Capon 波束形成器推导
稳健的收发波束形成方法研究
稳健的收/发波束形成方法研究波束形成是阵列信号处理中的一个重要研究方向,广泛应用于地震学、声呐、雷达、无线通信和医学成像等领域。
波束形成通过对阵列上各通道数据进行复数加权求和达到提取期望信号并抑制干扰和噪声的目的。
根据加权向量的计算是否依赖于接收数据,波束形成器可以分为两类:静态波束形成器和自适应波束形成器。
作为一种常用的自适应波束形成器,Capon波束形成器可以通过自适应选择加权向量来最小化阵列输出功率,并保证期望信号不失真。
与静态波束形成器相比,虽然Capon波束形成器有更高的分辨率和更好的干扰抑制能力,但是当期望信号导向矢量存在误差时,Capon波束形成器会将期望信号视为干扰并进行抑制,从而导致性能急剧下降。
近年来,为了提高自适应波束形成器的稳健性,发展了许多稳健的波束形成方法。
本文针对不同的信号形式和应用场景对稳健的自适应波束形成方法进行了深入研究,主要创新点和贡献包括:1.针对基于样本协方差矩阵求逆波束形成器在期望信号导向矢量存在误差时出现的信号“自消”问题,提出了一种基于干扰加噪声协方差矩阵(InterferencePlus-Noise Covariance Matrix,IPNCM)重构的稳健波束形成算法。
该算法的流程为先重构IPNCM,再估计期望信号的导向矢量,最后计算加权向量。
在IPNCM重构中,首先通过Capon波束形成器对干扰区域的干扰信号来波方向进行粗估计,由此计算干扰信号的名义导向矢量;其次,对样本协方差矩阵进行特征值分解,求出干扰子空间;接着,基于名义导向矢量和干扰子空间,通过自适应迭代稳健Capon波束形成方法估计各干扰信号的真实导向矢量;最后,根据定义式重构IPNCM。
在期望信号导向矢量估计过程中,本文根据不同的应用场景提出了三种方法;一种是通过求解二次约束二次规化问题估计期望信号的失配矢量,另外两种是分别通过协方差矩阵特征值分解方法和Oracle Approximating Shrinkage(OAS)估计器方法直接估计期望信号导向矢量。
一种联合修正的稳健Capon波束形成算法
Ｊ Ｉ ＡＮＧ Ｘｉ — ｘ ｉ ，Ｗ Ｕ Ｙｉ ｎ ｇ
（ Ｐ Ｌ Ａ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ， Ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ４ ５ ０ ０ ０ ２ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ）
第 ３期
２ Ｏ １ ４年 ６月
雷 达 科 学 与技 术
Ｒ ａｄａｒ Ｓｃ ｊ ｅｎｃｅ ａｎｄ ３
Ｊ ｕ ｎ ｅ ２ ０ １ ４
一
种 联 合 修 正 的 稳健 Ｃａ ｐ ｏ ｎ波 束 形成 算 法
蒋 曦曦 。吴 瑛
仿真结果表明， 该 算 法 对 天 线 阵模 型 中误 差 矩 阵 具 有 一 定 的 稳 健 性 ， 且 较 其 他 稳 健 算 法具 有 较 好 的性 能 。
关 键词 ： 协 方 差估 计 ； 导 向 矢量 修 正 ；稳 健 波 束 形 成 ；二 次 约 束 二 阶 规 划
中 图分 类 号 ： ＴＮ ９ 】 １ ． ７ 文 献 标 志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ２ — ２ ３ ３ ７ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ３ — ０ ３ ３ ３ — ０ ５
