人教版选修21双曲线测试题
人教新课标版数学高二数学选修2-1练习2-3-1双曲线及其标准方程
技能演练基 础 强 化1．双曲线x 29－y 2m ＝1的焦距是10，则实数m 的值为( )A ．－16B ．4C ．16D ．81解析 2c ＝10，∴c ＝5，∴9＋m ＝25，∴m ＝16. 答案 C2．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．5C ．6D ．9解析 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝6，观察选项知D 正确． 答案 D3．若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 当k >3时，k －3>0，k ＋3>0，∴方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k －3)(k ＋3)>0，∴k >3，或k<－3.故k>3是方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案 A4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是() A．16 B．18C．21 D．26解析如图所示，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝8，(1)|BF2|－|BF1|＝8，(2)又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝5，(3)∴由(1)，(2)，(3)得|AF2|＋|BF2|＝21.故△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝26.答案 D5．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析 由双曲线x 210－y 22＝1，知c 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3. 答案 D6．已知双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，c a ＝53，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 264＝1 B.x 264－y 236＝1 C.x 236－y 264＝－1 D.x 264－y 236＝－1 解析 令x ＝0，y ＝10，∴双曲线的焦点坐标F 1(0，－10)，F 2(0,10)，∴c ＝10，又c a ＝53，∴a ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝100－36＝64，故双曲线方程为y 236－x 264＝1，故选D.答案 D7．已知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是__________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9，b ＝3，c 2＝a 2＋b 2，得a ＝4，b ＝3，又焦点在y 轴上，∴所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.答案 y 216－x 29＝18．双曲线x 2m 2－4－y 2m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是__________．解析依题意得⎩⎨⎧m ＋1<0，m 2－4<0，⇒⎩⎨⎧m <－1，－2<m <2，⇒－2<m <－1. 答案 (－2，－1)能 力 提 升9．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解 设P 的坐标为(x ，y )． ∵圆P 与圆C 外切且过点A ， ∴|PC |－|PA |＝4.∵|AC |＝(3＋3)2＋0＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C ，A 为焦点，实轴长为2a ＝4的双曲线的右支，∵a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．10．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同的焦点，且过点P (2,1)的双曲线的方程．解 方法1：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知，c 2＝4＋2＝6，又点P (2,1)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，4a 2－1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝3，b 2＝3.故所求的双曲线方程为x 23－y 23＝1.方法2：∵所求的双曲线与x 24－y 22＝1有相同的焦点，∴可设双曲线方程为x 24－λ－y 22＋λ＝1(－2＜λ＜4)．∵双曲线过点P (2,1)， ∴44－λ－12＋λ＝1， 解得λ＝1，或λ＝－4(舍去)． 故所求的双曲线方程为x 23－y 23＝1.品 味 高 考11．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0)D ．(3，0)解析 双曲线x 2－2y 2＝1化为标准形式，得x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32.∴c ＝62.故右焦点坐标为(62，0)．答案 C12．(2010·全国Ⅰ)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 点在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为( )A.32B.62C. 3D. 6解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，不妨设m >n ，P (x ，y )，|PF 1|－|PF 2|＝m －n ＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得(22)2＝m 2＋n 2－2mn cos60°， ∴8＝(m －n )2＋mn . ∴mn ＝4.由△F 1PF 2的面积相等，得 12×22×|y |＝12mn sin60°，即2|y|＝12×4×3 2.∴|y|＝62.即P到x轴的距离为62. 答案 B。
高二数学选修21测试题及答案
4．双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5．中心在原点的双曲线，一个核心为 ，一个核心到最近极点的距离是 ，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方形 的极点 为椭圆的核心，极点 在椭圆上，则此椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
6．A
【解析】
试题分析：设正方形 的边长为1，则按照题意知，
，所以椭圆的离心率为
考点：本小题主要考查椭圆中大体量的运算和椭圆中离心率的求法，考查学生的运算求解能力.
点评：求椭圆的离心率关键是求出 ，而没必要别离求出
7．A
【解析】
试题分析：因为椭圆 与双曲线 有相同的核心，所以 ，且椭圆的核心应该在 轴上，所以 因为 ，所以
12．C
【解析】
试题分析：按照题意，由于直线 与圆 相切，则圆心（0,0）到直线x+y=m的距离为 ，则可知取得参数m的值为2，故答案为C.
考点：直线与圆的位置关系
点评：主如果考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。
13．
【解析】
试题分析：由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，应用勾股定理得，直线 被圆 截得的弦长为 。
考点：空间向量与立体几何.
14．已知椭圆 的核心重合，则该椭圆的离心率是．
15．已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为___________
16．在正方体 中， 为 的中点，则异面直线 和 间的距离．
三、解答题
17．求过点(－1，6)与圆x +y +6x－4y+9=0相切的直线方程．
18．求渐近线方程为 ，且过点 的双曲线的标准方程及离心率。
【数学】2.3《双曲线》测试(新人教A版选修2-1)
