3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(正式)
1 3 (2)原式 2 （ 2 cos x sin x) 2 2 2 2 sin( x). 6
检
3 4. ( 2012 济宁高一检测) 已知 sin( ) cos cos( ) sin 5 5 是第三象限角, 求 sin( )的值. 4
展：教师引导学生，学生回答问题，也可尝试学生板书
例2.利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° - cos 72°sin 42°; (2) cos 20°cos 70° - sin 20°sin 70° .
解：（1）由公式S( )得， sin 72o cos 42o cos 72o sin 42o 1 sin(72 42 ) sin 30 ; 2
b 其中 tan . a
评
1.公式推导
C( )
C( )
S( )
S( )
2.和差角公式 余弦： 同名积 符号反
正弦： 异名积
3.公式应用
符号同
检
2 3 1. 已知 sin ， ( , ) ， cos ， 3 2 4 3 (, )， 求 cos( ) ， sin( ) . 2
o o o
1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) ; 2
检
3.化简:(1) 2(sin x cos x); (2) 2 cos x 6 sin x.
2 2 解：（）原 1 式（ 2 sin x cos x) 2 2 2sin( x ); 4
3 解：由s i n= - , 是第四象限的角，得 5 4 2 2 3 cos 1 sin 1 ( ) , 5 5
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
3 解：由题意知sin[( - )- ]= , 5 3 3 即sin(- )= , sin ， 5 5 Q 为第三象限角, 4 cos =- . 5 5 5 5 sin( ) sin cos cos sin 4 4 4 3 2 4 2 7 2 ( ) ( ) ( ) . 5 2 5 2 10
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
（ ）
展：教师引导学生，学生回答问题
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
o o o
（2）由公式C ( )得，
cos 20 cos 70 sin 20 sin 70 cos(20 70 ) cos 90 0.
逆用公式时注意观察是否只有两个角
展：教师引导学生，学生回答问题。
1 3 例3.化简：（） 1 cos x sin x; 2 2 (2) 3 sin x cos x.
简记：
S ( )
异名积，符号同.
展：教师引导学生，学生回答问题，也可尝试学生板书
3 例1. 已知 sin , 是第四象限角，求 sin( ), 5 4 cos( )的值. 4
于是有s i n( ) sin cos cos sin 4 4 4 2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
3.1.2
两角和与差的正弦、
余弦、正切公式（一）
学习目标 1.掌握两角和与差的正弦公式的推导； (难点）
2.能够利用公式进行简单的三角函数式
的求值、化简和证明.（重点、难点）
导
复习旧课
cos （ ） cos cos sin sin
C( ) ?
C( )
展：教师引导学生，学生回答问题
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
简记：
S ( )
公式的结构特征: 左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的正、余弦积与余、正弦积的和.
展：教师引导学生，学生回答问题
由和角正弦公式，你能得到差角的正弦公式吗？
议
阅读完课本P128、P129例3前2问、 P130例4前2问的内容，分组讨论如何 解决下面两个问题 1.公式是如何推导的。 2.怎样应用公式解题。
展：教师引导学生，学生回答问题
由两角和与差的余弦cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
cos （ ） cos cos sin sin
C( )
口诀：余余正正符号反
导 利用哪些公式可以实现正弦、余弦的互化？
sin cos( ) 2
sin( ) cos ( ) 2
思
阅读课本P128、P129例3前2问、P130 例4前2问的内容，并思考下面两个问 题 1.了解公式的推导过程。 2.怎样应用公式解题。
2
检
cos( ) cos cos sin sin 5 3 2 7 3 52 7 ( ) ( ) ( ) . 3 4 3 4 12
sin( ) sin cos cos sin 2 3 5 7 (6 35) ( ) ( ) ( ) . 3 4 3 4 12
1 3 (2) 3 sin x cos x 解： （ 1 ） cos x sin x 2 2 3 1 o o 2( sin x cos x) sin 30 cos x cos 30 sin x 2 2 sin(30o x); 2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
检
2.求下列各式的值： (1)sin72 cos18 cos 72 sin18 ; (2) cos 74 sin14 sin 74 cos14 ; (3) sin 34 sin 26 cos 34 cos 26 .
解：(1)原式 sin(72 18 ) sin 90 1;
公式的逆 用
2sin( x 30 ).
