浙江省2018届高考考试逐类透析平面向量
高三数学-2018年全国各地高考试题分类解析(平面向量),
2018年全国高考数学试题分类汇编——平面向量1.（全国卷Ⅰ理第15题）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =2. （全国卷I 文第12题）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（ ）（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点3.(湖南卷文第9题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．（全国卷Ⅱ理第8题，文第9题）已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,CE BC =等于（ ）A ．2B ．21 C ．－3 D ．－315．（全国卷Ⅱ理第10题，文第11题）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为 A ．（－2，4） B ．（－30，25） C ．（10，－5） D ．（5，－10）6. （全国卷III 理第14题，文第14题）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____. 7．（浙江卷理第10题）已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则（ ） (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )8．（浙江卷文第8题）已知向量a ＝(x －5，3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( ) (A) {2，3} (B) {－1，6} (C) {2} (D) {6}9.（北京卷理第3题，文第4题）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°10.（广东卷第12题）已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b ，则x 为_________．11.[ 湖北卷理第13题，文第3题（选择题） ]已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，则k 的取值范围是 12．（重庆卷理第4题）已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量AC 与的夹角为（ ）A ．54arccos2-πB ．54arccos C ．)54arccos(-D ．－)54arccos(-13．（重庆卷文第4题）设向量a =（－1，2），b =（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于 （ ） A ．（1，1） B ．（－4，－4） C ．－4 D ．（－2，－2）14.（福建卷理第3题）在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是 （ ）A ．5B ．－5C ．23D ．23-15．（福建卷文第14题）在△ABC 中，∠A=90°，k AC k AB 则),3,2(),1,(==的值是 .16.（山东卷理第7题，文第8题）已知向量,a b ，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） （A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D17.（江苏卷第18题）在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+∙的最小值是________。
专题12 平面向量 2018年高考数学二轮透析23题对对碰 Word版含解析
2018届透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第一篇主题12 平面向量【主题考法】本热点考查形式为择题或填空题，主要考查平面向量的概念与向量的线性运算、平面向量基本定理与平面向量的数量积的概念、运算法则及性质，考查利用平面向量的知识计算向量的夹角、长度及最值或范围问题，考查分运算求解能力、数形结合思想，以向量为工具和载体与其他知识交汇命题的也是命题的一个方向，难度为基础题或中档题，分值为5分. 【主题考前回扣】 1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 3．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2. 5．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 6．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 7.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.【易错点提醒】1.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行． 2．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．3.注意向量的数量积不满足消去率和结合律4.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系. 【主题考向】考向一 平面向量的概念与线性运算【解决法宝】1．对平面向量的线性运算问题，若已知向量的坐标或易建立坐标系，常用坐标法，否则利用三角形法则和平行四边形法则处理向量的线性运算，一般地，共起点的向量利用平行四边形法则，差用三角形法则.当M 是BC 的中点，AM =)(21AC AB +应作为公式记住. 2．