浙教版八下二次根式题型归纳汇总
浙教版八下二次根式题型归纳总结
最新浙教版八下二次根式题型归纳总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII最新浙教版八下二次根式题型归纳总结 - 百度文库1、知识框架1. 二次根式：式子（≥0 ）叫做二次根式。
2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴ 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵ 被开方数中不含分母；⑶ 分母中不含根式。
3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：（ 1 ）（） 2 = （≥0 ）；（ 2 ）5. 二次根式的运算：（ 1 ）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， • 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（ 2 ）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（ 3 ）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．= ·（a≥0 ，b≥0 ）；（b≥0 ， a>0 ）．（ 4 ）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， • 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．三、例题讲解1 、概念与性质例 1 下列各式 1 ），其中是二次根式的是 _________ （填序号）．例 2 、求下列二次根式中字母的取值范围（1）；（ 2 ）例 3 、在根式 1) ，最简二次根式是（）A ． 1) 2)B ． 3) 4)C ． 1) 3)D ． 1) 4)例 4 、已知：例 5 、已知数 a ， b ，若=b － a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2 、二次根式的化简与计算例 1 . 将根号外的 a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例 2 . 把（ a － b ）化成最简二次根式例 3 、计算：例 4 、先化简，再求值：，其中 a= ， b= ．例 5 、如图，实数、在数轴上的位置，化简：3 、在实数范围内分解因式例 . 在实数范围内分解因式。
(完整版)浙教版八下二次根式题型归纳总结
浙教版八下二次根式题型归纳总结一、知识框架1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑴被开方数中不含分母；⑴分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，⑴变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，⑴乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．三、例题讲解1、概念与性质例1下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(xab a bb ba a=22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a--+---+（＞0）（＜0）0 （=0）；例3、 在根式1)，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x x yy x x x y例5、 已知数a ，b =b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a=，b=．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -222;2);3);4)275xa b x xy abc +-2()a b -11()ba b b a a b ++++5125123、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。
二次根式的乘除 重难点题型(10大题型)—2023-2024八年级数学下册(浙教版)(解析版)
二次根式的乘除重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）【题型目录】题型一 二次根式的乘法题型二 二次根式的除法题型三 二次根式的乘除混合运算题型四 最简二次根式的判断题型五 化为最简二次根式题型六 已知最简二次根式求参数题型七分母有理化及其应用题型八 二次根式的大小比较题型九用二次根式的乘除法解决实际问题题型十二次根式乘除法中的新定义问题【知识梳理】知识点一、二次根式的乘法（a≥0，b≥0）文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.知识点二、二次根式的除法a≥0，b>0）文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.【经典例题一 二次根式的乘法】A ．8和9之间B ．9和10之间C ．10和11之间D ．11和12之间=0³³³ (a 0,b 0....k )z 【答案】C【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，进而估算无理数的大小得出答案．∵∴∴故选：C．【点睛】本题主要考查的是二次根式乘法运算，估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．【变式训练】【答案】B【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．【详解】解；，． 故选：B．【答案】4【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则解决此题．【详解】解：∵∴∴．∴．3495464<<78<<10311<<a b ==22a b =a +a +====3=31a b ==ㄑ314a b +=+=z故答案为：4．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决本题的关键．【答案】(2)(3)(4)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式以及平方差公式，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键（1）先将二次根式化简，再计算二次根式加减运算即可；（2）先将二次根式化简，再计算括号内，最后计算乘法即可；（3）根据二次根式的混合运算法则以及完全平方公式计算即可；（4）根据二次根式的混合运算法则以及平方差公式计算即可． 【详解】（1（2）解：； （3）解：（4）解：3-13-2=((=3=-()21121=-13=-)11+221=-2=【经典例题二二次根式的除法】A．在6和7之间B．在7和8之间C．在8和9之间D．在9和10之间【答案】A【分析】先根据二次根式的除法法则计算，后运用无理数估算思想计算求解即可．【详解】∵，且，∴，故选A．【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，熟练掌握除法运算，正确进行无理数的估算是解题的关键．【变式训练】【答案】A【分析】本题主要考查了二次根式的运算和化简，还涉及到零指数幂有意义的条件，熟练掌握二次根式的运算法则，化简公式是解题关键．