全国优质课-充分条件与必要条件教学设计

北师大版--选修2-1--第一章《常用逻辑用语》

§2 充分条件与必要条件

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§2 充分条件与必要条件

一、教学内容解析：

1. 教学内容：

“充分条件与必要条件”是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要研究命题的条件与结论之间的逻辑关系. “若p，则q”为真命题，记作p q

?.称p是q的充分条件，称q是p的必要条件.所以“p q

?”与“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”之间是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示.通过对命题真假的判断，研究命题中p与q之间的关系，所以判断充分条件与必要条件的关键是分清条件与结论，再判断命题的真假. 另外，充分条件与必要条件和集合知识的联系在丰富知识外延拓展的同时，从“形”上（韦恩图表示集合关系）帮助我们进一步理解充分条件与必要条件的内涵.

2. 知识地位：

“充分条件与必要条件”是高中北师大版《数学》选修2-1第一章《简单逻辑用语》第二节的内容. 逻辑是研究思维规律的学科，而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用.所以掌握了充分、必要条件的知识,并灵活运用它们进行推理判断，才可以说是建立起了保证数学活动顺利进行的完整的逻辑结构.为了提高这部分内容的学习质量，在“充分条件与必要条件”这节内容前, 教材安排了“命题”这一节内容作为必要的知识铺垫. 并把充分条件与必要条件安排在第一课时，第二课时学习充要条件.

在选修中学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用，对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习当中，这使得逻辑用语的教学起到了承上启下的作用．

3. 思想方法：

充分条件与必要条件的知识学习过程中，蕴含着观察、推理、归纳、总结等方法，在知识的形成与运用中，还体现了数学思维的合理性与严密性，以及数形结合、分类讨论的数学思想，这些都是数学的精髓.

4. 教学重点：

充分条件与必要条件的概念的形成及判定方法.

5. 教学难点：

必要条件的概念的理解.

二、教学目标设置：

1.通过江西鄱阳湖候鸟视频介绍地方文化，教育学生加强生态、环保意识，并由生活问题抽象到数学问题，从而感悟逻辑关系,引入新课.

2.通过“数”、“形”两个例子的设计，让学生自主探究，经历观察、发现、归纳、概括出充分条件的概念，培养学生数学抽象以及逻辑推理的能力.

3.通过电路图中开关闭合与灯泡亮的设计，让学生经历“直观感受”、“数学抽象”、“逻辑关系”、“深化理解”四个过程，突破必要条件概念的难点，培养学生的直观想象、数学抽象以及逻辑推理的能力.

4. 通过探究充分条件和必要条件与集合间的联系，让学生建立概念间的多元联系，从“形”上帮助其进一步理解充分条件与必要条件的内涵，培养学生数学抽象的能力.

5. 通过以学生为主体的数学活动的设计，让学生自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的认识，体验获取知识的感受.师生互动及时评价培养了学生敢于质疑，善于发现、提出问题的能力，养成严谨规范表达的学习习惯.

三、学生学情分析：

1．教学有利因素：

学生在初中阶段已经接触过命题、真假命题，高中教材在本节课教学之前安排了命题、命题的形式（若p则q）和四种命题的学习，以及学生日常生活中已有大量逻辑经验的积累都为本节课“充分条件与必要条件”概念的学习奠定了良好的基础.

江西师大附中高二（12）班学生基础较好，数学思维活跃，有强烈的求知欲，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.

2.教学不利因素：

“充分条件与必要条件”是密不可分的、相对的两个概念，由于概念较抽象, 与学生的原有思维习惯又有差异，导致学生不易理解，容易停留在形式上. 特别是对“必要条件”概念的理解较为困难. 此外，充分条件与必要条件是一个开放性的知识交汇点，往往涉及其它数学知识或者其它学科知识，对学生其它知识的掌握也有一定要求.

3.难点突破策略：

从“数”、“形”的两个例子自主探究，感悟到改变命题的条件（有的是增加条件，

有的是替换条件），足以使结论成立.让学生充分理解充分条件的概念，同时学会文字语言、符号语言的表达.通过电路图中开关闭合与灯泡亮的直观感知，体会到条件的不可缺少，从而感悟逻辑关系，进而加深对命题的新的表述方式的理解，突破必要条件的难点. 循序渐进，再从充分条件、必要条件与集合间的联系上，结合集合的韦恩图表示，直观、形象的理解充分条件与必要条件的概念.

四、教学策略分析：

鉴于以上分析，为达成课堂教学目标，突出重点、突破难点，本节课的设计融合人教A版的教材理念，对教材进行二次开发，实现教学资源的整合. 主要贯彻与执行以下思路：

1. 体现“教师为主导，学生为主体”的教学理念

本节课的教学，教师更多的是站在一个引路人的角度，告诉学生该向哪里走，怎么走，让他们自己去走，让学生更多的亲身体验数学的发现之美.通过独立思考、主动探究、合作交流，使学生切实学好数学知识，提高数学能力.