评
一般地： a sin b cos
2 2
提升总结
a b (sin
2 2 2 2
a a b
2 2
cos
b a b
2 2
)
a b (sin cos cos sin ) a b sin( ) .
2 解： Q sin ， ( , ) 3 2 2 2 5 cos 1 sin 1 （ ） ； 3 3
2
3 3 又 cos ， (, ) ， 4 2 3 2 7 sin 1 cos 1 ( ) . 4 4
高中数学学案 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos _β－sin_αsin _β,简记为C (α＋β),使用的条件为α,β为任意角． 2．两角和与差的正弦公式名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos _β＋cos_αsin _βα,β∈R两角差 的正弦S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos _β－cos_αsin _βα,β∈R状元随笔 公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系．C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α－β)――→以－β代βS (α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C (α－β),C (α＋β),可记为“同名相乘,符号反”． 对于公式S (α－β),S (α＋β),可记为“异名相乘,符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β), sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β), cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β), cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． [小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的．( ) (2)存在α,β∈R ,使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意的α,β∈R ,sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12C.32D ．1 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105° ＝sin 15°cos75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,若sin α＝35,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.75B.15 C ．－75 D ．－15解析：易得cos α＝45,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αco s π4－sin αsi n π4＝15.答案：B4．计算sin 7π12＝________.解析：sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 答案：6＋24类型一 给角求值例1 求值：(1)cos 105°；(2)cos 31°＋cos 91°sin 29°.【解析】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×22－32×22＝2－64. (2)cos 31°＋cos 91°sin 29°＝cos 31°＋cos (60°＋31°)sin 29°＝cos 31°＋cos 60°cos 31°－sin 60°sin 31°sin 29°又因为π2<β<π,所以β＝2π3.对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改,再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．3.1.2[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24 D.2＋64解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：D2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D3．若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210 D.210解析：因为cos α＝－45,α是第三象限的角,所以sin α＝－35,由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
4
13
4
5
所以 cos(3＋)＝－12，sin( －)＝－4 .
4
13
4
5
所以sin(α+β)= －cos[ ＋（＋）]＝－cos[(3＋)－( －)]＝
2
4
4
－[cos(3＋)cos( －)＋sin(3＋)sin( －)]＝[(－12) 3＋ 5 (－4)]＝56 .
4
4
4
4
13 5 13 5 65
2α与
cos 2β的值.
【思路导引】由2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),利用两角和与
差的余弦公式求解.
【解题策略】给值求值的方法
(1)直接法:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”
的和或差的形式.
(2)逆用公式:通过提取一个常数,逆用公式求值,一般地asin α+bcos α=
5
13
所以cos α= 4,sin β= , 12
5
13
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
＝3 (－ 5 )－4 12＝－63 . 5 13 5 13 65
角度2 逆用公式求值
【典例】求值: 3sin ＋cos .
12 12
【思路导引】提取常数,逆用两角和的正弦公式求解.
答案:-2
类型二 给值求角问题(数学运算)
【典例】已知sin α= 5 ,sin β= 10 ,且α和β均为钝角,求α+β的值.
