专题02 简易逻辑(理科专用)(练)(解析版)

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高考数学分类题库考点2 简易逻辑理

考点2 简易逻辑一、选择题1.（2020·湖北高考理科·T9）假设实数a,b 知足0,0,a b ≥≥且0ab =，那么称a 与b 互补，记22(,)a b a b a b ϕ=+--，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（）(A)必要而不充分的条件 (B)充分而没必要要的条件(C)充要条件 (D)既不充分也没必要要的条件【思路点拨】寻求(),0a b ϕ=和a 与b 互补之间的推出关系.【精讲精析】选C. 当(),0a b ϕ=时，即22a b a b +=+∴222()a b a b +=+，即ab=0，又a+b 0≥，故a=0,b 0≥或b=0,a 0≥；当a 与b 互补时，0,0,a b ≥≥且0ab =，∴222(,)()0.a b a b a b a b a b a b a b ϕ=+--=+--=+--=因此(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件.2.（2020·四川高考理科·Ｔ5）函数()f x 在点0x x =处有概念是()f x 在点0x x =处持续的（）（A ）充分而没必要要的条件（B ）必要而不充分的条件（C ）充要条件（D ）既不充分也没必要要的条件【思路点拨】充分性、必要性的判定. 【精讲精析】选B.由函数0,()10.x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩可知函数在0x =处有概念，而函数在0x =处不持续.即函数()f x 在0x x =处有概念函数()f x 在点0x x =处持续；假设函数在某点连续，那么必然有概念，即函数()f x 在点0x x =处持续⇒函数()f x 在0x x =处有概念.故为必要不充分条件.应选B.3.（2020·四川高考文科·Ｔ5）“3x =”是“29x =”的（）（A ）充分而没必要要的条件（B ）必要而不充分的条件（C ）充要条件（D ）既不充分也没必要要的条件【思路点拨】293 3.x x x =⇔==-或【精讲精析】选A.23=9；x x =⇒ 29x =3x =.故“3x =”是“29x =”的充分没必要要条件.应选A.4. (2020·重庆高考理科·T2)“1x <-”是“210x ->”的 ( ) (A)充分而没必要要条件 (B)必要而不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也没必要要条件【思路点拨】化简210x ->，然后依照集合之间的关系进行判定.【精讲精析】选A. 解210x ->得1>x 或1x <-,因为集合{}1-<x x 是集合 {}11>-<x x x 或的真子集,因此“1x <-”是“210x ->”的充分没必要要条件.。

全国高考试卷简易逻辑部分汇编

2014年全国高考试卷简易逻辑部分汇编1. （2014安徽理2）“0x <”是“ln(1)0x +<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 Bln(1)011100x x x x +<⇔+<⇔-<<⇒<；而010x x <⇒-<<．故选B ．2. （2014安徽文2）命题“20x x x ∀∈+R ，≥”的否定是（） A ．20x x x ∀∈+<R ，B ．20x x x ∀∈+R ，≤C ．20000x x x ∃∈+<R ，D ．20000x x x ∃∈+R ，≥ 【解析】 C全称命题的否定是特称命题，即命题“x ∀∈R ，20x x +≥”的否定为“0x ∃∈R ，2000x x +＜”． 3. （2014北京理5）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列．故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >．综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ．4. （2014北京文5）设a b ，是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 D5. （2014福建理6）直线1l y kx =+∶与圆221O x y +=∶相交于A B ，两点，则“1k =”是“OAB △的面积为12”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 A6. （2014福建文5）命题“[)300x x x ∀∈+∞+，．≥”的否定是（）A ．()300x x x ∀∈+∞+<，，()3B 00x x x ∀∈-∞+．，．≥C ．[)300000x x x ∃∈+∞+<，，D ．[)300000x x x ∃∈+∞+，．≥【解析】 C7. （2014广东文7）在ABC △中，角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，，则“a b ≤”是sin sin A B ≤的（）A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【解析】 A8. （2014湖北理3）设U 为全集，A B ，是集合，则“存在集合C 使得UA CBC ⊆⊆，是“A B =∅∩”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 C由韦恩图易知充分性成立．反之，A B =∅时，不妨取UC B =，此时A C ⊆．必要性成立．9. （2014湖北文3）命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是（）A ．x ∀∉R ，2x x ≠B ．x ∀∈R ，2x x =C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =【解析】 D10. （2014湖南理5）已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >，在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解析】 C当x y >时，两边乘以1-可得x y -<-，所以命题p 为真命题，当12x y ==-，时，因为22x y <，所以命题q 为假命题，所以②③为真命题，故选C ．11. （2014湖南文1）设命题2:10p x x ∀∈+>R ，，则p ⌝为（）A ．20010x x ∃∈+>R ，B ．20010x x ∃∈+R ，≤C ．20010x x ∃∈+<R ，D ．210x x ∀∈+R ，≤【解析】 B12. （2014江西文6）下列叙述中正确的是（）A ．若a b c R ∈，，，则“20ax bx c ++≥“的充分条件是”240b ac -≤”B ．若a b c R ∈，，，则“22ab cb >“的充要条件是”a c >”C ．命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x ≥”D ．l 是一条直线，αβ，是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则α∥β【解析】 D13. （2014辽宁理5文5）设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若a b ∥，b c ∥，则a c ∥，则下列命题中真命题是（） A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝【解析】 A14. （2014山东理4文4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程30x ax b ++=没有实根B ．方程30x ax b ++=至多有一个实根C ．方程30x ax b ++=至多有两个实根D ．方程30x ax b ++=恰好有两个实根【解析】 A15. （2014陕西理8）原命题为“若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z =”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（） A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【解析】 B先证原命题为真：当12z x ，互为共轭复数时，设1()z a b a b =+R i ∈，，则2i z a b =-，则12z z ==∴原命题为真，故其逆命题为真；再证其逆命题为假：取121i z z ==，，满足12z z =，但是12z z ，不是互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B ． 16. （2014陕西文8）原命题为“若12n n n a a a ++<，+n N ∈”,则{}n a 为递减数列，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【解析】 A17. （2014天津理7）设a b ∈R ，，则“a b ＞”是“a a b b ＞”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件【解析】 C由a b >，可分三种情况：①0a b >≥，则22a a a b b b =>=②0a b >>，则0a a b b >>；③0a b ≥>，则22a a a b b b =->-=，综上可知，a a b b > 由a a b b >，亦可分三种情况①0a a b b >≥，由绝对值的非负性知此时a b 、非负，因此22a b >，两边开方得a b > ②0a a b b ≥>，此时显然0a b ≥>③0a a b b >>，同理可知a b 、同负，∴2222,a b a b ->-<，即a b <，∴a b > 综上可知，a b >因此a b >是a a b b >的充要条件18. （2014天津文3）已知命题:0p x ∀>总有(1)e 1x x +>，则p ⌝（）A ．00x ∃，使得()01e 1x x +>B ．00x ∃> ，使得()001e 1x x +，C ．00x ∃>，总有00(1)e 1x x +≤D ．00x ∃≤，总有00(1)e 1x x +≤【解析】 B命题p 为全称命题，所以p ⌝为00x ∃>，使得()011p x ex +≤．故选B ． 19. （2014新课标1理9）不等式组124x y x y +⎧⎨-⎩≥≤的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+-≥，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥，3p ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+-≤．其中真命题是（） A ．2p ，3pB ．1p ，2pC ．1p ，4pD ．1p ，3p【解析】 B20. （2014新课标2文3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若()0:0p f x '=；0:q x x =是()f x 的极值点，则（）A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【解析】 C∵()f x 在0x x =处可导，∴若0x x =是()f x 的极值点，则()00f x '=，∴q p ⇒，故p 是q 的必要条件；反之，以()3f x x =为例，()00f '=，但0x =不是极值点，∴p q ⇒，故p 不是q 的充分条件．故选C ．21. （2014浙江理2）已知i 是虚数单位，a b ∈R ，，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 A当1a b ==时，有()212i i +=，即充分性成立．当()22a bi i +=时，有2222a b ab i -+=，得2201a b ab ⎧-=⎨=⎩，，解得1a b ==或1a b ==-，即必要性不成立，故选A ．评析本题考查复数的运算，复数相等的概念，充分条件与必要条件的判定，属于容易题．22. （2014浙江文2）设四边形ABCD 的两条对角线为AC BD ，，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 A若四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，反之，若AC BD ⊥，则四边形ABCD 不一定是菱形，故选A ．23. （2014重庆理6）已知命题p ：对任意x ∈R ，总有20x >；q ：“1x >”是“2x >”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧⌝【解析】 D24. （2014重庆文6）已知命题:p对任意x∈R，总有||0x≥；:q1x+=的根．则下列命题为真命题x=是方程20的是（）A．p q∧∧⌝B．p q⌝∧⌝D．p q⌝∧C．p q【解析】A。