对向量共线问题，要熟记平面向量共线的充要条件，①b a //（0≠a ）⇔存在唯一实数λ，使得a b λ=；②已知),(11y x a =，),(22y x b =，则b a //⇔01221=-y x y x ，处理选择合适的方法.例1【西北师大附中2018届二模】已知向量()2,1a =, (),1b x =，若a b +与a b -共线,则实数x 的值是（ ）A. 2-B. ２C. 2±D. ４【分析】求出向量a b +与a b -的坐标，利用向量共线的充要条件的坐标形式列出关于x 的方程，即可求出x 的值.【解析】由()2,1a =， (),1b x =，则()2,2a b x +=+， ()2,0a b x -=-， 因为a b +与a b -共线，所以()()2022x x +⨯=-，解得2x =，故选B ． 考向二 平面向量基本定理【解决法宝】平面向量的线性表示，常选择已知不共线的向量为基底，常从未知向量开始，逐步构造三角形，最终用已知向量表示出来，即直接法；也可用待定系数法，即所要表示的向量用基底表示出来，用两种不同逐步构造三角形的方法所要表示的向量表示出来，再利用平面向量基本定理即可列出关于参数的方程，解出参数，即可所要表示向量的表示形式，其中回路法是解题的常用方法，回路即向量从一点出发，通过一个的图形又回到起点的那个通路，构成一个回路.回路法的关键是利用条件，将我们关心的两个向量列成比例式，关联题设条件，最后将向量分解成共线形式，问题迎刃而解.例2 【陕西榆林市2018届一模】已知AB 与AC的夹角为90°，()2,1,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈ ，且0AM BC = ，则λμ的值为 ．【分析】建立直角坐标系，用坐标法及0AM BC = 列出关于μλ,的方程，解出μλ,的值，即可求出λμ的值.例3【山东省菏泽市2018届一模】已知在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD=3DC ，点E 为AD 的中点，，则=_________.【答分析】通过构造三角形，利用向量加法的三角形法则逐步将未知向量用已知向量表示出来. 【解析】如图：.又，所以，所以.又因为与不共线，所以，，所以.考向三 平面向量的数量积【解决法宝】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量b 在向量a 方向上的投影有两种思路：思路1，用|b |cos θ计算;思路2，利用∙a b|a |计算. 3.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算. 4.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出的形式：可以用定义式，也可以用坐标式.5.对于长度问题，可以用向量的模来处理，若向量a 是非坐标形式，用==∙22|a |a a a 求模长；若给出向量a 的坐标，则用|a |=2211x y +来求解.例4【安徽黄山市一高2018届一模】若非零向量,a b满足223a b = ,且()()32a b a b -⊥+ ,则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【分析】利用向量垂直的充要条件，计算出a 与b 的数量积与a 、b模的关系，再利用向量夹角公式，即可求出向量a 与b的夹角.【解析】()()()()22223232=03203a b a b a b a b a b a b a b b -⊥+⇒-⋅+⇒--⋅=⇒⋅=r r r r r r r r r r r r r r r所以22223cos ,,.2422||||3b a b a b a b a b b π⋅<>===⇒<>=r r r r r r r r r r 选A. 考向四 向量与其他知识的交汇【解题法宝】对向量与其他知识结合的综合问题，有两种思路，思路1:需要将题中以向量形式给出的条件利用相关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量的相关知识，转化为向量问题去处理.例5【山东省聊城市2018届一模】在ABC ∆中， BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1【分析】以BC 边的中点为原点，BC 上的中线为y 轴建立坐标系，设P(x,y)，将PA PB PA PC ⋅+⋅用x,y 表示出来，再求出其范围.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则()0,2A ．设点P 的坐标为(),x y ，则()(),2,,PA x y PO x y =--=--，故()()22222PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y⋅+⋅=⋅+=⋅=+-()222122x y ⎡⎤=+--≥-⎣⎦，当且仅当0,1x y ==时等号成立． 所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为2-．选C ． 【主题集训】1.【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届三模】在ABC ∆中，若4AB AC AP += ，则CP＝（ ）A. 3144AB AC -B. 3144AB AC -+C. 1344AB AC -D. 1344AB AC -+【答案】C【解析】由题意得4AB AC AP += =()4AB CP + ，解得CP ＝1344AB AC -，选C.2. 【河北省衡水中学2018届七调】已知向量()2,3a =， ()1,2b =- ，若ma b + 与2a b - 垂直，则实数m 的值为（ ）A. 65-B. 65C. 910D. 910- 【答案】B。
浙江2018年高考数学二轮专题复习 第一部分 专题二 第三讲 平面向量
1向量运算形式多样，其中利用几何意义是重要的一种形 式，解题需要一定的灵活性，如果可以建立坐标系，则向量运算
问题可以转化为实数运算问题. 2向量等式两边平方也是向量运算常用的方法之一，根据向
量性质 a2＝|a|2，将向量运算问题转化为实数运算问题.