5
10
四步 内容
理解 题意
条件:(1)sin α= 5 ,sin β= 10 ,
5
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
换元
换为
2
S : sin( ) sin cos cos sin
cos(
)
sin
2
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
C : cos( ) cos cos sin sin 换元 Nhomakorabea换为
2
S : sin( ) sin cos cos sin
cos( ) sin
tan sin cos
P144 例3
练习：
P146 练习 1，2，3，4
小结
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
2
你能想出其他方法吗？
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
S : sin( ) sin cos cos sin
换元
换为
S : sin( ) sin cos cos sin
探究：正切和差公式
T :
tan( ) tan tan 1 tan tan
T :
tan( ) tan tan 1 tan tan
3
2
4
解：Q sin 2 , ( , 3 ) cos 5
3
2
3
Q cos 3 , IV
4
sin 7
4
cos( ) cos cos sin sin
3 (
5 ) ( 2)(
7 )
43
3
4
2 73 5 12
探究：如何由余弦公式推出正弦公式
C : cos( ) cos cos sin sin
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
2022人教版高中数学必修四课后提升作业 二十六 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
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课后提升作业二十六两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2021·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°-cos160°sin10°= ( )A.-√32B.√32C.-12D.12【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12.2.化简cos(x+y)siny-sin(x+y)cosy等于( )A.sin(x+2y)B.-sin(x+2y)C.sinxD.-sinx【解析】选D.cos(x+y)siny-sin(x+y)cosy=sin[y-(x+y)]=-sinx.3.(2022·大连高一检测)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于( )A.-12B.12C.-√32D.√32【解析】选B.sin163°sin223°+sin253°sin313°=sin(90°+73°)sin(270°-47°)+sin(180°+73°)sin(360°-47°) =cos73°(-cos47°)-sin73°(-sin47°)=-(cos73°cos47°-sin73°sin 47°)=-cos(73°+47°)=-cos120°=12.4.(2022·杭州高一检测)已知α,β都是锐角,若sinα=√55,sinβ=√1010,则α+β等于( )A.π4B.3π4C.π4和3π4D.-π4和-3π4【解题指南】先求cos(α+β)的值及α+β的范围再确定α+β的值.【解析】选A.由α,β都为锐角,所以cosα=√1−sin2α=2√55,cosβ=√1−sin2β=3√1010.所以cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ=√22,所以α+β=π4.【补偿训练】若cos(α-β)=√55,cos2α=√1010,并且α,β均为锐角且α<β,则α+β的值为( )A.π6B.π4C.3π4D.56π【解析】选C.由于α,β均为锐角,且α<β,所以-π2<α-β<0,所以sin(α-β)=-2√55,又0<2α<π,故sin2α=3√1010,所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2α·cos(α-β)+sin2α·sin(α-β)=√1010×√55+3√1010×(−2√55)=-√22. 由于α+β∈(0,π),所以α+β=34π.5.若函数f(x)=(1+√3tanx)cosx,0≤x<π2,则f(x)的最大值为 ( )A.1B.2C.1+√3D.2+√3 【解题指南】先逆用两角和的正弦公式化简函数式,再求最值. 【解析】选B.f(x)=cosx+√3sinx=2(sin π6cosx +cos π6·sinx)=2sin (x +π6),又0≤x<π2,则π6≤x+π6<2π3.所以当x+π6=π2时,f(x)有最大值2.6.(2022·兰州高一检测)若sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=0,则 sin(α+2β)+sin(α-2β)等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 【解析】选C.由于sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =sin(α+β-β)=sin α=0, 所以sin(α+2β)+sin(α-2β) =2sin αcos2β=0.7.(2022·浏阳高一检测)已知sin α=13,cos(α+β)=-1,则sin(2α+β)= ( )A.-13B.13C.-23D.23【解析】选A.由于cos(α+β)=-1,则sin(α+β)=0, 所以sin(2α+β)=sin(α+α+β) =sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=13×(-1)+0=-13.8.在△ABC 中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC 的外形肯定是 ( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形【解析】选C.在△ABC 中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 所以2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,所以A-B=0,A=B, 从而△ABC 是等腰三角形.【补偿训练】在△ABC 中,若tanC=√3,且sinAcosB=cos(120°-B)sinB,则△ABC 的外形是 ( )A.等腰三角形B.等腰但非直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形 【解析】选D.由于tanC=√3,0°<C<180°, 所以C=60°,所以120°-B=A. 由于sinAcosB=cos(120°-B)sinB,所以sinAcosB=cosAsinB, sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0, 又-180°<A-B<180°, 所以A-B=0°,所以A=B. 