高考数学 02 简易逻辑讲试题解析学生版文

高考数学 02 简易逻辑讲试题解析学生版文1．(2012年高考浙江卷文科4)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件2.（2012年高考辽宁卷文科5）已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是（）(A) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0(B) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0(C) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<0(D) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<05.（2012年高考安徽卷文科4）命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（）（A ）对任意实数x, 都有x > 1 （B ）不存在实数x ，使x ≤ 1（C ）对任意实数x, 都有x ≤ 1 （D ）存在实数x ，使x ≤ 16. (2012年高考山东卷文科5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（）(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真8.(2012年高考重庆卷文科1)命题“若p 则q ”的逆命题是（）（A ）若q 则p （B ）若⌝p 则⌝ q（C ）若q ⌝则p ⌝ （D ）若p 则q ⌝9. (2012年高考福建卷文科3)已知向量a =（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是（）A.x=-12B.x=-1C.x=5D.x=0。

专题1-2 简易逻辑(讲+练)-2023年高考数学二轮复习讲练测(全国通用)(解析版)

专题1-2简易逻辑目录讲高考 (1)题型全归纳 (3)【题型一】全称与特称 ................................................................................................................... 3 【题型二】全称与特称命题真假判断 ........................................................................................ 5 【题型三】全称特称命题求参数 ................................................................................................. 7 【题型四】充分与必要条件判断 ................................................................................................. 8 【题型五】充分不必要条件求参数 ......................................................................................... 10 【题型六】必要不充分条件求参数 ......................................................................................... 12 【题型七】充要条件应用：文字辨析 ..................................................................................... 14 【题型八】充要条件应用：电路图 ......................................................................................... 15 专题训练 .. (17)讲高考1．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 2．（2019·浙江·高考真题）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 3．（全国·高考真题（理））设命题甲：ABC 的一个内角为60°．命题乙：ABC 的三内角的度数成等差数列．那么（）A ．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【答案】C【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】ABC 的一个内角为60°，则另两内角的和为120°，因此ABC 的三内角的度数成等差数列，反之，ABC 的三内角的度数成等差数列，由三角形内角和定理知，ABC 必有一个内角为60°，所以甲是乙的充要条件. 故选：C 4．（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.6．（·湖南·高考真题（文））命题“若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是 A ．若α≠4π，则tanα≠1 B ．若α=4π，则tanα≠1C ．若tanα≠1，则α≠4πD ．若tanα≠1，则α=4π【答案】C【分析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，所以 “若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠4π”. 7.（江西·高考真题）在ABC 中，设命题:sin sin sin a b cp B C A==，命题q ：ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【分析】先当p 成立时，利用正弦定理把等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得A B C ==判断出△ABC 是等边三角形．推断出p 是q 的充分条件；反之利用正弦定理可分别求得2sin a R B =，2sin b R C =，2sin cR A=，三者相等，进而可推断出p 是q 的必要条件，【详解】解：sin sin sin a b c B C A ==，即22sin 2sin ,sin sin sin sin sin R A R BA CB B C==①； 22sin 2sin ,sin sin sin sin sin R B R CA B C C A==①， ①-①，得(sin sin )(sin sin sin )0C B A B C -++=，则sin sin C A =， C A ∴=．同理得C B =，A B C ∴==，则△ABC 是等边三角形．当A B C ==时，2sin 2sin sin a R A R B B ==，2sin 2sin sin b R B R C C ==，2sin 2sin sin c R CR A A== ∴sin sin sin a b c B C A ==成立，p ∴命题是q 命题的充分必要条件．故选：A ．题型全归纳【题型一】全称与特称【讲题型】例题1.命题“30R 0,x Q x Q ∃∈∉”的否定是（） A ．30R 0,x Q x Q ∃∉∈B ．3R ,x Q x Q ∀∈∈C ．3R ,x Q x Q ∀∉∈ D ．30R 0,x Q x Q ∀∈∉ 【答案】B【分析】存在性命题的否定是将“∃”改为“∀”,并对结论进行否定即可得出结果. 【详解】根据题意,存在性命题的否定是将“∃”改为“∀”,并对结论进行否定, ∴已知命题的否定为:3R ,x Q x Q ∀∈∈.故选:B.例题2.命题“a ∃，0b >，12a b +≥和12b a+≥都不成立”的否定为（） A ．a ∀，0b >，12a b +<和12b a +<至少有一个成立B ．a ∀，0b >，12a b +≥和12b a+≥都不成立C ．a ∃，0b >，12a b +>和12b a +>都不成立D ．a ∀，0b >，12a b +≥和12b a+≥至少有一个成立【答案】D【分析】由特称命题的否定形式，分析即得解.【详解】由特称命题的否定形式，“a ∃，0b >，12a b +≥和12b a+≥都不成立”的否定为：a ∀，0b >，12a b +≥和12b a+≥至少有一个成立.故选：D1.设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是（）A ．对任意0m >，方程20x x m +-=无实根；B ．对任意0m ≤，方程20x x m +-=无实根；C ．对任意0m >，方程20x x m +-=有实根；D ．对任意0m ≤，方程20x x m +-=有实根．【答案】A【分析】根据存在量词命题否定的概念判断即可.【详解】命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是“对任意0m >，方程20x x m +-=无实根”. 故选：A.2.已知命题:(1,)p x ∃∈+∞，使315x +>，则（） A ．命题p 的否定为“(1,)∃∈+∞x ，使315x +≤” B ．命题p 的否定为“(,1]x ∃∈-∞，使315x +≤” C ．命题p 的否定为“(1,)x ∀∈+∞，使315x +≤” D ．命题p 的否定为“(,1]x ∀∈-∞，使315x +≤” 【答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得到答案.【详解】由题意知命题:(1,)p x ∃∈+∞，使315x +>为存在量词命题，其否定为全称量词命题，即“(1,)x ∀∈+∞，使315x +≤”，故选：C.3.关于命题:p x ∃∈R ，2320x x ++<的叙述正确的是（）.A ．p 的否定：x ∀∈R ，2320x x ++<B ．p 的否定：x ∃∈R ，2320x x ++≥C ．p 是真命题，p 的否定是假命题D ．p 是假命题，p 的否定是真命题【答案】C【分析】写出命题p 的否定可判断AB ，当32x =-时，213204x x ++=-<，然后可判断CD.【详解】因为命题:p x ∃∈R ，2320x x ++<，所以p 的否定：x ∀∈R ，2320x x ++≥，故AB 错误，当32x =-时，213204x x ++=-<，故p 是真命题，p 的否定是假命题，故C 正确D 错误，故选：C【题型二】全称与特称命题真假判断【讲题型】例题1.已知命题p ：在ABC 中，若π4A >，则sin A >，命题:1q x ∀>-，ln(1)x x ≥+.下列复合命题正确的是（）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 【答案】C【分析】命题p 可举出反例，得到命题p 为假命题，构造函数证明出:1q x ∀>-，ln(1)x x ≥+成立，从而判断出四个选项中的真命题.【详解】在ABC 中，若5π6A =，此时满足π4A >，但1sin 2A =<p 错误；令()()ln 1,1f x x x x =-+>-，则()1111x f x x x '=-=++，当0x >时，0f x ，当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在0x >上单调递增，在10x -<<上单调递减，所以()f x 在0x =处取得极小值，也是最小值，()()00ln 010f =-+=，所以:1q x ∀>-，ln(1)x x ≥+成立，为真命题；故p q ∧为假命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为真命题，()p q ∧⌝为假命题. 故选：C例题2.已知命题p ：x ∃∈R ，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则.a b <下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B【分析】先判断出命题,p q 的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假. 【详解】解：命题:0p x ∃=，使210x x -+≥成立，故命题p 为真命题；当1a =，2b =-时，22a b <成立，但a b <不成立，故命题q 为假命题； p q ∧p q ⌝∧p q ⌝∧⌝p q ∧⌝1.命题p ：“x ∀∈R ，210x +<”，则下列表述正确的是（） A ．命题p 是真命题B ．命题“p ⌝：x ∃∈R ，210x +≥”是真命题C ．命题“p ⌝：x ∃∈R ，210x +<”是假命题D ．命题“p ⌝：x ∀∈R ，210x +≥”是真命题【答案】B 【分析】判断命题p 的真假可判断A ；命题的真假判断和含有一个量词的命题否定可判断B ，C ，D.【详解】因为211x +≥，所以命题p 是假命题，故A 不正确；命题“p ⌝：x ∃∈R ，210x +≥”是真命题，故B 正确，C 、D 不正确. 故选：B.2.