第十届数学应用知识竞赛试题
第十届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考答案
得 ＭＱ 一 １ ２ ３ ９ ９ ９ ９ ． ６ ｃ ｍ≈ １ ２ ． ４ ｋ ｎ ｉ ．
答： 飞机距地 面的高度约 为 １ ２ ． ４ ｋ ｎ． ｉ
２ ． （ 满分 １ ４ 分） 某工程 队共 有 ６ ０ ０ 人， 要建造一
段５ ０ ０ ０米 的高速公 路 ， 工 程需 要 把 ６ ０ ０人分 成 两 组， 一组 的任务是 完成一段 ２ ０ ０ ０米 的软土 地带 ， 另
３ ０ ０ ０÷ （ ６ ０ ０～ ｚ），
解为 知 ≈ ３ １ ５ ． ８ ．
ｆ ５ — ０ Ｘ — ２ ０ ０ ０ ， ｚ∈（ ｏ ， ３ １ ５ ． ８ ）
Ｉ Ｚ
近似 地 垂 直 于 地 面． 根 据 已 知 数
据， 因为飞机在 ９ Ｏ分钟内飞行 ９ ３ ０ ｋ ｍ（ 即９ ３ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ｃ ｍ） ， 可算 出飞行 的平均速度 为 １ ０ ３ ３ ３ ３ ３ ｃ ｍ／分 钟 ， 再 根据假设 ， 可得右 图 ， 在 ＡＭＥ Ｆ
短？
喜欢 看电视 剧的青年人 的集合 ， Ｂ为喜欢 看早 期 电 视 节 目的青年人 的集合 ， Ｃ为喜欢 周末 看电视 节 目
的青 年人 的集合 ， 用韦恩 （ Ｖ ｅ ｎ ｎ ）图表示 上Βιβλιοθήκη 集 合 ， 将集合 Ａ涂上 阴影
中调查数据看得下 图，
解 设在软土地带工作 的人数为 ｚ ， 则在硬 土 地带工作 的人数为 ６ ０ ０ 一ｚ ， 在软土 地带筑 路时间为 厂 （ ｚ ）＝ ５ ０ ｘ ２ ０ ０ ０÷ ｚ； 在硬 土 地带 筑 路 时 间 为
第４ ６卷
第５ 期
由点 Ｐ和点 Ｐ 及 点 Ｑ 和点 的对称 性知 ， Ｑ 一 Ｌｔ ０ ３— ８ ，
10届数学试题及答案
10届数学试题及答案在本次10届数学竞赛中，我们精心准备了一套试题，旨在测试参赛者的数学知识和解题技巧。
以下是本次竞赛的试题及其答案。
试题一：求解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的根。
答案：首先，我们识别这是一个二次方程。
通过因式分解，我们得到：\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]因此，方程的根为 \( x = 2 \) 和 \( x = 3 \)。
试题二：计算圆的面积，其中圆的半径为5厘米。
答案：圆的面积公式为 \( A = \pi r^2 \)，其中 \( r \) 是半径。
将半径\( r = 5 \) 厘米代入公式，我们得到：\[ A = \pi \times 5^2 = 25\pi \]所以，圆的面积为 \( 25\pi \) 平方厘米。
试题三：一个长方体的长、宽、高分别为3米、2米和1米，求其体积。
答案：长方体的体积公式为 \( V = l \times w \times h \)，其中 \( l \) 是长度，\( w \) 是宽度，\( h \) 是高度。
将给定的尺寸代入公式，我们得到：\[ V = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]因此，长方体的体积为6立方米。
试题四：计算函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \) 在 \( x = 1 \) 时的值。
答案：将 \( x = 1 \) 代入函数中，我们得到：\[ f(1) = 2 \times 1^3 - 3 \times 1^2 + 1 - 5 = 2 - 3 + 1 - 5 = -5 \]所以，函数在 \( x = 1 \) 时的值为 -5。
试题五：一个班级有40名学生，其中30名男生和10名女生。
如果随机选择一名学生，选择到男生的概率是多少？答案：选择到男生的概率是男生人数除以总人数。
因此，概率为：\[ P(\text{男生}) = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} \]所以，选择到男生的概率为 \( \frac{3}{4} \)。
中学生数理化学科能力展示活动真题-第10届初赛数学试题-七年级
第十届全国中学生数理化学科能力展示活动七年级数学解题技能展示试题(A卷)赛区㊀学校㊀㊀姓名㊀准考证号考生须知:１．请在答题纸和试卷上填写有效信息;２．考生必须在答题纸上答卷,否则成绩无效;３．考试时间为１２０分钟,满分１２０分．４．成绩查询:２０１８年１月５日起,考生可通过 中学生核心素养展示平台 (w w w．i s u y a n g．c n)查询自己的分数及获奖情况．一㊁选择题(每题６分,共４８分,每题只有１个选项是正确的)１．某市一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图(如右图)．图中点A表示１０月的平均最高气温约为１５ħ,点B表示４月的平均最低气温约为５ħ．下面叙述不正确的是(㊀㊀)．A㊀各月的平均最低气温都在０ħ以上;B㊀７月的平均温差比１月的平均温差大;C㊀平均最高气温高于２０ħ的月份有５个;D㊀３月和１１月的平均最高气温基本相同２．小明㊁小红㊁小刚㊁小丽四位同学向老师询问 第十届全国中学生数理化学科能力展示活动 的考场安排．老师说:你们４人中有２人在本校考㊁２人在外校考,然后老师给小明看了小红㊁小刚的考场;给小红看了小刚的考场;给小丽看了小明的考场．然后小明对大家说:我还是不知道我的考场．根据以上信息,则(㊀㊀)．A㊀小红可以知道４人的考场;B㊀小丽可以知道４人的考场;C㊀小红㊁小丽可以知道对方的考场;D㊀小红㊁小丽可以知道自己的考场３．某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量/L加油时的累计里程/k m２０１７年１０月１日１２３５０００２０１７年１０月１５日４８３５６００㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀注: 累计里程 指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内,该车每１００k m平均耗油量为(㊀㊀)．A㊀６升;㊀㊀B㊀８升;㊀㊀C㊀１０升;㊀㊀D㊀１２升４．Ac e r t a i n c a l c u l a t o r h a s o n l y t w ok e y s[＋１]a n d[ˑ２]．