所以△ABC 是等边三角形.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2022·烟台高一检测)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=35,β是第三象限角,则sin (β+5π4)= .【解析】依题意可将已知条件变形为 sin[(α-β)-α]=-sin β=35,sin β=-35.所以sin (β+5π4)=sin βcos 5π4+cos βsin 5π4=(−35)×(−√22)+(−45)×(−√22)=3√210+4√210=7√210. 答案:7√21010.在△ABC 中,3sinA-4sinB=6,4cosB+3cosA=1,则C 的大小为 . 【解题指南】依据题意,把已知的两等式两边平方后,左右相加,然后利用同角三角函数间的基本关系、两角和的正弦公式及诱导公式化简后即可得到cosC 的值,利用特殊角的三角函数值及角C 的范围即可求出C 的度数. 【解析】由于3sinA-4sinB=6,4cosB+3cosA=1, 两式平方相加,可得9+16+24cos(A+B)=37, 所以cos(A+B)=12.由于A+B+C=π,所以cos(A+B)=-cosC, 则cosC=-12,又由于0°<C<180°,故C=120°.答案:120° 三、解答题11.(10分)已知函数f(x)=Asin (x +π3),x ∈R,且f (5π12)=3√22.(1)求A 的值.(2)若f(θ)-f(-θ)=√3,θ∈(0,π2),求f (π6−θ).【解析】(1)由f (5π12)=Asin (5π12+π3)=Asin 3π4=A √22=3√22,可得A=3.(2)f(θ)-f(-θ)=√3,则3sin (θ+π3)-3sin (π3−θ)=√3, 3(12sinθ+√32cosθ)-3(√32cosθ−12sinθ)=√3,sin θ=√33.由于θ∈(0,π2),所以cos θ=√63,f (π6−θ)=3sin (π6−θ+π3)=3sin (π2−θ)=3cos θ=√6.【补偿训练】已知,0<α<π2<β<π,cos (β−π4)=13,sin(α+β)=45.(1)求sin2β的值. (2)求cos (α+π4)的值.【解析】(1)由于cos (β−π4)=cos π4cos β+sin π4sin β=√22cos β+√22sin β=13,所以cos β+sin β=√23,所以1+sin2β=29,所以sin2β=-79.(2)由于0<α<π2<β<π, 所以π4<β-π4<3π4,π2<α+β<3π2,所以sin (β−π4)>0,cos(α+β)<0. 由于cos (β−π4)=13,sin(α+β)=45, 所以sin (β−π4)=2√23,cos(α+β)=-35,所以cos (α+π4)=cos [α+β−(β−π4)] =cos(α+β)cos (β−π4)+sin(α+β)sin (β−π4)=-35×13+45×2√23=8√2−315.关闭Word文档返回原板块。
优质课评选：两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件_
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式
阳谷三中 刘广礼2013.4.18
cos(α+β) = cosαcosβ－ sinαsinβ
1、
上述公式就是两角和的余弦公式，记作 c( )。
探索新知二
cos 75 cos(30 45 )
cos30 cos 45 sin 30 sin 45
6 2 4
思考：如何求 sin( ) ? sin cos[ ( )] cos[( ) ]
2、
sin cos cos sin
2 2 cos cos sin sin 2 2
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 。
上述公式就是两角和的正弦公式，记作
cos( ) cos cos cos cos
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ
tan(α-β)=
tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
2 、利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角 函数式和证明三角恒等式,灵活使用使用公式.
探索新知一 思考：由 cos( ) cos cos sin sin 如何 求: cos( ) ? 分析：注意到 ） ，结合两角差的余 （ 弦公式及诱导公式，将上式中以代得
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
2(sin
6
cos cos
6
sin )
2sin( ) 右边. 6
2013-1-9 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 9
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
2 3 3 例5.已知 sin , ( , ), cos , ( , ), 3 2 4 2 求 sin( )的值。
12 5 由cos( ) sin( ) 13 13 3 4 由sin( ) cos( ) 5 5 3 12 4 5 56 sin 2 sin[( ) ( )] ( ) ,
6
（2） 75 sin （3） 15 sin
2013-1-9
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
3 例2.已知cos = ， 0， ，求 sin( ). 5 6 2
3 解： cos = ， 0， 5 2
2 5 解： sin = ， ， cos 3 3 2 3 7 3 cos =- ， , sin 4 4 2
sin( ) sin cos cos sin
2
2
cos[ ( )] cos[( ) ] 2 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2
sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
5
2013-1-9
第三章 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)答案
