久期和凸度
《久期与凸度》课件
用风险等。
3
影响因素的分析
我们将分析各个因素对市场利率和债 券价格的影响，以帮助我们更好地理 解债券市场。
Байду номын сангаас
久期概念
基本定义
久期是指债券价格对利率变动的敏感性。
久期的特点
久期越高，债券价格对利率变动的敏感性越大，反之亦然。
关键影响因素
债券期限、票面利率、市场利率和债券价格的关系等因素都会对久期产生影响。
久期的计算方法
公式方法
表格方法
通过数学公式计算债券的久期。
利用Excel等软件进行计算，提 高计算效率。
在线计算器
利用互联网上的在线计算器， 快速准确地计算债券久期。
久期的应用
1
债券投资方面
利用久期来评估债券价格的风险和回报，帮助投资者合理配置投资组合。
2
债务管理方面
使用久期来管理公司负债结构，优化债务组合，降低融资成本。
价值投资
通过寻找久期和凸度不匹 配的债券，并对其进行价 值投资，在波动性较大的 债券市场上实现超额收益。
传统投资组合的风险控制方法
风险多样化
将不同行业、不同股票、不同 债券组合在一起，降低整个投 资组合的风险。
市值平衡
通过平衡不同股票和债券的市 值，降低整个投资组合的波动 性。
目标收益
通过预设目标收益，明确投资 组合的风险收益特征，制定相 应投资策略。
3
情景模拟
利用久期和凸度，对债券价格波动的不同情景进行模拟，制定应变措施，提高投 资组合的回报率。
久期和凸度的投资组合
动态平衡
在投资组合构建中，根据 不同债券的久期和凸度， 动态调整投资组合的持仓 比例，以保持投资组合的 风险回报平衡。
久期凸度的定义、表达式以及背后的数学原理
久期、凸度的定义及数学推导目录1久期D (1)1.1久期定义 (1)1.2久期表达式 (2)1.3久期作用 (2)1.3.1 衡量加权平均期限 (2)1.3.2 测度利率敏感性 (3)2 凸度C (5)2.1凸度定义 (5)2.2表达式 (5)2.3数学原理 (5)1久期D1.1久期定义久期是债券价格相对于债券收益率的敏感性（一）麦考利久期Dm：最早的久期衡量指标，其本质是通过计算债券偿还现金流的加权平均年限，来衡量债券价格变化敏感度。
（二）修正久期D *：对麦考林久期进行了修正，加入考虑了到期收益率r 。
比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05。
（三）美元久期D **：对修正久期进一步修正，加入了债券价格P ，比如债券价格95，那么美元久期就要在修正久期的基础上，乘以95。
1.2久期表达式 麦考利久期：t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 公式（1） 修正久期： D * =Dm/(1+r) 公式（2）美元久期： D ** =D *P 公式（3）【CFt ：债券每期现金流】；【r ：到期收益率或市场利率】；【t ：债券期数】。
1.3久期作用1.3.1 衡量加权平均期限麦考利久期Dm 是对债券实际平均期限的一个简单概括统计，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重；1.3.1.1 数学原理从公式（1）t P r t ∑==+=nt 1t t )1/(CF Dm 出发： Dm 是时间t 的加权平均值，第t 期的权重为P r t t )1/(CF +； 比如t=2时第二期的权重为P r 22)1/(CF +；求证：权重加总求和∑==+n t 1t t )1/(CF P r t =∑==+n t 1t t )1/(CF p 1t r （带入债券定价公式： P )1/(CF n t 1t t =+∑==t r ） =P p1 =11.3.2 测度利率敏感性当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。
金融工程学-第六章久期与凸度
三、久期值的计算方法
1.列表法，这便是上文所有计算久期的方法。 2.封闭式久期计算法 3.有效久期计算法 计算公式
四、久期的性质及应用
1.久期的性质 久期的性质或特点有如下几条： （1）久期值与债券期限长度成正比。具体又有： ①债券期限越长，麦考莱久期和修正久期就越长； ②附息债券的麦考莱久期和修正久期均小于其到期时间，三者的关系是： D修＜D麦＜n ③零息债券的麦考莱久期等于债券本身的期限，修正久期小于债券期限。
四、资产组合的凸度
在利用凸度进行风险管理时，首先遇到的是计算资产组合的凸度，资产 组合的凸度定义为：资产组合的凸度等于资产组合中的各个证券凸度的 加权平均，权重是各个证券的价值。有时还用到资产的价值凸度，价值 凸度的定义为： 价值凸度=价格×凸度 资产组合的价值凸度定义为： 资产组合的价值凸度=资产组合的价格×资产组合的凸度
一、久期概述
（3）久期的一般表达式 由上所述，可得久期的一般表达式为：
一、久期概述
（4）久期概念的用途：久期可用来表示不可提前赎回债券面临的利率风 险。它考察债券价格对利率变动的敏感性的衡量指标，具体说，久期是 债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。