2. 注重对学生的思维训练

引导学生多角度的审视问题，让学生从不同角度去看待问题，分析问题，思考问题. 例如：在概念教学中，从“数”与“形”两个角度入手，通过实例让学生亲身感知充分条件概念的发生与形成过程。为了更好的理解必要条件的概念，电路图模型的设计突破了必要条件概念这一难点. 此外，通过具体问题引导学生从表达形式（符号表示与文字表示）、通俗语言的描述（有它就行和缺它不行）、不同概念间的联系（充分条件与必要条件和集合间的联系）来辅助概念教学.

3．创设生活化情境，激发学习兴趣

本节课创设丰富的生活化情境，引导学生从已有的生活经验出发，亲自经历将生活原形抽象为数学模型．让学生体验数学源于生活，又广泛应用于生活．这种生活形成的数学，缩短了数学与生活的距离，培养了学生学习数学的兴趣，这样的教学，学生就会学得主动、积极，善于发现、探索和创新．

4. 培养学生解决数学问题的能力

本节课的教学中，利用充分条件与必要条件解决问题是学生难以掌握的. 所以，先引导学生解决简单问题（例题1，例2），提炼解决问题的方法，再尝试加以运用（例3），这样可以弄清学生“会了什么”、“还有什么不会”。最后通过以学生为主体的数学活动的设计，让学生自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的理解认识，

体验获取知识的感受.

五、教学过程：

1. 课题引入：

通过江西鄱阳湖候鸟视频，定格鸟在空中飞翔，提出“鸟能飞”与“有翅膀”之间是怎么样的逻辑关系，从而引入课题.

【设计意图】感受生活中逻辑关系，从实际问题抽象到数学问题，同时介绍江西“三色”文化（红色文化、古色文化、绿色文化）之一，并且教育学生加强生态环境保护意识，体现自然生态之美.

2. 温故知新、情境导入：

回顾命题的定义、“若p，则q”命题的四种形式及其真假性的关系.

预设问题A={正方形} B={矩形} C={平形四边形}

(1) 集合间的关系？

(2) 能否构造“若p，则q”形式的命题？命题的真假性？

【设计意图】由学生自主回顾前面所学的内容，强调互为逆否命题的两个命题同真同假，通过预设问题自主构建命题的四种形式，为充分条件的学习铺垫过渡.

3. 自主探究、概念生成（一）：

通过预设两个假命题的例子，由学生自主探究不是真命题的原因，如何通过改变命题的条件，使之成为一个真命题？体现具体到抽象，特殊到一般的认知规律，从而抽象到一般性的问题，进而生成充分条件的概念：

“若p，则q”为真命题，我们就说，由p可推出q，记作p q

?.称p是q的充分条件.

?.称p不是q “若p，则q”为假命题，我们就说，由p不可以推出q，记作p q

的充分条件.

【设计意图】从数、形的两个例子自主探究，感悟到改变命题的条件（有的是增加条件，有的是替换条件），足以使结论成立.让学生充分理解充分条件的概念，同时学会文字语言、符号语言的表达.概念的否定是理解概念的重要方面，让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念. 顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程.

4.新知运用：

通过课本例题的交流和学生自主运用新知举例，加深概念的理解.

例1下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？

(1)若1x =，则2430x x -+=；

(2)若()f x x =，则()f x 在()-∞+∞，上为增函数;

(3)若x 为无理数，则2x 为无理数；

由学生多角度运用所学知识举与充分条件有关的例子.

【设计意图】通过实例分析，将新知（充分条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程. 让学生多角度举例，直观感知并深刻理解概念.

5.自主探究、概念生成（二）：

体会两个不同的电路图中开关闭合与灯泡亮的逻辑关系，强调灯泡亮与开关闭合的必然性.经历“直观感受”、 “数学抽象”、“逻辑关系”、“深化理解”四个过程， 从而生成必要条件的概念：

“若p ，则q ”为真命题，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ?.称q 是p 的必要条件.

“若p ，则q ”为假命题，我们就说，由p 不可以推出q ，记作p q ?.称q 不是p 的必要条件.

【设计意图】通过对电路图的直观感知，体会到条件的不可缺少，从而感悟逻辑关系，进而加深对命题的新的表述方式的理解，突破必要条件的难点. 概念的否定是概念理解的重要方面，让学生在直观理解的基础上给出 “必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念.

6.新知运用：

通过课本例题的交流和学生自主运用新知举例，加深概念的理解.

例2：根据下列各题中给的 p, q 中, 哪些说明q 是p 的必要条件？

(1) p : x =y , q : 22x y =

(2) p : 两个三角形全等, q : 两个三角形的面积相等

(3) p : a >b , q : ac >bc

由学生多角度运用所学知识举与必要条件有关的例子.

