。

即可得与晶面族（hkl ）垂直的倒格矢G ρ。

进而求得此面间距d 。

二、解：c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(ρρρ倒格子基矢：kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与（hkl ）晶面族垂直的倒格矢 222321)()()(2)(2cl b k a h G k cl j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ故（hkl ）晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d ++=++==πππρ3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？1．分析：考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元）（1）体积最小的重复结构单元（2）只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。

晶体的倒格子和布里渊区

倒易点阵仍是简立方点阵：
2 2 2 b1 i, b2 j , b3 k, a a a
所以倒格子也是布拉菲格子。六角点阵：六角点阵的倒易点阵：见Ashcroft p88 c 轴方向不变，a 轴在垂直于c 轴的平面上旋转30度。
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了一个角度。
五. 布里渊区：第一布里渊区的确定：取法和正点阵中Wigner-Seitz 原胞取法相同。它是倒易点阵的原胞。
Léon Brilliouin
（1889-1969）
布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面
Face-centered cubic
K L
Middle of an edge joining two hexagonal faces Center of a hexagonal face
U
W X
Middle of an edge joining a hexagonal and a square face
与正格子的晶面系 (h1h2h3 ) 正交。如图所示，晶面系 (h1h2h3 ) 中最靠近原点的晶面（ABC）在正格子基矢 a1 , a 2 , a 3 的截距分别为： a1 , a 2 , a 3 h1 h2 h3
a1 a 3 CA OA OC h1 h3 a 2 a 3 CB OB OC h2 h3
二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系：

布里渊区

2
a
i
b2
2
a
j
2
b3 a k
所以，倒格子也是简立方结构，其第一布里渊区仍然是一个简立方。
（4）体心立方结构晶体点阵的布里渊区对于体心立方结构晶体点阵，如果正格子基矢取为：
a1
a 2
(i
j
k)
a2
a 2
(i
j
k)
a a3 2 (i j k )
原胞体积为 a1 (a2 a3 ) a3 / 2
b1(h1 1, h2 1), b2(h1 1, h2 1)
通过这四个倒个是的中点，即
1 2
b1
1 2
b2
a
i
a
j
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数
目是多少，各布区的面积是相等的。
The first Brillouin zone is the Wigner-Seitz primitive cell in the reciprocal lattice.
§2.4 原子的形状因子和结构因子 (atomic form factor and structure factor )
一、散射波振幅（Diffraction amplitude）
可以展开为傅立叶级数
2
2
f (x) f0 p1 Cp cos( a
px)
p 1
S p sin( a
px)
（2.4.6）
其中 p 是整数， f0 ,Cp , S p 是傅立叶系数。
这个展开式可以写成更简洁的形式
2

1-6 倒格子与布里渊区

（3）正格子元胞与倒格子元胞倒格子元胞体积：
b1 (b2 b3 ) (2 )3 (a2 a3 ) [(a3 a1 ) (a1 a2 )] 3 A ( B C ) ( A C ) B ( A B) C
(a3 a1 ) (a1 a2 ) {(a3 a1 ) a2 } a1 {(a3 a1 ) a1} a2 a1 0 a1 (2 ) (a2 a3 ) a1 3 (2 )3
三、典型晶格的倒格子与布里渊区
1、一维格子的布里渊区
a ai
2 b i a
2、二维正方格子的布里渊区二维正方格子的原胞基矢为：
a1 ai , a2 aj
则其相应的倒格子原胞基矢为：
2 2 b1 i , b2 j a a
在倒格子空间中，距离原点最近的倒格点有四个，其相应的倒格矢为：b , b , b
1 1 2
, b2
这四个倒格矢的垂直平分线的方程为：
kx

a
, ky

a
由这四个垂直平分线所围成的区域就是第一布里渊区。
第一布里渊区
原点的次近邻四个到格点相应的倒格矢为：
b1 b2 , (b1 b2 ), b1 b2 , (b1 b2 )
它们的垂直平分线以及第一布里渊区边界所共同围成的区域称为第二布里渊区。
二、特性：
1、第一布里渊区：在倒格子点阵中，做某一倒格点到其最近邻倒格点连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所围成的多面体就是第一布里渊区。除第一布里渊区之外,还有第二布里渊区、第三布里渊区以及更高阶的布里渊区。
2、第二、第三布里渊区可以由平移倒格矢的整数倍至第一布里渊区。 3、每个布里渊区的体积都等于倒格子原胞的体积。 4、布里渊区应选尽可能高的对称性。