利用二次根式的除法运算法则对A选项进行判断；根据零指数幂有意义的条件对B选项进行判断；利用乘积的幂运算法则及二次根式的乘方法则对C选项进行判断；利用二次根式的开方运算法则对D选项进行判断．【详解】解：A，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；ㄍ=3=436ㄡ70)a==>()(1)11a a-=¹2222428=´=´=zD，故此选项不符合题意； 故选：【答案】 【分析】运用二次根式的性质化简，负整数指数幂的运算法则计算即可．． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【答案】(1)(2)【分析】（）根据二次根式的乘法和绝对值化简，然后再合并同类二次根式即可；（）根据二次根式的除法法则运算，然后再合并同类二次根式即可；此题考查了二次根式的乘除运算和化简绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式（2）解：原式23=A.9-23-19=1239=-+89=-89-212====3=31=-2=【经典例题三二次根式的乘除混合运算】【答案】D形由此可得出答案．【详解】解：由，故选：D．形【变式训练】【答案】D形由此可得出答案．【详解】解：由，故选：D．形【答案】．【分析】由二次根式的性质进行化简，然后计算除法运算即可；由绝对值的意义和二次根式的性质进行化简即可求出答案．10ab=10ab=2-25x-+【详解】解：－÷ == ==∵，∴，，∴∴； 故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．【答案】【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解：1582710231225a 158-158-22-14x <<40x -<10x ->44x x -=-44(1)25x x x x -=---=-+2-25x -+1326æ=´÷çè=z．【经典例题四 最简二次根式的判断】A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可．再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， ，不是最简二次根式，再化简，是最简二次根式；，不是最简二次根式，即最简二次根式有2个，故选：B ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质、最简二次根式的概念是解题的关键． 【变式训练】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 4y =b a5==【详解】解：，∴共2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次要满足被开方数的因数（因式）是整数（整式）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母是解题的关键．【答案】【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行解答．【详解】二次根式余都不是，共有2个最简二次根式.故答案为2.【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．【答案】（1）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（3）是最简二次根式；（4）不是最简二次根式；不是最简二次根式；（6）是最简二次根式．【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可．===22ㄍㄎ5ㄍㄎz 【详解】不是最简二次根式；不是最简二次根式；，不是最简二次根式；不是最简二次根式；【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【经典例题五 化为最简二次根式】【例5】（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（ ）【答案】D 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答．【详解】解：当时，当时，，故A 不一定成立；当都小于0时B 不一定成立； ，故C 不成立；D 成立，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键．(1=(2(3(42(5a =+(6,a b 0a b -³a b -0a b -<a b -+,a b =2(a =【变式训练】【答案】【分析】把原故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．【答案】(2)(3)【分析】（1形然==2z（2形然（3形然【详解】（1（2（3．【点睛】本题主要考查了利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解题意．====2===)12=´=z【答案】(4)，．【分析】（1）由从而可得答案；（2）由从而可得答案； （3）由从而可得答案；（4）两边平方，从而可得答案； 【详解】（1）解：∵，；（2）∵，； （3）∵又∵，； （4）∴， ∴，．【点睛】本题考查的是二次根式的化简，完全平方公式的应用，理解题意，把被开方数化为某数的平方是解本题的关键．11a m n =+b mn =)2221211213=++=+=+)2221211314=++=+=+)2221211314=-+=-=-=)2221211213=++=+=+1>01)2221211314=++=+=+1>0144=-)2221211314=-+=-=-1>01=a m n ±=±a m n =+b mn =z【经典例题六 已知最简二次根式求参数】A ．0B ．2 C ．4 D ．6【答案】D然后依整数可得到问题的答案．整数， ∴为完全平方数， ∴的最小值是． 故选：D.【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．【变式训练】【答案】5【分析】根据最简二次根式的定义即可解答．【详解】解：由题意得：，∴，∴，但当时不是最简二次根式，应舍去， ∴； 故答案为：5．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键．=6n n 6225a a a +=+225a =5a =±5a =-=5a =z【答案】4，±2．【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b ﹣5=1，进而求出答案．【详解】解：∴a=1，2b ﹣5=1，解得：a=1，b=3， ∴， ∴±2．【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键．【答案】x ＝8，y ＝6.【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a ，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】解：由题意，得 3a ﹣11＝19﹣2a ， 解得a ＝6.所0. 因， 所以24－3x ＝0，y －6＝0. 解得x ＝8，y ＝6.【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键.【经典例题七 分母有理化及其应用】【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如!√#、!√#$%这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：!√#=!×√#√#×√#=!#√3； !