三、预测押题不能少
1．(1)已知 P 是△ABC 所在平面内一点，若―A→P ＝34―B→C －23―B→A ，
＝－3＋313λ－23＋23λ×4＝131λ－5＝－4，解得 λ＝131.
法二：以点 A 为坐标原点，―A→B 的方向为 x 轴正方向，
建立平面直角坐标系，不妨假设点 C 在第一象限，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则 A(0,0)，B(3,0)，C(1， 3)．
由―B→D ＝2―D→C ，得 D53，233， 由―A→E ＝λ―A→C －―A→B ，得 E(λ－3， 3λ)，
―→ ·CA
＝|
―→ OB
―→ |·| CA
|cos∠
AOB<0，∴I1<I2， 同理得，I2>I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，
∴OB<BG＝GD<OD，而OA<AF＝FC<OC，
∴|―O→A |·|―O→B |<|―O→C |·|―O→D |，而cos∠AOB＝cos∠COD<0，
∴―O→A ·―O→B >―O→C ·―O→D ，即I1>I3，∴I3<I1<I2. [答案] C
二、经典例题领悟好
[例2] (1)(2017·浙江高考)如图，已知平面四
边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝
3，AC与BD交于点O.记I1＝
―→ OA
浙江版2018年高考数学一轮复习专题5.2平面向量基本定理及坐标表示讲
第02节 平面向量基本定理及坐标表示【考纲解读】【知识清单】1．平面向量基本定理及其应用 平面向量基本定理如果12e e ，是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a，有且只有一对实数12λλ，，使1122a e e λλ=+.其中，不共线的向量12e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 对点练习：向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ-＝________．【答案】32-2．平面向量的坐标运算 1. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a x y i j ＝＋，这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标． (2)若1122()()A x y B x y ，，，，则2121()A x x y y B ＝－，－． 3．平面向量的坐标运算(1)若1122()()a x y b x y ==，，，，则1212()a b x x y y ±=±±，； (2)若()a x y ＝，，则()a x y λλλ＝，． (3)设1122()()A x yB x y ，，，，则2121()A x x y y B ＝－，－，221221|()A x x y B y ＝－(－|)对点练习：【2017湖南郴州一测】ABCD Y 中，(1,2)AB =u u u r ，(1,4)AD =-u u u r，则AC =u u u r （ ）A ．(3,3)-B ．(2,2)- C. (2,2)- D ．(0,6) 【答案】D【解析】试题分析：AC =u u u r (0,6)AB AD +=u u u r u u u r,故选D.3．平面向量共线的坐标表示 向量共线的充要条件的坐标表示若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 对点练习：【2017广西名校摸底】已知函数322+=-x y 的图象是由函数x y 2=的图象按向量a 平移而得到的，又b a ∥，则=b （ ）A ．)3,2(--B ．)2,3(-C ．)3,2(-D ．)2,3( 【答案】A【考点深度剖析】平面向量基本定理及坐标表示，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【重点难点突破】考点1 平面向量基本定理及其应用【2017·杭州测试】 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.【答案】OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b.【解析】∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b.【领悟技法】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．2.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底12e e ，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 【触类旁通】【变式一】如图，已知AP uuu r ＝43AB uuu r ，用OA uu u r ，OB uuu r 表示OP uuu r ，则OP uuu r等于( )A.13OA uu u r －43OB uuu rB.13OA uu u r ＋43OB uuu rC.－13OA uu u r ＋43OB uuu rD.－13OA uu ur －43OB uuu r 【答案】C【解析】OP uuu r ＝OA uu u r ＋AP uuu r ＝OA uu u r ＋43AB uuu r ＝OA uu u r ＋43 (OB uuu r －OA uu u r )＝－13OA uu ur ＋43OB uuu r ，选C.考点2 平面向量的坐标运算【2-1】已知向量()()()1,3,1,2,2,4AB BC AD =-=--=u u u r u u u r u u u r，则CD =u u u r （ ）A ．()4,1-B ．()0,9C ．()2,1-D ．()2,9 【答案】D【2-2】已知向量(,),(1,2)a x y b ==-r r ，且(1,3)a b +=r r ，则|2|a b -r r等于（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5 【答案】D 【解析】因(1,3)a b +=r r ,(1,2)b =-r ,故(2,1)a =r ,所以2(4,3)a b -=-r r,故22|2|435a b -=+=r r ,故应选D. 【领悟技法】注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息． 