二次函数中寻找等腰三角形问题

函数解析式得
所以，抛物线的函数解析式为 ；
（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．
（3）当点M的坐标分别为 时，△ MCK为等腰三角形．
（i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（﹣2， ），
又∵点C的坐标为（0， ），则GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，
线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段
AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
△EPM为等腰三角形。
（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。
（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。
②求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。
9．解：（1）当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时，
6．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）分EF=EG、GF=EG、GF=EF三种情况分析。
解：(1)C(4， )，D(1， )；
(2)顶点( )，解析式 ；
(3)EF=EG
GF=EG
GF=EF
3．解：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，
又∵OB=3，OA=1，AB=4，∴ ，∴点C的坐标是
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x﹣1）（x+3），把C（0， ）代入
ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。
ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2 ) 。
ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1， )
∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2 ）或（1， ）时，
②首先表示RF的长，若△PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可。
③根据①的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF的形状。
8．【解析】解：（1）B（3，0），C（0， ）。
（2）当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由．
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（14,0）和C（0，－8），对称轴为x＝4．
3．已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（－3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l1、抛物线、直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系请说明理由；
∵A（—1，0）B（3，0）
∴可设过A、B、C三点的抛物线为 。
又∵C（0， ）在抛物线上，∴ ，解得 。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 即 。
（2）①当△OCE∽△OBC时，则 。
∵OC= ， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴ 。∴x=2。
∴当x=2时，△OCE∽△OBC。
②存在点P。
∴∠1+∠2= （360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°
∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形。
（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式。
（2）①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证。
9．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO= ，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
MP⊥AB，∵∠A=60°，∴AP=4 ，∴ 。（2分）
（2）∵AP= ，∴BP=
又∵∠B=30°，∠PMB=600°，∴∠BPM=90°
（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标：
4．如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为以AC为腰的等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．
参考答案
1．【解析】（1）根据题意可得点C的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点C的横坐标，继而也可得出点D的坐标；
（2）由题意可得点C和点D关于抛物线的对称轴对称，从而得出抛物线的对称轴为 ，再由抛物线的顶点在直线 ，可得出顶点坐标为( )，设出顶点式，代入点C的坐标即可得出答案．
7．如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：PF=PR；
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．
8．在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物
（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
10．如图,已知抛物线 与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。
∴∠AEC=∠A=60°。
又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。
∴点C与点M关于抛物线的对称轴 对称。
∵C（0， ），∴M（2， ）。
过M作MN⊥x轴于点N（2，0），
∴MN= 。 ∴ EN=1。
∴ 。
若△PEM为等腰三角形，则：
∴P（4，0），
存在P的坐标是（3﹣ ，1+2 ）或（3+ ，1﹣2 ）或（5，﹣5）或（4，0）．
5．（1） ；
（2）存在，理由如下：
综上所述：存在5个M点，即
6．【解析】解：（1）由抛物线 过A（－3，0），B（1，0），则
，解得 。
∴二次函数的关系解析式为 。
（2）设点P坐标为（m，n），则 。
∴ ；
当m≥3时，PC=CD﹣PD=m2﹣3m，OC= ，
由勾股定理得：OP2=OD2+DP2=m2+m2（m﹣4）2，
①当OC=PC时， ，
解得： ，
∴ ；
②当OC=OP时， ，
解得：m1=5，m2=3（舍去），
∴P（5，﹣5）；
③当PC=OP时，m2（m﹣3）2=m2+m2（m﹣4）2，
解得：m=4，
二次函数中寻找等腰三角形问题
1．如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC= ，直线y= 经过点C，交y轴于点G,且∠AGO=30°。
(1)点C、D的坐标
(2)求顶点在直线y= 上且经过点C、D的抛物线的解析式；
(将(2)中的抛物线沿直线y= 平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E。平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
= ，即：a4﹣8a2﹣48=0，得：a2=﹣4（舍去），a2=12。
∴a=±2 ，﹣ a2=﹣3。
∴存在符合条件的P点，坐标为（2 ，﹣3）、（﹣2 ，﹣3）。
③同①可证得：QF=QS。