W h e n y o u p r e s s o n e o f t h e k e y s, t h ec a l c u l a t o ra u t o m a t i c a l l y d i s p l a y st h er e s u l t．F o ri n s t a n c e,i ft h ec a l c u l a t o ro r i g i n a l l y d i s p l a y e d ９ a n d y o u p r e s s e d[＋１],i tw o u l dd i s p l a y １０． I f y o ut h e n p r e s s e d[ˑ２],i t w o u l dd i s p l a y ２０． S t a r t i n g w i t h t h e d i s p l a y １, w h a t i s t h e f e w e s t n u m b e r o f k e y s t r o k e s y o uw o u l dn e e d t o r e a c h ２００ (㊀㊀)．A㊀８;㊀㊀B㊀９;㊀㊀C㊀１０;㊀㊀D㊀１１５．从数轴上单位长度线段开始,取走其中间１/３而达到第一阶段;然后从每一个余下的１/３线段中取走其中间１/３而达到第二阶段．无限地重复这一过程,余下的无穷点集就称为 康托尔集 ．右图是 康托尔集 的最初几个阶段,当达到第八个阶段时,余下的所有线段的长度之和为(㊀㊀)．A㊀(２３)２;㊀㊀B㊀(２３)６;㊀㊀C㊀(２３)８;㊀㊀D㊀(２３)１０６．陈老师要为他家的矩形餐厅(如右图)选择一张餐桌,并且想按如下要求摆放:餐桌一侧靠墙,靠墙对面的桌边留出宽度不小于８０c m的通道,另两边各留出宽度不小于６０c m的通道．那么在下面四张餐桌中,其大小规格符合要求的餐桌编号是(㊀㊀)．A㊀①②④;㊀㊀B㊀②④;㊀㊀C㊀①③;㊀㊀D㊀①②③④７．一个纸环链,纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列,截去其中的一部分,剩下部分如右图所示,则被截去部分纸环的个数可能是(㊀㊀)．A㊀２０１８;㊀㊀B ㊀２０１７;㊀㊀C ㊀２０１６;㊀㊀D㊀２０１５８．给出以下数对序列:(１,１)(１,２)(２,１)(１,３)(２,２)(３,１)(１,４)(２,３)(３,２)(４,１) 记第i 行的第j 个数对为a i j ,如a ４３＝(３,２),则a n m ＝(㊀㊀)．A㊀(m ,n －m ＋１);㊀㊀㊀B ㊀(m －１,n －m );C ㊀(m －１,n －m ＋１);D㊀(m ,n －m )二、填空题(每题８分,共３２分)９．规定:l o g a b (a ＞０,a ʂ１,b ＞０)表示a ,b 之间的一种运算．现有如下的运算法则:l o g n n a ＝a ;l o g N M ＝l o g n M l o g n N (n ＞０,n ʂ１,N ＞０,N ʂ１,M ＞０)．例如:l o g ２２３＝３,l o g ２５＝l o g １０５l o g １０２,则l o g １００１０００＝．１０．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律,按此规律得出a ＋b ＋c ＝．１１．瑞典皇家科学院宣布将２０１７年度诺贝尔物理学奖授予美国的R a i n e r W e i s s ㊁K i p S ．T h o r n e 和B a r r y C ．B a r i s h ,用以表彰他们在引力波研究方面的贡献．这次探测到的引力波是两个黑洞在互相融合期间释放出的,这次的融合发生在１３亿年前,之后它们发出的引力波就开始向着包括地球在内的宇宙各个地方进行传播．若将一百万千米作为一个计数单位,则用科学计数法表示黑洞融合的位置距离地球有个计数单位．(已知引力波的传播速度是３ˑ１０８m /s ,小数点后保留２位有效数字,１年按３６５天计算)１２．对于任意的２个实数对(a ,b )和(c ,d ),规定:(a ,b )＝(c ,d ),当且仅当a ＝c ,b ＝d ;运算 ☉ 为(a ,b )☉(c ,d )＝(a c －b d ,b c ＋a d );运算 ⊕ 为:(a ,b )⊕(c ,d )＝(a ＋c ,b ＋d )．设p ,q ɪR ,若(１,２)☉(p ,q )＝(５,０),则(１,２)⊕(p ,q )的值为．三、解答题(本题共３小题,共４０分)１３．(１３分)运输一批海鲜,可在汽车㊁火车㊁飞机三种运输工具中选择,它们的速度分别为v㊁２v㊁１０v k m/h,每千米的运费分别为a㊁b㊁c元,且b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/h,若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用(运费与损耗之和)互不相等,试确定使用哪种运输工具总费用最省．(题中字母均为正的已知量)１４．(１３分)有理数a㊁b㊁c均不为零,且a＋b＋c＝０．设x＝|a|b＋c＋|b|c＋a＋|c|a＋b,试求代数式x１９－２０１７x＋２０１７的值．１５．(１４分)某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示,若汽车行驶的平均速度为８０k m/h,而汽车每行驶１k m需要的平均费用为１ ２元．请指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?。
数学知识应用竞赛试卷附答案
AC B 数学知识应用竞赛试卷一、选择题：（1）某商店出售一种商品，每天能售出200件，每件能获利30元。
据市场调查分析，当这种商品中的每一件每降价1元时，每天可以多售出10件，为使每天获利最多，则这种商品中的每一件应降价（ ）（A ）3元 （B ）5元 （C ）8元 （D ）10元（2）我国首航员杨利伟乘坐的“神舟五号”载人宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 公里，远地点B 距地面为n 公里．若地球的半径为R 公里，则飞船运行轨道的短轴长为(A) mn (B) 2))((R n R m ++ (C) 2nm (D)))((R n R m ++（3）平面上有二个向量1e ＝（1，0），2e ＝（0，1），今有质点P 从0P （-1,2）开始沿着与向量1e ＋2e 相同的方向作匀速直线运动，速度为|1e ＋2e |米/秒；另一个动点Q 从点0Q （-2,-1）出发，沿着与向量31e ＋22e 相同的方向作匀速直线运动，速度为|31e ＋22e |米/秒，设P 、Q 在时刻t ＝0秒时分别在0P ，0Q 处，则当00Q P ⊥时，t 等于（ ） （A ）2秒 （B ）3秒 （Ｃ）４秒 （D ）5秒 （4）右图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积)(2m y 与时间t（月）的关系为：ta y =.