【触类旁通】【变式一】已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =r ，所以2(4,8)(1,1)a b -=--r r=()5,7，故选A.【变式二】【2017河北武邑三调】在矩形ABCD 中，()()1,3,,2AB AC k =-=-u u u r u u u r，则实数k =（ ）A ．5-B ．4- C. 23D ．4 【答案】D【解析】(1,1)1304CB AB AC k AB CB k k =-=--⇒•=-+=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选D.考点3 平面向量共线的坐标表示【3-1】向量()1,tan cos ,1,3a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭r r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．13C ．23-D ．223-【答案】A【3-2】设向量a r =()21x ,-，b r =()14x ,+，则“3x =”是“a r //b r”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当3x =时，()2,2a =r ，()4,4b =r ，此时//a b r r ；当//a b r r时，()()11248x x -+=⨯=，解得3x =±.所以“3x =”是“//a b r r”的充分而不必要条件.【领悟技法】1.向量共线的充要条件有两种： （1）a b ∥⇔(0)a b b λ≠=.（2）若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便. 2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等. 【触类旁通】【变式一】已知向量()()2,3,cos ,sin a b θθ==v v ，且//a b v v，则tan θ=（ ） A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 【答案】A 【解析】由//a b v v ，可知2sin 3cos 0θθ-=，解得tan θ=32，故选A.【变式二】已知向量=（2，2），=（cosα，﹣sinα），则向量的模的最小值是（ ） A ．3 B ．3 C ．D ．2 【答案】C 【解析】考点4 平面向量共线的应用【4-1】设(1,2)OA =-u u u r ，(,1)OB a =-u u u r ，(,0)OC b =-u u u r，0,0a b >>，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D 【解析】(1,1)AB a =-u u u r ，(,1)BC b a =--u u u r，若A 、B 、C 三点共线，//AB BC u u u r u u u r ，由向量共线定理得()()111a b a -⨯=⨯--，21a b ∴+=，故()12124244248b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭． 【4-2】如图，在△ABC 中, 13AN NC =u u u r u u u r,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m的值为( )A ．1B ．31C ．19D ．3 【答案】C【课本回眸】向量共线的充要条件有两种： （1）a b ∥⇔(0)a b b λ≠=.（2）若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 【领悟技法】当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件（2）解题较为方便. 【触类旁通】【变式一】设两个向量()222,cos ,,sin 2μλλθμθ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭a b ，其中,,R λμθ∈．若2=a b ，则λμ的最小值为______． 【答案】6- 【解析】值为值为6-.【变式二】【2017山西大学附中二模】在直角梯形,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===分别为,AB AC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+u u u v u u u v u u u v ，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是___________．【答案】[]1,1-2sin cos 24πλμθθθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，,444πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦[]21,14πθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.【易错试题常警惕】易错典例：如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC ．易错分析：不能结合图形特征，灵活建立直角坐标系，将向量用坐标表示，将问题转化成三角问题求解．正确解析：以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD 的边长为1，则1E 0C 11D 01A 002（，），（，），（，），（，）． 设P cos sin (1,1)AC θθ∴=u u u r （，）， .又向量,AP DE AC μλ+=由题意得 00cos 10sin 12πθθθ≤≤∴≤≤≤≤，，，∴当cos 1θ=时，同时，sin 0θ=时，λμ+取最小值为21. 温馨提醒：涉及几何图形问题，要注意分析图形特征，利用已有的垂直关系，建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，利用向量共线的充要条件，应用函数方程思想解题.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
2018届浙江省高考试题逐类透析――简单的线性规划#精选.