高中新课标选修（2-1）双曲线部分测试题一、选择题1．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ）Ａ．221916x y -=Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤答案：Ｄ2．如果双曲线的渐近线方程为34y x =±，则离心率为（ ）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54Ｄ．3答案：Ｃ3．过原点的直线l 与双曲线221y x -=有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） Ａ．(11)-， Ｂ．(1)(1)--+，，∞∞Ｃ．(10)(01)-，，Ｄ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，答案：Ｂ4．已知双曲线2214x y k+=的离心率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<< Ｄ．120k -<< 答案：Ｄ5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ） Ａ．152x y =± Ｂ．152y x =± Ｃ．34x y =± Ｄ．34y x =±答案：Ｃ6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为(50)，和(50)-，，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为（ ）Ａ．22123x y -=Ｂ．22132x y -=Ｃ．2214x y -=Ｄ．2214y x -=答案：Ｃ二、填空题7．若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角为π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，其离心率为 ．答案：sec α8．双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ． 答案：29．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ． 答案：710．若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(215)，，则双曲线的标准方程为 ．答案：2213y x -+=11．若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ·的值为 ．答案：m a -12．P 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，左支上的一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标为 ．答案：a -三、解答题13．已知双曲线2221()4x y b b*-=∈N 的左、右焦点分别为12F F ，，P 为双曲线上一点，若21212PF PF F F =·且24PF <，求双曲线的方程．答案：解：设所求抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，11()0022p p A x y F M ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，则221122112111729422p x y p x y p x py⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫+-=⇒=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎩，，或2p =． 故所求方程为28x y =或24x y =．14．如图，某农场在M 处有一堆肥料沿道路MA 或MB 送到大田ABCD 中去，已知6MA =，，8MB =，3BC =，且AD BC≤，90AMB ∠=°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿MB 送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．解：设MO kMF=，动点M 的坐标为()02p x y F ⎛⎫⎪⎝⎭，，，， 则22232242p p x p x pk p x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．令12t p x =+，则20t p ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，22324433k p t p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，显然当23t p =，即x p =时，k 有最大值233，M 为原点时，k 取得最小值0． 故MO MF的取值范围为2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。
2021年高二人教版数学选修1-1练习：2.2.2双曲线的简单几何性质 Word版含答案
►根底梳理1． 双曲线的几何性质.2.双曲线的有关几何元素．求双曲线的顶点、焦点、轴长、离心率、渐近线方程时 ,要先将方程化成双曲线的标准形式 ,然后求a 、b ,即可得到所求．3．双曲线的渐近线方程．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ,双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±a bx ,一般情况下 ,先求a 、b ,再写方程．两者容易混淆 ,可将双曲线方程中右边的 "1〞换成 "0〞 ,然后因式分解即得渐近线方程 ,这样就不至|于记错了．(1) 假设渐近线方程为mx ±ny ＝0 ,求双曲线方程．双曲线的焦点可能在x 轴上 ,也可能在y 轴上 ,可用下面的方法来解决．方法一 分两种情况设出方程进行讨论；方法二 依据渐近线方程 ,设出双曲线为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0) ,求出λ即可．(2)与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． ,►自测自评1．双曲线x 24－y 2＝1的离心率是(C) A.32B ．2 C.52 D.54解析：∵a ＝2 ,b ＝1 ,c ＝a 2＋b 2＝5 ,∴e ＝52. 2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是y ＝±32x ． 解析：a 2＝4 ,b 2＝9 ,焦点在x 轴上 ,∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x . 3．中|心在原点 ,实轴长为10 ,虚轴长为6的双曲线的标准方程是x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1． 1．(2021·茂名一模)双曲线x 2m －y 25＝1(m >0)的右焦点F (3 ,0) ,那么此双曲线的离心率为(C ) A ．6 B.322 C.32 D.342．双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍 ,且一个顶点的坐标为(0 ,2) ,那么双曲线C 的方程为(B )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－x 24＝1 3．以椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为焦点 ,离心率为2的双曲线方程为________． 答案：x 24－y 212＝1 4．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (2 3 ,－3)的双曲线方程． 解析：设所求双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)． 将点(23 ,－3)代入 ,得λ＝－14, ∴双曲线方程为y 294－x 24＝1. 5．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ,求双曲线的离心率． 分析：只知渐近线方程 ,并不知焦点在哪个轴上 ,因此应分情况解答．解析：设具有渐近线y ＝±34x 的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0) ,即x 216λ－y 29λ＝1.λ＞0 ,焦点在x 轴上 ,a 2＝16λ ,b 2＝9λ ,c 2＝a 2＋b 2＝25λ ,∴e 2＝c 2a 2＝2516 ,e ＝54. λ＜0 ,焦点在y 轴上 ,a 2＝9λ ,b 2＝16λ ,c 2＝a 2＋b 2＝25λ ,∴e 2＝c 2a 2＝259 ,e ＝53.1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的两条渐近线互相垂直 ,那么该双曲线的离心率为(C ) A ．2 B. 3C. 2D.322．(2021·茂名二模)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的虚轴长为2 ,焦距为2 3 ,那么双曲线的渐近线方程为(B )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的一条渐近线方程为x ＋2y ＝0 ,那么双曲线的离心率e 的值为(A )A.52B.62C. 2 D ．24．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的两个焦点 ,假设F 1 ,F 2 ,P (0 ,2b )是正三角形的三个顶点 ,那么双曲线的离心率为(B )A.32 B ．2 C.52D ．3 解析：由tan π6＝c 2b ＝33有3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2) ,那么e ＝c a＝2 ,应选B. 5．双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2 ,其中一条渐近线方程为y ＝x ,点P ( 3 ,y 0)在该双曲线上 ,那么PF 1→·PF 2→＝(C )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：由得 ,b 2＝2 ,c ＝2 ,点P 为(3 ,±1) ,左、右焦点坐标分别为(－2 ,0) ,(2 ,0) ,结合向量的乘法 ,易知选C.6．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列 ,那么双曲线的离心率e 为(D )A ．2B ．3C.43D.53解析：依题意 ,得2×2b ＝2a ＋2c ,即2b ＝a ＋c ,两边平方得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2 ,将b 2＝c 2－a 2代入化简得 ,3c 2－2ac －5a 2＝0.即3e 2－2e －5＝0 ,解得e ＝ 53. 7．