有以下判断：①这个指数函数的底数为2；②第5个月后，浮萍面积就会超过302m ；③浮萍从42m 蔓延到122m 只需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到22m ,226,3m m 所经过的时间分别为,,,321t t t 则321t t t =+．其中正确判断的个数是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 （D ） 4 二、填空题：（5）现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm ，底面的长是25cm ，宽是20cm ．设0＜a ≤8，水箱里盛有深为a cm 的水，若往水箱里放入棱长为10cm 的立方体铁块，则水深为_________cm.（6）如图，距离船只A 的正北方向100 n mile 处，有一船只B以每小时20 n mile 速度，沿北偏西060 角的方向行驶，船 只A 以每小时15 n mile 速度，向正北方向行驶，两船同时 出发，经过 小时后，两船相距最近。
第十届“新希望杯”全国数学大赛 八年级试题(A卷)评分标准
第十届“新希望杯”全国数学大赛八年级试题（A 卷）评分标准一、选择题（每题6分，共36分）1．D 2．D 3．A 4．B 5．C 6．D二、填空题（每题6分，共36分）7．3 8．76 9．12-或1 10．1 11．6 12．2 三、解答题（每题12分，共48分）13．解：原方程可变为1111761211x x x x -=-----，………………………………………………2分 得11(7)(6)(12)(11)x x x x =----， 即(7)(6)(12)(11)x x x x --=--，……………………………………………………………4分 ∴22134223132x x x x -+=-+ ……………………………………………………………6分 即10x =90，解得x =9． ……………………………………………………………………………………8分 检验：当x =9时，(7)(6)(12)(11)0x x x x ----≠…………………………………………10分 ∴原方程的解为x =9．…………………………………………………………………………12分14．证明：如图，延长CE 交BA 的延长线于点F ，………………………………………………………………2分 ∵∠BAD =∠CED =90︒，∴∠ABD +∠ADB =∠ACF +∠CDE =90︒，又∵∠ADB =∠CDE ，∴∠ABD =∠ACF ．……………………………………………………………………………4分 在Rt △ABD 和Rt △ACF 中90BAD CAF AB AC ABD ACF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，∴Rt △ABD ≌Rt △ACF ，∴BD =CF ，∠ADB =∠F ．……………………………………………………………………9分 ∵BD 是∠ABC 的平分线，BE ⊥CE ，∴△BCF 是以CF 为底边的等腰三角形，且CE =EF =12CF =12BD ，……………………11分 ∴BD =2CE ．……………………………………………………………………………………12分15．解：3020686xy x y +++=(20)(30)86x y +++，……………………………………………………2分 由题意可知，86能同时被x +20和y +30整除，而86=1×86=2×43，x +20≥20，y +30≥30，∴x +20=y +30=86，或x +20=y +30=43，……………………………………………………5分 ∴(20)(30)86x y +++=86×86+86=86×87，或(20)(30)86x y +++=43×43+43×2=43×45，………………………………………………8分 所以这两种商品每件的进价是86+1=87(元)，或43+2=45(元)．…………………………………………………………………11分 答：略．…………………………………………………………………………………………………12分16．(1)证明：①∵△ABC和△ADE都为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∴AB－AD=AC－AE，即BD=CE．…………………………………………………………………………2分②由①可知，BD=CE，AD=AE，∵点M、N分别为BD、CE的中点，∴DM=EN，∴AM=AN，又∠A=60°，∴△AMN为等边三角形．…………………………………………………………4分(2)还成立．证明：(i)∵△ABC和△ADE都为等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=∠CAE=60°－∠CAD，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．………………………………………………………………6分(ii)由(i)可知AB=AC，∠ABD=∠ACE，BD=CE而点M、N分别为BD、CE的中点，∴BM=CN，∴△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，∴∠MAN=∠BAC=60°，∴△AMN为等边三角形． (8)(3)仍然成立．证明：∵△ABC和△ADE都为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠CAE=60°，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，…………………………………………10分又点M、N分别为BD、CE的中点，∴BM=CN，∴△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，∴∠MAN=∠BAC=60°，∴△AMN为等边三角形．……………………………………………12分。
第十届全国大学生数学竞赛决赛参考答案
准考证号
Þ
省市
学校
第 5 页, 共 7 页
得
分
阅卷人
六、 (本题满分 11 分) 设 A 是 n 阶幂零矩阵, 即满足 A2 = O . n 证明: 若 A 的秩为 r , 且 1 6 r < , 则存在 n 阶可逆矩阵 P , 使得 2 ! O I O r P 1 AP = , 其中 Ir 为 r 阶单位矩阵. O O O