五、不等式（二）简单的线性规划一、高考考什么？[考试说明]3．了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题。
[知识梳理]1.步骤：（1）作出可行区域；（2）确定最优解（一般在端点）2.常见的几何意义[全面解读]线性规划问题应该抓住两个前提，一个是简单，一个是线性，因此线性规划问题注定不会很难，但线性规划问题又是高考的必考内容，掌握基本题型和一些表达式的几何意义是必须的。
[难度系数] ★★☆☆☆二、高考怎么考？[原题解析][2004年]（5）设z x y =-,式中变量x 和y 满足条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩， 则z 的最小值为( ) A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3[2005年]（7）设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面 区域(不含边界的阴影部分)是( )[2006年]（4）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）A ．2．4 C ．2 D ．2[2007年]（17）设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是 ．[2008年]（17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于___________。
[2009年]（13）若实数x ，y 满足不等式组224230x y x y x y x y +≥⎧⎪-≤+⎨⎪-≥⎩，，则，的最小值是__________.[2010年]（7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2[2011年]（5）设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值为（ ）A ．14B ．16C ．17D ．19[2013年]（13）设y kx z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ，若z 的最大值为12，则实数=k ________。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)
二、填空
1．（2018 北京文）设向量 a 1,0 ， b 1, m ，若 a ma b ，则 m _________．
1．【答案】 1
【解析】 Q a 1,0 ， b 1,m ，ma b m,0 1,m m 1, m ， 由 a ma b 得， a ma b 0 ，a ma b m 1 0 ，即 m 1．
21
(A)
16
3
25
(B)
(C)
2
16
(D) 3
3．【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则
A
0,
1 2
，
B
3 2
,
0
，
C
0,
3 2
，
D
3 2
,
0
，
点
E
在
CD
上，则
DE
DC
0
1
，设
E
x,
y
，则：
x
3 2
,
y
3 2
,
3 2
，即
x
3 2
y
3 2
3 2
，
据此可得 E
解则答b 2：设4ee
(1, b3
0)
，b 0
x
(
2
x,
y) y2
，
4x
3
0
(x 2)2
y2
1
如图所示， a
OA， b
OB ，（其中
A 为射线 OA 上动点， B 为圆 C 上动点， AOx
.）
3
∴ a b CD 1 3 1.（其中 CD OA .）
min
2．（2018 天津文）在如图的平面图形中，
2018年全国高考文科数学分类汇编----平面向量
2018年全国高考文科数学分类汇编——平面向量1.（浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）AA．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣【解答】解：由﹣4•+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．2. （天津）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）CA．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【解答】解：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，知=﹣=3﹣3=﹣3+3，∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6．故选：C．3. （上海）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （2，0），E 、F 是y 轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为 ﹣3 ． 【解答】解：根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴； ∴a=b +2，或b=a +2； 且； ∴； 当a=b +2时，； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为； ∴的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．4. （全国3卷）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b ，则λ=________．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），∴=（4，2）， ∵=（1，λ），∥（2+），∴，解得λ=．故答案为：．5. （全国2卷）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（ ）B A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B ． 6. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ）AA ．﹣B ．﹣C ．+D ．+【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，=﹣=﹣ =﹣×（+）=﹣，故选：A ．7.（江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．8. （北京）设向量=（1，0），=（﹣1，m）．若⊥（m﹣），则m=﹣1．【解答】解：向量=（1，0），=（﹣1，m）．m﹣=（m+1，﹣m）．∵⊥（m﹣），∴m+1=0，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．。