布里渊区图示

a 3 正格子原胞基矢 a1 = ai, a2 = i + aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 Ω= a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2π (a2 × k ) 2π 2π b1 = i− j = Ω a 3a 2π (k × a1 ) 4π b2 = = j Ω 3a
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为求正格矢和倒格矢求正格矢和倒格矢，平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画出第一和第二布里渊区
的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区由4个倒格点个倒格点
的垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——

23布里渊区

将任一布里渊区的各部分平移适当的位矢就可合并成第一布里渊区
D
O A
C
B
由于倒格子的周期性，很多时候我们只需关心第一布里渊区
2
固体物理导论
第 2 章晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
2. 衍射条件的布里渊区诠释
2k G G 2
D
GD
k1
1 1 2 k G G 2 2
体心立方
x
a3
Ω a1 (a2 a3 ) 1 3 a 2
Ω b1 (b2 b3 )
*
4π a
2( 2 π ) 3 / a 3
5
固体物理导论
第 2 章晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
倒格矢可以表示为
G v1b1 v2b2 v3b3 4π 2π [(v2 v3 )i (v3 v1 ) j (v1 v2 )k ] a a
最短的倒格矢是以下12个矢量
2π 2π 2π ( j k ); ( k i ); (i j ) a a a
第一布里渊区由上述12个矢量的垂直平分面围成，是一个正十二面体
6
固体物理导论
第 2 章晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
体心立方晶格的布里渊区中一些具有较高对称性的点或轴的坐标
其中
2π X: (1,0,0) a 2π 1 1 1 L: ( , , ) a 2 2 2 2π 3 3 K: ( , ,0 ) a 4 4 1 3 0 1, 0 , 0 2 4
10
k2
O
GC
C
任何从原点到 G 的垂直平分面的矢量都满足衍射条件，这些平面正是布里渊区的边界。布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢 k

布里渊区

固体物理固体物理
布里渊区
主讲人：主讲人：许本超答疑人：答疑人：李海龙封福明
固体物理固体物理
内容
• • • • • • • • • 1.倒易空间 2. 布里渊区基本概念 3. 典型格子的第一布里渊区 4.布里渊区的几何性质 5. 衍射条件在布里渊区诠释 6.布里渊区中的K点 7.布里渊区和能带的关系 8.布里渊区和费米面 9.MS计算能带实例图
14
固体物理固体物理
7.2布里渊区和能带的关系
能带论的基本出发点: 能带论的基本出发点固体中的电子可以在整个固体中运动电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用由于周期场的微扰，由于周期场的微扰，
E
E6
E(k)函数在布里渊区函数在布里渊区
允许带
E5
边界k=± 边界 ±nπ/a处出现处出现
3.2体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的体心立方晶格的倒格子为面心立方晶格
可以看出，可以看出，面心立方倒格子（即体心立方晶格）格子（即体心立方晶格）的F.B.Z为正菱形十二为正菱形十二面体（非正十二面体）面体（非正十二面体）
8
固体物理固体物理
3.3面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的倒格子为体心立方晶格
如右图所示，如右图所示，黑框为体心立方倒格子，取其体心（黄点）倒格子，取其体心（黄点）作为原点，红点（8个为原点，红点（8个）为此原点最相邻的倒格点，蓝点（6 点最相邻的倒格点，蓝点（个）为此原点次相邻倒格点可以看出，可以看出，体心立方倒格子（即面心立方晶格）格子（即面心立方晶格）的F.B.Z为截角的八面体为截角的八面体十四面体）（十四面体）