双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0 ,两顶点间的距离为 4 ,那么双曲线的方程为________________________________________________________________________．解析：由题意知a ＝2 ,当焦点在x 轴上时 ,有b a＝2 ∴b ＝4 ,双曲线方程为x 24－y 216＝1； 当焦点在y 轴上时 ,有a b＝2 ∵b ＝1 ,双曲线方程为y 24－x 2＝1. 答案：x 24－y 216＝1或y 24－x 2＝1 8．假设双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2 ,那么k 的值为________． 解析：∵x 2k ＋4＋y 29＝1是双曲线 , ∴k ＋4<0 ,k <－4.∴a 2＝9 ,b 2＝－(k ＋4)．∴c 2＝a 2＋b 2＝5－k .∴c a ＝5－k 3＝2. ∵5－k ＝36 ,k ＝－31.答案：－319．过点P (－3 ,0)的直线l 与双曲线x 216－y 29＝1交于点A ,B ,设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0) ,弦AB 的中点为M ,OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点) ,那么k 1·k 2＝________．解析：设A 、B 的坐标分别为(x 1 ,y 1) ,(x 2 ,y 2) , ∴x 2116－y 219＝1 ,x 2216－y 229＝1.两式相减得 (x 1＋x 2 ) (x 1－x 2 )16－ (y 1＋y 2 ) (y 1－y 2 )9＝0 , 即k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝9 (x 1＋x 2 )16 (y 1＋y 2 ). ∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 y 1＋y 22, ∴k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2,∴k 1·k 2＝916. 答案：91610．F 1、F 2为双曲线x 24－y 2＝－1的两个焦点 ,点P 在双曲线上 ,且∠F 1PF 2＝90° ,那么△F 1PF 2的面积是________． 解析：双曲线x 24－y 2＝－1的两个焦点是F 1(0 ,－5)、F 2(0 ,5) , ∵∠F 1PF 2＝90° ,∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.①∵|PF 1|－|PF 2|＝±2 ,∴|PF 1|2－2|PF 2|·|PF 1|＋|PF 2|2＝4.②①－②得2|PF 1|·|PF 2|＝16 ,∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝4. 答案：411．求适合以下条件的双曲线标准方程．(1)虚轴长为12 ,离心率为54； (2)顶点间距离为6 ,渐近线方程为y ＝±32x . 解析：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 ,或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0 ,b >0)． 由题知2b ＝12 ,c a ＝54,且c 2＝a 2＋b 2 , ∴b ＝6 ,c ＝10 ,a ＝8 ,∴标准方程为x 264－y 236＝1 ,或y 264－x 236＝1. (2)当焦点在x 轴上时 ,由b a ＝32 ,且a ＝3 ,∴b ＝92. ∴所求双曲线方程为x 29－4y 281＝1. 当焦点在y 轴上时 ,由a b ＝32,且a ＝3 ,b ＝2. ∴所求双曲线方程为y 29－x 24＝1. 12．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B . (1)求双曲线离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ,且P A →＝512PB → ,求a 的值． 解析：(1)∵曲线C 与l 相交于两个不同的点A 、B ,∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1x ＋y ＝1有两个不同的实数解 , ∴(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2 (1－a 2 )>0'解得0<a <2且a ≠1. ∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2>1＋12＝32 ,∴e >62且e ≠ 2. (2)由题意知：P (0 ,1) ,设A (x 1 ,y 1)、B (x 2 ,y 2) ,由P A →＝512PB → ,得(x 1 ,y 1－1)＝512(x 2 ,y 2－1) , ∴x 1＝512x 2 ,由①可知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2 x 1·x 2＝2a 21－a 2, 以上两式相联消去x 1、x 2可得－2a 21－a 2＝28960 ,由a >0 ,知a ＝1713.►体验（高|考）1．(2021·天津卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10 ,双曲线的一个交点在直线l 上 ,那么双曲线的方程为(A )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ,因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行 ,所以b 2＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上 ,所以－2c ＋10＝0 ,所以c ＝5.由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2 c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝20. 故双曲线的方程为x 25－y 220＝1. 2．(2021·重庆卷)设F 1 ,F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0)的左、右焦点 ,双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ,那么该双曲线的离心率为(D )A. 2B.15 C ．4 D.17解析：根据条件 ,知||PF 1|－|PF 2||＝2a ,所以4a 2＝b 2－3ab ,所以b ＝4a ,双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝17 ,选择D. 3．(2021·全国大纲卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的离心率为2 ,焦点到渐近线的距离为 3 ,那么C 的焦距等于(C ) A ．2 B ．2 2C ．4D ．4 2解析：∵e ＝c a ＝2 ,∴c ＝2a .∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax , 不妨取y ＝b ax ,即bx －ay ＝0 , ∵焦点F (c ,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为 3.∴bc a 2＋b 2＝3 ,∴bc c ＝3 ,∴b ＝ 3. ∵c ＝2a ,∴c 2－a 2＝b 2 ,∴4a 2－a 2＝3 ,a ＝1 ,c ＝2.4．(2021·四川卷)双曲线x 24－y 2＝1的离心率等于________． 解析：因为双曲线的方程为x 24－y 2＝1 ,所以a ＝2 ,b ＝1 , 所以c ＝5 ,所以双曲线的离心率e ＝c a ＝52. 答案：525．(2021·北京卷)设双曲线C 经过点(2 ,2) ,且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线 ,那么C 的方程为________ ,渐近线方程为________．解析：设C ：y 24－x 2＝λ(λ≠0) 过(2 ,2) ,那么224－22＝λ 1－4＝λ ,λ＝－3∴C ：y 24－x 2＝－3 即x 23－y 212＝1 易得渐近线：x 3±y 23＝0 即y ＝±2x .6．(2021·新课标全国卷Ⅰ)双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2 ,那么a ＝(D) A ．2 B.62 C.52D ．1 解析：由题意得e ＝a 2＋3a＝2 ,∴a 2＋3＝2a , ∴a 2＋3＝4a 2 ,∴a 2＝1 ,∴a ＝1.。
(人教版)高中数学选修1-1(检测)2.2 双 曲 线 课后提升作业 十三 2.2.2.1 Word版含解析
温馨提示：
此套题为版，请按住,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭文档返回原板块。
课后提升作业十三
双曲线的简单几何性质
(分钟分)
一、选择题(每小题分,共分)
.若实数满足<<,则曲线与曲线的( )
.实半轴长相等.虚半轴长相等
.离心率相等 .焦距相等
【解析】选.因为<<,所以两方程都表示双曲线,由双曲线中得其焦距相等.
.等轴双曲线的一个焦点是(),则它的标准方程是( )
【解析】选.设等轴双曲线方程为(>),
所以,所以,
故双曲线方程为.
【补偿训练】以椭圆的顶点为顶点,离心率为的双曲线方程为
( )
或
.以上都不对
【解析】选.当顶点为(±)时,双曲线方程为;当顶点为(,±)时
,双曲线方程为.
.(·全国卷Ⅰ)已知()是双曲线上的一点是的左、右两个焦点.若
·<,则的取值范围是( )
.
.
【解析】选.由双曲线方程可知()(),
因为·<,所以()()()()<.