2018年高考浙江卷第9题(平面向量)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析
2018年高考浙江卷第9题(平面向量)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word 版含解析一、典例分析，融合贯通典例1.【2018年高考浙江卷第9题】已知,,a b e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是 A ．3−1 B ．3+1C ．2D ．2−3解法一：【答案】A 【解析】∵222430,441b e b b e b e -⋅+=-⋅+=即：，2(2)1b e ∴-=， 以e 的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标，如图yxaO1EBABA 的最小值为31-，即的最小值为31-。
终点在以F 为圆心，F 到a 终边所在直线距离为3min3 1.a b∴-=-点评：运用向量的乘法运算，联系2(2)1b e -=的几何意义，建立坐标系，转化为点到直线的距离问题。
解法二：点评： 将向量坐标化，数量化转换为方程，联系方程的几何意义，化为点到直线的距离问题。
链接【2017高考新课标2理12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点， 则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2- B ．32- C ．43- D ．1- 解法一：（几何法）：如图所示，2PB PC PD +=（D 为BC 中点），则()2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上，则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值，又3232PA PD AD +==⨯=， 则2233224PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，则min 332242PD PA ⋅=-⨯=-．故选B ． 点评：利用向量运算的几何意义，进行构图，再运用图象的几何特征和基本不等式求出最值。
解法二：（解析法）：如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立 平面直角坐标系，则()0,3A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),P x y ，点评： 将向量坐标化，数量化转换为代数式，再运用配方法，求出最小值。
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浙江省2018届高考考试逐类透析平面向量————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：六、平面向量一、高考考什么？[考试说明]1． 理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念。
2． 掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义。
3． 理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。
4． 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
5． 掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算。
6． 理解平面向量数量积的概念及其几何意义。
7． 掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。
8． 会用坐标表示平面向量的平行与垂直。
9． 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
[知识梳理]1．两非零向量平行(共线)的充要条件：12210x y x y ⇔-=两个非零向量垂直的充要条件：2．向量中三终点共线 存在实数使得：且3．向量的数量积：，，注意：为锐角且不同向 //a b a b λ⇔=r r r r0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-r r r r r r r r12120x x y y ⇔+= PAPB PC u u u r u u u r u u u r 、、A B C 、、⇔αβ、PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r1αβ+=22||()a a a a ==⋅r r r r ,a b <>r r⇔0a b ⋅>r r a b r r 、为直角且为钝角且不反向4．向量的模：222222||,||a x y a a x y=+==+r r r5．向量的绝对值不等式：6．向量中一些常用的结论：（1）中点向量公式：为的中点（2）中，过边中点（3）（4）为的重心（5）为的重心（6）为的垂心（7）所在直线过的内心（8）极化恒等式：在ABC∆中，D为BC的中点，则221||||4AB AC AD BC⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r二、高考怎么考？[全面解读]向量具有鲜明的代数特性和几何特性，是数形结合的完美体现，而且向量也是理想的数学工具，是数学的“万金油”，在三角函数、解析几何、立体几何中均有运用。
从考试说明和历年高考试题来看，向量需要掌握的是加减运算及其几何意义，平面向量的基本定理，向量的坐标运算及其数量积。
从考题来看，知识点较综合，强调模、数量积、坐标运算等向量固有的知识，对向量几何模型的研究比较透彻！,a b<>r r⇔0a b⋅=r ra b≠r r r、,a b<>r r⇔0a b⋅<r ra br r、||||||||||||a b a b a b-≤±≤+r r r r r r12P PABC∆AB AC+u u u r u u u rBC⇔G ABC∆PA PB PC P++=⇔u u u r u u u r u u u r rABC∆PA PB PB PC PC PA P⋅=⋅=⋅⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rABC∆ABC∆难度系数：★★★★☆[原题解析] [2004年]（14）已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB u u u r |=3, ||BC u u u r =4, |CA u u u r|=5，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的值等于________.