久期与凸性
久期和凸性
久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标，是衡量债券价格对利率的敏感程度.久期具有双面性，在利率上升周期，要选择久期小的债券;在利率下降周期，要选择久期大的债券.凸性具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小,选择凸性较大的债券，对持有者越有利。
久期描述了价格—收益率（利率)曲线的斜率,斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大,而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量,引入凸性参数。
凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。
在利率变化很小的时候,传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比）可以近似衡量债券价格和利率之间关系,但是更为精确的衡量则是修正久期。
久期(也称持续期，duration)是1938年由F。
R。
Macaulay提出的,以衡量债券利率风险最常用的指标，反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。
直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。
久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。
久期的计算比较麻烦，一般投资者没有必要自己去计算它。
久期取决于债券的三大因素：到期期限，本金和利息支出的现金流，到期收益率.债券的久期越大,利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。
在降息时,久期大的债券价格上升幅度较大;在升息时,久期大的债券价格下跌的幅度也较大。
由此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券;在预期未来升息时，可选择久期小的债券.案例:某只债券基金的久期是5年,如果利率下降1个百分点，则该基金的资产净值约增加5个百分点；反之，如果利率上涨1个百分点，则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失.又如,有两只债券基金，久期分别为4年和2年，前者资产净值的波动幅度大约为后者的两倍。
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。
可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。
这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。
由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。
由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。
修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。
可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。
如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。
久期和凸性——精选推荐
四、利率的久期与凸性（一）久期久期有许多不同的形式和解释。
几种尤为重要的种类是麦考莱久期(Macaulay duration)、修正久期(Modified duration)、封闭式久期(Closed-form duration)和有效久期(Effective duration)。
1．麦考莱久期“久期”又叫“持续期”,要归功于F．R·麦考莱，他在1938年提出要通过衡量债券的平均到期期限来研究债券的时间结构。
当被运用于不可赎回债券时，麦考莱久期就是以年数表示的可用于弥补证券初始成本的货币加权平均时间价值。
久期对于财务经理的主要价值在于它是衡量利率风险的直接方法，久期越长，利率风险越大。
麦考莱久期有如下假设：收益率曲线是平坦的；用于所有未来现金流的贴现率是固定的。
其中：D——久期Ct——t时的现金流R——到期收益率(每期)P——债券的现价N——到期前的时期数；t——收到现金流的时期。
上述公式给出了理解麦考莱久期的方法。
它表明时间的权重是每期收到的现金流的现值。
每一贴现的现金流都代表了债券现金流现值的一部分。
如果加总债券所有的贴现现金流，就得到了债券的价格。
麦考莱久期也可以表达为连续复利形式：2．修正久期债券价格等于与债券相关的现金流的现值：我们可以将上述公式对利率R求导，得到公式：上述公式表示了当债券收益率发生很小变动时以美元表示的债券价值发生的变动。
将公式两边同时除以债券价格便得到了每一单位利率百分比变动时债券价格的百分比变动：上述公式是修正久期的表达式。
括号中的项是麦考莱久期公式的分子。
因而修正久期等于麦考莱久期除以（1+到期收益率）：修正久期显示了与债券到期收益率的小变动相关的价格百分比变化。
注意，按上述公式计算的久期是负值，这是因为，债券价格与利率水平的运动方向相反是一致的。
实际上，久期的负号常常被忽略。
3．封闭式久期这一方法的优点在于计算简便，这也是为什么大多数计算久期的软件程序都使用封闭形式的公式。
到期收益率债券价格久期凸性计算公式