座位号
注意到当 m < n 时, 有
n X k =m k X i =1 n X k =1 n 1 X k =1
(Ak
Ak
1 )bk = An bn
= lim = lim = lim
机
n!1
密
2 a2 an n+1 n!1 2 an 2 an +1
2 lim nan = lim
n Stolz 1 H H H H lim 2 2 2 n!1 1/a n!1 1/a 1/an n n+1 = lim
2 f 2 (a ) an n 2 (a ) n!1 a2 f n n
第十届全国大学生数学竞赛决赛参考答案
（非数学类, 2019 年 3 月 30 日）
座位号
绝密 F 启用前
(14 金融工程–零蛋大)
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分
题号 满分 一 30 二 12 三 12 四 12 五 12 六 11 七 11 总 分 100
考场号
得分 注意：本试卷共七大题, 满分 100 分, 考试时间为 150 分钟. 1: 所有答题都须写在试卷密封线右边, 写在其他纸上一律无效: 2: 密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记:
江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由⎰=--x tdt et 102所确定的隐函数，则==022t dtx d 。
7.已知微分方程()yyy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。
8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a 、的夹角为____________。
10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使⎰=++ba c x c x 0)cos()(，其中ab >。
四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b +=-=±=±和0z =所围区域的体积（其中,,a b c 为正实数）。
1993第十届全国初中数学联赛
1993第十届全国初中数学联赛第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了A ．B ．C ．D 四个结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．1．多项式1261x x -+除以21x -的余式是（） A ．1 B ．1- C ．1x - D ．1x + 2．对于命题Ⅰ．内角相等的圆内接五边形是正五边形．Ⅱ．内角相等的圆内接四边形是正四边形，以下四个结论中正确的是（） A ．Ⅰ，Ⅱ都对 B ．Ⅰ对，Ⅱ错 C ．Ⅰ错，Ⅱ对 D ．Ⅰ，Ⅱ都错 3．设x 是实数，|1||1|y x x =-++．下列四个结论： Ⅰ．y 没有最小值；Ⅱ．只有一个x 使y 取到最小值；Ⅲ．有有限多个x （不止一个）使y 取到最大值； Ⅳ．有无穷多个x 使y 取到最小值． 其中正确的是 A ．Ⅰ B ．Ⅱ C ．Ⅲ D ．Ⅳ 4．实数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 满足方程组（） 12312342345345145125.x x x a x x x a x x x a x x x a x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩，，，，其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是实常数，且12345a a a a a >>>>，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序是（）A ．1245x x x x >>>B ．42135x x x x x >>>>C ．31425x x x x x >>>>D ．53142x x x x x >>>> 5．不等式21(1)37x x x -<-<+的整数解的个解（）A ．等于4B ．小于4C ．大于5D ．等于56．在ABC △中，A ∠是钝角，O 是垂心，AO BC =，则cos()OBC OCB ∠+∠的值是（） A． BCD ．12-7．锐角三角形ABC 的三边是a ，b ，c ，它的外心到三边的距离分别为m ，n ，p ，那么::m n p 等于（）A ．111::a b cB ．::a b cC ．cos :cos :cos A B CD ．sin :sin :sin A B CED CB A OCBACnmp O B A81-可以化简成（）A)1+B)1C1 D1二、填空题1．当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是____________．2．放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有_______个小球． 3．若方程22(1)(1)x x k --=有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k =_______．4．锐角三角形ABC 中，ABC ∠中，30A ∠=︒．以BC 边为直径作圆，与AB ，AC 分别交于D ，E ，连接DE ，把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ，设它们的面积分别为1S ，2S ，则12:S S =__________．第二试一、设H 是等腰三角形ABC 垂心，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积ABC HBC S S ⋅△△的值变小、变大，还是不变？证明你的结论． 二、ABC △中，5BC =，12AC =，13AB =，在边AB ，AC 上分别取点D ，E ，使线段DE 将ABC △分成面积相等的两部分．试求这样的线段DE 的最小长度．三、已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根1x ，2x ，及1x '，2x '，且120x x >，120x x ''>． ①求证：10x <，20x <，10x '<，20x '>． ②求证：11b c b -+≤≤； ③求b ，c 所有可能的值．1993第十届全国初中数学联赛答案第一试一、选择题1．