命题“[]2,5x ∀∈，20x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（）． A ．4a ≤ B ．3a ≤ C ．5a < D ．4a > 【答案】C【分析】求出命题“[]2,5x ∀∈，20x a -≥”为真命题的充要条件即可选出答案. 【详解】由20x a -≥可得2a x ≤，因为2y x 在[]2,5上单调递增，所以2min 24y ==，所以命题“[]2,5x ∀∈，20x a -≥”为真命题的充要条件为4a ≤.所以命题“[]2,5x ∀∈，20x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是选项C ，故选：C ．3.下列命题中是真命题的个数是（）（1）2,230.x x x ∀∈-->R（2）2,240.x x x ∃∈-+>R（3）若2[1,3],20x x x a ∀∈--+≥为真命题，则1a ≥（4）4(,0),0x x a x∃∈-∞+-≥为真命题，则 4.a ≤-A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【分析】对（1）（2），由二次函数图象即可判断；对（3），()22y f x x x a ==-+对称轴为1x =，图象开口向上，命题为真等价于()10f ≥，求解即可；对（4），44(,0),0x x a a x x x ⎛⎫∈-∞+-≥⇔≤--- ⎪⎝⎭，由均值不等式得44x x ⎛⎫---≤- ⎪⎝⎭，故命题为真等价于 4.a ≤- 【详解】对（1），由412160∆=+=>得2=23y x x --与x 轴有两个交点，故命题（1）为假命题；对（2），图象开口向上，故命题（2）为真命题；对（3），()22y f x x x a ==-+对称轴为1x =，图象开口向上，故2[1,3],20x x x a ∀∈--+≥为真命题等价于()11201f a a =-+≥⇒≥，故命题（3）为真命题；对（4），44(,0),0x x a a x x x ⎛⎫∈-∞+-≥⇔≤--- ⎪⎝⎭，①44x x ⎛⎫---≤-=- ⎪⎝⎭，故命题（4）为真命题；故选：C【题型三】全称特称命题求参数【讲题型】例题1.若命题“(0,3),20ax x x ∃∈--≤”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．3【答案】A【分析】由题意可得只需2min (2),(0,3)a x x x ≥-∈即可,再由二次函数的性质求出2()2,(0,3)f x x x x =-∈的最小值即可得a 的取值范围，从而得答案.【详解】解：因为(0,3),20ax x x∃∈--≤为真命题，所以2(0,3),2x a x x ∃∈≥-为真命题，只需2min (2),(0,3)a x x x ≥-∈即可,由二次函数的性质的可知2()2,(0,3)f x x x x =-∈的最小值为(1)1f =-，所以1a ≥-，所以a 可取的最小整数值是-1. 故选：A.例题2.．若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为_____________.【答案】1【详解】若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦ ”是真命题，则m 大于或等于函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值因为函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以，函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，所以，1m ≥ ，即实数m 的最小值为1.1.命题p ：“[]2,3x ∃∈，30x a ->”，若命题p 是假命题，则a 的最小值为（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 【答案】D【分析】依题意可得命题p ⌝：“[]2,3∀∈x ，30x a -≤”为真命题，参变分离可得3≥a x 对[]2,3∀∈x 恒成立，则()max 3a x ≥，求出参数的取值范围，即可得解.【详解】解：因为命题p ：“[]2,3x ∃∈，30x a ->”为假命题，则命题p ⌝：“[]2,3∀∈x ，30x a -≤”为真命题，所以3≥a x 对[]2,3∀∈x 恒成立，所以()max 39a x ≥=，即[)9,a ∈+∞，所以a 的最小值为9. 故选：D2.已知命题:R p x ∀∈，2360ax x --≤为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．38a a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭B ．38a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭C ．38a a ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭ D ．308a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】由题可知2360ax x --≤恒成立，根据二次函数的性质即得. 【详解】由题可知2360ax x --≤恒成立，当0a =时，360x --≤不合题意，当0a ≠时，则()2Δ3460a a <⎧⎪⎨=-+⨯≤⎪⎩，解得38a ≤-.故选：B. 3.已知命题“R x ∃∈，使()222(1)10a a x a x +-+-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．()[),31,-∞-+∞ B ．()3,1-C ．()3,-+∞D ．()(),31,-∞-⋃+∞【答案】A【分析】依题意可得命题“x ∀∈R ，使()222(1)10a a x a x +-+-+>”是真命题，再分220a a +-=和220a a +-≠两种情况讨论，分别计算可得.【详解】解：因为命题“R x ∃∈，使()222(1)10a a x a x +-+-+≤”是假命题，所以命题“x ∀∈R ，使()222(1)10a a x a x +-+-+>”是真命题，当220a a +-=，解得=1a 或2a =-，若=1a 时原不等式即10>，满足条件；若2a =-时原不等式即310x -+>，即13x <，不符合题意；当220a a +-≠，则()()222+2>014+2<0a a a a a ----⎧⎪⎨⎪⎩，解得1a >或3a <-，综上可得()[),31,a ∈-∞-+∞；故选：A【题型四】充分与必要条件判断【讲题型】例题1.若:p a ∈R 且11a -<<，q ：二次函数()212y x a x a =+++-有两个零点，且一个零点大于零，另一个零点小于零；则p ⌝是q ⌝的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据互逆命题的性质，结合一元二次方程根的判别式和根与系数关系、充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】设2(1)20x a x a +++-=的一个根1x 大于零，另一根2x 小于零，则1220x x a =-<，解得2a <，因为命题：若p ⌝，则q ⌝的逆否命题为：若q ，则p ，由{}11a a -<<是{}2a a <的真子集，因此q 是p 的必要不充分条件．故选：B ．例题2.已知ABC 中，π26B AC ∠==，，则π6A ∠=的充要条件是（）A ．ABC 是等腰三角形 B．AB =C ．4BC = D．ABC S BC BA <【答案】D【分析】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.【详解】由于π6B ∠=，故当ABC 是等腰三角形时，π6A ∠=或5π12A ∠=或2π3A ∠=；当π6A ∠=时，ABC 是等腰三角形，所以ABC 是等腰三角形是π6A ∠=的必要不充分条件，所以选项A 不正确；当AB =时，sin sin AB AC C B =，2,sin πsin 6C ==所以π3C ∠=或2π3C ∠=，则π2A ∠=或π6A ∠=；当π6A ∠=时，2π3C ∠=，根据正弦定理可得AB =AB =π6A ∠=的必要不充分条件，所以选项B 不正确；当4BC =时，sin sin BC ACA B =，即42πsin sin 6A=，解得πsin 1,2A A =∠=，所以4BC =不是π6A ∠=的充分条件，所以选项C 不正确；当π6A ∠=时，ABC S；当ABC S1sin 2BC BA B BC BA ⋅⋅⋅=∴⋅=余弦定理222cos 4BC BA BC BA B +-⋅⋅=，解得2216,,2,BC BA BC BA BC BA +=<∴==，则π6A ∠=，所以ABCS BC BA =<是π6A ∠=的充要条件，故选：D ．1.使12x +>成立的一个必要不充分条件是（） A ．3x <- B ．0x > C ．3x <-或1x > D ．3x <-或0x > 3【答案】D【分析】解绝对值不等式可得1x >或3x <-，根据充分、必要性定义判断各项与条件间的关系即可.【详解】由12x +>，可得1x >或3x <-，所以3x <-是12x +>的充分不必要条件，0x >是12x +>的既不充分也不必要条件，3x <-或1x >是12x +>的充要条件，3x <-或0x >是12x +>的必要不充分条件. 故选：D2.若A 、B 是全集I 的真子集，则下列五个命题：①A B A =；①A B A ⋃=；①()A B ⋂=∅；①A B I ⋂=；①x B ∈是x A ∈的必要不充分条件.其中与命题A B ⊆等价的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项. 【详解】解：由A B ⊆得韦恩图：或对于①，A B A =等价于A B ⊆，故①正确；对于①，A B A ⋃=等价于B A ⊆，故①不正确；对于①，()A B ⋂=∅等价于A B ⊆，故①正确；对于①，A B I ⋂=与A 、B 是全集I 的真子集相矛盾，故①不正确；对于①，x B ∈是x A ∈的必要不充分条件等价于B A ，故①不正确，所以与命题A B ⊆等价的有①①，共2个，故选：B.3.若集合(){}2|10A x x m x m =-++=，{}1,0,1B =-，则“1m =-”是“A B ⊆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分不必要条件的定义再结合子集关系即可得到答案.【详解】当1m =-时，{}{}2|101,1A x x B =-==-⊆，满足充分性. ()210x m x m -++=，()()221410m m m ∆=+-=-≥，所以A ≠∅.当0∆>时，(){}{}2|10,1A x x m x m m =-++==，因为A B ⊆，所以0m =或1m =-.当Δ0=时，1m =，此时{}1A =，满足A B ⊆.所以A B ⊆，0m =或1m =-或1m =，不满足必要性. 所以“1m =-”是“A B ⊆”的充分不必要条件. 故选：A【题型五】充分不必要条件求参数【讲题型】例题1.．若“2340x x +-<”是“()()30x k x k --+>⎡⎤⎣⎦"的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）A ．()[),71,∞∞--⋃+B ．(](),71,∞∞--⋃+C ．()(),71,-∞-+∞D ．][(),71,∞∞--⋃+ 【答案】D【分析】求出一元二次不等式的解集，再利用充分不必要条件的意义列式，求解作答.【详解】解不等式2340x x +-<得：41x -<<，即不等式2340x x +-<的解集为(4,1)-，由()()30x k x k --+>⎡⎤⎣⎦得x k <或3x k >+，即此不等式的解集为()(),3,k k -∞++∞，依题意，(4,1)- ()(),3,k k ∞∞⎡⎤-⋃++⎣⎦，则有34k +≤-或1k ≥，解得7k ≤-或1k ≥，所以实数k 的取值范围是][(),71,∞∞--⋃+.故选：D例题2.设:x a α>，1:0x x β->，若α是β的充分条件，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,+∞B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．(],0-∞ 【答案】C【分析】解分式不等式10x x->得β，由α是β的充分条件等价于β包含α，根据包含关系列不等式求解即可【详解】()1010x x x x->⇔->，解得1x >或0x <，由α是β的充分条件，则有1a ≥. 故选：C1.已知2:,:01x p x k q x -≥<+，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是（） A ．[)2,∞B ．()2,+∞C ．[)1,+∞D ．(],1-∞- 【答案】B【分析】求出不等式201x x -<+的解集，由p 是q 的充分不必要条件确定k 的取值范围. 【详解】由201x x -<+得 (2)(1)0x x -+<，解得1x <-或2x >，因为p 是q 的充分不必要条件，所以由xk 能推出 1x <-或2x >，得2k >；当2k >时由q 得不到p . 综上：2k >。