√#$%=!'√#(%)'√#$%)'√#(%)=!'√#(%)'√#)!(%=√3−1．以上这种化简过程叫做分母有理化．!√#$%还可以用以下方法化简： !√#$%=#(%√#$%=(√#)!(%√#$%=(√#$%)(√#(%)√#$%=√3﹣1．请任用其中一种方法化简： ①!√%,(#；②,!√#$√-；【答案】①√%,+##；②2√3−√7.【分析】（1）根据题意分子分母同时乘以√15+3进行分母有理化即可； （2）根据题意分子分母同时乘以2√3−√7进行分母有理化即可. 【详解】解：①!√%,(#=!（√%,+#）（√%,(#)(√%,$#)=!（√%,+#）（√%,）!(#!=√%,+##； ②,!√#+√-=,（!√#(√-)(!√#$√-）（!√#(√-)=,（!√#(√-)(!√#)!((√-)!=2√3−√7 .【点睛】分母有理化是本题的考点，能够运用平方差公式把分母中的根号去掉是解题的关键.【变式训练】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，偶次方和算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，分母有理化，根据二次根式有意义的条件得出，从，根据非负数的性质得出，，最后代入式子中进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ，，，4c =()230b -=5a =3c =40c -³40c -³4c ³4c £4c \=()23b -=()230b -=5030a b \-=-=ㄑ，，【答案】(1)不唯一）(2)(3)见解析【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键．（1）根据题干求解作答即可；（2）计算求解即可；53a b\==ㄑ==3+235->-332=z（3）由题意知，由大小．【详解】（1）解：由题意知，因式是故答案为：（2；（3）解：由如下；由题意知，∵3-=5-35+<+3-5-3-3+3+33222=35--3-5-=35++>35->-z【答案】(3)10【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．（3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求解． 本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律．【详解】（1（2=65=-==z（3）．【经典例题八 二次根式的大小比较】【例8】（2023·全国·八年级专题练习）比较大小：√5−√3______√7−√5．【答案】＞【分析】先求出√5−√3与√7−√5的倒数，然后进行大小比较． 【详解】∵%√,(√#=√,$√#!1√7−√5=√7+√52而√7+√5＞√5+√3， ∴√5−√3＞√7−√5． 故答案为：＞．【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．【变式训练】【答案】【分析】通过比较分子的大小可判断①；利用二次根式的性质化简，进而可判断②． 【详解】解：， ， ∴， 1 111+ =10=><2>11>12>z故答案为：；②∵∴ 故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质以及实数的大小比较，灵活运用二次根式的性质进行化简是解题的关键．【答案】【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （1）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．（2）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．【详解】（1）∵，．（2）∵,,>=<1)111=1=1=1= 1 1=1=1===z【答案】(3)由见解析【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）仿照题意进行分母有理化即可；（3），把所求式子的每一项进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案；（41´--9>1=-==z【详解】（1，（2（3；（4由如下：与1´=-=1´-1=´=-=.......1 1=101=-9=--==z【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度ℎm 的地方，看见的水平距离是dm ，它们近似地符合公式d =83/,.某一登山者登上海拔2000m 的山顶，那么他看到的水平距离是________m . 【答案】160【分析】把h=2000代入公式d =83/,进行即可. 【详解】解：把h=2000代入公式d =83/,得：d =83!000,=8√400=8×20=160所以答案是：160.【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键.【变式训练】1、（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h 米的地方看到可见的水平距离为d 米，它们近似地符号公式为d =83/,，某一登山者从海拔h 米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？ 【答案】√2【分析】由题意知d 和h 的关系式，则由海拔h 米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离之比可以得到．【详解】解：登山者看到的原水平线的距离为d %=83/,，现在的水平线的距离为d !=83!/,，1!1"=23!#$23#$=√2，即他看到的水平线的距离是原来的√2倍．2、（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为ℎ，观测者视线能达到的最远距离为d ，则d ≈√2ℎR ，其中R 是地球半径，约等于6400km ．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度ℎ为0.02km ，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求d 的值为<>z_____km ．【答案】16【分析】根据d ≈√2ℎR ，R ≈6400km ，ℎ=0.02km ，由此即求解． 【详解】解：根据题意得，d ≈√2ℎR ，R ≈6400km ，ℎ=0.02km ， ∴d ≈√2ℎR =√2×6400×0.02=80×0.2=16(km)， 故答案是：16．【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．3、（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是√a 、√b 、√c (a >b >c >0)，若木块对桌面的最大压强为p %，最小压强为p !，则4"4!的值等于______．【答案】√566【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可． 【详解】解：如图，a >b >c ， ∴√a >√b >√c ∴√ab >√bc ，∵最大压强是前面向下放置， ∴p %=7√86，∵最小压强是面积最大的面向下， ∴p !=7√58，z∴4"4!=7√86×√587=√5√6=√566； 故答案为：√566． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键．【经典例题十 二次根式乘除法中的新定义问题】A ．10B ．8C ．4D ．