即<,所以<,<,
所以<<.。
人教B版高中数学选修2-1单元总复习测试双曲线题
单元优选卷（5）双曲线1、已知点,,P A B 在双曲线22221x y a b-=上,直线AB 过坐标原点,且直线PA 、PB 的斜率之积为13,则双曲线的离心率为( ) A.23B.15 C.2 D.10 2、已知动点(,)P x y 满足2222(2)(2)2x y x y ++--+=,则动点P 的轨迹是( ) A.椭圆B.双曲线C.双曲线的左支D.双曲线的右支3、如图,已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,点M 与双曲线C的焦点不重合,点M 关于12,F F 的对称点分别为点,A B ,线段MN 的中点Q 在双曲线的右支上,若||||12AN BN -=,则a =( )A.3B.4C.5D.64、过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线,切点为T ,延长FT交双曲线右支于点P ,若M 为线段FP 的中点,O 为坐标原点,则||||MO MT -与b a -的大小关系为( )A.||||MO MT b a ->-B.||||MO MT b a -=-C.||||MO MT b a -<-D.不能确定5、已知定点1(2,0)F -,2(2,0)F ,N 是圆22:1O x y +=上任意一点,点1F 关于点N 的对称点为M ,线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ,则点P 的轨迹方程是( ) A.2213y x +=B.2213y x -=C.2213x y += D.2213x y -= 6、已知双曲线2217x y m -=,直线l 过其左焦点1F ,交双曲线左支于,A B 两点,且||4AB =,2F 为双曲线的右焦点,2ABF △的周长为20,则实数m 的值为( )A.8B.9C.16D.207、已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为1(5,0)F -,点P 在双曲线上,且线段1PF 的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是( )A.2214x y -= B.2214y x -=C.22123x y -=D.22132x y -= 8、已知,m n 为两个不相等的非零实数,则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是( )A.B.C.D.9、设12,F F 分别是双曲线2214x y -=的左、右焦点,点P 在双曲线上,当12F PF △的面积为1时,12PF PF ⋅u u u r u u u u r的值为( )A.0B.1C.12D.210、若实数k 满足09k <<,则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的( ) A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等11、设一圆过双曲线221916x y -=的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是________.12、已知12,F F 分别为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b a b >>≠且的左、右焦点,P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点.给出下面四个命题: ①12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上; ②12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上; ③12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上; ④12PF F △的内切圆必经过点(,0)a . 其中真命题的序号是____________.13、已知F 是双曲线22:18y C x -=右焦点,P 是C 左支上一点,A ,当APF △的周长最小时,APF △的面积为____________.14、设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且1234PF PF =,则12PF F ∆的面积等于__________.15、已知双曲线221x y -=,点12,F F 分别为其左、右焦点,点P 为双曲线上一点,若12PF PF ⊥,则12||||PF PF +的值为___________.16、已知双曲线221x y -=,点1F ,2F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点.若12PF PF ⊥,则12PF PF +的值为 .17、设双曲线C 的两个焦点为(),)一个顶点是()1,0,则C 的方程为 。
高中数学选修2-1同步练习题库：双曲线(填空题：较难)
双曲线（填空题：较难）1、已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．2、已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，是坐标原点，是以为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线的离心率是______________.3、椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆于双曲线的离心率分别为，，则的最小值为__________．4、已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_______．5、已知椭圆：，双曲线：，以的短轴为一条最长对角线的正六边形与轴正半轴交于点，为椭圆右焦点，为椭圆右顶点，为直线与轴的交点，且满足是与的等差中项，现将坐标平面沿轴折起，当所成二面角为时，点在另一半平面内的射影恰为的左顶点与左焦点，则的离心率为__________．6、已知等腰梯形ABCD中AB//CD，AB=2CD=4，∠BAD=600，双曲线以A，B为焦点，且经过C、D两点，则该双曲线的离心率为_________．7、点是焦点为的双曲线上的动点，若点满足,则点的横坐标为____________8、点在曲线上，点在曲线上，线段的中点为，是坐标原点，则线段长的最小值是__________．9、已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，已知点坐标，双曲线上点满足，则__________．10、设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为__________．11、双曲线的左右两焦点分别是，若点在双曲线上，且为锐角，则点的横坐标的取值范围是________．12、已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，若直线与圆相切于点且，则双曲线的离心率值为__________．13、已知双曲线：（，）和圆：.过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为，.若可为正三角形，则双曲线离心率的取值范围是__________．14、过双曲线的右焦点且垂于轴的直线与双曲线交于,两点，与双曲线的渐近线交于,两点，若,则双曲线离心率的取值范围为__________．15、过双曲线（，）的左焦点向圆作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的两条渐进线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为__________．16、已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________．17、给出如下命题:①已知随机变量，若，则②若动点到两定点的距离之和为，则动点的轨迹为线段;③设，则“”是“”的必要不充分条件;④若实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为;其中所有正确命题的序号是_________.18、设为双曲线右支上的任意一点，为坐标原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于,两点，则平行四边形的面积为__________．19、已知双曲线的离心率为，点是其左右焦点，点与点是双曲线上关于坐标原点对称的两点，则四边形的面积为__________．20、设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上任一点，当的最小值为时，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．21、在平面直角坐标系中，的顶点分别是离心率为的圆锥曲线的焦点，顶点在该曲线上．一同学已正确地推得：当时，有．类似地，当时，有（________）．22、如果曲线与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是__________．23、已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，．若，且，则双曲线的离心率为＿＿＿＿．24、平面直角坐标系xoy中，抛物线的焦点为F，设M是抛物线上的动点，则的最大值是25、把离心率的双曲线称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线是黄金双曲线；②若双曲线上一点到两条渐近线的距离积等于，则该双曲线是黄金双曲线；③若为左右焦点，为左右顶点，且，则该双曲线是黄金双曲线；④．若直线经过右焦点交双曲线于两点，且，，则该双曲线是黄金双曲线；其中正确命题的序号为 .26、已知双曲线的右焦点到其渐进线的距离为，则此双曲线的离心率为_________．27、已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右顶点，且该双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程为_________.28、过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，交其准线于点，若，则直线的斜率为___________．