A【解析】 直接利用整式除法比较繁琐，将原式变形得126661(1)1x x x x -+=-+，6242(1)(1)1x x x x =-+++ ∴所以余式为1．【点评】 本题的关键是灵活利用立方差公式，将原来比较复杂的式子化简成需要的形式．2．B【解析】 命题Ⅰ正确，证明如下：如图1，ABCDE 为圆内接五边形，各内角相等，由A B ∠=∠，知BCE CEA ∠=∠于是BC EA =， ∴BC EA =，CED B A HCBAAEC BD∴同理可证BC DE AB CD EA ====，故ABCDE 是正五边形． 命题Ⅱ不正确，反例如下：如图6，ABCD 为圆内接矩形90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，AB CD =，BC DA =，但AB BC ≠，显然，ABCD 满足命题Ⅱ条件，但不是正四边形．【点评】 这道题不能想当然认为正四边形是对的，尽管正四边形我们比较熟悉，要经过分析得出结论．3．D 【解析】 因为|1|x -，|1|x +分别表示数轴上的点x 到点和点1-的距离，因此，当11x -≤≤时，|1||1|2y x x =-++=； 当1x <-时，|1||1|22|1|2y x x x =-++=++>； 1x >时，|1||1|22|1|2y x x x =-++=++>． 而在1-与1之间有无穷个实数x ，故有无穷多个x 使y 取到最小值．【点评】 直接用分类讨论的方法也可以得到答案，但是用算式的几何意义这种方法计算更直观，而且也不容易出错．4．C【解析】 给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得1412x x a a -=-，2523x x a a -=-， 3134x x a a -=-，4245x x a a -=-． ∵12345a a a a a >>>>，∴14x x >，25x x >，31x x >，42x x >， 于是有31425x x x x x >>>>．【点评】 这道题中方程组左边的项有一定规律，把方程两两相减就可以得出所需要的项，再利用所给的条件，比较一下就可以得出答案．5．A【解析】 注意到2(2)(1)01(1)37(1)(6)0x x x x x x x -->-<-<+⇒+-<，(1)(6)016x x x +-<⇔-<<．于是原不等式的整数解是介于1-与6之间且不等于1，2的整数，即0，3，4，5四个整数．【点评】 这道题主要要求出不等式的解集，题中给出的条件有一定的迷惑性，如果直接解这个不等式很难得出结果，所以考虑将原不等式化为两个一元二次不等式，再求它们的公共部分．6．A【解析】 设ABC △的三条高AD ，BE ，CF 相交于点O ．因ABC △为钝角三角形，故垂心O 在ABC△的外部（如图1）∵B ，D ，F ，O 四点共圆， 故12∠=∠又由题设OA BC =，知Rt Rt OAF BCF △≌△， ∴OF BF =，于是45BOF ∠=︒．而180135OBC OCB BOF ∠+∠=︒-∠=︒，∴cos()cos1352OBC OCB ∠+∠=︒=．【点评】 这道题关键是利用好OA BC =这个条件，因为初中范围内能计算出精确的三角函数值的不只有45︒，60︒这样的特殊角，观察后猜想45BOF ∠=︒，正好可利用到OA BC =这个条件，即可得出结论．7．C【解析】 如图7，设O 是ABC △的外心，图 1DC B AOA OB OC R ===， 1cos cos 2m BOC A R =∠=， ∴cos m R A =． 同理cos n R B =，cos p R C =．∴::cos :cos :cos m n p A B C =．【点评】 O 应为外心，所以我们画出三角形的外接圆帮助计算，容易发现m ，n ，p 的值都可以通过外接圆的半径来计算，再经过简单的推导即可得出结果．8．D【解析】 原式111213333132219-⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭313131321321121⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭==+=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦．【点评】 这个根式乍一看很复杂，我们观察后发现括号内的根式都是以9为分母的，所以考虑把19拿到括号外面来，再进行化简．这道题做的时候要细心，并且对于乘法公式能够灵活运用．二、填空题1．4【解析】 22222236561210226612422(1)112x x x x x x x x x x x ++++==-=-++++++++ ∴当1x =-时，公式取最小值4．【点评】 这种题目一定要把分母或者分子中的一项变形成为不含末知数的项，这样只有分母或者分子变化，容易求最值．2．7【解析】 设从左到右小盒里的球数为7，2a ，3a ，…，1993a ．∵234730a a a +++=，234530a a a a +++= ∴57a =，同理913174119937k a a a a a +======．【点评】 根据已给出的条件显然不能求出所有盒子里面球的数目，而已知条件中给出了第一个盒子中球的数目，并且发现1993与1对于4同余，再根据四个相邻的盒里共有30个小球这个条件可得出结果．3．47【解析】 设2x y =，原方程变为2540y y k -+-=，设此方程有根α，()x βαβ<<，则原方程的四个根为(，故9βα=．12α=，92β=，于是944k αβ-==， ∴74k =． 【点评】 直接计算这是一个4次方程，我们很难计算出结果，对于高次方程换元是我们最常用的方法，本题也不例外．4．3【解析】 如图2，BC 为圆的直径，18090AEB BCE ∠=︒-∠=︒∵cos cos30AE A AB ==︒= 又ADE ABC △∽△，∴AD AE AC AB =． 由此可知21sin 3214sin 2AED AEB AD AE AS AE S AB AB AC A ⋅⎛⎫=== ⎪⎝⎭⋅△△． 因而四边形DBCE 面积214ABC S S =△．12:3S S =．【点评】 四边形的面积不好计算，为此我们考虑两个有公共角的三角形面积，这样它们的面积比就转化成为了边长乘积的比，便于计算．第二试一、 【解析】 解法一：不妨设角A 是锐角，连接AH 并延长交BC 于D 点，延长BH ，CH 分别交AC 于E ，交AB 于F ，如图2． ∵BHD AHE ∠=∠，∴HBD HAE ∠=∠．因为Rt Rt BDH ADC △≌△，∴AC DC BD HD=． 