2【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式的运算、新定义运算等知识点，先根据新定义运算列出算式，然后根据二次根式的运算法则计算即可；掌握二次根式的运算法则是解题的关键． ．故选D ．【变式训练】【答案】【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可；【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握．()211312-=--=-=()35*-==z个二次根式【答案】(2)2【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式计算可得a 的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式解出m 的值． 【详解】（1）解：∵a 与6的共轭二次根式，∴，∴（2）∵是关于C 的共轭二次根式，∴，∴， ∵C 是有理数， ∴， ∴解得．【点睛】本题通过新定义共轭二次根式考查了二次根式，关键在于理解新定义的含义，并会灵活运用二次根式的性质进行计算．6=a ==48()48C=323m C -+=0-+2m =【答案】(1)或或； (2)积的乘方；平方根的定义；．【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解；先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解；（）根据积的乘方和平方根的定义即可；根据二次根式乘法法则进行即可计算．5x =Ｒ3x =-0.2x =Ｓ 2.2x =-Ｒ36Ｓ1Ｒ1x -Ｓ()21 1.44x +=1x +2ＲＳxxk.【详解】（1），，或；，， 或；（2）积的乘方；平方根的定义；原式．【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算．【拓展培优】A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】A【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：，，即，4和5之间．故选：A ．Ｒ2(1)16x -=14x -=±5x =3x =-Ｓ2(1) 1.44x +=1 1.2x +=±0.2x = 2.2x =-ＲＳ4936==´=((2=´==161825<< \45<<45<<\(z【答案】A【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．故选：A ．【答案】C【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x ，y 的值，进而代入求出答案． 【详解】解：根据题意，得：，且，即， 解得，，则，所．故选：C【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．【答案】B【分析】根据无理数的估算可求出，再代入所求式子求值即可．【详解】解：，===30x -³30x -³30x -=3x =19y ==)0a ³2a =-23=<<=z部，即，． 故选B．【点睛】本题考查无理数的估算，代数式求值，实数的混合运算．正确确定的值是解题关键．【答案】C【分析】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确推导运算规律是解题的关键．先计算，，的值，找出规律，然后求解即可．【详解】解：，，∴，，，，故选：C22a =612a ö===÷+øa 1S 2S 3S a b =1ab \=111S ab ==()2222222S a b ab ===()3333333S a b ab ===……()nn nS nab ==12399S S S S \+++…+1299=++……+1100992=´´4950=z【答案】2【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得，，然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键．【详解】解：∵，，．故答案为：2．【答案】5【分析】先证明，，，，如图，作交于，交的延长线于，证明，可得，面积公式可得答案．【详解】解：∵，，，∴，， ∵，∴，， 如图，作交于，交的延长线于，0a 0b =>0a 0b =2====45C ABC Ð=Ð=°22.5EDB Ð=°9022.567.5DBE Ð=°-°=°22.5EBF Ð=°DH AC ＹAB H BE G BGH DFH ＨBG DF =DF =AB AC =90BAC Ð=°12EDB CBFÐ=Ð45C ABC Ð=Ð=°22.5EDB Ð=°BE DE ^9022.567.5DBE Ð=°-°=°22.5EBF Ð=°DH AC ＹAB H BE Gz∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，，∵，，， ∴， ∴， ∴，而∴∴，故答案为：5．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线，构建全等三角形是解本题的关键． 【答案】/【分析】根据，依次求出即可解答． 45BDH C Ð=Ð=°HBD アHB HD =22.5EDG EDB Ð=°=Ð67.5DBG DGB Ð=Ð=°DB DG =12BE EG BG ==22.5GBH FDH Ð=Ð=°90BHG DHF Ð=Ð=°HB HD =BGH DFH ＨBG DF =12BE DF =BE =DF =152BDF S =´= NB BM 458-845-+MN BN BM NB BMBE ===,,BM BN MN【详解】解：根据，可得，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则计算是解题的关键．【答案】【分析】根据互为有理化因式，利用平方差公式求得．【详解】解：∵，，∴，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法及有理化因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．MN BN BMNB BM BE===BM BE=BN BM=MN BN=4BE=2BM BE\==6BN BM\==-182MN BN\=×=8545=-54=()()222249954x x x x=+-+=+-=--4=-()54´-=-5454z数部分是b ，计算（a ﹣b）（b +9）的结果为 ． 【答案】21【分析】先根据无理数的估算求出的值，再代入，利用平方差公式进行计算即可得． 【详解】解：，整数部分，小数部分，，故答案为：21．【点睛】本题考查了无理数的估算、利用平方差公式计算二次根式的乘法，熟练掌握无理数的估算是解题关键．【答案】【分析】本题考查实数的混合运算，根据零指数幂、二次根式乘法、立方根、算术平方根化简后计算即可．【详解】原式【答案】，【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，利用平方公式和平方差化简题目中的式子，然后将化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：．．∵∴原式,a b 34\3a =3b ()(9)33)39)a b b éù\-+=-+ëû(66)=3615=-21=3162=+-12=+-3=1a b -a b -22222222a b a ab b a b--+÷+()()()()222a b a b a b a b +-=×+-1a b =-a b -==【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简绝对值，算术平方根，乘方，零指数幂，然后进行加减运算即可；（2）先求二次根式的乘法，算术平方根，然后进行减法运算即可．