专题02 简易逻辑(解析版)

专题2 简易逻辑一、十年大数据考点5 命题及其关系【试题分类与归纳】1.（2017新课标Ⅰ）设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p 【答案】B【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则2211i(i)a b z a b a b-==∈++R ，得0b =，所以z ∈R ，1p 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ．2.（2011新课标）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p πθ+>⇔∈a b 2:p ||1+>a b ⇔2(,]3πθπ∈ 3:||1[0,)3p πθ->⇔∈a b 4:p ||1->a b ⇔(,]3πθπ∈ 其中真命题是A ．14,p pB ．13,p pC ．23,p pD ．24,p p 【答案】A【解析】由1a b +==>得， 1cos 2θ>-，20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭。

由1a b -==得1cos 2θ< ,3πθπ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦．选A ．3.（2012新课标，理3）下面是关于复数z =21i-+的四个命题：1p ：|z |=2；2p ：22z i =；3p ：z 的共轭复数为1i +；4p ：z 的虚部为－1；其中真命题为A .2p ,3pB .1p ,2pC .2p ,4pD .3p ,4p【答案】C.【解析】∵z =21i-+=1i --,∴|z ，22z i =，z 的共轭复数为1i -+，虚部为－1，故2p ，4p 是真命题，故选C.4.（2014陕西）原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】A【解析】从原命题的真假人手，由于12n n n a a a ++<{}1n n n a a a +⇔<⇔为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A ． 5.（2014江西）下列叙述中正确的是A ．若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤ B ．若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >C ．命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥” D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】D【解析】 2"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，因为与a 的符号不确定，所以A 不正确；当20b =时，由""a c >推不出22""ab cb >，所以B 不正确；“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有0x <”，所以C 不正确．选D ．6.（2013陕西文）设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 A ．若20z ≥, 则z 是实数 B ．若20z <, 则z 是虚数 C ．若z 是虚数, 则20z ≥ D ．若z 是纯虚数, 则20z < 【答案】C【解析】abi b a z R b a bi a z 2,,222+-=⇒∈+=设．对选项A: 为实数则若z b z ⇒=≥0,02,所以为实数z 为真．对选项B: 为纯虚数且则若z b a z ⇒≠=<0,0,02,所以为纯虚数z 为真．对选项C: 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02≥z 为假．对选项D: 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02<z 为真．所以选C ．7.（2012湖南）命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是A ．若4πα≠，则tan 1α≠ B ．若4πα=，则tan 1α≠C ．若tan 1α≠，则4πα≠ D ．若tan 1α≠，则4πα=【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若4πα=，则t a n 1α=”的逆否命题是 “若tan 1α≠，则4πα≠”．8.（2012福建）下列命题中，真命题是A ．00,0xx R e ∃∈… B ．2,2x x R x ∀∈>C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．1a >,1b >是1ab >的充分条件【答案】D【解析】∵,0xx R e ∀∈>，故排除A ；取x =2,则2222=，故排除B ；0a b +=，取0a b ==，则不能推出1ab=-，故排除C ；应选D ． 9.（2011山东）已知,,a b c R ∈，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是 A ．若3a b c ++≠，则222a b c ++<3 B ．若3a b c ++=，则222a b c ++<3 C ．若3a b c ++≠，则222a b c ++≥3 D ．若222a b c ++≥3，则3a b c ++= 【答案】A【解析】3a b c ++=的否定是3a b c ++≠，222a b c ++≥3的否定是222a b c ++<3，故选A ．10.（2011陕西）设,a b 是向量，命题“若=-a b ，则=a b ”的逆命题是 A ．若≠a b ，则≠a b B ．若=-a b ，则≠a b C ．若≠a b ，则≠a b D ．若=a b ，则=-a b【答案】D【解析】根据定义若“若a b =，则a b =-”．11. (2018北京)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】sin y x =（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x在[0,2]上不是增函数即可，如，()sin f x x =，答案不唯一．【考点总结与提高】命题的概念1.用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系3.由原命题写出其他3种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． [提醒] (1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； (2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提． 4．判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．考点6 简单逻辑联结词【试题分类与归纳】1.（2019全国Ⅲ文11）记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩…表示的平面区域为D .命题:(,),29p x y D x y ∃∈+…；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+….下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A【解析】作出不等式组620x y x y +⎧⎨-⎩……的平面区域如图阴影部分所示.由图可知，命题():,,29p x y D x y ∃∈+…；是真命题，则p ⌝假命题；命题():,,212q x y D x y ∀∈+…是假命题，则真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有： p q ∨真； p q ⌝∨假；●p q ∧⌝真；❍p q ⌝∧⌝假；故答案●正确．故选A ．2.（2017山东）已知命题p ：0x ∀>，ln(1)0x +>；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝⌝∧ 【答案】B【解析】0x ∀>，11+>x ，所以ln(1)0x +>，所以p 为真命题；若0a b >>，则22a b >，若0b a <<，则0a b <-<-，所以22a b <，所以q 为假命题．所以p q ⌝∧为真命题．选B ．3.（2010新课标）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数，2p ：函数22x xy -=+ 在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是 A ．1q ，3q B ．2q ，3q C ．1q ，4q D ．2q ，4q 【答案】C【解析】∵1p 是真命题，则1p ⌝为假命题；2p 是假命题，则2p ⌝为真命题，∴1q ：12p p ∨ 是真命题，2q ：12p p ∧是假命题，3q ：()12p p ⌝∨为假命题，4q ：()12p p ∧⌝为真命题，故选C ．4.（2017山东）已知命题p ：0x ∀>，ln(1)0x +>；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝⌝∧【答案】B【解析】0x ∀>，11+>x ，所以ln(1)0x +>，所以p 为真命题；若0a b >>，则22a b >，若0b a <<，则0a b <-<-，所以22a b <，所以q 为假命题．所以p q ⌝∧为真命题．选B ．5.（2014湖南）已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在命题①p q ∧ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨中，真命题是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 【答案】C【解析】由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p q ∧为假命题，②p q ∨为真命题，③q ⌝为真命题，则()p q ∧⌝为真命题，④p ⌝为假命题，则()p q ⌝∨为假命题，所以选C ．6.（2013湖北）在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()()p q ⌝∨⌝ B ． ()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∨【答案】A【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．7.(2012山东)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真【答案】C【解析】∵命题p 为假,命题q 也为假,∴p q ∧为假，故选C ．【考点总结与提高】1．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断❶2.判断含有逻辑联结词命题真假的3个步骤考点7 全称量词与特称量词【试题分类与归纳】1.（2015新课标）设命题p ：n N ∃∈，22nn >，则p ⌝为A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2nn N n ∃∈≤ C ．2,2nn N n ∀∈≤ D ．2,2nn N n ∃∈= 【答案】C【解析】命题p 是一个特称命题，其否定是全称命题．2.（2014新课标卷1，理9）9不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】C【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：20x y +=，平移0l ，由图可知，当直线：2x y z +=过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.3.（2014福建）命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是A ．()30,.0x x x ∀∈+∞+< B ．()3,0.0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)30000,.0x x x ∃∈+∞+< D ．[)30000,.0x x x ∃∈+∞+≥【答案】C【解析】把量词“∀”改为“∃”，把结论否定，故选C 4.（2013重庆）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为A ．对任意x R ∈，都有20x <B ．不存在x R ∈，都有20x <C ．存在0x R ∈，使得200x ≥D ．存在0x R ∈，使得200x <【答案】D【解析】否定为：存在0x R ∈，使得200x <，故选D ．5．（2013四川）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：,2x A x B ∀∈∈，则 A ．p ⌝：,2x A x B ∀∈∉ B ．p ⌝：2x A x B ∀∉∉， C ．p ⌝：2x A x B ∀∉∈， D ．p ⌝：2x A x B ∀∈∉，【答案】C【解析】由命题的否定易知选C ．6.（2012湖北）命题“0x ∃∈R Q ð，30x ∈Q ”的否定是 A ．0x ∃∉R Q ð，30x ∈Q B ．0x ∃∈R Q ð，30x ∉QC ．x ∀∉R Q ð，3x ∈QD ．x ∀∈R Q ð，3x ∉Q【答案】D【解析】存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉．7.（2012湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选B ．8.（2011安徽）命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定．．是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数都是偶数 D ．存在一个能被2整除的数都不是偶数【答案】D【解析】根据定义容易知D 正确． 9.（2015山东）若“x ∀[0,]4π∈，tan x m ≤”是真命题，则实数m 的最小值为．【答案】1 【解析】“[0,]4x π∀∈，tan x m ≤”是真命题，则tan14m π≥=，于是实数m 的最小值为1。

