久期与凸性的理解
久期凸度的定义、表达式以及背后的数学原理
久期、凸度的定义及数学推导目录1久期D (1)1.1久期定义 (1)1.2久期表达式 (2)1.3久期作用 (2)1.3.1 衡量加权平均期限 (2)1.3.2 测度利率敏感性 (3)2 凸度C (5)2.1凸度定义 (5)2.2表达式 (5)2.3数学原理 (5)1久期D1.1久期定义久期是债券价格相对于债券收益率的敏感性（一）麦考利久期Dm：最早的久期衡量指标，其本质是通过计算债券偿还现金流的加权平均年限，来衡量债券价格变化敏感度。
（二）修正久期D *：对麦考林久期进行了修正，加入考虑了到期收益率r 。
比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05。
（三）美元久期D **：对修正久期进一步修正，加入了债券价格P ，比如债券价格95，那么美元久期就要在修正久期的基础上，乘以95。
1.2久期表达式 麦考利久期：t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 公式（1） 修正久期： D * =Dm/(1+r) 公式（2）美元久期： D ** =D *P 公式（3）【CFt ：债券每期现金流】；【r ：到期收益率或市场利率】；【t ：债券期数】。
1.3久期作用1.3.1 衡量加权平均期限麦考利久期Dm 是对债券实际平均期限的一个简单概括统计，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重；1.3.1.1 数学原理从公式（1）t P r t ∑==+=nt 1t t )1/(CF Dm 出发： Dm 是时间t 的加权平均值，第t 期的权重为P r t t )1/(CF +； 比如t=2时第二期的权重为P r 22)1/(CF +；求证：权重加总求和∑==+n t 1t t )1/(CF P r t =∑==+n t 1t t )1/(CF p 1t r （带入债券定价公式： P )1/(CF n t 1t t =+∑==t r ） =P p1 =11.3.2 测度利率敏感性当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。
久期和凸性——精选推荐
四、利率的久期与凸性（一）久期久期有许多不同的形式和解释。
几种尤为重要的种类是麦考莱久期(Macaulay duration)、修正久期(Modified duration)、封闭式久期(Closed-form duration)和有效久期(Effective duration)。
1．麦考莱久期“久期”又叫“持续期”,要归功于F．R·麦考莱，他在1938年提出要通过衡量债券的平均到期期限来研究债券的时间结构。
当被运用于不可赎回债券时，麦考莱久期就是以年数表示的可用于弥补证券初始成本的货币加权平均时间价值。
久期对于财务经理的主要价值在于它是衡量利率风险的直接方法，久期越长，利率风险越大。
麦考莱久期有如下假设：收益率曲线是平坦的；用于所有未来现金流的贴现率是固定的。
其中：D——久期Ct——t时的现金流R——到期收益率(每期)P——债券的现价N——到期前的时期数；t——收到现金流的时期。
上述公式给出了理解麦考莱久期的方法。
它表明时间的权重是每期收到的现金流的现值。
每一贴现的现金流都代表了债券现金流现值的一部分。
如果加总债券所有的贴现现金流，就得到了债券的价格。
麦考莱久期也可以表达为连续复利形式：2．修正久期债券价格等于与债券相关的现金流的现值：我们可以将上述公式对利率R求导，得到公式：上述公式表示了当债券收益率发生很小变动时以美元表示的债券价值发生的变动。
将公式两边同时除以债券价格便得到了每一单位利率百分比变动时债券价格的百分比变动：上述公式是修正久期的表达式。
括号中的项是麦考莱久期公式的分子。
因而修正久期等于麦考莱久期除以（1+到期收益率）：修正久期显示了与债券到期收益率的小变动相关的价格百分比变化。
注意，按上述公式计算的久期是负值，这是因为，债券价格与利率水平的运动方向相反是一致的。
实际上，久期的负号常常被忽略。
3．封闭式久期这一方法的优点在于计算简便，这也是为什么大多数计算久期的软件程序都使用封闭形式的公式。
债券的久期和凸性
)
D D* 1 y
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。
精选ppt
4
债券的久期
dP/ P D D* dy 1 y
D
T t1
t
[
Ct (1 y)t
/
T t1
Ct (1 y)t
]
其中，wt为t时期的权重
T
t wt
t1
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率 变化引起的债券价格变化越大
2. 到期收益率越大（息票率越大），则凸性越小 3. 到期日越远（同等次数、同等量的现金流但支
付越分散），凸性越大。 4. 凸性减少了债券的波动性。
精选ppt
30
债券的凸性
凸性具有减少久期近似误差的性质。利率变化引起债券 价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下降的幅 度要小。因此，在其他条件相同时，人们应该偏好凸性大 的债券。