到期收益率债券价格久期凸性计算公式到期收益率（Yield to Maturity），又称为持有到期收益率或到期收益率，是指债券在到期日时，以当前市场价格购买并持有到期所能获得的平均年收益率。
它是衡量债券投资回报率的重要指标，对于投资者评估债券的收益和风险具有重要意义。
债券价格是指投资者购买债券所需支付的现金金额。
债券价格与债券的到期收益率密切相关，当到期收益率上升时，债券价格下降；当到期收益率下降时，债券价格上升。
久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感性的一个指标。
久期越长，债券价格对利率的变动越敏感；久期越短，债券价格对利率的变动越不敏感。
凸性（Convexity）是衡量债券价格对利率变动的曲率的一个指标。
凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
下面，我们将依次介绍到期收益率、债券价格、久期和凸性的计算公式和计算方法。
一、到期收益率的计算公式：二、债券价格的计算公式：债券价格的计算可以使用现金流量贴现法，即将债券的每期现金流量按到期收益率贴现计算得到，然后将每期现金流量的现值相加得到债券的价格。
三、久期的计算公式：久期的计算有多种方法，常用的方法有修正久期法和Macaulay久期法。
修正久期法是通过对债券价格对市场利率变动的敏感性进行评估来计算债券的久期。
修正久期越长，债券价格对利率的变动越敏感。
Macaulay久期法是将每期现金流量的现值与债券价格的加权平均期限相比较得到债券的久期。
Macaulay久期越长，债券价格对利率的变动越不敏感。
四、凸性的计算公式：凸性的计算可以使用修正凸性法。
修正凸性是指在一些到期收益率下，债券价格对利率变动的非线性程度。
修正凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
总结：到期收益率、债券价格、久期和凸性是衡量债券投资回报率和风险的重要指标，在债券投资决策中起着重要的作用。
了解这些指标的计算公式和计算方法可以帮助投资者更好地评估债券投资的收益和风险。
债券的久期和凸性
)
D D* 1 y
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。
精选ppt
4
债券的久期
dP/ P D D* dy 1 y
D
T t1
t
[
Ct (1 y)t
/
T t1
Ct (1 y)t
]
其中，wt为t时期的权重
T
t wt
t1
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率 变化引起的债券价格变化越大
2. 到期收益率越大（息票率越大），则凸性越小 3. 到期日越远（同等次数、同等量的现金流但支
付越分散），凸性越大。 4. 凸性减少了债券的波动性。
精选ppt
30
债券的凸性
凸性具有减少久期近似误差的性质。利率变化引起债券 价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下降的幅 度要小。因此，在其他条件相同时，人们应该偏好凸性大 的债券。
根据泰勒公式
p(y) dP 1 dy 1 1 d2P(dy)2 p dy p 2 p dy2
Ddy 1c(dy)2 2
精选ppt
31
债券的凸性
例 到期收益率 调整久期
5％ 4.33年
债券价格 凸性
100 26.3849
给定以上数据，当到期收益率上升到7％时，债券的价格将如何变化？
pD D*py4.331002%8.66
凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映 了债券带来的现金流的集中程度，现金流越集中凸 性越小，现金流越分散则凸性越大。 注意：久期是平均意义上的到期时间。
凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发 生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。
精选ppt
久期和凸性分析范文
久期和凸性分析范文久期和凸性分析是在金融市场中用于评估债券投资风险和收益的重要工具。
久期是衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标，而凸性则是衡量债券价格对利率波动的非线性变化。
下面我们将详细介绍久期和凸性的概念、计算方法以及其在投资决策中的应用。
首先，久期是衡量债券投资风险的关键指标。
它是一个衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标。
具体来说，久期表示的是债券的平均回本期限，也就是该债券的现金流入与出的时间加权平均。
久期越长，表示债券的回本期限越长，价格受利率变动的影响越大。
反之，久期越短，表示债券的回本期限越短，价格受利率变动的影响越小。
计算久期的方法有几种，其中一种是Macaulay久期。
Macaulay久期的计算公式为：Macaulay久期=（C1*T1+ C2*T2+...+Cn*Tn）/B，其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格。
除了久期，凸性也是衡量债券投资风险的重要指标。
凸性描述了债券价格对利率波动的非线性响应。
凸性可以帮助投资者更好地了解债券价格的波动性以及在不同市场环境下债券的价格变化趋势。
凸性大的债券价格波动幅度相对较大，而凸性小的债券价格波动幅度相对较小。
计算凸性的方法有几种，其中一种是麦堪昆凸性。
麦堪昆凸性的计算公式为：麦堪昆凸性=（C1*T1^2+C2*T2^2+...+Cn*Tn^2）/（B*(1+r)^2），其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格，r为债券的到期收益率。