专题02 常用逻辑用语解析版-2025版高中数学一轮复习讲义,知识梳理、考点突破和分层检测

专题02常用逻辑用语（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (10)【考点1】充分、必要条件的判定 (10)【考点2】充分、必要条件的应用 (13)【考点3】全称量词与存在量词 (17)【分层检测】 (20)【基础篇】 (21)【能力篇】 (26)【培优篇】 (29)考试要求：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A是B真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件.4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.6.命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2023·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2023·北京·高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023·天津·高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2021·全国·高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件参考答案：1．B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B2．C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d da d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n S n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S SD S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C3．C 【分析】解法一：由2x yyx +=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2xyyx +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可.【详解】解法一：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2xyyx+=-”的充要条件.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y yx y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x+=-”的充要条件.解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyyx+=-”的充要条件.故选：C4．B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选：B5．A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件.故选：A.6．C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数.若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件.故选：C.7．B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8．B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====- ,当AB OC ⊥时，a b - 与c垂直，，所以成立，此时a b ≠ ，∴不是a b =的充分条件，当a b = 时，0a b -= ，∴()00a b c c -⋅=⋅=r r r r r ,∴成立，∴是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.9．A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.10．A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.【考点1】充分、必要条件的判定一、单选题1．（2024·北京海淀·一模）设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·全国·模拟预测）已知(21)(1)i()z a a a =-++∈R，则“||z 是“25a =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知ABC 中角A ，B 的对边分别为a ，b ，则可作为“a b >”的充要条件的是（）A ．sin sin A B>B ．cos cos A B<C ．tan tan A B >D ．sin 2sin 2A B>4．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数()2sin f x x x =+，设12,R x x ∈，则()()12f x f x >成立的一个充分条件是（）A ．12x x >B ．120x x +>C ．2212x x >D ．12x x >三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）“函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称”是“0sin20x =”的条件．6．（2021·陕西渭南·二模）下列四个命题是真命题的序号为.①命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“,cos 1x R ∃∈>”.②曲线3y x =在0x =处的切线方程是0y =.③函数1,1,()23,1x ae x f x x x -⎧=⎨+>⎩为增函数的充要条件是05a <<.④根据最小二乘法，由一组样本点(,i i x y )(其中1,2,...,300i =)求得的线性回归方程是y bx a =+$$$，则至少有一个样本点落在回归直线y bx a =+$$$上.参考答案：1．A【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A.2．B【分析】由||z a 的等量关系，求解a ，从而判断选项.【详解】因为z ==化简得2520a a -=，解得0a =或25a =，故“z =”是“25a =”的必要不充分条件.故选：B ．3．AB 【分析】由三角形中的大边对大角，利用正弦定理和三角函数的性质，结合充要条件的定义，判断各选项的正误【详解】ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=可知，sin sin A B >时有a b >，a b >时有sin sin A B >，A 选项正确；余弦函数在()0,π上单调递减，ABC 中，当a b >时有A B >，则有cos cos A B <；当cos cos A B <时有A B >，则有a b >，B 选项正确；ABC 中，当a b >时有A B >，当A 为钝角，B 为锐角时，tan 0tan A B <<，C 选项错误；ABC 中，当a b >时有A B >，当A 为钝角，B 为锐角时，sin 20sin 2A B <<，D 选项错误.故选：AB 4．CD【分析】根据给定函数，探讨函数的奇偶性，利用导数探讨函数的单调性，再利用性质即可判断作答.【详解】函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，22()||sin ()||sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，即函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，2()sin f x x x =+，求导得()12sin cos 1sin 20f x x x x '=+=+≥，则函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，对于A ，取122,3x x ==-，满足12x x >，而(2)(3)(3)f f f <=-，A 不是；对于B ，取121,2x x ==，满足120x x +>，而(1)(2)f f <，B 不是；对于CD ，221212||||x x x x >⇔>，于是12(||)(||)f x f x >，由函数()f x 是偶函数得12()()f x f x >，CD 是.故选：CD 5．充分必要【分析】先由函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称求得0x 的值，再解方程0sin20x =求得0x 的值，进而得到二者间的逻辑关系.【详解】函数tan y x =图象的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，所以由“函数y =tan x 的图象关于(x 0,0)中心对称”等价于“0π,2k x k =∈Z ”．因为0sin20x =等价于02π,x k k =∈Z ，即0π,2k x k =∈Z ．所以“函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称”是“0sin20x =”的是充分必要条件．故答案为：充分必要6．①②【分析】①由含有一个量词的命题的否定的定义判断；②利用导数的几何意义判断；③利用分段函数的单调性求解判断；④根据回归直线恒过样本中心，但样本点不一定在回归直线上判断；【详解】①由含有一个量词的命题的否定知：命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“,cos 1x R ∃∈>”，故正确.②因为3y x =，所以()()2300,0,0y x y y ''===，所以曲线在0x =处的切线方程是0y =，故正确；③若函数1,1,()23,1x ae x f x x x -⎧=⎨+>⎩为增函数，则05a a >⎧⎨≤⎩，解得05a <≤，所以函数为增函数的充要条件是05a <≤，故错误；④回归方程y bx a =+$$$恒过样本点的中心，但样本点不一定落在回归直线上，故错误；故答案为：①②反思提升：充分条件、必要条件的两种判定方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.【考点2】充分、必要条件的应用一、单选题1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件是（）A ．14a -≤B ．0a ≤C ．6a ≥D ．8a ≥2．（22-23高二下·湖南·阶段练习）已知集合{}2|120A x x x =--≤，{22|3210}B x x mx m m =-++-<，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A ．[]3,2-B ．[]1,3-C ．51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题3．（2021·福建宁德·模拟预测）已知命题p ：关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ，那么命题p 的一个必要不充分条件是（）A ．112a -<<-B ．203a -<<C ．10a -≤≤D ．1a ≥-4．（2023·广东·模拟预测）已知函数()1e ln xf x x -=+，则过点(),(0)a b a >恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（）A ．211b a =-<B ．211b a =->C ．()211f a a <-<D ．()211a f a ->>三、填空题5．（2022·吉林长春·模拟预测）设命题():0ln 2ln 3p x <-≤，命题()():2230q x m x m ---≤．若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是．6．（2024·上海普陀·二模）设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是.