【详解】（1）解：（2【点睛】本题考查了化简绝对值，算术平方根，乘方，零指数幂，二次根式的乘法．正确的运算是解题的关键．【答案】(2)(3)【分析】（1形然4+-(()2022024p--231=-4=+==-2z（2形然（3形然【详解】（1（2（3．【点睛】本题主要考查了利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解题意．====2===)12=´=z【答案】(1)或或； (2)积的乘方；平方根的定义；．【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解；先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解；（）根据积的乘方和平方根的定义即可；根据二次根式乘法法则进行即可计算．【详解】（1），，或；5x =Ｒ3x =-0.2x =Ｓ 2.2x =-Ｒ36Ｓ1Ｒ1x -Ｓ()21 1.44x +=1x +2ＲＳＲ2(1)16x -=14x -=±5x =3x =-z，， 或；（2）积的乘方；平方根的定义；原式．【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算．Ｓ2(1) 1.44x +=1 1.2x +=±0.2x = 2.2x =-ＲＳ4936==´=。
浙教版八年级数学下册专题1.3二次根式的乘除(知识解读)(原卷版+解析)
专题1.3 二次根式的乘除（知识解读）【学习目标】1.并能逆用法则进行化简2.逆用法则进行化简。
3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。
【知识点梳理】知识点1：二次根式的乘法法则1.（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广（1（2项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
知识点2：二次根式的乘法法则的逆用1.二次根式的乘法法则的逆用质）2.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点3：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则2.二次根式的除法法则的推广注意：知识点4：最简二次根式1.最简二次根式的概念（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.化简二次根式的一般方法母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a ＞0，b ＞0，c ＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解y x y x y +==+++)(x222xy 2（x ≥0，y ≥0）3.分母有理化（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。
【典例分析】【考点1：二次根式乘法法则】【典例1】计算： （1）×； （2）4×；（3）6×（﹣3）； （4）3×2．【变式1-1】（2022秋•嘉定区期中）化简：＝ ． 【变式1-2】（2022秋•社旗县期中）计算的结果是（ ）A ．16B ．±16C ．4D ．±4 【变式1-3】（2022春•防城区期中）化简：＝ ．【变式1-3】计算：（1）×3（2）2×【考点2：二次根式乘法法则的逆用】【典例2】计算：（1）．（2）．（3）．【变式2】（秋•新郑市校级月考）．【考点3：二次根式除法运算】【典例3】计算：（1）；（2）4÷2．（3）（4）．【变式3-1】（2021秋•徐汇区校级月考）计算：÷＝．【变式3-2】（2021秋•宝山区校级月考）计算：÷＝．【变式3-3】计算：（1）÷（2）÷（3）（4）．【考点4：最简二次根式】【典例4】（2022秋•平阴县期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．1B．C．D．（2022秋•兰考县月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）【变式4-1】A．B．C．D．【变式4-2】（2021春•饶平县校级期末）将二次根式化为最简二次根式为．【变式4-3】下列二次根式化为最简二次根式：（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．【考点5：分母有理化】【典例5】（2021秋•永丰县期末）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）＝＝；（二）＝＝＝﹣1；（三）＝＝＝＝﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．（1）请用不同的方法化简：①参照（二）式化简＝．②参照（三）式化简＝．（2）化简：+++…+．【变式5-1】（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝．【变式5-2】（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：＝．【变式5-3】（2021春•饶平县校级期末）已知a＝，b＝，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．专题1.3 二次根式的乘除（知识解读）【学习目标】3.并能逆用法则进行化简4.逆用法则进行化简。
1.1二次根式浙教版数学八年级下册同步讲义知识梳理+经典例题+巩固练习+中考链接
二、二次根式的非负性二次根式的实质是一个正数的算术平方根，它具有非负性，即当0≥a 时，a ≥0.【经典例题】 例题1、下列各式中，是二次根式的是（ ）)5≤x )0>x ；A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】二次根式的定义.【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】②④⑤⑦能满足被开方数为非负数，故本选项正确；①⑥⑧不能满足被开方数为非负数，故本选项错误；③不是二次根式，故本选项错误.故选：B ．【点评0≥a )的式子叫做二次根式，a ≥0.例题2、当x【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可列出不等式，解出即可得出x 的范围．【解答】∵x 312-有意义，∴12-3x ≥0，解得：x ≤4．即当x ≤4时，二次根式x 312-在实数范围内有意义．故答案为：x ≤4．【点评】此题考查二次根式有意义的条件，解答本题关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，难度一般．【夯实基础】1、下列各式中一定是二次根式的是( ).A. aB. 100+aC. 1.02+aD. 12-a2、当x =6时，在实数范围无意义的是（ ）A ．6-xB ．x -6C ．26x -D ．62-x3、若6343++-x x 有意义，则x 的取值范围（ ） A ．x ≤0 B ．x ≥0 C ．x ≤0且x >-2 D ．x ≤0且x ≠-2513=--+b a ，则直线y =ax +b 不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5、当二次根式1422+x 的值为8时，则x6、当=x7、a 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）a 32019- （2）12++a a（3）2.02+a （4）62312-+-a a8x x ---65.