29、圆的切线过双曲线的左焦点，其中为切点，为切线与双曲线右支的交点，为的中点，则___________．30、已知动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，则动点的轨迹方程为______________．31、、是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，则△的面积为 .32、如图，已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，若，且，则双曲线的离心率为____________．33、已知双曲线的右焦点为,过点且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点,在直线上,且满足,则．34、如图，在中，，、边上的高分别为BD、AE，则以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则的值为 .35、过双曲线（，）的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为．36、已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是____．37、已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为__________.38、已知,,动点满足,若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 .39、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：（a＞0）的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数a的值是．40、过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若且，则双曲线的离心率为_____________．41、过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点.若，则双曲线的离心率为_______.42、已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点．设直线的斜率分别为，当最小时，双曲线的离心率为________________．43、已知点为双曲线右支上的一点，点分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为，若为的内心，且，则的值为．44、在平面直角坐标系中, 若双曲线的一条准线恰好与抛物线的准线重合，则双曲线的渐近线方程为．45、双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为．46、已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，且它的一个焦点在直线l上，则双曲线C的方程为．47、若圆与双曲线C：的渐近线相切, 双曲线C的渐近线方程是48、已知抛物线与双曲线有相同的焦点，是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率是 .49、已知双曲线的右焦点, 在双曲线的左支上,，当的周长最小值时,该三角形的面积为50、已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________51、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，线段与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为_____．52、平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的渐近线方程为________．53、过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线的右支上到直线对的距离恒大于，则双曲线的离心率的最大值是_____.54、设F1，F2为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是．55、如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是．56、已知命题：在平面直角坐标系xOy中，椭圆，△ABC的顶点B在椭圆上，顶点A，C分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e，则，现将该命题类比到双曲线中，△ABC的顶点B在双曲线上，顶点A、C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为．双曲线的离心率为e，则有________．57、在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在双曲线上，则为___________．58、已知点P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，G为三角形的内心，若成立，则的值为（）B．C．D．A．59、设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为____________．60、如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二，第四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是．61、已知双曲线的焦点分别为，．则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．62、中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是．63、中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是．64、已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则．65、已知点是双曲线E：上的一点，M、N分别是双曲线的左右顶点，直线PM、PN的斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为___________________．66、在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.3.2 双曲线的简单几何性质
2.3.2 双曲线的简单几何性质基础过关练题组一 双曲线性质的简单应用1.若双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m 的值为( )A.-14B.-4C.4D.142.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的√2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )A.x 24-y 24=1B.y 24-x 24=1 C.y 24-x 28=1 D.x 28-y 24=13.(2017山西晋中榆社中学高二下学期期中)如图,双曲线C:x 29-y 210=1的左焦点为F 1,双曲线上的点P 1与P 2关于y 轴对称,则|P 2F 1|-|P 1F 1|的值是( )A.3B.4C.6D.8 4.已知F为双曲线C:x 29-y 216=1的左焦点,P,Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ 上,则△PQF 的周长为 .题组二 双曲线的离心率5.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则它的离心率为( )A.43B.53C.2D.36.设圆锥曲线的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,则曲线的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或327.设F 1和F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F 1,F 2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 .8.若双曲线x 24+y 2k=1的离心率e∈(1,2),则k 的取值范围是 .9.过双曲线的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ,F 1为左焦点,且∠PF 1Q=π2,则双曲线的离心率是 . 题组三 双曲线的渐近线及其应用10.双曲线x 29-y 216=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于 ( )A.√3B.3C.4D.211.已知a>b>0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2b2=1,C 1与C 2的离心率之积为√32,则C 2的渐近线方程为( )A.x±√2y=0B.√2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0题组四 直线与双曲线的位置关系12.若无论k 为何值,直线y=k(x-2)+b 与曲线x 2-y 2=1总有公共点,则b 的取值范围是( ) A.(-√3,√3) B.[-√3,√3] C.(-2,2) D.[-2,2]13.直线x+y=1与双曲线4x 2-y 2=1相交所得弦长为( )A.√143 B.2√143 C.2√73D.√714.已知双曲线x 2-y24=1,过P(1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点,这样的直线l 共有( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 15.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-y 22=1交于不同的两点A,B,若线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上,则实数m 的值是 . 