[2005年]（10）已知向量a r ≠e r ，|e r |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a r －t e r |≥|a r －e r|，则（ ）A ．a r ⊥e rB ．a r ⊥(a r －e r )C ．e r ⊥(a r －e r )D ．(a r ＋e r )⊥(a r －e r)[2006年]（13）设向量c b a ,,满足0=++c b a , c b a ⊥-)( , b a ⊥，若1||=a ,则222||||||c b a ++的值是[2007年]（7）若非零向量r r ，a b 满足+=r r ra b b ，则（ ） A ．2>2+r r ra ab B ．2<2+r r ra ab C ．2>+2r r r b a bD ．2<+2r r rb a b[2008年]（9）已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r,则c r的最大值是( )A ．1B ．2C ．2D ．22[2009年]（7）设向量b a ,满足||a r =3,||b r=4, 0=⋅b a .以b a b a -,,的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [2010年]（16）已知平面向量,αβu r u r (0,)ααβ≠≠u r u r u r 满足1β=u r ，且αu r 与βα-u r u r的夹角为120°，则αu r 的取值范围是__________________ . [2011年]（15）若平面向量,αβu r u r 满足1,||1=≤u r u r αβ，且以向量,αβu r u r为邻边的平行四边形的面积为12，则αu r 和βu r 的夹角θ的取值范围是 。
[2012年](5) 设,a b r r是两个非零向量( )A ．若||||||a b a b +=-r r r r ，则a b ⊥r rB ．若a b ⊥r r ，则||||||a b a b +=-r r r rC ．若||||||a b a b +=-r r r r，则存在实数λ，使得b a λ=r r D ．若存在实数λ，使得b a λ=r r ，则||||||a b a b +=-r r r r（15）在△ABC 中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=u u u r u u u r[2013年](7)设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00•≥•.则（ ）A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC =(17)设21,e e 为单位向量，非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21，若21,e e 的夹角为6π，则||||b x 的最大值等于________。
[2014年](8)记,max{,},x x yx y y x y≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b r r 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+r r r r r rD. 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+r r r r r r[2015年]（15）已知12,e e r r 是空间单位向量，1212e e ⋅=r r ，若空间向量b r 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=r r r r ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈r u r u u r r u r u u r u u u u r，则0x = ，0y = ，b =r．[2016年]（15）已知向量b a ,，2,1==b a ，若对任意单位向量e ，均有||||6a e b e ⋅+⋅≤r r r r，则ba ⋅的最大值是[2017年]（15）已知向量,a b r r 满足||1,||2a b ==u u r r ，则||||a b a b ++-r r r r的最小值是 ，最大值是 ．[附：文科试题] [2004年]（4）已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan =（ ） A ．43 B ．43- C ．34 D ．34- [2005年]（8）已知向量(5,3)a x =-r ，(2,)b x =r ，且a b ⊥r r，则由x 的值构成的集合是（ ）A ．{}2,3B ．{}1,6-C ．{}2D ．{}6[2006年]（5）设向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r r ,,||1,||2a b a b ⊥==r r u u r u u r ,则2||c =u r （ ）A ．1B ．2C ．4D ．5[2007年]（9）若非零向量r r ，a b 满足-=r r ra b b ，则（ ） A ．22>-r r r b a b B ．22<-r r r b a b C ．2>-r r r a 2a b D ．2<-r r ra 2a b[2008年]（16）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足0)(=-⋅b a b ,则||b r的取值范围是 .[2009年]（5）已知a =(1,2), b =(2,-3).若向量c r满足b a c //)(+,)(b a c +⊥,则c =r （ ）A ．(79,73) B ．(-73,-79) C ．(73,79) D ．(-79,-73) [2010年]（13）已知平面向量,,1,2,(2),αβαβααβ==⊥-u r u r u r u r u r u r u r 则2a β+r u r的值是[2014年](9)设θ为两个非零向量,a b r r 的夹角，已知对任意实数t ，||b t a +⋅r r的最小值为1.A. 若θ确定，则 ||a r 唯一确定B. 若θ确定，则 ||b r唯一确定 C. 若||a r 确定，则 θ唯一确定 D. 若||b r确定，则 θ唯一确定[2015年]（13）已知1e r ，2e r 是平面单位向量，且1212e e ⋅=r r ．若平面向量b r 满足121b e b e ⋅=⋅=r r r r ，则b =r．[2016年]（15）已知平面向量b a ,，1,21a b a b ==⋅=r r r r ，，若为平面单位向量，则||||a e b e ⋅+⋅r r r re的最大值是三、不妨猜猜题？平面向量试题是高考命题者颇为得意的部分，十几年高考中研究出不少立意新、有背景的好题。