【设计意图】通过实例分析，将新知（必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程. 让学生多角度举例，直观感知并深刻理解概念.

A B A 、B

7.概念整合、判定步骤：

“若p ，则q ”为真命题，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ?.称p 是q 的充分条件，称q 是p 的必要条件.

“若p ，则q ”为假命题，我们就说，由p 不可以推出q ，记作p q ?.称p 不是q 的充分条件，称q 不是p 的必要条件.

通过举例，强调概念的相对性，从而体会判断充分条件、必要条件的步骤. 简记为：分清条件、构建命题、明辨真假.

【设计意图】设计先讲充分条件，再讲必要条件，其意图是：生成充分条件、突破必要条件、明确概念相对。通过具体实例，让学生自主感受如何判定充分条件和必要条件.

8.新知运用、能力提升：

通过补充例题的思考探索，加深对概念的不同表述方式的理解.

例3：设{}n a 是公比r 的等比数列, 使{}n a 为递增数列成立的一个充分条件是( )

1112.0.0,1.0,1.A r B a r C a r D a a

变式：改为必要条件呢？

【设计意图】本例的设计和应用主要目的有：（1）强调“推出”符号的方向性；

（2）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；

回顾前面内容：p:一个四边形是矩形, q :一个四边形是平行四边形

p q ?（p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件）

为讨论充分条件、必要条件与集合的联系做铺垫.

思考： 充分条件和必要条件与集合之间的联系

已知:,:p x A q x B ∈∈，且p q ?，集合A 与B 间之间有怎样的关系？

在A 中，一定在B 中：p 成立，q 一定成立；有它即可.

不在B 中，一定不在A 中：q 不成立，p 一定不成立；缺它不行.

【设计意图】从集合关系的角度帮助同学进一步理解“充分条件”和“必要条件”，

并建立两者之间的联系，在提升学生对新知识的理解的同时，还可以使得学生对数学知识的掌握达到融会贯通的效果.

9. 数学活动

通过设计一道开放性的数学问题，小组讨论，创设问题，并向另一组提出问题，进而解决问题.

数学活动：给定 p: x >a ，q: x >1. 小组讨论，编制关于充分条件，必要条件的问题。并规定：

A 组：给定a 的范围，请

B 组确定充分条件与必要条件.

B 组：给定充分条件与必要条件，请A 组确定a 的范围.

活动过程：A 组提出问题1：已知a =0，请问p 是q 的什么条件？

B 组提出问题1：已知p 是q 的充分条件，请问a 的范围？

A 组提出问题2：已知a >0，请问p 是q 的什么条件？

B 组提出问题2: 以A 组方式反问A 组：a =1时，p 是q 的什么条件？

活动形式：相互讨论、自主探究、小组发言、演板讲解

【设计意图】通过以学生为主体的数学活动的设计，让学生自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的认识，体验获取知识的感受。既帮助学生全面掌握本节课的学习内容，再次巩固所学知识和方法，为顺利进入下节课的学习打下坚实的基础，起到承前启后的作用.

10. 课堂小结、课后作业

师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：

①充分条件与必要条件的概念；

②充分条件与必要条件的判断；

③充分条件和必要条件与集合的联系.

布置作业，拓展提升所学内容.

（1）（必做题）课本第12页A 组1、2 ，B 组1；

（2）请找到高中阶段学过的数学内容中三个以上关于充分条件和必要条件的命题

（3）已知2:820p x x ≥0，22:210(0),q x x m m ?p 是?q 的必要条件，求实数m 的取值范围.

【设计意图】强化概念，以及在问题解决中推理判断的方法.通过小结，融合知

识，深化理解.布置作业，落实教材习题，强化基础，巩固目标，（2）（3）题目的是提高学生解决问题的能力，让学生了解“会了什么？”、“还存在什么问题？”使后面学习更有针对性.

11. 文化体现

我国战国时期思想家墨子对充分条件、必要条件的描述：

充分条件：“有之则必然，无之则未必不然，…”

必要条件：“无之则必不然，有之则未必然，…”

【设计意图】通过对开篇的地方文化和结尾的传统文化的了解，增强学生学习数学的兴趣和激发对民族文化的热爱，进一步加深对新知的全面认识.

六、板书设计：

七、教学设计说明：

根据新课程标准的理念,在教学中重视学生的主体地位，把学习的主动权还给学生,使学生亲自参与获取知识和技能的全过程.“充分条件与必要条件”作为高中数学的重点内容、难点内容. 教学中从“数”与“形”两个角度入手，通过实例让学生亲身感知概念的发生与形成过程，同时电路图模型的设计增强了对定义的认识与理解.然后把定义运用到具体的操作实践，学生自主探究，开展数学活动，使学生获得认识的飞跃，这样从感性到理性，又由理性到感性的交替提升，让学生感受到理论对实践的指导作用，完成思维的构建，体现认知规律.