16.已知双曲线C 1:x2-y 24=1. (1)求与双曲线C 1有相同的焦点,且过点P(4,√3)的双曲线C 2的标准方程;(2)直线l:y=x+m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A,B 两点.当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3时,求实数m 的值.能力提升练一、选择题1.(2019广东广州二中高二上学期月考,★★☆)已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则双曲线C 的方程为( )A.x 220-y 25=1B.x 25-y 220=1 C.x 280-y 220=1 D.x 220-y 280=1 2.(2019重庆沙坪坝高二期中,★★☆)已知点P 为双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,若双曲线C 的离心率为√3,△PF 1F 2的内切圆圆心为I,半径为2,若S △PF 1I =S △PF 2I +2√3,则b 的值是( ) A.2 B.√2 C.√6 D.63.(2019福建漳平高二月考,★★★)若直线y=kx-1与双曲线x 24-y 29=1有且只有一个公共点,则k 的值为( ) A.±√102B.±32C.±√102或±32D.±√102或±32或4.(2020湖南常德高二期末,★★★)已知F 1,F 2为双曲线的焦点,过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A,B 两点,BF 1交虚轴于点C,若|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2√2 D.2√3二、填空题5.(2018山东济南外国语学校高二上学期月考,★★☆)如图,F 1,F 2分别是椭圆C 1:x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是 .6.(2019福建福州期末联考,★★☆)已知直线l 与双曲线x 2-4y 2=4相交于A,B 两点,若点P(4,1)为线段AB 的中点,则直线l 的方程是 .三、解答题7.(2019黑龙江牡丹江一中高二上学期月考,★★★)已知双曲线C 的方程为y 2a 2-x 2b2=1(a>0,b>0),离心率e=√52,顶点到渐近线的距离为2√55. (1)求双曲线C 的标准方程;(2)如图,P 是双曲线C 上一点,A,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[13,2],求△AOB 的面积的取值范围.8.(★★★)已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点为F(-2,0).(1)求双曲线的方程;(2)设Q 是双曲线上一点,且过点F,Q 的直线l 与y 轴交于点M.若|MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|QF ⃗⃗⃗⃗⃗ |,求直线l 的方程.答案全解全析 基础过关练1.A 双曲线方程化为标准形式为y 2-x 2-1m=1,则有a 2=1,b 2=-1m .由题设知,2=√-1m ,∴m=-14.2.B 由题意得{a =2,2a +2b =√2×2c ,a 2+b 2=c 2,解得a=2,b=2.易知双曲线的焦点在y 轴上,所以双曲线的标准方程为y 24-x 24=1.3.C 设F 2为双曲线的右焦点,连接P 2F 2, 由双曲线的对称性,知|P 1F 1|=|P 2F 2|, ∴|P 2F 1|-|P 1F 1|=|P 2F 1|-|P 2F 2|=2×3=6.4.答案 44解析 由双曲线C 的方程,知a=3,b=4,c=5,∴点A(5,0)是双曲线C 的右焦点,且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16.由双曲线的定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6. ∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28,∴△PQF 的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.5.B 不妨设双曲线的标准方程为x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),则2×2b=2a+2c,即b=a+c 2.又b 2=c 2-a 2,则(a+c 2)2=c 2-a 2,所以3c 2-2ac-5a 2=0,即3e 2-2e-5=0,又e>1,所以e=53.故选B.6.A 由题意可设|PF 1|=4m,|F 1F 2|=3m,|PF 2|=2m(m>0),当曲线为椭圆时,长轴长2a=|PF 1|+|PF 2|=6m,焦距2c=3m,∴e=c a =12;当曲线为双曲线时,实轴长2a=|PF 1|-|PF 2|=2m,焦距2c=3m,∴e=c a =32.7.答案 2解析 由题设条件可得,2bc =√3,所以b 2c 2=34,所以c 2-a 2c 2=1-a 2c 2=1-1e 2=34,所以e=2.8.答案 (-12,0)解析 双曲线方程可变为x 24-y 2-k =1,则a 2=4,b 2=-k,c 2=4-k,e=c a =√4-k2. 又因为e∈(1,2),即1<√4-k2<2, 所以-12<k<0.9.答案 1+√2解析 设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),焦距为2c,则|PQ|=2b 2a,由题意易知△PF 1F 2是等腰直角三角形,所以2c=b 2a ,所以2ac=c 2-a 2,所以c 2a 2-2×ca -1=0,即e 2-2e-1=0,所以e=1±√2.又因为e>1,所以e=1+√2.10.C 双曲线x 29-y 216=1的一个焦点坐标是(5,0),一条渐近线为y=43x,此焦点到渐近线的距离d=203√169+1=4.11.A 依题意得√a 2-b 2a·√a 2+b 2a=√32,化简得a 2=2b 2.因此C 2的渐近线方程为y=±bax=±√2x,即x±√2y=0,故选A.12.B 直线y=k(x-2)+b 过点(2,b).∵x=2时,y 2=x 2-1=3,∴y=±√3, ∴b∈[-√3,√3].13.B 联立{x +y =1,4x 2-y 2=1,得3x 2+2x-2=0.设直线与双曲线的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=-23,x 1x 2=-23,∴|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=√2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2√143. 14.B 因为双曲线方程为x 2-y 24=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x 轴垂直的直线与双曲线只有一个公共点.过P(1,0)且和两条渐近线平行的直线也满足条件,这样的直线有2条.所以符合要求的直线l 共有3条,故选B. 15.答案 ±1 解析 由{x -y +m =0,x 2-y 22=1,消去y 得x 2-2mx-m 2-2=0,Δ=4m 2+4m 2+8=8m 2+8>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).则x 1+x 2=2m,y 1+y 2=x 1+x 2+2m=4m,∴线段AB 的中点坐标为(m,2m).又∵点(m,2m)在圆x 2+y 2=5上,∴5m 2=5,∴m=±1.16.解析 (1)双曲线C 1的焦点坐标为(√5,0),(-√5,0), 设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0), 则{a 2+b 2=5,16a 2-3b 2=1,解得{a 2=4,b 2=1,所以双曲线C 2的标准方程为x 24-y 2=1. (2)双曲线C 1的渐近线方程为y=2x,y=-2x,设A(x 1,2x 1),B(x 2,-2x 2).由{x 2-y 24=0,y =x +m ,消去y 得3x 2-2mx-m 2=0, 由Δ=(-2m)2-4×3×(-m 2)=16m 2>0,得m≠0. 因为x 1x 2=-m 23,所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(2x 1)(-2x 2)=-3x 1x 2=m 2,所以m 2=3, 即m=±√3.能力提升练一、选择题1.A 双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2-y 2b 2=0,又点P(2,1)在C 的渐近线上,所以4a 2-1b 2=0,即a 2=4b 2①.又a 2+b 2=c 2=25②.由①②,得b 2=5,a 2=20,所以双曲线C 的方程为x 220-y 25=1,故选A. 2.C 设圆I 的半径为r,则r=2.因为S △PF 1I =S △PF 2I +2√3, 所以12|PF 1|·r=12|PF 2|·r+2√3,可得|PF 1|-|PF 2|=2√3, 即2a=2√3,所以a=√3.因为双曲线C 的离心率为√3,所以ca =√3,所以c=3,则b=√c 2-a 2=√9-3=√6,故选C. 3.C 由{y =kx -1,x 24-y 29=1,得(9-4k 2)x 2+8kx-40=0, 当9-4k 2=0,即k=±32时,x=5k,满足直线与双曲线相交,且只有一个公共点; 当9-4k 2≠0,即k≠±32时, 令Δ=64k 2+160(9-4k 2)=0, 解得k 2=52,即k=±√102,此时直线与双曲线相切,只有一个公共点, 综上,满足条件的k 的值是±32或±√102, 4.B 设O 为坐标原点,由题意得OC∥AB, ∵O 是F 1F 2的中点,∴C 为F 1B 的中点. ∵|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,即4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AC⊥BF 1,∴|AF 1|=|AB|, 又由双曲线的对称性,知|AF 1|=|BF 1|, ∴△ABF 1为等边三角形,在Rt△AF 1F 2中, |F 1F 2|=2c,∠AF 1F 2=30°, ∴|AF 2|=2√33c,|AF 1|=4√33c,||AF 2|-|AF 1||=2a=2√33c,∴e=√3.