参考答案：1．D【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数a 的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.【详解】若命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题，则命题的否定“[]2,1x ∀∈-，20x x a --≤”为真命题，即2a x x ≥-，[]2,1x ∈-恒成立，221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]2,1x ∈-，当2x =-，取得最大值6y =，所以6a ≥，选项中只有{}8a a ≥是{}6a a ≥的真子集，所以命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件为8a ≥.故选：D 2．C【分析】解不等式，确定集合A ，讨论m 的范围，确定B ，根据题意推出B A ，由此列出不等式组，即可求得答案.【详解】由题意集合{}2|120[3,4]A x x x =--≤=-，{22|3210}{|(1)(21)0}B x x mx m m x x m x m =-++-<=---+<，若m>2，则211m m ->+，此时(1,21)B m m =+-，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故BA ,故214513,222m m m m -≤⎧⎪+≥-∴<≤⎨⎪>⎩；若2m <，则211m m -<+，此时(21,1)B m m =-+，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故BA ,故14213,122m m m m +≤⎧⎪-≥-∴-≤<⎨⎪<⎩；若2m =，则211m m -=+，此时B =∅，满足BA ,综合以上可得51,2m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选：C 3．CD【分析】求出命题p 成立时a 的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．【详解】命题p ：关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ，则2440a a ∆=+<，解得10a -<<又()1,0-[]1,0-，()1,0-[)1,-+∞，故选：CD ．4．AB【分析】设切点坐标为0100(,e ln )x x x -+，则有00110001eln (e )()x x x b x a x --+-=+-，所以问题转化为方程010000e (1)ln 10(0)x a x a x b x x ----++-=>恰有两个解，令1()e (1)ln 1(0)x ag x x a x b x x-=---++->，然后利用导数求解其零点即可.【详解】由()1e ln x f x x -=+，得11()e (0)x f x x x-'=+>，设切点为0100(,e ln )x x x -+，则切线的斜率为0101e x k x -=+，所以有00110001eln (e )()x x x b x a x --+-=+-，整理可得：010000e(1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>，由题意可知：此方程有且恰有两个解，令1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x -=---++->，()()()112;0,;,;g b a x g x x g x =+-→→-∞→+∞→-∞，112211()e ()()(e 0)x x a g x x a x a x x x x--'=--+=-->，令121()e0)x F x x x -=->，则132()e 0(0)x F x x x -'=+>>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，因为11(1)e 10F -=-=，所以当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，①当1211a -<-<，即01a <<时，当0x a <<时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当1<<a x 时，()()()()()()0,1,21,21g x g a g b f a b a f a a ->--<-'，函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，所以只要()0g a =或(1)0g =，即()1e ln a b af a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；②当211a ->，即1a >时，当01x <<时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当1x a <<时，()()()()0,1,21,g x g g a f a a >-'函数()g x 单调递减，当x a >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当x a =时，1()e ln a g a b a -=--，所以只要(1)0g =或()0g a =，由(1)0g =可得：211b a =->，由()0g a =得1e ln ()a b a f a -=+=；③当1a =时，121()(1)(e )0x g x x x -'=-->，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：当01a <<时，()211b f a a =<-<或211b a =-<；当1a >时，211b a =->或()211b f a a =>->，所以选项A 正确，B 正确，C 错误，D 错误，故选：AB【点睛】关键点睛：解题的关键是根据题意将问题转化为方程010000e(1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>恰有两个解，构造函数1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x-=---++->，再次将问题转化为此函数有两个零点，然后利用导数通过分析其单调性可求得结果.5．312m ≤≤【分析】化简命题p 和q ，利用真子集关系列式可求出结果.【详解】由():0ln 2ln 3p x <-≤，得123x <-≤，即35x <≤；由()():2230q x m x m ---≤，得223m x m ≤≤+，因为q 是p 的必要不充分条件，所以5}|3{x x <≤是{|223}x m x m ≤≤+的真子集，所以23235m m ≤⎧⎨+≥⎩且两个等号不同时取，解得312m ≤≤.故答案为：312m ≤≤6．3q =（或2q =-,答案不唯一）【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．【详解】212a ，4a ，32a 成等差数列，则4232122a a a =+，即26q q =+，解得3q =或2q =-，故“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是3q =（或2)q =-．故答案为：3q =（或2q =-,答案不唯一）反思提升：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.【考点3】全称量词与存在量词一、单选题1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（）A ．“1,1a b >>”是“1ab >”的必要条件B ．0,e 2x x x ∀>>C ．20,2x x x >≥∀D ．0a b +=的充要条件是1ab=-2．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）已知0a >，()212f x ax bx =-，则0x 是方程ax b =的解的充要条件是（）A ．()()0,x f x f x ∃∈≥R B ．()()0,x f x f x ∃∈≤RC ．()()0,x f x f x ∀∈≥RD ．()()0,x f x f x ∀∈≤R 二、多选题3．（2023·海南·模拟预测）已知命题p :“2,260x R x x a ∃∈-++=”，:q "2,10x R x mx ∀∈++>”，则下列正确的是（）A ．p 的否定是“2,260x R x x a ∀∈-++≠”B ．q 的否定是“2,10x R x mx ∃∈++>”C ．若p 为假命题，则a 的取值范围是5a <-D ．若q 为真命题，则m 的取值范围是22m -<<4．（2023·山西·模拟预测）下列结论正确的是（）A ．sin sin ()e e x x f x =+是偶函数B ．若命题“x ∃∈R ，2210x ax ++<”是假命题，则11a -≤≤C ．设x ，y ∈R ，则“1x ≥，且1y ≥”是“222x y +≥”的必要不充分条件D ．0ab ∃>，111a b b a-=-三、填空题5．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则实数a 的取值范围是．6．（2024·辽宁·模拟预测）命题p ：存在[]1,1m ∈-，使得函数()22f x x mx =-在区间[),a +∞内单调，若p 的否定为真命题，则a 的取值范围是.参考答案：1．B【分析】举反例来判断ACD ，利用指数函数的性质判断B.【详解】对于A ，当2,1a b ==时，满足1ab >，但不满足1,1a b >>，故“1,1a b >>”不是“1ab >”的必要条件，故错误；对于B ，根据指数函数的性质可得，对于e 0,12xx ⎛⎫∀>> ⎪⎝⎭，即e 2x x >，故正确；对于C ，当3x =时，22x x <，故错误；对于D ，当0a b ==时，满足0a b +=，但1ab=-不成立，故错误.故选：B.2．C【分析】利用二次函数的图象和性质，理解全称量词命题和存在量词命题的真假以及充要条件的意义即可.【详解】因为0a >，所以函数()212f x ax bx =-的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为：122b bx a a -=-=⨯，函数的最小值为b f a ⎛⎫⎪⎝⎭.若“0x 是方程ax b =的解”，则0b x a =，那么()0b f x f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭就是函数()f x 的最小值，所以“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”，即“0x 是方程ax b =的解”是“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”的充分条件；若“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”，则()0f x 为函数()f x 的最小值，所以0bx a=，即0ax b =，所以“0x 是方程ax b =的解”，故“0x 是方程ax b =的解”是“R x ∀∈，()()0f x f x ≥”的必要条件.综上可知：“0x 是方程ax b =的解”的充要条件是“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”.故选：C 3．AD【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A 、B ；C 选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算a 的取值范围；D 选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A 正确，B 不正确；C 选项，若p 为假命题，则p 的否定“2,260x R x x a ∀∈-++≠”是真命题，即方程2260x x a -++=在实数范围内无解，44(6)0a ∆=-+<，得5a >-，C 不正确；D 选项，2,10x R x mx ∀∈++>，等价于240m ∆=-<，解得22m -<<，D 正确；故选：AD.4．