一、久期概述
3.修正（Modified）久期 这是实际应用中经常使用的一种久期形式。它是由麦考莱久期衍生出来 的， 修正久期的定义为：
四、久期的性质及应用
（3）预测利率上涨，买入久期较短息票利率较高的债券，因为债券价格 下跌较少（因为快要到期时，价格向价值回归，没有下跌空间）。 （4）一个债券组合的久期为组合中各个债券久期的加权平均值，具体含 义看下一个内容。
五、资产组合的久期
1.一个资产组合的久期的标准定义是：资产组合的久期等于组成资产组合 的各个资产的久期的加权平均（这里的久期是指修正久期），权重是各 个资产的现值。与资产组合久期的定义相对应的是资产组合的收益率， 资产组合的收益率定义为：资产组合的收益率是资产组合的现金流的到 期收益率。
久期和凸性——精选推荐
四、利率的久期与凸性（一）久期久期有许多不同的形式和解释。
几种尤为重要的种类是麦考莱久期(Macaulay duration)、修正久期(Modified duration)、封闭式久期(Closed-form duration)和有效久期(Effective duration)。
1．麦考莱久期“久期”又叫“持续期”,要归功于F．R·麦考莱，他在1938年提出要通过衡量债券的平均到期期限来研究债券的时间结构。
当被运用于不可赎回债券时，麦考莱久期就是以年数表示的可用于弥补证券初始成本的货币加权平均时间价值。
久期对于财务经理的主要价值在于它是衡量利率风险的直接方法，久期越长，利率风险越大。
麦考莱久期有如下假设：收益率曲线是平坦的；用于所有未来现金流的贴现率是固定的。
其中：D——久期Ct——t时的现金流R——到期收益率(每期)P——债券的现价N——到期前的时期数；t——收到现金流的时期。
上述公式给出了理解麦考莱久期的方法。
它表明时间的权重是每期收到的现金流的现值。
每一贴现的现金流都代表了债券现金流现值的一部分。
如果加总债券所有的贴现现金流，就得到了债券的价格。
麦考莱久期也可以表达为连续复利形式：2．修正久期债券价格等于与债券相关的现金流的现值：我们可以将上述公式对利率R求导，得到公式：上述公式表示了当债券收益率发生很小变动时以美元表示的债券价值发生的变动。
将公式两边同时除以债券价格便得到了每一单位利率百分比变动时债券价格的百分比变动：上述公式是修正久期的表达式。
括号中的项是麦考莱久期公式的分子。
因而修正久期等于麦考莱久期除以（1+到期收益率）：修正久期显示了与债券到期收益率的小变动相关的价格百分比变化。
注意，按上述公式计算的久期是负值，这是因为，债券价格与利率水平的运动方向相反是一致的。
实际上，久期的负号常常被忽略。
3．封闭式久期这一方法的优点在于计算简便，这也是为什么大多数计算久期的软件程序都使用封闭形式的公式。
债券的久期和债券的凸度
一张T年期债券，t时刻的现金支付为Ct （1≤t≤T），与债券的风险程度相适应的收益 率为y。则债券的价格为
P
T t 1
Ct (1 y)t
（4-1）
债券久期为
Ct
D T t[ (1 y)t ]
t 1Biblioteka P（4-2）例、息票利率为8％和零息票两种债券。 表4-2给出了这两种债券久期的计算。结果 表明，零息票债券的久期就等于它的到期期 限，而息票债券的久期比它的到期期限短。
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到 期收益率较低时，息票债券的久期较长。
久期法则5：无限期债券的久期为
1 y y
。
久期法则6：稳定年金的久期由下式给出：
1 y y
(1
T y)T
1
这里，T为支付次数，y是每个支付期的年 金收益率。
久期法则7：息票债券的久期等于
1 y
y
1 y c[(1
T y)T
表5-1 美国主要债券指数的资产组合
项目
莱曼兄弟指数
美林指数 所罗门指数
债券种数
6500种以上
5000种以上 5000种以上
上述债券的期限 不包括的债券
≥ 1年
垃圾债券、可转 换债券、鲜花债
券、浮息债券
≥ 1年
≥ 1年
垃圾债券、 垃圾债券、
可转换债券、 可转换债券、
鲜花债券
浮息债券
权重
市值
市值
市值
40 40 40 1040
38.095 36.281 34.553 855.611
4.2.2 利用久期测度利率敏感性
将式（4-1）看作P与1+y之间的函数， 可以有
dP
久期与凸度
，为YearConvexity的4倍。
例10：三种债券到期收益率分别为5%，5.5%和6%，票 息率都为5.5%，结算日为1999年8月2日，到期日为 2004年6月15日，每年付2次息，应计天数法则为 ACT/ACT。求凸度。 解：
21.1839 PerConvexity = 20.8885 84.7357
例4：一项投资各期现金流如上表，贴现率为 0.025，问该项投资的久期是多少？
解： >> cashflow= [2000 2000 3000 4000 5000]; >> [Durartion,