2019-2020学年高一数学必修四校本作业课题：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)班级_______姓名________座号________一、选择题1．下列式子中恒成立的是( )A ．cos(α＋β)cos β＋sin(α－β)sin β＝cos αB ．cos β＝cos α＋β2cos α－β2＋sin α＋β2sin α－β2C ．sin αsin β－cos αcos β＝cos(α＋β)D ．cos α＝cos(α＋β)sin β＋sin(α＋β)cos β解析：cos β＝cos[(α＋β2)－(α－β2)]＝cos α＋β2cos α－β2＋sin α＋β2sin α－β2答案：B2．若2sin(θ＋π3)＝3sin(π3－θ)，则tan θ＝( )A ．－32 B.35 C.233 D ．2 3解析：若2sin(θ＋π3)＝3sin(π3－θ)， 则2sin θcos π3＋2cos θsin π3＝3sin π3cos θ－3cos π3sin θ，化简可得52sin θ＝32cos θ，∴tan θ＝35，故选B.答案：B3．已知在△ABC 中，cos B cos C >sin B sin C ，那么△ABC 是() A ．锐角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形解析：cos B cos C >sin B sin C则cos B cos C －sin B sin C >0即cos(B ＋C )>0即cos A ＝cos[π－(B ＋C )]＝－cos(B ＋C )<0∴A 为钝角答案：D4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1B ．π， 2C ．2π，1D ．2π， 2答案 A解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝32sin2x ＋12cos2x ＋12cos2x －32sin2x ＝cos2x. ∴T ＝π，最大值为1.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45(α为锐角)，则sin α等于( ) A.33＋410 B.3＋4310 C.3－4310 D.33－410考点 两角和与差的正弦公式题点 利用和与差的正弦公式求值答案 D解析 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35. 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝35×32－45×12＝33－410. 6．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形解析：由题设知sin[(A －B )＋B ]≥1，∴sin A ≥1，而sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝π2， ∴△ABC 是直角三角形．答案：C7．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－1B ．1 C. 3 D ．不存在解析：∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)，又∵α、β均为锐角，∴β＝π4－α，即α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1，故选B.答案：B8．若0＜α＜π2＜β＜π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝79，则sin α的值是() A.127 B.527C.13D.2327解析：由0＜α＜π2＜β＜π，知π2＜α＋β＜32π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝79，得sin β＝223，cos(α＋β)＝－429.∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝13.故选C.答案：C二、填空题9． (1)sin15°＝__________．(2)cos75°＝__________．(3)sin75°＝__________．(4)tan15°＝__________．(5)若cos θ＝－35，θ∈(π2，π)，则sin(θ＋π3)＝________．(6)若tan α＝3，则tan(α＋π4)＝__________．(7) sin47°－sin17°cos30°cos17°＝__________．(8)tan12°＋tan33°1－tan12°tan33°＝__________．解析：(1)sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6－24. (2)cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝6－24. (3)sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝6＋24. (4)tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝2－ 3. (5)∵cos θ＝－35，θ∈(π2，π)，∴sin θ＝45. 于是sin(θ＋π3)＝sin θcos π3＋cos θsin π3＝4－3310. (6)tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝3＋11－3＝－2. (7)原式sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin （30°＋17°）－sin17°cos30°cos17° ＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17° ＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12. (8)原式＝tan(12°＋33°)＝tan45°＝1.答案：(1)6－24 (2)6－24 (3)6＋24(4)2－3 (5)4－3310(6)－2 (7)1 (8)1 10．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C ＝________ 答案 255解析 sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22(cos B ＋1－cos 2B )＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010＝255. 11．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________． 解析：由已知得cos[(α＋β)－α]＝cos β＝－45， ∵450°<β<540°，∴sin β＝35， ∴sin(60°－β)＝32·(－45)－12×35＝－3＋4310. 答案：－3＋4310三、解答题12．已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4)，x ∈R ，且f (5π12)＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (34π－θ)． 解：(1)依题意有f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π4 ＝A sin 2π3＝32A ＝32，所以A ＝ 3. (2)由(1)得f (x )＝3sin(x ＋π4)，x ∈R ， f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4) ＝3(sin θcos π4＋cos θsin π4)＋3[sin(－θ)cos π4＋cos(－θ)sin π4] ＝23cos θsin π4＝6cos θ＝32∴cos θ＝64， ∵θ∈(0，π2)， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－38＝104∴f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＋π4＝3sin θ＝30413．