ABD【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断选项A ；根据特称命题的的真假判断选项B ；根据必要不充分条件的判断即可判断选项C ；根据等式的性质判断选项D .【详解】对于A ，函数sin sin ()e e x x f x =+的定义域为R ，且sin sin sin sin ()e e e e ()x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数为偶函数，故选项A 正确；对于B ，若命题“x ∃∈R ，2210x ax ++<”是假命题，则2210x ax ++≥恒成立，所以2(2)40a ∆=-≤，解得11a -≤≤，故选项B 正确；对于C ，若1x ≥，且1y ≥，则222x y +≥成立，反之不一定成立，例如：2,3x y =-=-满足222x y +≥，但是0,0x y <<，故“1x ≥，且1y ≥”是“222x y +≥”充分不必要条件，故选C 错误；对于D ，若111a b b a -=-，则2230a ab b -+=，当32b a =时方程有解，所以0ab ∃>，111a b b a -=-，故选项D 正确；故选：ABD .5．(,5)-∞【分析】首先求命题为真命题时a 的取值范围，再求其补集，即可求解.【详解】若命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x ”为真命题，则max 4a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，设4y x x =+，(1,3)x ∈，44x x +≥=，当2x =时，等号成立，由对勾函数的性质可知，当()1,2x ∈时，函数单调递减，当()2,3x ∈单调递增，()15f =，()43353f =+<，所以445x x≤+<，即5a ≥，所以命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则a 的取值范围为(),5-∞.故答案为：(),5-∞6．(),1-∞-【分析】先给出命题p 的否定，由函数2()2f x x mx =-的单调性进行求解.【详解】命题p 的否定为：任意[]1,1m ∈-，使得函数2()2f x x mx =-在区间[,)a +∞内不单调，由函数2()2f x x mx =-在(),m -∞上单调递减，在(),m +∞上单调递增，则a m <，而[]1,1m ∈-，得1a <-，故答案为：(),1-∞-反思提升：(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.(2)判定全称量词命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定存在量词命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只要在限定集合内找到一个x ，使p (x )成立即可.(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p 与¬p 的关系，转化成¬p 的真假求参数的范围.【基础篇】一、单选题1．（2024·四川成都·三模）已知圆C ：221x y +=，直线l ：0x y c -+=，则“2c =”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要2．（2023·四川泸州·一模）已知命题:R p x ∀∈，2212x x +>，命题0:R q x ∃∈，0ln 2x =-，则下列命题是真命题的为（）A ．()p q⌝∧B ．p q∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝3．（2024·全国·模拟预测）已知向量(1,2)a = ，(2,)b x = ，则“()()a b a b +⊥- ”是“1x =”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024·四川成都·模拟预测）设公差不为0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，当0n n >时，0n S <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题5．（2021·辽宁·模拟预测）已知命题p ：0x ∃∈R ，200440ax x --=，若p 为真命题，则a 的值可以为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．36．（2021·江苏·一模）下列选项中，关于x 的不等式()2120ax a x +-->有实数解的充分不必要条件的有（）A ．0a =B ．3a ≥-+C ．0a >D ．3a ≤--7．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A ．1x <B ．20.50.5log log x x >C ．233x x<D ．()()11x x x x -=-三、填空题8．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）若命题“0a ∃<，1a b a+>”是假命题，则实数b 的取值范围为．9．（2024·辽宁大连·一模）“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ．10．（2022·全国·模拟预测）已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数a 的一个值.四、解答题11．（2023·河南南阳·模拟预测）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足2680x x -+≤．(1)若1a =，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．12．（2023·重庆酉阳·一模）命题p ：任意x ∈R ，2230x mx m -->成立；命题q ：存在x ∈R ，2x +410mx +<成立.(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p 和q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.参考答案：1．A【分析】利用圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12，等价于()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.【详解】因为圆C ：221x y +=的圆心()0,0O ，半径为1r =，当圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12时，则()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，12=，解得c =当2c =时，由上可知()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，此时圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12，即充分性成立；所以“2c =”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12”的充分不必要条件.故选：A.2．A【分析】判断两个命题的真假后逐项分析即可【详解】1x =时2212x x+=，故p 假20e x -=时0ln 2x =-，故q 真故()p q ⌝∧为真故选：A【分析】利用向量数量积的坐标表示，结合充分性和必要性的定义求解即可.【详解】由题意，得(3,2)a b x +=+ ，()1,2a b x -=-- ，若()()a b a b +⊥- ，则()()0a b a b +⋅-= ，即2340x -+-=，解得1x =±，所以“1x =”推得出“()()a b a b +⊥- ”，即必要性成立，但“()()a b a b +⊥- ”推不出“1x =”，即充分性不成立，所以“()()a b a b +⊥- ”是“1x =”的必要不充分条件．故选：B ．4．C【分析】根据等差数列的通项以及前n 项和的函数性质，即可结合充要条件的定义求解.【详解】因为{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，若“{}n a 为递减数列”，可得{}n a 的通项公式为一次函数且一次性系数小于0，一定存在正整数0n ，当0n n '>时,有0n a <，故存在0n ，当0n 远远大于0n '时，0n n >时，此时0n S <，故充分性成立，若存在正整数0n ，当0n n >时，21022n d d S n a n ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭+，故二次函数开口向下，因此0d <，故{}n a 为递减数列，故必要性成立.故选：C ．5．BCD【分析】将条件转化为对应方程有根问题，分0a =和0a ≠两种情况，进行求解即可．【详解】命题p ：0x ∃∈R ，200440ax x --=，p 为真命题，即2440ax x --=有根，当0a =时，=1x -成立，当0a ≠时，需满足2(4)4(4)0a ∆=--⨯⋅-≥，解得1a ≥-且0a ≠，a ∴的取值范围为[1,)-+∞，故选：BCD ．【分析】先找其充要条件，然后取它的子集.【详解】0a ≥时必有解，当a<0时，()21803a a a ∆=-+>⇒<--或30a -+<，故AC 符合题意.故选：AC7．BC【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10x x ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC8．[)2,-+∞【分析】将问题转化命题“0a ∀<，1a b a +≤”是真命题求解.【详解】解：因为命题“0a ∃<，1a b a +>”是假命题，所以命题“0a ∀<，1a b a +≤”是真命题，又当0a <时，112a a a a ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭，当且仅当1a a-=-，即1a =-时等号成立，所以max 12a a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2b ≥-，所以实数b 的取值范围为[)2,-+∞，故答案为：[)2,-+∞.9．0【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.10．2【分析】先解出2560x x -+<的解集，然后根据必要不充分条件判断两集合的包含关系即可求解.【详解】由2560x x -+<，得23x <<,令{}|321A x a x a =-<<-，{}23|B x x =<<，“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，B A ∴.32132213a a a a -<-⎧⎪∴-≤⎨⎪-≥⎩（等号不同时成立），解得25a ≤≤，故整数a 的值可以为2,3,4,5.故答案为：2,3,4,5中任何一个均可.11．(1)[)2,3；(2)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据一元二次不等式求解p ，q 为真命题时的范围，即可求解，（2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解.【详解】（1）当1a =时，由22430x ax a -+<，得2430x x -+<，解得13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是()1,3由2680x x -+≤，解得24x ≤≤，即q 为真命题时，实数x 的取值范围是[]2,4．所以若p ，q 均为真命题，则实数x 的取值范围为[)2,3．（2）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，因为0a >，所以3a a <，故p ：3a x a <<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，所以234a a <⎧⎨>⎩，解可得423a <<．故实数a 的取值范围是4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭。