根据泰勒公式
p(y) dP 1 dy 1 1 d2P(dy)2 p dy p 2 p dy2
Ddy 1c(dy)2 2
精选ppt
31
债券的凸性
例 到期收益率 调整久期
5％ 4.33年
债券价格 凸性
100 26.3849
给定以上数据，当到期收益率上升到7％时，债券的价格将如何变化？
pD D*py4.331002%8.66
凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映 了债券带来的现金流的集中程度，现金流越集中凸 性越小，现金流越分散则凸性越大。 注意：久期是平均意义上的到期时间。
凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发 生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。
精选ppt
基点价值、久期与凸性—影响债券价格波动的衡量指标
当利率变动 时债券价格的变动情况： 债券价格变动金额= 1 D r 价格凸性系数r 债券价格变动比例= 1 D r 凸性系数r 实例： 债券面额为100元，到期期限为5年，票面 利率6%，利率6%，半年付息一次； • 可以求出：
2 dol 2 mod
实例
• 债券价格为100元；久期为4.393年；修正久 期为4.265年；凸性系数为10.883 • 假设收益率上升100bps，则债券价格变动： • 债券价格变动比例= 4.265 0.01 10.883 0.01 4.16% • 即债券价格会下跌4.16%； • 假设收益率下降100bps，则债券价格变动： • 债券价格变动比例= • 即债券价格会上涨4.37%
• 即：
=
，Dmod即是修正久期。
，债
• 可以看出，修正久期即是“当利率变动时 券价格变动的幅度为 ”
• 影响久期的三个因素：到期时间、息票利 率和到期收益率。
• 债券的到期日越远，久期越大，但随着到 期时间不断延长，久期增加的幅度会递减。 • 息票利率越高，表示每期支付的利息越多， 收回成本的速度越快，久期越短。 • 收益率越高，表示持有债券至到期的报酬 越高，久期越短。
• 凸性是对债券价格利率敏感性的二阶估计， 是对债券久期利率敏感性的测量。在价格 －收益率出现大幅度变动时，它们的波动 幅度呈非线性关系。由久期作出的预测将 有所偏离。凸性就是对这个偏离的修正。
• 论收益率是上升还是下降，凸性所引起的 修正都是正的。因此如果修正久期相同， 凸性越大越好。
• • • • •
基点价值、久期与凸性
—影响债券价格波动的衡量指标
• 基点价值：指收益率变化一个基点（0.01%） 时，债券价格的变动情况。 • 久期：也叫存续期（duration），即收益率 变化100个基点（1%）时，债券价格变化的 幅度。 • 可以从以下两个方面来理解久期的含义。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
久期和凸性 现代投资组合理论与投资分析
在上面的例子中，尽管三支债券的期限均相同， 但三支债券表现出对利率变化不同的灵敏性。按 这里的期限，对三支债券对利率变化的相对灵敏 性的影响是有限的。
久期这个指标可以评价具有不同现金流方式的债 券的相对承担利率风险的成份，因为它既考虑到 了期末的现金支付又考虑到了期间的现金支付情 况（它使债券定价定理5得以精确化）。
二、债券的平均生命期和久期
1、债券平均寿命期图示：期限3年，每年内现金流相同。
债 券 价 值
现
现
现
金
金
金
流
流
流
1
2
3
0
1
2
3
平均生命期
时间
2、债券久期图示：相同的例子
债 券 价 值
现
现
现
金
金
金
流
流
流
1
2
3
0
1
2
3
久期
时间
上图中，债券的生命期为2年。然而，一个更为精 确的现金流生命的度量，应考虑到现金流的现值。 在这种情况下，目标是用支付的现金流的现值给 每次支付加权，而不是简单地用未加处理的支付 额来计算平均时间。这种用每次支付的现值为每 次支付时间加权的度量被命名为久期d，如上图。 由于较早的支付比较晚的支付现值高，因此久期 的期限将小与平均生命期。见上图。
例如1 4 %利率水平下，一只2 0年的债券票息为1 0 %，其久期为6 . 9 8，同样条件下1 0年债券久 期为5 . 6 8，5年债券久期为3 . 7。
同时要注意，高利率水平下的久期低于低利率水 平下的久期。
例如： 2 0年的债券在1 4 %利率水平下，久期为 6 . 9 8，而在1 2 %利率水平下，久期为7 . 7 4， 在1 6 %利率水平下久期为6 . 3 0。
久期和凸性
1 5 10 15 20
0.93 4.05 6.61 7.96 8.53
ห้องสมุดไป่ตู้
要求的收益率＝14％（到期收益率） 1 5 10 15 20 0.92 3.98 6.33 7.37 7.65 0.92 3.83 5.95 6.91 7.24 0.91 3.71 5.68 6.59 6.98 0.91 3.60 5.46 6.37 6.80
债券久期的计算公式为：