二、填空题 5.答案√62解析 ∵椭圆C 1:x 24+y 2=1,∴2a=4,b=1,c=√3,设|AF 1|=x,|AF 2|=y,∴|AF 1|+|AF 2|=2a=4,即x+y=4①.∵四边形AF 1BF 2为矩形,∴|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2,即x 2+y 2=(2c)2=12②.由①②,得x=2-√2,y=2+√2.设双曲线C 2的实轴长为2m,焦距为2n,则2m=|AF 2|-|AF 1|=y-x=2√2,2n=2c=2√3,∴双曲线C 2的离心率e=n m =√62. 6.答案 x-y-3=0解析 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 的斜率为k,易知k 存在且k≠0,则x 12-4y 12=4,x 22-4y 22=4,两式相减,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)-4(y 1-y 2)·(y 1+y 2)=0. ∵点P(4,1)为线段AB 的中点, ∴x 1+x 2=8,y 1+y 2=2.代入,得(x 1-x 2)-(y 1-y 2)=0, ∴k=y 1-y 2x 1-x 2=1.因此直线l 的方程是y-1=1×(x -4), 即x-y-3=0.三、解答题7.解析 (1)由题意,知双曲线C 的顶点(0,a)到渐近线ax±by=0的距离为2√55,即√a 2+b2=2√55,所以ab c =2√55. 由{ab c=2√55,c a =√52,c 2=a 2+b 2,解得{a =2,b =1,c =√5. 所以双曲线C 的标准方程为y 24-x 2=1.(2)由(1),知双曲线C 的两条渐近线方程为y=±2x. 设A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得点P 的坐标为(m -λn 1+λ,2(m+λn )1+λ). 将点P 的坐标代入y 24-x 2=1,化简并整理,得 mn=(1+λ)24λ=14(λ+1λ)+12.令∠AOB=2θ,则tan (π2-θ)=2, 所以tan θ=12,sin 2θ=45.又|OA|=√5m,|OB|=√5n,所以S △AOB =12|OA|·|OB|sin 2θ=2mn=12(λ+1λ)+1. 记S(λ)=12(λ+1λ)+1,λ∈[13,2], 由对勾函数的单调性,可知S(λ)在[13,1)上是减函数,在(1,2]上是增函数,且在λ=1处取得最小值.又S (13)=83,S(2)=94,S(1)=2, 所以△AOB 的面积的取值范围是[2,83].8.解析 (1)由题意可设所求双曲线的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0). ∵c a=2,c=2,∴a=1,∴b=√3, ∴所求双曲线的方程为x 2-y 23=1. (2)∵直线l 与y 轴相交于点M 且过焦点F(-2,0), ∴l 的斜率一定存在,设为k,则直线l:y=k(x+2).令x=0,得M(0,2k).∵|MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|QF ⃗⃗⃗⃗⃗ |且M,Q,F 共线于直线l, ∴MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ 或MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ .设点Q(x Q ,y Q ). 当MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ 时,x Q =-43,y Q =23k, ∴Q (-43,23k). ∵点Q 在双曲线x 2-y 23=1上,∴169-4k 227=1,∴k=±√212; 当MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ 时,同理求得Q(-4,-2k),代入双曲线方程,得16-4k 23=1,∴k=±3√52. 故所求的直线l 的方程为y=±√212(x+2)或y=±3√52(x+2).。
高中数学选修1-1 2.2双曲线基础练习题
高二数学周周清（3）一、选择题（每小题5分，共12小题）1．到两定点()0,41-F 、()0,42F 的距离的差的绝对值等于8的点M 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2.双曲线221102x y -=的焦距为 （ ）3．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是 ( ) A ．y ＝±32x B ．y ＝±23x C ．y ＝±94x D ．y ＝±49x 4．双曲线2216436x y -=上一点P 到右焦点的距离是 8，则P 到左焦点的距离是 ( ) A. 325 B. 965C. -8D. 24 5.已知双曲线的实轴长为6，焦距为10，则该双曲线的标准方程为 （ ） A. 116922=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x 或116922=-x y D. 191622=-y x 或116922=-y x 6.若双曲线标准方程为1222=-y x ，则双曲线的离心率是 ( ) A.22 B.23 C.26 D.1 7. 双曲线116922=-x y 的焦点坐标是 ( ) A. )03(，± B. )05(，± C. )30(±， D. )50(±，8.双曲线15422=-y x 的左焦点到右顶点的距离是 ( ) A. 5 B.4 C.3 D. 29. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k10. 以椭圆C:15822=+y x 的焦点为顶点，以椭圆C 的顶点为焦点的的双曲线方程是 （ ） A ．15322=-y x B ．13522=-x y C ．15322=-x y D ．13522=-y x 11. 若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-b y a x 有 （ ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点12．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（ ）二、填空题（每小题5分，共4小题）13.已知动点P 到两定点（-3,0），（3,0）的距离的差的绝对值是8，则点P 的轨迹方程是__________14.等轴双曲线的一个焦点是F 1（0，4），则它的标准方程是___________15.双曲线3322=-my mx 的一个焦点是（2，0），则m 的值是16. 过点()1,3-A 且被点A 平分的双曲线2244x y -=的弦所在的直线的方程是______________ 三、解答题（每小题10分，共2小题）17.分别在下列条件下求双曲线的标准方程（1）过两点），），（，（225-2-2； （2）过点32y 2-33±=），且渐近线方程为，（；18.已知双曲线C:1322=-y x ，21F F 、是其左右焦点， （1）若双曲线C 上一点P ，满足021=⋅PF ，求21F PF ∆的面积；（2）若双曲线C 与直线L ：1+=kx y 交于A 、B 两点，且23的面积为AOB ∆，求k 的值。
高中数学人教A版选修2-1双曲线基础训练题.docx
双曲线基础训练题1.平面内有定点1(5,0)F - 和2(5,0)F ，动点P 满足条件126PF PF -=,则动点P 的轨迹方程是（ ）。
A 221(4)169x y x -=≤-B 221(3)916x y x -=≤-C 221(4)916x y x -=≥ D 221(3)916x y x -=≥ 2. 双曲线2213649x y -=的渐近方程是 ( ) (A) 03649x y ±= (B) 03649y x ±= （C ）067x y ±= (D) 076x y ±= 3. 直线3y x =+与曲线22144x y -+= 的交点的个数是 （ ） (A) 0个 (B) 1个 （C ） 2个 (D)3个4. 双曲线 221x ay -= 的焦点是 （ ）(A) (B)（C ）( (D) (5. 若双曲线221x y -=右支上一点(,)p a b 到直线的y x =，则a b +的值为 （ ） (A) 12- (B) 12 （C ）1122-或 (D) 2-或26. 以(2,0)F 为一个焦点， 渐近线是y =双曲线方程是 （ ） (A) 2213y x -= (B) 2213y y -= （C ）22123x y -= (D) 22132y y -= 7. 方程 22132x y m m -=-+ 表示双曲线， 则m 的取值范围是 （ ） (A) 2m <- (B) 3m > （C ）23m m <->或 (D) 23m -<<8． 和椭圆221259x y +=有共同焦点，且离心率为2的双曲线方程是 （ ） (A) 221414x y -= (B) 221412x y -= （C ）221614x y -= (D) 221612x y -= 9. 设双曲线22221(0)x y a b a b-=<< 的半焦距为c 直线l 过(a,0),(0,b) 两点，已知原点到直线l，则双曲线的离心率为 （ ）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线测试题(2)一．选择题（70）1.已知定点A 、B 且|AB|=4,动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( )A.12B.32C.72D.5解析:由题意知,动点P 的轨迹是以定点A 、B 为焦点的双曲线的含焦点B 的一支,结合图形不难发现,|PA|的最小值是图中AP′的长度,即a+c=72.答案:C2.下列曲线中离心率为6的是( )A.22241y x -= B.22421y x -= C.22461y x -= D.224101yx -=解析:∵222c a e c a b =,=+,∴2222222226321(c a b b a a a e +===+==.∴2212b a =,观察各曲线方程得B 项系数符合,故选B.答案:B 3.