已知α、β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，求α＋β. 下面给出一位同学的解答：解：∵α、β都是锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255， cos β＝1－sin 2β＝1－110＝31010. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. ∴α＋β＝π4. 这种解法有没有错误呢？如果有，错在什么地方呢？正确解法又如何呢？ 解：错误在于α、β都是锐角，0<α＋β<π∴α＋β＝π4或α＋β＝34π， 故α＋β＝π4不一定正确． 由于0<α＋β<π，故选用sin(α＋β)不能区分π4或34π，故应选用cos(α＋β)求值． ∵sin α＝55，sin β＝1010，∴cos α＝255，cos β＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.∴α＋β＝π4.。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） 学习目标：⒈掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．⒉能灵活应用公式进行简单三角函数式的化简．教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式．教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用．教学方法：讨论式．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）复习引入：师：上节课，我们利用向量方法得到了差角的余弦公式．请默写公式． 生：cos()αβ-cos cos sin sin αβαβ=+．师：有了这个公式以后，我们就可以以此为基础，利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得出其它一些公式．这是我们本节课的任务．（Ⅱ）讲授新课：师：请由差角的余弦公式推导出和角的余弦公式，即用任意角α、β的正弦、余弦值表示角αβ+的余弦值．生：cos()cos[()]αβαβ+=--cos cos()sin sin()αβαβ=-+-cos cos sin sin αβαβ=-．师：这样我们就得到了和角的余弦公式，简记作．要注意它与差角的余弦公式之间的差别．师：我们知道，利用诱导公式可以实现正弦、余弦的互化．请用诱导公式与和（差）角的余弦公式推导和（差）角的正弦公式．生：sin (α＋β)＝cos [2π－(α＋β)]＝cos [(2π－α)－β] ＝cos (2π－α)cos β＋sin (2π－α)sin β ＝sin αcos β＋cos αsin β．∴ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．sin [α＋(－β)]＝sin αcos (－β)＋cos αsin (－β)＝sin αcos β－cos αsin β，即： sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．师：这两个公式称为两角和（差）的正弦公式，分别简记作()S αβ+、()S αβ-师：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，有上面得到的公式推导出和（差）角的正切公式吗？生：tan()αβ+sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ++==+-． ① 师：上面的结论作为公式应用合适吗？为什么？生：这个结论实际上就是将同角三角函数的基本关系代如，然后再用和角的正弦、差角的余弦公式展开，不适合做公式应用．师：与和（差）角的正弦、余弦公式相比较，我们应该将上面结论中的正弦、余弦函数换成正切函数．请同学们继续进行公式的推导．生：①式右端分子、分母同时除以cos cos αβ，得tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=- ()()T αβ+． 同理 tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ ()()T αβ-． 师：公式()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+给出了任意角α、β的三角函数值与其和角αβ+的三角函数值之间的关系，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-都叫作差角公式．这六个公式之间具有怎样的逻辑关系？你能用框图的形式表示出这种关系吗？生：（用框图表示六个公式间的逻辑关系，形式不唯一）．例3已知4sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-，cos()4πα+，tan()4πα-的值．分析：解答此题时，应注意角4πα-和4πα+之间的关系．解：略．例4利用和（差）角公式计算下列各式的值：⑴sin 72cos 42cos72sin 42-；⑵cos 20cos70sin 20sin 70-； ⑶1tan151tan15+-． 分析：和（差）角公式把αβ±的三角函数是转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，我们就可以将三角函数式化简．解：略．（Ⅲ）课后练习：课本144P 练习 150P 习题3.1 A 组 ⒍（Ⅳ）课时小结:⑴三角变换的基本要求是：思维有序、表述条理．⑵三角变换中角的拆分的多样性，决定了变换的多样性．⑶三角公式的应用也具有多样性，要注意正勇、逆用、变形用． （Ⅴ）课后作业：⒈课本150P 习题3.1 A 组 ⒎⒏⒐⒑⒒⒉预习课本145P ～148P ，思考下列问题：⑴怎样应用和（差）角的三角函数公式推导二倍角的三角函数公式？ ⑵二倍角的余弦公式有哪些形式？⑶你对二倍角公式中的“倍”是怎样理解的？板书设计：教学后记:。
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
2
(sin
2
A.a>b>c
C.c>a>b
(2)已知
56°-cos 56°),c=
1-ta n 2 39°
,则 a,b,c 的大小关系是(
1+ta n 2 39°
B.b>a>c
D.a>c>b
π
cos(α-6 )+sin
4 3
α= 5 ,则
π
si(nα+6 )=
.
)
答案 (1)D
4
(2)
5
解析 (1)a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°
1
D.
2
.
答案 (1)B (2)D (3) 3
解析 (1)根据两角和的正弦公式展开得 sin
3
θ= sin
2
3
θ+ cos
2
θ=1,即
π
3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π
3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2