C1 C3 (Cn F ) C2 d 1 2 3 ... t /P 2 3 t (1 k ) (1 k ) (1 k ) (1 k )
上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加 权。现金流入包括利息C和赎回本金F，并且时间加 权数是从1到t。最后，现金流对时间加权后求和，再 除以债券价格P（债券估值公式中的P）。
债券价格随着利率变化而变化的关系接近于一条 凸函数而不是一条直线函数。 下图对一个10年期零息票到期收益率为10％的债 券的已得价格变化和以久期为基础对债券价格变 化的预期相比较，说明了凸性对价格收益关系的 影响。
债券价值 （美元）
凸性曲线（价格变化对利率变化的实际关系）
650 600 550 500 450 400 350 300
期 限 票息 票息
0
5年 10年 20年 15 55 210
10％
7.3% 12.3% 31.2%
从表中看出：（1）长生命期的债券（如前面的
永续年金图形）与息票利率变化之间的关系具有 明显的凸性性质；（2）短期债券（如前面的3年 期债券）的价格－利率关系几乎是一条直线，只 有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小。（3） 凸性随着票息的降低而增大，随着票息的上升而 降低。（4）低利率水平下的凸性大于高利率水平 下的凸性。（5）债券价格与利率关系在曲线的低 利率部分更加弯曲。
久期和凸性分析范文
久期和凸性分析范文久期和凸性分析是在金融市场中用于评估债券投资风险和收益的重要工具。
久期是衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标，而凸性则是衡量债券价格对利率波动的非线性变化。
下面我们将详细介绍久期和凸性的概念、计算方法以及其在投资决策中的应用。
首先，久期是衡量债券投资风险的关键指标。
它是一个衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标。
具体来说，久期表示的是债券的平均回本期限，也就是该债券的现金流入与出的时间加权平均。
久期越长，表示债券的回本期限越长，价格受利率变动的影响越大。
反之，久期越短，表示债券的回本期限越短，价格受利率变动的影响越小。
计算久期的方法有几种，其中一种是Macaulay久期。
Macaulay久期的计算公式为：Macaulay久期=（C1*T1+ C2*T2+...+Cn*Tn）/B，其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格。
除了久期，凸性也是衡量债券投资风险的重要指标。
凸性描述了债券价格对利率波动的非线性响应。
凸性可以帮助投资者更好地了解债券价格的波动性以及在不同市场环境下债券的价格变化趋势。
凸性大的债券价格波动幅度相对较大，而凸性小的债券价格波动幅度相对较小。
计算凸性的方法有几种，其中一种是麦堪昆凸性。
麦堪昆凸性的计算公式为：麦堪昆凸性=（C1*T1^2+C2*T2^2+...+Cn*Tn^2）/（B*(1+r)^2），其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格，r为债券的到期收益率。
久期和凸性分析在投资决策中有着重要的应用。
首先，久期和凸性可以帮助投资者衡量债券投资的风险。
通过计算久期和凸性，投资者可以了解债券价格对利率变动的响应程度，从而判断债券投资的风险水平。
其次，久期和凸性可以帮助投资者优化投资组合。
久期和凸性可以作为评估不同债券的工具，投资者可以在不同债券之间做出选择，以实现投资组合的风险和收益平衡。
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久期与凸性的理解
(2010-12-22 10:43:20)
最近在研究企业债券的投资，对于某些术语了解了一下，在此与大家共同学习一下,我的心
得是，久期和凸性都是衡量利率风险的指标，衡量债券价格对利率的敏感程度；但久期具
有双面性，就是在利率上升周期，要选择久期小的债券，而在利率下降周期，要选择久期
大的债券；而凸性是具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小，因此需要选择凸性较
大的债券。
久期描述了价格-收益率（利率）曲线的斜率，斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大，而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜
率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量，引
入凸性参数。
凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。
简单计算方法为：例如债券久期为3，那么当市场利率提高1%，那么债券价格就近似下跌
3*1%=3%；凸性用于衡量债券久期对市场利率变化的敏感性，比如债券凸性为3，那么当市场利率提高1%，那么债券久期就近似上升3*1%=3%。