设双曲线22291(0)y x a a -=>的渐近线方程为320x y ±=,则a 的值为( )A.4B.3C.2D.1解析:∵双曲线22291(0)y x a a -=>,∴双曲线渐近线方程为22290y xa-=,即30x ay ±=. 又由已知,双曲线渐近线方程为320x y ±=, ∴a=2. 答案:C 4.若双曲线2291y x m -=的渐近线l 的方程为5y x =,则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为( ) 514 C.2 D.5解析:双曲线的渐近线方程为my x =, 5m =,即m=5.不妨令一个焦点为140)F ,, ∴F 到一条渐近线5y x =的距离为514145d ⨯==答案:A5．以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对 6．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+解：C Δ12PF F 是等腰直角三角形，21212,22PF F F c PF c ===1212,2222,2121c PF PF a c c a e a -=-====+- 7.若椭圆22221(y xa ba b +=>>0)的离心率为32,则双曲线22x a -221y b =的离心率为( ) A.54 B.52C.32D.54解析:因为椭圆22221y x a b +=的离心率312e =,所以2223141b a e -==,即2214b a=,而在双曲线22221y x a b -=中,设离心率为2e , 则2225124411b ae =+=+=,所以522e =. 答案:B8.设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为 … ( )A.2B.3C.2D.3解析:设双曲线的两焦点分别为1F 、2F ,由题意可知|12F F |=2c,|AB|=2|1AF |=4a,在Rt △12AF F 中, ∵|1AF |=2a,|12F F |=2c,|2AF |224()a c =+,∴|2AF |-|1AF |224()22a c a a =+-=, 即223a c =,∴3ca e ==. 答案:B9.设e 为双曲线1222=+my x 的离心率，且)2,1(∈e ，则实数m 的取值范围为C （A ）)1,6(--． (B))6,0(． (C))1,4(--． (D) )0,6(-．10. 图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e ﹑﹑﹑，其大小关系为（ C ）A ．1234e e e e <<<B ．2134e e e e <<<C ．1243e e e e <<<D ．2143e e e e <<< 11. 已知双曲线的右焦点为F ，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，过A 作x 轴的垂线，B 为垂足，且OB OF 3=(O 为原点)， 则此双曲线的离心率为(B )（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）23 12.过双曲线C:-=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为 ( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.【解析】选A.设右焦点为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a 2+b 2=16, 又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b 2=16,13.已知m,n 为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与22nx my mn +=所表示的曲线可能是… ( )解析:直线方程为y=mx+n,曲线为221yx m n +=. 当曲线为椭圆时,m>0,n>0,直线斜率为正,与y 轴正半轴相交,A,B 都不满足题意. 当曲线为双曲线时,m>0,n<0时,C 满足直线与曲线的图象; m<0,n>0时,D 只满足曲线图象,不满足直线图象. 答案:C14．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ）A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--） 解：D 2222226,(2)6,(1)41002x y x kx k x kx y kx ⎧-=-+=---=⎨=+⎩有两个不同的正根则221221224024040,11001k k x x k x x k ⎧∆=->⎪⎪⎪+=>⎨-⎪-⎪=>⎪-⎩得1513k -<<- 二．填空题（20）15．双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。
解：1- 焦点在y 轴上，则22811,()9,181y x k k k k k-=-+-==--- 16．若双曲线1422=-my x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________． 解：(7,0)± 渐近线方程为2my x =±，得3,7m c ==，且焦点在x 轴上 17.若双曲线221(0y x mnm -=>,n>0)和椭圆221y x ab+=(a>b>0)有相同的焦点12F F M ,,为两曲线的一个交点,则|1MF |⋅|2MF |等于_____.解析:利用定义求解.由双曲线及椭圆定义分别可得|1MF |-|2MF |=2m ±①,|1MF |+|2MF |2a = ②, ②2-①2得4|1MF |⋅|2MF |=4a-4m, 所以|1MF |⋅|2MF |=a-m.答案:a-m18.对于曲线C:22411y x k k --+=,给出下面四个命题: ①曲线C 不可能表示椭圆;②当1<k<4时,曲线C 表示椭圆;③若曲线C 表示双曲线,则k<1或k>4;④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则521k <<. 其中命题正确的序号为_____.解析:由 401041k k k k ->,⎧⎪->,⎨⎪-≠-⎩得521k <<或524k <<,故曲线C 可以表示椭圆,故①②错,④正确;由(4)(1)0k k -⋅-<得k<1或k>4时表示双曲线,故③正确. 答案:③④三．解答题（60）19.动点P 到两定点(,0)A a ,(,0)B a -连线的斜率的乘积为k ,试求点P 的轨迹方程,并讨论轨迹是什么曲线？解：点P 的轨迹方程为222()kx y ka x a -=≠±； ………3分 当0k >，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线（除去A,B 两点）………4分 当0k =，点P 的轨迹是x 轴（除去A,B 两点）…………5分当10k -<<时，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆（除去A,B 两点）……6分 当1k =-时，点P 的轨迹是圆（除去A,B 两点）……………..7分当1k <-时，点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆（除去A,B 两点） ……… 8 分 20．双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。
解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为2222125y x a a +=-； 双曲线方程为2222125y x b b +=-，点(3,4)P 在椭圆上，2221691,4025a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P 的渐近线为225y x b =-，即2243,1625b b ==-所以椭圆方程为2214015y x +=；双曲线方程为221169y x +=21.在△ABC 中,BC=2,且sinC-sin 12B =sinA,求点A 的轨迹.解:以BC 所在直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系,则B(-1,0),C(1,0). 设A(x,y),由sinC-sinB=12sinA 及正弦定理可得|AB|-|AC|=12|BC|=1.∵|BC|=2,∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线的右支上. 设双曲线方程为22221(0y x a b a -=>,b>0).∵2a=1,2c=2, ∴121a c =,=.∴22234b c a =-=.∴所求双曲线方程为242341y x -=.又∵|AB|-|AC|=1>0,∴12x >.∴点A 的轨迹是双曲线的右支上除去顶点的剩余部分.22.求下列动圆圆心M 的轨迹方程:与圆C 1:22(3)9x y ++=外切,且与圆2:22(3)1x y -+=内切. 解:设动圆M 的半径为r. ∵M 与1C 外切,且与2C 内切,∴|1MC |=r+3,|2MC |=r-1,|1MC |-|2MC |=4.∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支, 且有a 222235c b c a =,=,=-=. ∴所求双曲线方程为22451(2)y x x -=≥.23.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求双曲线C的方程.(2)直线y=kx+m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C,D,且C,D两点都在以点A为圆心的同一圆上,求m的取值范围.【解析】(1)依题意解得a2=3,b2=1.所以双曲线C的方程为-y2=1.(2)消去y得,(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,由已知:1-3k2≠0且Δ=12(m2+1-3k2)>0⇒m2+1>3k2①设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点P(x0,y0),则x0==,y0=kx0+m=,因为AP⊥CD,所以k AP===-,整理得3k2=4m+1 ②,联立①②得m2-4m>0,所以m<0或m>4,又3k2=4m+1>0, 所以m>-,因此-<m<0或m>4.。