专题02 简易逻辑(理科专用)(讲)(原卷版)

专题02 简易逻辑（理科专用）（讲）1．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面3．【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r与AC uuu r 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件一、考向分析：二、考向讲解考查内容解题技巧四种命题1、判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p ，则q ”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定． (2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：简易逻辑命题及其关系逻辑联结词全称（特称）命题充分必要条件①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．充分必要条件1、充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．2、根据充分、必要条件求参数的思路方法根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．逻辑联结词1、判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．(2)判断命题真假的步骤2、根据复合命题真假求参数的步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．全称（特称）命题1、对全(特)称命题进行否定的方法全(特)称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时：(1)改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2、全(特)称命题真假的判断方法(1)全称命题真假的判断方法考查四种命题：【例1】命题“若x 2＋y 2＝0，x ，y ∈R ，则x ＝y ＝0”的逆否命题是( )A ．若x ≠y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2＝0B ．若x ＝y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0C ．若x ≠0且y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0D ．若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0【例2】给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0考查充分必要条件【例1】【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考数学】若1a >，则“y x a a >”是“log log a a x y >”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例2】已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1]考查逻辑联结词：【例1】若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．p ⌝ 是真命题D ．q ⌝是真命题【例2】设命题p ：f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围为________．考查全称（特称）命题：【例1】下列命题中为假命题的是( )A ．∀x ∈R ，e x >0B ．∀x ∈N ，x 2>0C ．∃x 0∈R ，ln x 0<1D ．∃x 0∈N *，sinπx 02＝1 【例2】若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．(－1,3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)讲方法充分条件与必要条件判定的三种方法 1．定义法：(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒/q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若p ⇒/q 且q ⇒/p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．2．利用集合间的包含关系判断：记条件p ，q 对应的集合分别是A ，B ，则(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；(2)若A ≠⊂B ，则p 是q 的充分不必要条件，或q 是p 的必要不充分条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；(4)若A ⊆/B ，且A ⊇/B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．3．等价法：利用p ⇒q 与⌝q ⇒⌝p ，q ⇒p 与⌝p ⇒⌝q ，p ⇔q 与⌝q ⇔⌝p 的等价关系．【例1】【天津市第一中学2019届高三下学期第月考】设x ∈R ，则“31x <”是“1122x -<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例2】【河南省郑州市2019届高三第三次质检】“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件。

高三数学寒假作业专题02简易逻辑及其应用练含解析

（寒假总动员）高三数学寒假作业专题02 简易逻辑及其应用（练）（含解析）一．选择题1 ．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否认为（）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <2 ．设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则（）A ．:,2p x A xB ⌝∃∈∈ B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈C ． :,2p x A x B ⌝∃∈∉D ． :,2p x A x B ⌝∀∉∉3 .“1<x<2”是“x<2”成立的______ （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题解析：由2()0a b a -<可得a b <且0a ≠.所以充分性成立，必要性不成立.故选A.考点：1.二次不等式的解法.2.充分必要性5.给定两个命题q p ,,p q ⌝是的必要而不充分条件,则p q ⌝是（）A ．充分而不必要条B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6. 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x2＋2a x ＋2－a ＝0”．若命题“⌝p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围为________．7．下列四项中，p 是q 的必要不充分条件的是________(填序号)．①p ：a ＋c>b ＋d ，q ：a >b 且c>d ；②p ：a >1，b>1，q ：f(x)＝a x －b(a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限；③p ：x ＝1，q ：x2＝x ；④p ：a >1，q ：f(x)＝logax(a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数．三．解答题8.求实数m 的取值组成的集合M ，使当M m ∈时，“q p 或”为真，“q p 且”为假．其中:p 方程012=+-mx x 有两个不相等的负根；:q 方程01)2(442=+-+x m x 无实数根．。

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专题02 简易逻辑（理科专用）（练）1. 【2019年高考北京】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当0b =时，()cos =f x x ，()f x 为偶函数；则()()f x f x -=对任意的x 恒成立，由()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，得cos sin cos sin x b x x b x +=-，则sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.故“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件.【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.3．【2019年高考天津文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由|1|1x -<可得02x <<，易知由05x <<推不出02x <<，由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“05x <<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围.4．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.练方法1．l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.2．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。

它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积恒相等，那么体积相等。

设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据祖暅原理，“A，B 在等高处的截面面积恒相等”是“A，B 的体积相等”的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A 。

3．设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】结合韦恩图(图略)可知，A∩B＝A ，得A ⊆B ，反之，若A ⊆B ，即集合A 为集合B 的子集，故A∩B＝A ，故“A∩B＝A”是“A ⊆B”的充要条件，选C.4．设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为y ＝l og 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0，log 2a >log 2b >log 21＝0，所以“a>b>1”是“log 2a >log 2b >0”的充要条件．5. “对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin 2x>0.任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，ksin xcos x<x ，等价于任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k<2x sin 2x .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，0<2x<π，设t ＝2x ，则0<t<π.设f(t)＝t －sin t ，则f ′(t )＝1－cos t>0，所以f(t)＝t －sin t 在(0，π)上单调递增，所以f(t)>0，所以t>sin t>0，即tsin t >1，所以k≤1.所以任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，k<2x sin 2x ，等价于k ≤1.因为k≤1⇒/k<1，但k≤1⇐k<1，所以“对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，ksin xcos x<x”是“k<1”的必要而不充分条件，故选B.1. 【云南省玉溪市第一中学2019届高三上学期第二次调研考试数学】命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A ．2000,10x x x ∃∈++≥RB ．2000,10x x x ∃∈++≤RC ．2000,10x x x ∀∈++≥R D ．2000,10x x x ∀∉++≥R【答案】C【解析】由题意得原命题的否定为2000,10x x x ∀∈++≥R .故选C.【名师点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.2. 【北京市人大附中2019年高考信息卷】设a ，b 为非零向量，则“a ∥b ”是“a 与b 方向相同”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为a ，b 为非零向量，所以a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反，因此“a ∥b ”是“a 与b 方向相同”的必要而不充分条件.故选B ．【名师点睛】本题考查充要条件和必要条件的判断，属基础题. 3．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】设是空间两条直线，则“不平行”是“是异面直线”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由是异面直线⇒不平行．反之，若直线不平行，也可能相交，不一定是异面直线．所以“不平行”是“是异面直线”的必要不充分条件．故选B ．【名师点睛】本题考查了异面直线的性质、充分必要条件的判定方法，属于基础题． 4．【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测】“33k =”是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切，21,1k =+则33k =±.所以“33k =”是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模)数学】已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若139,,a a a 成等比数列，则2319a a a =，即2111(2)(8)a d a a d +=+，变形可得1a d =，则“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的充分条件；若1a d =，则3123a a d d =+=，9189a a d d =+=，则有2319a a a =，则“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的必要条件. 综合可得：“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的充要条件. 故选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的性质，充分必要条件的定义与判断，属于基础题． 6．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．【答案】(3,)+∞【解析】因为“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >，故答案为(3,)+∞.【名师点睛】本题考查根据必要不充分条件求参数的值，由题意得到(),m +∞是()3,+∞的真子集是解答的关键，属于基础题.7．【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测数学】设为两个不同平面，直线，则“”是“”的__________条件.【答案】充分不必要【解析】根据题意，α，β表示两个不同的平面，直线m α⊂，当α∥β时，根据面面平行的性质定理可知，α中任何一条直线都平行于另一个平面，得，所以α∥β；当且m α⊂时，α∥β或α与β相交，所以“”是“”的充分不必要条件．故答案为充分不必要．【名师点睛】本题主要考查了面面平行的性质定理，面面的位置关系，充分条件和必要条件定义的理解，属于基础题．8．【安徽省江淮十校2019届高三第三次联考数学】若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】因为命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，即不等式对恒成立，又在上为增函数，所以，即.故实数的取值范围是：.【名师点睛】本题考查命题否定的真假以及不等式恒成立问题，考查基本分析能力和转化求解能力，属中档题.。