最新高考湖南文科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学文史类(湖南卷)

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{1} D ．{0}

2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i

3．命题“若π

4α=

，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若π4α≠，则tan α≠1 B ．若π

4

α=，则tan α≠1

C ．若tan α≠1，则π4α≠

D ．若tan α≠1，则π

4

α=

4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )

5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为$0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是( )

A ．y 与x 具有正的线性相关关系

B ．回归直线过样本点的中心(,)x y

C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg

D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg

6．已知双曲线C ：22

221x y a b

-=的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程

为( )

A ．

221205x y -= B ．22

1520x y -= C ．

2218020x y -= D ．22

12080

x y -= 7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①

c c

a b

>；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )

A ．①

B ．①②

C ．②③

D ．①②③ 8．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )

A ．

2 B ．2

C ．2

D ．4

9．设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且π2x ≠

时，(x －π

2

)f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )

A ．2

B ．4

C ．5

D ．8

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)

10．在极坐标系中，曲线C 1：ρcos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.

11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29～63℃，精确度要求±1℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．

(二)必做题(12～16题)

12．不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________． 13．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.

(注：方差()()()

2222

121

[]n s x x x x x x n

=

-+-++-…，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)

14．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝4.5，则输出的数i ＝________.

15．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP AC ?=u u u r u u u r

________.

16．对于n ∈N *，将

n 表示为n ＝a k ×2k

＋a k －1×2k －1

＋…＋a 1×21＋a 0×20，当i ＝k 时，a i ＝1，当0≤i ≤k －1时，a i 为0或1.定义b n 如下：在n 的上述表示中，当a 0，a 1，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n ＝1；否则b n ＝0.

(1)b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝________；

(2)记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m ＋1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1))确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率． (注：将频率视为概率)

18．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ，ω＞0，π

02

＜＜

)的部分图象如图所示．

(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f (x －

π12)－f (x ＋π12

)的单调递增区间． 19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥

BC ，AC ⊥BD ．

(1)证明：BD ⊥PC ；

(2)若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面P AC 所成的角为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积．

20．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．

(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；

(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．

21．在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为1

2

的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心．

(1)求椭圆E 的方程；

(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为

1

2

的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标．

22．已知函数f (x )＝e x －ax 1，其中a ＞0.

(1)若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；

(2)在函数f (x )的图象上取定两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈(x 1，x 2)，使f ′(x 0)＝k 成立．

1． B 由N ＝{x |x 2＝x }，知x ＝0或x ＝1.

又∵M ＝{－1,0,1}，∴M ∩N ＝{0,1}．

2．A z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ，∴1i z =--. 3． C 命题“若π4α=

，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则π

4

α≠”． 4． D 若为D 项，则主视图如图所示，故不可能是D 项．

5． D D 项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则其体重约为：0.85×170－85.71＝ 58．79(kg)．故D 项不正确． 6． A 由2c ＝10，得c ＝5， ∵点P (2,1)在直线b

y x a

=上， ∴21b

a

=

.又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5. 故C 的方程为

22

1205

x y -=. 7． D ①()

c c c b a a b ab

--=，

∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴()

0c b a ab

->.

即0c c

a b

->.故①正确． ②考察函数y ＝x c (c ＜0)，可知为单调减函数． 又∵a ＞b ＞1，∴a c ＜b c .故②正确．

③∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴log b (a －c )＞0，log a (b －c )＞0，

∴

log ()lg()lg log ()lg lg()b a a c a c a

b c b b c --=--.

∵

lg()1lg()a c b c ->-，lg 1lg a

b >， ∴

lg()lg 1lg lg()

a c a

b b

c ->-，故③正确． 8． B 在△ABC 中，由余弦定理可知：

AC 2=AB 2+BC 2－2AB ·BC cos B ， 即7=AB 2+4－2×2×AB ×

12

.

整理得AB2－2AB－3=0.

解得AB=－1(舍去)或AB=3.

故BC边上的高AD=AB·sin B=3×sin60°=

2

.

9．B由x∈(0，π)且

π

2

x≠时，(x－

π

2

)f′(x)＞0可知：

当x∈(0，π

2

)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(π

2

，π)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

又∵x∈[0，π]时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，可画出f(x)的草图为：

对于y＝f(x)－sin x的零点，可在同一坐标系中再作出y＝sin x的图象，可知在[－2π，2π]上零点个数为4.

10．答案：

2

解析：把曲线C1：ρcosθ＋sinθ)＝1x＋y＝1；

把曲线C2：ρ＝a(a＞0)化成直角坐标方程，得x2＋y2＝a2.

∵C1与C2的一个交点在极轴上，

x＋y＝1与x轴交点(

2

，0)在C2上，

即(

2

)2＋0＝a2.

又∵a＞0，∴

2

a=.

11．答案：7

解析：由分数法计算可知最少实数次数为7.

12．答案：{x|2≤x≤3}

解析：∵x2－5x＋6≤0，∴(x－2)(x－3)≤0.∴2≤x≤3.

13．答案：6.8

解析：∵

89101315

11

5

x

++++

==，

∴

22222

2

(811)(911)(1011)(1311)(1511)

6.8

5

s

-+-+-+-+-

==.

14．答案：4

解析：i＝1时，x＝4.5－1＝3.5；