又12BD DC BC ==，∴214AD HD BD CD BC ⋅=⋅=．∴4111:2216ABC HBC S S BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫=⋅⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△．当90A ∠︒≥时，同理可证上式也成立，由于BC 是不变的，所以当A 点至BC 的距离变小时，乘积ABC HBC S S ⋅△△保持不变．解法：作图3如解法1，再延长AD 至G ，使DG DH =，并分别连接BG ，GC ．由HBD GBD △≌△， CBG CBH CAG ∠=∠=∠， 因而，A ，B ，G ，C 四点共圆，由相交弦定理， 得AD HD AD DG BD DC ⋅=⋅=⋅图 2F DE AC H G H F EDC B A 图 3214BC =． 因此，ABC HBC S S ⋅△△ 1122AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 4116BC =． 由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积ABC HBC S S ⋅△△保持不变．【点评】 题目的已知条件中没有给出不等关系，所以容易猜想到结果是不变的，而三角形中只有底边BC 是不变的，所以考虑将面积的乘积用BC 来表示．二、 【解析】 由于22251213==，知ABC △是直角三角形，如题图．1512302ABC S =⋅⋅=△，设AD x =，AE y =，由于1sin 2ADE S xy A =△15=，5sin 13A =，知78xy =． 由余弦定理知：22222cos ()2(1cos )DE x y xy A x y xy A =+-=-+-212()278113x y ⎛⎫=-+⨯⨯- ⎪⎝⎭2()1212x y =-+≥，当x y =时，上式的等号成立，此时DE =【点评】 求最值的几何问题我们可以用设未知数的方法来解，然后将已知的几何条件转化成为未知数的关系，最后用代数中常用的方法来求解．三、【解析】 1．假如10x >，同由12x x ，知20x >，对于已知两个方程用韦达定理得1212x x b x x ''+=-=-，这与已知120x x >，120x x ''>矛盾，因此，10x '<，20x '<． 同理10x '<，20x '<． 2．由韦达定理及10x <，20x <有 1212(1)1c b x x x x --=+++ 12(1)(1)0x x =++≥， 所以1c b -≥．对于方程20x cx b ++=进行同样讨论，得 1b c -≥．综合以上结果，有 11b c b -+≤≤．3．根据2的结果可分下列情况讨论：①当1c b =+时，由韦达定理有12121x x x x =--+，从而12(1)(1)2x x ++=．由于1x ，2x 都是负整数，故121112x x +=-⎧⎨+=-⎩或121211x x +=-⎧⎨+=-⎩，由此算出5b =，6c =．经检验5b =时，6c =符合题意．②当c b =时，有1212()x x x x =-+，从而12(1)(1)1x x ++=，因此122x x ==-，故4b c ==． 经检验4b c ==符合题意．③当1c b =-时，1b c ==对方程20x cx b +==作类似①讨论，得6b =，5c =． 综上所述得三组值： 56b c =⎧⎨=⎩，65b c =⎧⎨=⎩，44b c =⎧⎨=⎩． 【点评】 这道题目比较繁琐，但是它分了三个问，这就给出了提示，我们做的时候要按照3问，依次解决，一定要注意利用上一问的结果．。
10届全国高中数学联赛试题及答案
10届全国高中数学联赛试题及答案2010年全国高中数学联赛一试一、填空题（每小题8分，共64分，）1.函数的值域是.2.已知函数的最小值为，则实数的取值范围是.3.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.4.已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则.5.函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.7.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则.8.方程满足的正整数解（x,y,z）的个数是.二、解答题（本题满分56分）9.（16分）已知函数，当时，试求的最大值.10.（20分）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.11.（20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.解答1.提示：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2.提示：令，则原函数化为，即.由，及知即.（1）当时（1）总成立；对；对.从而可知.3.9800提示：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.4.提示：设的公差为的公比为，则（1），（2）（1）代入（2）得，求得.从而有对一切正整数都成立，即对一切正整数都成立.从而，求得，.5.提示：令则原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以；当时，，所以.综上在上的最小值为.6.提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为.7.提示：解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.设分别与平面、平面垂直的向量是、，则由此可设，所以，即.所以.解法二：如图，.设与交于点则.从而平面.过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即.又..8.336675提示：首先易知的正整数解的个数为.把满足的正整数解分为三类：（1）均相等的正整数解的个数显然为1；（2）中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设两两均不相等的正整数解为.易知，所以，即.从而满足的正整数解的个数为.9.解法一：由得.所以，所以.又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.解法二：.设，则当时，.设，则..容易知道当时，.从而当时，即，从而,，由知.