中考压轴题分类之分类讨论(经典题型)

中考压轴题分类之分类讨论如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可

能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。它是一种比较重要的解题方法，也是近年来中考命题的热点内容之一；要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力，分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型初中数学中的分类讨论问题往往是不容易掌握好的一类问题，碰到此类问题常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题时得分率偏低，分类讨论问题主要有：

1、代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，分式、根式方程、方案策划、函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等；函数定义域变化；函数图象未给出；函数对称性（反比例函数的图象，二次函数）

2、几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情

况等；

3、综合类：代数与几何分类情况的综合运用.

一、代数类专练

例1. 代数式的所有可能的值有（）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 无数个

例2：化简：|x-1|+|x-2|

例3：代数式的所有可能的值有（）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 无数个

例4. 一次函数时，对应的y值为，则kb的值是（）。

A. 14

C. 或21

D. 或14

例5 已知一次函数与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。

例6.为了鼓励城市周边的农民的种菜的积极性，某公司计划新建A，B两种温室80栋，将其中售给农民种菜．该公司建设温室所筹资金不少于209.6万元，但不超过210.2万元．且所筹资金全部用于新建温室．两种温室的成本和出售价如下表：

A型B型

成本（万元/栋） 2.5 2.8

出售价（万元/栋） 3.1 3.5

（1）这两种温室有几种设计方案？

（2）根据市场调查，每栋A型温室的售价不会改变，每栋B型温室的售价可降低m万元（0＜m＜0.7）且所建的两种温室可全部售出．为了减轻菜农负担，试问采用什么方案建设温室可使利润最少．

例7.如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

二、几何类专练

1、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（） A ．50° B ．80° C ．65°或50° D ．50°或80°

2、某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（）

A ．9cm

B ．12cm

C ．15cm

D ．12cm 或15cm

3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=6cm ，AB=8cm ，BC=14cm ．动点P 、Q 都从点C 出发，点P 沿C→B 方向做匀速运动，点Q 沿C→D→A 方向做匀速运动，当P 、Q 其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）求CD 的长；

（2）若点P 以1cm/s 速度运动，点Q 以2

cm/s

的速度运动，连接BQ 、PQ ，设△BQP 面积为S （cm 2），点P 、Q 运动的时间为t （s ），求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；

（3）若点P 的速度仍是1cm/s ，点Q 的速度为acm/s ，要使在运动过程中出现PQ ∥DC ，请你直接写出a 的取值范围．

4、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为秒。

⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。

⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

5、（1）如图1，在△ABC中，点D．E．Q分别在ABACBC上，且DE∥边长，AQ交DE于点P，求证：=；

（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求证：MN2=DM?EN．

6、如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC =∠DEF=90o，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）

（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

7、如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA

运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？

图(1)

B H

A（D）

G C

C（E） B

A（D）

图(2)

8、数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在

CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定

线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况?探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答題目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

9、如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，

这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形” ．

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”一定是一个___ ______三角形；

(2)如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶点E位于边AD的

中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；

（3）如图③，在矩形ABCD中，

AB=2，BC=4．该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，为什么？

10、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且B P=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△E FG，使△EFG和矩形ABCD在射线P A的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角

形？若存大，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．

11、如图，在平面直角坐标系中，直线

分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，点C 为O

B 的中点，点D 在第二象限，且四边形AOCD 为矩形．（1）直接写出点A ，B 的坐标，并求直线AB 与CD 交点的坐标；

（2）动点P 从点C 出发，沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动；同时，动点M 从点A 出发，沿线段AB 以每秒个单位长度的速度向终点B 运动，过点P 作PH ⊥OA ，垂足为H ，连接MP ，MH ．设点P 的运动时间为t 秒． ①若△MPH 与矩形AOCD 重合部分的面积为1，求t 的值；

②点Q 是点B 关于点A 的对称点，问BP+PH+HQ 是否有最小值，如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由．

F E

12、已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD．BC于点E．F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF．CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P．Q分别从A．C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A．C．P．Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P．Q的运动路程分别为a．b（单位：cm，ab≠0），已知A．C．P．Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

13、如图，直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转9 0°后得到△OCD．

（1）填空：点C的坐标是（，），点D的坐标是（，）；

（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；

（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

14.如图所示，在平行四边形ABCD中，，

∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.

（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE

的面积；

（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿

的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上

以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t ≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.

①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值.

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

中考数学压轴题题型解题思路技巧

中考数学压轴题题型解题思路技巧数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。解中考压轴题思路：

中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。解中考压轴题技巧：一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。

中考数学压轴题分类思想

中考数学压轴题分类思想一、耐心填一填——一锤定音 1.矩形ABCD 中,AB=5,BC=12,如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切,点D 在圆C 内,点B 在圆C 外,那么圆A 的半径r 的取值范围是__________________. 解析:分⊙A 与⊙C 内切、外切两种情况. 答案:1

2016年中考数学压轴题精选及详解

2020年中考数学压轴题精选解析中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。二、圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。三、中点公式：四、已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。五、任意两点的斜率公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为边时（2）AB 为对角线时二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上（2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）图① 图②

E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标；（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1）（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），

2011高考数学压轴题专题训练

2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）第六章数列高考题三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型，易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

中考数学压轴题解题技巧之欧阳数创编

中考数学压轴题解题技巧时间：2021.03.02 创作：欧阳数数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以数学综合题的形式出现，常见题型有两类：函数型压轴题和几何形压轴题。压轴题考查知识点多，条件也相当隐晦，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。下面从知识角度和技术角度谈谈中考数学压轴题的解题技巧。先以2009年河南中考数学压轴题为例：如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线

的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E. ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长? ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值. 这是一道函数型压轴题。函数型压轴题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何、方程与函数相结合型。这些压轴题主要以函数为主线，涉及函数的图象、方程、点的坐标及线段长度、图形面积等问题。先从知识角度来分析：（1）通过观察图象可以发现，直线AD和轴平行，直线AB和轴平行，因此，A点与D点的纵坐标相同，A点与B的横坐标相同，因此A的坐标为

中考数学压轴题十大类型经典题

D C B A P Q K E D C B A （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ，AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△PAQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2s 时，y =_______ cm 2．（2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式．（3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4=y S 梯形ABCD 时x 的值．（4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．（2007河北）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =50，AD =75，BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长；（2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的关系式；（4）△PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．备用图（2008河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC -CA 于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）．（1）D F ，两点间的距离是；（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由；

2017上海历年中考数学压轴题专项训练

24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -，、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式；（2 求tan ABO ∠的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分）解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分）（2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分）在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分）在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分）设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分）解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。解中考数学压轴题秘诀（二）具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

专题1：抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。（1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k；利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式；将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。（2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。专题2：抛物线中的直角三角形

基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-= 。二、圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。