久期和凸性分析在投资决策中有着重要的应用。
首先，久期和凸性可以帮助投资者衡量债券投资的风险。
通过计算久期和凸性，投资者可以了解债券价格对利率变动的响应程度，从而判断债券投资的风险水平。
其次，久期和凸性可以帮助投资者优化投资组合。
久期和凸性可以作为评估不同债券的工具，投资者可以在不同债券之间做出选择，以实现投资组合的风险和收益平衡。
a3金融风险的度量__久期、凸性及久期缺口模型
2 (1 y )2T 1
2
2
T
1 2
2t
Ct
t1 (1 y )2t1
2
2
金融风险管理
赵建群
T
dP P' ( y) • dy
tCt
T
• dy
tCt • dy
t1 (1 y )2t1
t1 (1 y )2t (1 y )
2
2
2
2
2
T
tCt
t1 2
(1
y )2t 2
P
•
P• (1
（为了克服上面的第二种缺陷，引入凸性）
金融风险管理
赵建群
四、久期缺口模型
1、利率敏感性（资产、负债）价值变化与久期
令利率敏感性资产价值为 PA ，
则有
PA PA
DA
y 1 y
其中 DA 为资产的久期
金融风险管理
Байду номын сангаас
赵建群
令利率敏感性负债价值为 PL ，
则有
PL PL
y DL 1 y
其中 DL 为负债的久期
将
dP D • Pdy 1 y
变形得 D dP dy P 1 y
或者取其离散形式 D P y
P 1 y
（之所以采用 ≈ ，是因为 dP 的推导采取的是Taylor一阶近似，当 利率的变化比较大时，取一阶近似是不对的）
金融风险管理
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考察 D dP dy
P 1 y
或者
D P y P 1 y
CT
t1 (1 y)t
(1 y)T
金融风险管理
赵建群
③息票债券久期的上限是相应的永久债券的久期
久期与凸性最通俗的理解
久期与凸性最通俗的理解
久期是证券价值变动的百分比对到期收益率变动的敏感性，同时考虑到利率变化和到期收益变化是成正比的，故当利率变化是，久期大的债券对这个变化的敏感度会越高，表现便是亏得越大或者赚的更多。
凸性是对久期的补充在价值变动的百分比过大时，仅用久期进行利率敏感性分析误差会比较大，凸性就是用来减少误差的。
久期也称持续期，是以未来时间发生的现金流，按照目前的收益率折现成现值，再用每笔现值乘以其距离债券到期日的年限求和，然后以这个总和除以债券目前的价格得到的数值。
久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性描述了价格/收益率曲线的弯曲程度。
凸性是债券价格对收益率的二阶导数。
例如：如果一只债券收益率下降了10BP，大概涨了多少钱？
10BP*久期
例如一只4.5久期的债券收益率下降10BP大概上涨了4.5*10=45 也就是0.45元。
如果债券市场上涨，什么样的券涨得更多？久期长，凸性大。
通俗点的说法：久期：与期限相关，可以反映价格对利率变动的敏感性，久期越长，对利率敏感性越高。
凸性：债券涨跌的弹性。
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表1-1 6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2 6只假想债券价格变动百分比 单位：%
Maklkiel定理
渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
T t 1
CFt (1 y)t
我们称之为Macualay久期。从而我们有，
P0 1 1 D y P0 1 y
进一步地，我们令 MD 1 D 表示修正久期，那么有 1 y
P0 1 MD y P0
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分
比为： P0 MDy P0
t 1
P0
1 P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
t:债券产生现金流的各个时期；
T：债券到期期限；
y:债券的到期收益率，也即利率；
CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量于1；
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）；
证明：由统一公债定义知，其每期现金流相同，
且无限存续，故有，
D 1
P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
y c
c
tc (1 y)t
1 y y
债券价格波动性
久期分析与凸度
1、债券价格与利率之间的关系：Malkiel定理
债券的基本属性是其价格与到期收益率（利率）之间呈 负相关关系（如下图所示）。
价格
实际线
估计线
收益率
1、债券价格与利率之间的关系：Malkiel定理
为了清楚地说明问题，我们假设了6只债券。这6只假 想的债券面值均为100元，且每半年付息一次。6只债 券的具体细节如下。我们计算了不同收益率下的债券 理论价格或内在价值（表1-1）：
A、久期公式及其推导
P0 y
1 P0
1 1 y
1CF1 (1 y)
2CF3 (1 y)2
TCFT (1 y)T
1 P0
令
D
1CF1 (1 y)
2CF3 (1 y)2
TCFT (1 y)T
1
P0
1 P0
2、久期分析
久期，又称持续期。该指标揭示了债券的市场 价值（或均衡时的价格）对利率变动的敏感性， 或利率波动对债券价格所产生的影响。