又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.10.解法一：设线段的中点为，则，.线段的垂直平分线的方程是.（1）易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.由（1）知直线的方程为，即.（2）（2）代入得，即.（3）依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,..定点到线段的距离..当且仅当，即,或时等号成立.所以，面积的最大值为.解法二：同解法一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.设，则的绝对值，所以,当且仅当且，即,或时等号成立.所以，面积的最大值是.11.令，则，所以是严格递增的.又，故有唯一实数根.所以，.故数列是满足题设要求的数列.若存在两个不同的正整数数列和满足，去掉上面等式两边相同的项，有，这里，所有的与都是不同的.不妨设，则，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.加试1.（40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC 交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．2.（40分）设k是给定的正整数，．记，．证明：存在正整数m，使得为一个整数．这里，表示不小于实数x的最小整数，例如：，．3.（50分）给定整数，设正实数满足，记．求证：．4.（50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解答1.用反证法．若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ．因为P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O），同理，所以，故⊥．由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是．①由梅内劳斯（Menelaus）定理，得，②．③由①，②，③可得，所以，故△DMN∽△DCB，于是，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而四点共圆.注1：“P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得，④则P，E，F，A四点共圆，故，从而E，C，F，K四点共圆，于是，⑤⑤-④，得P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）．注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．2.记表示正整数n所含的2的幂次．则当时，为整数．下面我们对用数学归纳法．当时，k为奇数，为偶数，此时为整数．假设命题对成立．对于，设k的二进制表示具有形式，这里，或者1，．于是，①这里.显然中所含的2的幂次为．故由归纳假设知，经过f的v次迭代得到整数，由①知，是一个整数，这就完成了归纳证明．3.由知，对，有．注意到当时，有，于是对，有，故．4.对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标上b，如果数字和颜色都相同，则标上c．于是对于给定的点上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点上的设置．为了使得最终回到时的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a 和b的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a的边有条，标有b的边有条，．选取条边标记a的有种方法，在余下的边中取出条边标记b的有种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为．①这里我们约定．当n为奇数时，此时．②代入①式中，得．当n为偶数时，若，则②式仍然成立；若，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有种；当n为偶数时有种．。
趣味数学知识竞赛试题
趣味数学知识竞赛试题趣味数学知识竞赛试题数学是一门充满趣味和挑战的学科，不仅可以锻炼我们的思维，还可以培养我们的解决问题的能力。
为了激发大家对数学的兴趣，我们精心策划了一场趣味数学知识竞赛。
以下是本次竞赛的部分试题，让我们一起来感受数学的魅力吧！一、填空题1、在一个正方形的池子中，青蛙跳到了一个角落上，它需要跳几次才能跳出池子？2、有一个长度为n的数组，其中每个元素的值都是1或-1。
请问，这个数组中相邻两个元素的乘积有多少种可能的取值？3、一个球的半径为r，将它放入一个圆柱形容器中，容器的高度也是r。
容器的底面积是S，那么球在容器中的最大高度是多少？二、选择题1、以下哪个函数是奇函数？ A. f(x) = x^2 B. f(x) = 2x C. f(x) = x+1 D. f(x) = sin x2、一个6位的二进制数，能被3整除的个数是多少？ A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个3、一个正六边形的半径为r，那么它的面积为多少？ A. 3/2πr^2 B. 3πr^2 C. 6/2πr^2 D. 6πr^2三、解答题1、求 (1+i)^8 的实部和虚部。
2、将1,2,3,...,n这n个整数放入一个数组中，使得相邻两个元素的差的绝对值最大。
求这个最大值。
3、一个球在一个坡道上进行滚动，球的速度v与球的中心到坡道平面的垂直距离h满足关系：v = gh/2v_0，其中g是重力加速度，v_0是球在水平面上滚动时的速度。
求球在坡道上滚动的加速度与球在水平面上滚动的加速度的比值。
四、应用题一个农民想要用篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一侧是墙，篱笆的总长度为L。
菜园的两条短边的长度之和是x，长边的长度是y。
如何确定x和y的值，才能使得菜园的面积最大？请用数学方法解答此问题。
以上就是本次趣味数学知识竞赛的部分试题，希望大家能够积极参与，共同感受数学的魅力！趣味历史知识竞赛试题题目：趣味历史知识竞赛关键词：历史，知识竞赛，趣味，古代文明，历史人物，历史事件亲爱的读者们，你们好！今天，我们将一起踏上一段充满趣味和探索的历史之旅。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十届数学应用知识竞赛试题