ModDuration]=cfdur(cashflow,0.025) Durartion = 3.4533
• 这是重要的风险管理方法。在 同等要素条件下,修正久期小 的债券较修正久期大的债券抗 利率上升风险能力强,但抗利 率下降风险能力较弱。
王鑫
07级王鑫说：利率 上升风险是债券价 格下降的风险，这 时,修正久期小的债 券下降就小所以 修正久期小的债券 较修正久期大的债 券抗利率上升风险 能力强。
例2：已知某种债券当前的市场价格为125美元， 当前的市场年利率为5%，债券的久期为4.6年， 求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价 格将发生怎样的市场变化？
>> Yield=[0.05, 0.05, 0.06];>> CouponRate = 0.055;
>> Settle = '02-Aug-1999';>> Maturity='15-Jun-2004';
第17章 固定收益证券的久期与凸度计算
对于一年付息一次的债券来说，按复利贴现的价格决定公式为
式中：P为债券的价格；C为每年支付的利息；M为票面价值；n为所余年数；r为 必要收益率；t为第t次。
17.2.1
计算公式
3. 到期收益率 一般地讲，债券收益率有多种形式，以下仅简要介绍债券的内部到期收益率
的计算。内部到期收益率在投资学中被定义为把未来的投资收益折算成现值使之
17.2.2
债券定价计算
2. prdisc函数 MATLAB的Financial Toolbox提供计算折价债券价格的prdisc函数。 函数语法： Price=prdisc(Settle,Maturity,Face,Discount,Basis) 输入参数 Settle：作为序列时间号或日期串进入，必须早于或等于到期日； Maturity：作为日期串进入； Face：票面价值； Discount：债券的银行折现率，是分数； Basis：计算日期的基础。 输出参数： Price：价格（净价）。
《金融数量分析——基于MATLAB编程 》
17.1 基本概念
固定收益证券也称为债务证券，是指持券人可以在特定的时间内取得固定的收 益并预先知道取得收益的数量和时间，如固定利率债券、优先股股票等。
固定收益证券能提供固定数额或根据固定公式计算出的现金流。
按照我国现在已有的固定收益证券的品种，可以把他们简单地分为4 类： ① 信用风险可以忽略的债券，包括国债、央行票据、金融债和有担保企业债；
StartDate: (可选项)债权实际起始日（现金流起始日）。当预计未来的工具时，用
它标明未来的日期，如果没有特别说明StartDate，起始日是settlement date。 Face: (面值)默认值是100元。 输出参数：
债券久期与凸度的Matlab实现
案例分析：债券久期与凸度的Matlab实现一、计算公式（一）债券久期麦考利久期（Macaulay duration）是利用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的jia全平均，其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
普通债券的久期如下式所示：D=∑PV(c t)×t Tt=1P式中，D是麦考利久期；P是债券的当前市场价格；PV(c t)是债券未来第t期现金流（利息或面值）的现值；T是债券的到期时间。
（二）债券凸度由于债券价格与收益率之间的关系曲线存在凸向原点的非线性特征，当收益率大幅波动时，久期不能准确地描述债券价格对利率变动的敏感性。
为纠正久期的这种不足，引入凸度或凸性的概念。
与久期一样，凸度也是度量债券价格波动性的方法。
凸度越大，债券价格曲线弯曲程度越大，用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。
凸度的计算公式如下：d2p dy2=∑t(t+1)c t(1+y)t+2凸度的性质如下：第一，凸度随久期的增加而增加。
若收益率、久期不变，则票面利率越大，凸度越大。
利率下降时，凸度增加。
第二，对于没有隐含期权的债券来说，凸度总大于0，即利率下降，债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降。
第三，含有隐含期权的债券的凸度一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。
二、Matlab实现（一）债券久期1、根据价格计算久期Matlab的Financial Toolbox提供了给定债券期限与价格计算久期的函数为bnddurp。
常用调用格式如下：[ModDuration, YearDuration] = bnddurp(Price, CouponRate, Settle, Maturity, Period, Basis)主要输入参数：➢Price：债券净价➢CouponRate：票面利率➢Settle：结算日➢Maturity：到期日➢Period：年付息次数，默认值为2，可选0、1、2、3、4、6、12。