【提优特训】9、要使式子x 39-有意义且取最小值的x 的取值，那么在平面直角坐标系中，点A ),(x x -的所在的象限是（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10、如果代数式1)105(17---+-x x 有意义，则x 的取值范围是（ ）．A ．x ≤0B ．x ≤-2C ．x ≤0且x ≠-2D ．x <-211、若等式14520=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 成立，则x 的取值范围是（ ）． A. x ≥0 B. x ≥4 C. x ≥0且x ≠40 D. x ≠4012、已知a 、b 、c 15a =，b 15450=，c 6180=，则a 、b 、c13、已知x ，y 为实数，且xx x y 122+-+-=，则y x14、当012222=+-+++-z z y x x ，则3x -y +z15、若x ，y 均为实数，且满足等式y x y x a y x y x -+-++-=-++-+2019201953264，求a 的值.16．已知53+=-b a ，53-=-c b ，求ab +bc +ac -a 2-b 2-c 2的值17183子比较稳定，现有一梯子，稳定摆放时，顶端达到6米高的墙头，请问：梯子有多长？【中考链接】 19、2018江苏苏州4．（3.00分）若2+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 第18题图20、2018江苏扬州2．使3-x 有意义的x 的取值范围是（ ）A ．3>xB ．3<xC ．3≥xD ．3≠x21、2018四川绵阳6.等式1313+-=+-x x x x 成立的x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）22、2018山东济宁11．（3.00 分）则 x 的取值范围是 ．参考答案1、C2、C3、D4、B5、±56、3 9、D 10、D 11、C 12、a +b =c 13、12± 14、8 19、C 20、C 21、B 22、x ≥17、a 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）a 32019- （2）12++a a（3）2.02+a （4）62312-+-a a解：（1）要使a 32019-有意义，∴2019-3a ≥0， 解得：a ≤673．即当a ≤673时，二次根式a 32019-在实数范围内有意义．（2）∵12++a a =43412+++a a =4343)21(2≥++a ∴不论a 取何值12++a a 都有意义.（3）∵a 2+0.2≥0.2，∴不论a 取何值2.02+a 都有意义.（4）要使62312-+-a a 有意义，∴⎩⎨⎧≥-≥-0620312a a ，不等式组的解集3≤a ≤4. 即当3≤a ≤4时，二次根式62312-+-a a 在实数范围内有意义．A. B. C. D.8x x ---65. 解：∵二次根式∴-2x +10≥0，解得x ≤5.∴x -5≥0，∴5-x ≥0，6-x ≥0. ∴x x ---65=5-x -(6-x )=5-x -6+x =-115、若x ，y 均为实数，且满足等式y x y x a y x y x -+-++-=-++-+2019201953264，求a 的值. 解：∵y x y x a y x y x -+-++-=-++-+2019201953264∴x -2019+y ≥0，-x +2019-y ≥0，∴x +y ≥2019 ，x +y ≤2019.∴x +y =2019. ∴053264=-++-+a y x y x ，∴4x +6y -5=0①，3x +5y -a=0②，①-②得，x +y =5-a ,a =5-2019=-2014.16．已知53+=-b a ，53-=-c b ，求ab +bc +ac -a 2-b 2-c 2的值 解：∵53+=-b a ，53-=-c b ，∴6=-c a .∴ab +bc +ac -a 2-b 2-c 221-=(2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ca ) 21-=［(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(c 2-2ca +a 2)］ 21-=［(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2］ 21-=［(53+)2+(53-)2+(-6)2］ =-32.17解：不相同，理由如下：∴⎩⎨⎧>-≥0420a a ，不等式组的解集为a >2.的取值范围为a >2.∴⎩⎨⎧>-≥0420a a 或⎩⎨⎧<-≤0420a a ∴不等式组的解集为a >2或a ≤0.a >2或a ≤0.18子比较稳定，现有一梯子，稳定摆放时，顶端达到6米高的墙头，请问：梯子有多长？解：在Rt △ABC 中，x 2=(3x )2+36，解得x ≈6.4米. 答：梯子大约有6.4米高．第18题图。
最新浙教版八年级下册《二次根式》周末复习
最新浙教版八年级下册《二次根式》周末复习一、本章知识内容归纳 1.概念：① 二次根式：像42+a 、3-b 、s 2这样表示 的代数式叫做二次根式；② 最简二次根式：在根号内不含 ，不含 因数或因式，这样的二次根式就是最简二次根式； ③ 同类二次根式：将几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，这样的根式被称为同类二次根式。
④ 坡比：2.四个性质：① )0()(2≥=a a a ；② =2a |a|=⎩⎨⎧-aa（添加条件） （分类讨论思想：字母从根号中开出来时要带绝对值再根据具体情况判断是否需要讨论）③ ④3 两个运算法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a)0,0(>≥=b a b aba推广：)0,.....0,0(...............21321321≥⋅≥⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n n n a a a a a a a a a a a4二次根式的运算有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式（如完全平方公式、平方差公式）等仍然适用； 运算的最终结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.二、本章常用方法归纳方法1.分母有理化：(稍微拓展一下) ①常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；②分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。
方法2. 非0的二次根式的倒数 ①a 的倒数：aaa a==11（a>0）; ②b a 的倒数：a b （a>0, b>0）; ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ，所以)1(n n ++的倒数为 。