久期也衡量了债券的平均到期时间。具体而言， 久期衡量了债券承诺支付的现金流的加权平均 寿命或加权平均有效期。
A、久期公式及其推导
D
T
t
CFt (1 y)t
3、久期的内涵
从久期的功能考察，久期本质上反映了债券价 格对利率的敏感程度。它既衡量了债券未来收 益的平均时间，也反映了投资于该债券或债券 组合而使资产或资产自合暴露于风险中的时间 长短。因此，久期越长，风险就越大。
3、久期的内涵
久期也可以解释为债券价格对利率变化的弹性， 这也是久期的本质（功能）所在。在数学上这种 本质借助于一阶偏导数关系体现。
MD 1 D 1 y
4、久期的计算 收益率所变化所引致的债券价格波动
A、久期的计算程序
步骤一：计算各期现金流的现值 步骤二：计算债券的内在价值或价值 步骤三：计算各期现金流现值占内在价值的比重； 步骤四：以比重为权重，以时间为乘数，计算全部
付款作为现值收回的加权平均时间。
例2-8
银行有一期限为两年的贷款，每年产生100元的 现金流量，贴现率为10%，求该贷款的持续期。
B、债券价格波动的估算：久期方法的运用
y f (x) y f ' (x) * x (x) y f ' (x) * x P f ' ( y) * P (P) P f ' ( y) * P D P * P
1 y P MDP * P 债券价格变动百分比和变动额
如下例：假定收益率上升了200个基点，譬如 从9%上升到11%，那么利用公式我们得到债 券价格变动百分比近似值为：
P0 MDy 10.62* 2% 21.24% P0
这显然与表1-2所列出的的结果-18.03相差甚 远。这样，我们就不得不寻找更为精确的刻画 债券价格波动的方法——凸度了。
由表1-1，我们计算得到表1-2（假定收益率9% 是基准水平）。
从该表中可以发现债券价格波动和收益率或利 率之间关系的5个特征。这是Maklkiel(1962) 提出的，称为Maklkiel债券定价关系。
Maklkiel定理
债券价格与债券的到期收益率或利率呈按关系；
随着到期收 益的增大， 债券价格逐
2CF3 (1 y)2
TCFT (1 y)T
A、久期公式及其推导
上式右边方括号内的部分表示了截止到期日时 债券现金流量的加权平均时间，权重是各期现 金流的现值占债券价格的比重。 该式也同样给了债券到期收益率变动所引起的 债券价格变化的近似值。将该式两边除以债券 价格，我们能够得到因到期收益率所引起的债 券价格变化的百分比的近似值。
图1-5债券久期与到期收益率的负相关关系
3、久期的内涵
对于久期，我们可以从时间角度和久期的作用于 功能两个方面来理解：
◆从时间角度考察，债券的久期是债权在未来时间 预期的收益现金流的加权平均时间长度，权数为:
CFt P0 (1 y)t
它是债权承诺的各期收益现金流的现值在债券理 论价格中所占的权重；
先求贷款的内在价值或现值：
P
100 (1 10%)
100 (1 10%)2
173.55
计算加权平均期限，即持续期：
D
1
100 (1 10%)
P
2
100 (1 10%) 2
P
1.476
考虑某面值为100，附息票利率为10%的3年期债券。
例2-9 假定该债券复利的年收益率为12%。息票每6个月付 息一次，利息为5.试计算该债券的持续期。
根据债券定价模型：
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
该式两边对利率y求偏导数得到：
P0
y
T
t
t 1
CFt (1 y)t1
DP0 1 y
3、久期的内涵
因此，
P0
P0
D
P0 y
P0 (1
y)
1 y
1 y
于是久期是债券价格对利率的弹性得证。在实际 运用中，经常对上述久期值进行修正，即得到所 谓的修正久期，定义为：
P0 MDy 10.62*0.10% 1.06% P0
B、债券价格波动的估算：久期方法的运用
显然，收益率微小变动时，修正久期可以比 较好地给出债券价格变动百分比的近似值。但 是，当收益率波动比较大时，这种方法就难以 与实际情况相吻合了。
B、债券价格波动的估算：久期方法的运用
注意其中，
t 1
tc (1 y)t
1
y y2
c
统一公债的市场价值
统一公债的现金流：C，C，C，… …
则统一公债的市场价值为：
P
c 1 y
c (1 y)2
c (1 y)3
....
c 1 y
1
1 1
y
1 (1 y)2
1 (1 y)3
表1-6 6只假想债券的持续期和修正的持续期
B、债券价格波动的估算：久期方法的运用
我们已经看到，久期实际上近似的表示了由于收 益率的微笑变化所引起的债券价格的变化。
举例如下：我们考虑前面6只假想债券中的“票面 利率6%的25年期”债券在9%收益率水平上以 70.3570价格出售时的情况。由前面的计算知道， 该债券修正久期为10.62.如果收益率从9%上升到 9.10%，即收益率变动了10个基点。那么我们可以 用公式计算得到债券价格变动百分比的近似值,
注意：这里息票率不是到期收益率或预期收益
率。这个定理的证明很简单，只要考虑债 券每期（最后一期除外）的现金流等于息 票率与面值之积后，求久期对息票率的偏 导数即可证明。
图1-3债券久期与息票率之间的负相关关系
B、是什么决定了久期？——久期定理
◆在债券息票率不变的条件下，债券的到期时间 与久期正相关：到期时间越长，久期也越大； 反之则反是。债券无论是以面值出售还是以高 于面值的溢价出售，久期总是随到期时间的增 长而增加（图1-4）；
证明：利用久期公式求久期对到期时间T的偏导
数，易证明该片导数为正。
图1-4债券久期与到期时间的正相关关系
B、是什么决定了久期？——久期定理
◆在其他条件既定时，债券的到期收益率与其久 期负相关：即到期收益率越低，久期越长；反 之成立（图1-5）。 证明思路同上。只需证明久期对债券到期收益 率的偏导数为负即可，请大家自己证明。