在利率变化很小的时候，传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比例为权重计算
的加权平均到期日）可以近似衡量债券价格和利率之间关系，但是更为精确的衡量则是修
正久期。
什么是久期？
久期（Ｄｕｒａｔｉｏｎ）——
久期是衡量债券利率风险最常用的指标，反映的是市场利率变化引起债券价格变化的幅度。
直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。
公式如下：
久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化
久期的分析方法
债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。
在降息时，久期大的债券价格上升幅度较大；在升息时，久期大的债券价格下跌的幅度也较大。
由此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。
久期运用的局限性
久期运用的前提是假设债券价格与收益率之间的反比关系是线性的，因此，久期计算的收益率变动所引起价格变动的值，只是一个近似的公式。
当收益率变动幅度比较小时，久期的准确性较高，但对于收益率变化较大时，会产生较大的误差，这时就有必要引进凸性的概念。
一般情况下，久期（duration）就是麦考来持续期，这一概念最早由麦考莱为研究债券的期
限结构于1938年提出，因而被称为麦考莱久期。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均，其权重是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。
但是麦考莱久期不适用于具有隐含期权性质的金融工具，在久期模型研究中存在一个重要假设，即随着利率的波动，债券的现金流不会发生变化，然而这一假设对于具有隐含期权的金
融工具，如按揭贷款（大家应该注意到由于2006年加息，结果去年年底出现大量住房抵押贷款提前还款现象）、可赎回(或可卖出)债券等而言则很难成立。
因此，久期模型不应被用来衡量现金流易受到利率变动影响的金融工具的利率风险。
针对久期模型这一局限，法博奇（Fabozzi）提出了“有效久期”的思想。
所谓有效久期是指在利率水平发生特定变化的情况下债券价格变动的百分比，它直接运用不同收益率变动为基础的债券价格进行计算，这些价格反映了隐含期权价值的变动。
久期取决于债券的三大因素:到期期限,本金和利息支出的现金流,到期收益率。
久期以年计算,但与债券的到期期限是不同的概念。
借助这项指标,你可以了解到,所考察的基金由于利率的变动而获益或损失多少。
久期越长,债券基金的资产净值对利息的变动越敏感。
假若某只债券基金的久期是5年,那么如果利率下降1个百分点,则基金的资产净值约增加5个百分点；反之,如果利率上涨1个百分点,则基金的资产净值要遭受5个百分点的损失。
又如,有两只债券基金,久期分别为4年和2年,前者资产净值的波动幅度大约为后者的两倍。
久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期的计算比较麻烦，一般投资者没有必要自己去计算它。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期的计算更烦琐。
与缺口分析相比较，久期分析是一种更为先进的利率风险计量方法。
缺口分析侧重于计量利率变动对银行短期收益的影响，而久期分析则能计量利率风险对银行经济价值的影响，即估算利率变动对所有头寸的未来现金流现值的潜在影响，从而能够对利率变动的长期影响进行评估，更为准确地估算利率风险对银行的影响。
但是，久期分析仍然存在一定的局限性。
第一，如果在计算敏感性权重时对每一时段使用平均久期，即采用标准久期分析法，久期分析仍然只能反映重新定价风险，不能反映基准风险，以及因利率和支付时间的不同而导致的头寸的实际利率敏感性差异，也不能很好地反映期权性风险。
第二，对于利率的大幅变动(大于1%),由于头寸价格的变化与利率的变动无法近似为线性关系，因此，久期分析的结果就不再准确。
什么是凸性？
凸性（Ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ）——
凸性是用来衡量债券价格收益率曲线的曲度。
直观地讲，就是收益率每变化１％所引起的久期的变化程度。
它是间接表明债券价格对收益率变动的敏感程度的指标。
凸性的分析方法
由于债券价格与收益率之间成反比关系，而且是非线性的反比关系，当收益率上升或下降一个固定的幅度时，收益率下降引起的债券价格上升的幅度大于收益率上升引起债券价格下降的幅度，而且债券的凸性越大，这种效应就越明显。
所以，当两个债券的久期相同时，它们所面临的风险不一定相同，这是由于它们不同的凸性引起的。
债券Ａ和债券Ｂ在某一点具有相同的久期，但是从这一点出发，收益率变动同样的单位时，债券价格的波动却不同：在收益率增加相同单位时，凸性大的债券Ｂ价格减少幅度较小；在收益率减少相同单位时，凸性大的债券价格增加幅度较大。
因此，在久期相同的情况下，应选择凸性大的债券，其风险较小。