方法3. 利用“”外的因数化简“”111三、本章典型题型归纳 （一）二次根式的概念和性质1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）2+x －x 23-： （2）x -－11+x ： （3： （4）2||12--x x ： （5：2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则yx=3．根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1） x x -=2： ；（2）122+-x x ＝1－x ： ；（3）※22)3()2(-+-x x ＝1：4．已知12-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0，则a= , b= , c= .5.已知039322=+-+-x x y x ，则11++y x =______________ 6．已知a,b,c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=_______7.已知x ＜-2，则化简后结果为_______8．已知a<0，化简二次根式b a 3- =_______ 9．4=，则a=10．实数a ，b ，ca －b │．11．将 ） A.； B. －；C. －；D.12．已知0<x<1=______． （二）同类根式与最简二次根式1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） ABC2.已知最简二次根式b a=______，b=_______3.在根式，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)4.已知a>b>0，的值为（ ）A B ．2 C ．12（三）二次根式的运算312=_______ 81=_______ 322=_______ 211311÷=_______ 326-=_______yx 5=_______ yx xy 3212÷=_______ b b 2142=_______52245454÷=_______ 2. 计算：（能简便运算的要简便运算）（1）0(π1)+ （2）2484554+-+ (3) 3)154276485(÷+- (4) x x x x 3)1246(÷- (5) 21418122-+- （6）673)32272(-⋅++（7) 2)32()122)(488(---+ (8) ((((22221111(9)62332)(62332(+--+） (10) ab －b a ―a b ＋2++abb a （a ＞0，b ＞0） （11）a bb a ab b 3)23(235÷-⋅3. 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3★★★.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += .4___________5．甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++a a a ，其中51=a ”有不同的解答：甲的解答：549211)1(1211222=-=-+=-+=-++a a a a a a a a a a a ，乙的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a a a 。
(完整)浙教版八年级数学下册第1章二次根式知识点总结,推荐文档
x -3 - m mn x - 5 5 - x a x -1 1 - x 2a +1 5 5 17 - x + 2x -1 飞驰教育个性化辅导讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才有意义．1【例 2】若式子有意义，则 x 的取值范围是．举一反三：1、使代数式2有意义的 x 的取值范围是+12、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点 P （m ，n ）的位置在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例 3】若 y=+ +2009，则 x+y=⎧⎨x - 5 ≥ 0解题思路：式子（a≥0）， ⎩5 - x ≥ 0 , x = 5，y=2009，则 x+y=2014举一反三：1、若 - = (x + y )2 ，则 x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．33、当 a 取什么值时，代数式+1取值最小，并求出这个最小值。
a +已知 a 是整数部分，b 是的小数部分，求 1 b + 2 的值。
若 的整数部分为 x ，小数部分为 y ，求x 2 + 1y 的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ( a )2= a(a ≥ 0)．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a 2 a 2 a 2b -3 y 2 - 5 y + 6 a + 2b + 4 a 2 5 a 2 x 2- 4x + 4 4x 2 - 4x +14 + (a - 1)2a ⎨-a(a < 0) ⎨ 则．= a = 0)) =|a|= ⎧a(a ≥ 0)3.⎩注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．a2 =|a|= ⎧a(a ≥ 0) -a(a < 0) ( a ) 2 = a(a ≥ 0) 4. 公式 ⎩ 与 的区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）(2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非 负数． （3） 和( 2 的运算结果都是非负的．【典型例题】a - 2 + 【例 4】若+ (c - 4)2 = 0a -b +c =举一反三：1、已知直角三角形两边 x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.a -b +12、若与(a - b )2005 =互为相反数，则。
(汇总)浙教版八年级下册数学第一章 二次根式含答案
浙教版八年级下册数学第一章二次根式含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、有下列各式:① ；② ；③;④ .其中,计算正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个2、下列计算正确的是（）A. B. C. D.3、若式子有意义，则x的取值范围是（）A.x≥－2B.x＞－2且x≠1C.x≤－2D.x≥－2且x≠14、如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（）A.﹣5B.1C.13D.19﹣4k5、二次根式中，的取值范围是（）A. B. C. D.6、当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？（）A.x≥3B.x≥2C.x≥1D.x≥47、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.8、若，则=（）A.4B.2C.-2D.19、下列根式中，与是同类二次根式的是( )A. B. C. D.10、小华和小明计算a+时，得出两种不同的答案．小华正确审题，得到的答案是“2a﹣2”，小明忽略了算式后面括号中的条件，得到的结果是“2”，请你判断，括号中的条件是（）A.a＜2B.a≥2C.a≤2D.a≠211、下列计算正确的是（）.A. B. C. D.12、下列运算正确的是（）A. B. C. D.13、下列各式不成立的是（）A. B. C.D.14、已知y= ，则的值为（）A. B.﹣ C. D.﹣15、式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、计算：（+ ）=________．17、若，则ab=________.18、化简：﹣3 的结果是________．