弧度制学案

弧度制

学习目标：理解弧度制的意义；能正确的应用弧度与角度之间的换算；记住公式丨 a | =l /r (l 为以a 作为圆心

角时所对圆弧的长，r 为圆半径)；熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用 学习重点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算 学习难点：弧度的概念及其与角度的关系

学习过程： 一探究新知 1 +把长度等于 _____ 的 _____ 所对的圆心角叫做 1弧度的角，用符号 _________ 表示•读作弧度•今后用弧度制表示 角时，“弧度”二字或单位符号“ rad ”可以省略不写.

初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角 ，规定周角的1/360作为10

的角，我们把用度做 单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为 l=n n r /180 2.探究

300、600

的圆心角，半径r 为1 , 2, 3, 4,分别计算对应的弧长 I ，再计算弧长与半径的比+ 结论：圆心角不变，则比值不变，

比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这是另一种度量角的制度一一弧度制 一样有不同的方法， 千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、 处理方法, 因此结果就有所不同

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同(都是 0)

(1)如图，半径为r 的圆的圆心与原点重合，角a 的终边与x 轴的正半轴重合，交圆于点A,终边与圆交于点 B. 请完成表格

角有 _______ 、 _____ 、

_______ ，负角的弧度数是一个 _________ ，零角的弧度数是 _______ .

(2)如果一个半径为r 的圆的圆心角a 所对的弧长是I ，那么a 的弧度数是多少？ 角a 的弧度数的绝对值是： _____________ ，其中，a 的正负由角a 的终边的旋转方向来决定.

3.角度 制与弧 度制的 换算：•/ 360 =2二 rad, /• 180 =二 rad, /•

1 =——rad :- 0.01745rad

180

'180 f ° c 1rad = 一 i 肚57.30 =57 18'

l 只丿

角度

30*

45。

60°

90。

1ZO**

130°

180^

210°

225*

240°

270*

300*

315* 330°

360°

弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式 (1)l=ar; (2)S=ar / 2;⑶S=lr /2.其中R 是半径，1是弧长，a ( 0 v a v 2 n)为圆心角,S 是扇形的面积.你会推导吗？

角的集合与实数集 R 的对应关系

角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立了 __________ 关系：即每一个角都有唯一的一 个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角) 与它对应

规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.半径为r 的圆心角a 所对 弧长为I ，则a 弧度数的绝对值为I a | = l / r.用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制

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SWtESlSl

2jcr

r

1

2r

-2

1曲

课内自测

1. ①下列各角中与 2400

角终边相同的角为（

2. ①圆的半径变为原来的 0.5，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 _________________ 倍 ② 若2弧度的圆心角所对的弧长是 4cm,则这个圆心角所在的扇形面积是 _________________

③ 在以原点为圆心，半径为1的单位圆中，一条弦 AB 的长度为,3 , AB 所对的圆心角a 的弧度数为 ________________

3. 按照下列要求，把67 30'化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值

1 o 1

4.利用弧度制证明下列关于扇形的公式

:（1） I »R ; （2） s =丄:R 2

; （3） S ^dlR ，其中R 是半径,l 是弧

2 2

长，〉（0 ：：：「：： 2二）为圆心角,S 是扇形的面积.

5. 已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少?

. . 2

6. 如图，扇形 OAB 的面积是4cm ,它的周长是8cm,求扇形的中心角及弦

三课堂达标

丁

22

7

11 ■

20■

122 ■:

— 和 C.

和

一 D.

和

2

3

9

9

3

9

②把-1125 0

化成 a+2k n( 0< av 2 n, 7 二

4

A. _

_6

二

B.

- 6 二 C.

k € z ) 的形式是（

—8二 D. —8二

③半径为n cm, 中心角为 1200

的扇形的弧长为（ Ji

A. cm

3

B. 2

n C. —cm

3

Qcm

3

5 、

（-3二一2二）内，则角

A.第一象限

B.第二象限

C.

⑤ 若2弧度的圆心角所对的弧长为

2 2 2

A.4cm

B.2cm

C.4 二 cm

f

冗

1

⑥ 集合 A = 〉|

= k , k 三 Z ,B = :- | :■

I

2 J I A A =B B A 』B C A 二 B

⑦ 已知集合 A-匸 |2k-： _（2k 1）-,^ Zl,B = L |-4_ _4l ，则 A B 等于（

④若角a 的终边落在区间

a 所在的象限是（

D. 第四象限

4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是（

D. 2 二 cn i

f

第三象限 =2k ,k • Z 的关系是（

2

J D 以上都不对