(共用时180分钟)
班级姓名手机号（非常重要）分数
1．（6分）王老师每天早上晨练，他第一天跑步1000米，散步1600米，共用25分钟；第二天跑步2000米，散步800米，共用20分钟。
假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变。
求：(1)王老师跑步的速度； (2)王老师散步800米所用的时间。
2．（6分）如图，正三角形ABC的面积为120平方米，那么阴影部分(正三角形)的面积为多少？
3．（7分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前没行一段距离才能停住。
我们称这段距离为“刹车距离”。
刹车距离是分析事故的一个重要的因素。
在一个限速为40千米/时的路段上，先后有A、B两辆汽车发生交通事故。
事故后，交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米，不足15米，B车的刹车距离超过11米，不足12米。
又知A、B两种车型的刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如
下关系：如果仅仅考虑汽车的车速因素，哪辆车应负责任？
4.（6分）北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一个抢答题：小晰蜴体长15cm，体重15g,问：当小晰蜴长到体长为20cm时，它的体重大约是多少（选择答案：20g,25g,35g,40g）?尝试用数学分析出合理的解答。
5．（6分）有 A、B、C、D、E五个小足球队参加足球比赛，到现在为止，A队赛了4场，B队赛了3场，C队赛了2场，D队赛了1场。
那么E队赛了几场？
6.（6分）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如下图。
现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给图1染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色。
共有多少种不同的染色方法？
7．（7分）假设你有机会组织一场庆祝五四青年节的演唱会，需要尽快制定一个工作计划．要完成的工作有如下7项：
⑴取得主管部门批准(需2周)；⑸租场地(需2周)；
⑵申请到所需的活动经费(需1周)；⑹印制节目单(需1周)；
⑶争取商业界的广告资助(需4周)；⑺发布演唱会的通知(需2周)．
⑷聘请演员(需3周)；
完成这七项工作是有一定的先后顺序的：取得主管部门批准后才可以开始租借演出场地和申请活动经费；必须要前三项任务完成后才能开始聘请演员；上述工作全部完成后就可以印刷节目单，同时发布演唱会的通知．请你根据上面介绍的操作过程制定一份工作计划，以最短的时间完成这个任务．
8．（6分）晚上7׃30在一所大厦的犯罪现场发现一具尸体，法医于晚上8׃20赶到现场，测得尸体温度为32.6℃；1小时之后当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃，而死者生前体温是37℃；大厦内部室温始终保持在21.1℃．若记法医验尸时刻t=0，则尸体温度T(t)与时刻t满足T(t)=21.1+ae−kt．此案的最大嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5׃00时打了一个电话，然后就离开了办公室．”张某办公室与案发地点步行需5分钟．此证言能否使张某被排除在嫌疑犯之
9． （7分）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品
单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
10．（5分）一个活动性较强的细菌每经过10秒就分裂为一个活动性较强的与一个活动性较弱的细菌，而一个活动性较弱的细菌每经过20秒就分裂为两个活动性较弱的细菌。
问：一个活动性较强的细菌，经过60秒可繁殖多少个细菌?
11．（5分）一次乒乓球比赛，共有512名乒乓球运动员参加比赛。
比赛采用淘汰制赛法，两个人赛一场，失败者被淘汰，将不再参加比赛；获胜者进入下轮比赛，如此进行下去，直到决赛出第一名为止。
问这次乒乓球比赛一共要比赛多少场？
12.（10分）受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。
在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。
下面是某港口顺某季节每天的时间与水深关系表：
(1)请在坐标纸上，根据表中的数据，用连续曲线描出时间与水深关系的函数图像；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？(本题解答过程请写在本张试卷反面)
13．（6分）两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去. 试求这两人能会
面的概率？
14（6分）．某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为正圆柱体(视上、下底为平面)，上下底半径为r，高为h．若体积为V，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍，试问当r与h之比是多少时用料最少？
15（6分）乘夏利出租汽车，行程不超过4公里时，车费为10.40元，行程大于4公里但不超过15公里时，超出4公里部分，每公里车费1.60元．行程大于15公里后，超出15公里的部分，每公里车费2.40元，途中因红灯等原因而停车等候，每等候5分钟收车费1.60元，又计程器每半公里计一次价，例如，当行驶路程x(公里)满足12≤x＜12.5时，按12.5公里计价；当12.5≤x＜13时，按13公里计价．等候时间每2.5分钟计一次价，例如，等候时间t(分钟)满足2.5≤t＜5时，按2.5分钟计价；当5≤t＜7.5时，按5分钟计价．请回答下列问题：(1)若行驶12公里，停车等候3分钟，应付多少车费？(2)若行驶23.7公里，停车等候7分钟，应付多少车费？(3)若途中没有停车等候，所付车费y(元)就是行程x(公里)的函数y＝f(x)，画出y＝f(x)(0＜x＜7)的图象．
16（5分）一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.。