19、若式子有意义，则x的取值范围是________．20、设，，，则, , 从小到大的顺序是________.21、在函数中，自变量x的取值范围是________．22、要使代数式有意义，则x 的取值范围是________．23、若有意义，则x的取值范围是________.24、已知最简二次根式与2可以合并，则a的值是________25、计算的结果是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知实数a，b满足，求.27、已知正三角形的边长为4 ，求它的一条边上的高．28、若b= + +2，求b a的值．29、实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简﹣﹣|a+c|30、化简：x=﹣1，求代数式x2+3x﹣4的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、D4、B5、C6、B7、B8、B9、B10、B11、C12、B13、C14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
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浙教版八下二次根式题型归纳汇总
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浙教版八下二次根式题型归纳总结
一、知识框架
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
三、例题讲解
1、概念与性质
ab a b b b a a
=（＞=
=a a 2 （a ＜
例1下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序号）．
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
（1）
x x --
+315；（2）22)-(x
例3、 在根式1) ，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)
例4、已知：
的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y
例5、 已知数a ，b ，若=b －a ，则 ( )
A. a>b
B. a<b
C. a≥b
D. a≤b
2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )
22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+222;2);3);4)275
x a b x xy abc +-2()a b -
A. ；
B. －；
C. －；
D.
例2. 把（a －b ）
－1a －b 化成最简二次根式
例3、计算：
例4、先化简，再求值：
，其中a=，b=．
例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222
()a b a b ---
11()b a b b a a b ++++512+512-
3、在实数范围内分解因式
例. 在实数范围内分解因式。
（1）
； （2）
4、比较数值
（1）、根式变形法
当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。
例1、比较35与53的大小。
（2）、平方法
当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22
a b <，则a b <。
例2、比较32与23的大小。
（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3、比较231-与121
-的大小。
（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4、比较1514-与1413-的大小。
（5）、倒数法
例5、比较76-与65-的大小。
（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
例6、比较73+与873-的大小。
（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔<
例7、比较2131++与23
的大小。
（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①1a
a b b >⇔>； ②1a
a b b <⇔<
例8、比较53-与23+的大小。
5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程：
， 验证：；
验证:.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程.
例2. 已知，则a _________
举一反三：已知
，则
a ______。
例3、化简下列各式：
（1）423+ （2）526-
44
15
例4、已知a>b>0，a+b=6，则的值为（ ） A ． B ． 2 C ． D ． 例5、甲、乙两个同学化简
时，分别作了如下变形： 甲
：
==； 乙：=。
其中，（ ）。
A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确
D. 只有乙正确
三、课堂练习
1．对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5；②（）2=a ；③若点P （a ，b ）在第三象限，则点Q （﹣a ，﹣b ）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（ ）
A ．只有①错误，其他正确
B ．①②错误，③④正确
C ．①④错误，②③正确
D ．只有④错误，其他正确
ab a b a b
-+22212
2．使式子5
151--=--a a a a 成立的条件是（ ） A ．a≥5 B ．a ＞5 C ．1≤a≤5
D ．1≤a ＜5
3．若462m -与4
32-m 可以合并，则m 的值不可以是（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 4．当x ＞3时，()23-x ﹣1化简的结果是（
） A ．2﹣x B ．x ﹣4 C ．x
D ．﹣x
5．当x ＜0时，二次根式化简的结果是（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
6．在二次根式
，，，，，中，最简二次根式的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7．若整数m 满足条件
=m+1且m ＜，则m 的值是（ ） A ．0或1
B ．﹣1、0或1
C ．0或﹣1
D ．﹣1
8．如果ab ＞0，a+b ＜0，那么下面各式：①
=，②•=1，③÷=﹣b ，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
四、课后练习
化简：+2x﹣x2
已知，则
已知ab=2，求的值
已知：a＜0，化简
已知1＜x＜2，，求的值若实数a满足|a﹣8|+=a，则a的值是多少.
若0＜a＜1，化简|1﹣a|+
有下列计算：
①（m2）3=m6，
②，
③m6÷m2=m3，
④，
⑤，其中正确的运算有．
化简
计算
对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么15※6的值是多少？
实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+b|﹣﹣|b﹣c|。