ｓ ｔ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ｖ ｅ ｃ ｔ ｏ ｒ ｍｉ ｓ ｍａ ｔ ｃ ｈ ，ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｃａ ｐ ｏ ｎ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｐ ｅ ｒ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｎ ｃ ｅ ｄ ｅ ｇ ｒ ａ ｄ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｒ ｅ ｖ ｅ ｎ ｉ ｎ ｖ ａ —
一种新的稳健Capon波束形成算法
Ａ ｗ ｇ ｒｔ ｍ ｏ ｂ ｔＣａ ｏ ａ ｆ ｒ ｉ Ｎｅ Ａｌ ｏ ｉｈ ｆ ｒ Ｒｏ ｕｓ ｐ ｎ Ｂｅ ｍ ｏ ｍ ｎｇ
Ｘ ｉｇｊ ，Ｈ ｕ ， Ｈ Ｎ Ｆ ｎ ，Ｓ Ａ ｈ－ ｎ Ｕ Ｄ ｎ －ｅ Ｅ Ｒ ｉ Ｓ Ｅ ｅｇ Ｈ Ｎ Ｚ ｉ ｇ ｉ ｍｉ
响应 和 真实 的阵列 响应 之间 的差异 引起 的 。在 这种 情况 下 ， ａｏ Ｃ ｐ ｎ波束 形成 器把 Ｓ Ｉ Ｏ 当作 干扰抑 制掉 。
（ 尔 滨 工 程 大 学 自动化 学 院 ，哈 尔 滨 １０ ０ ） 哈 ５ ０ １
摘
要 ：针对常规 Ｃｐ ｎ波束形成算法在期望信号导 向矢量失配情况下 性能 的急剧下 降 ， ａｏ 研究 了一种新 的基
于导向矢量 不确定集 的稳健 Ｃ ｐｎ波束形成算法 。该算法 通过对 阵列接受 信号 的相 关矩 阵进 行特征分解 获得 噪 ａｏ 声子空间 ， 使期望信号导 向矢量在噪声子空间的投影最优。并且利用特征向量 的结构特性推导 出了最优对 角加 载
阵列信 号 处理在 雷达 ， 通信 ， 声纳 ， 学 ， 声 地震 学
以及 医学 等领 域具 有 广 泛 的应 用 ， 中波 束形 成 是 其 阵列 处 理 的一 个 重 要 任 务 。理 想 情 况 下 ，ａｏ Ｃ ｐｎ波 束 形成 器具有 较 高 的分 辨率 和干 扰抑制 能力 ， 然而 ， 当有用 信 号 （ ｉ ａ ｏ Ｉｔｒｓ） Ｏ Ｓｇ ｌ ｆ ｎｅ ｔＳ Ｉ的导 向矢量 存 在 ｎ ｅ 误 差 时波束 形成 器 的性 能 将 会 急 剧下 降 ， 这是 由于 假定 信号 到达 角和 真实信 号到 达角 或者假 定 的阵列
导向矢量不确定集约束的稳健Capon波束形成算法
Ｒｏ ｕ ｔＣａ ｏ ｅ ｍ ｆ ｒ ｉ ｌ ｏ ｉｈｍ ｎ ｅ ｈｅ ｂ ｓ ｐ ｎ ｂ ａ ｏ ｍ ｎｇ ａ ｇ ｒ ｔ ｕ ｄ ｒｔ
ｓ ｅ ｒ ｎｇ ｖ ｃ ｏ ｎ ｅ ｔ ｉ ｔ ｅ ｔｅｉ ｅ ｔｒｕ ｃ ｒａｎ ｙｓｔ
Ｌ Ｕ ｏ ｇ ｆ ｎ Ｃ ｎ — ｅ ｇ．ＬＩ ＡＯ ｉｓ ｅ ｇ Ｇｕ —ｈ ｎ
（ ｙ Ｌａ ．ｏ ｄ ｒＳ ｇ ａ ｏ ｅ ｓｎ ，Ｘｉ ｉｎ Ｕｎ ｖ ，Ｘｉ ｎ ７ ０ ７ ，Ｃｈ ｎ ） Ｋｅ ｂ ｆＲａ ａ ｉ ｎ ｌ Ｐｒ ｃ ｓ ｉ ｇ ｄａ ｉ． ’ １０ １ ａ ｉａ
是不 能改善 诸如 较差 的阵列 校正 、 知传感 器互 耦 、 未 近场 波前 失 真 、 源扩 展 以及 相 干 和非 相 干 的局 部 散射 等
影响 ． 近几年 提 出了在 理论上 比较 严格 的稳 健波束 形 成算法 ［ ， 主要 思 想是 定 义 了所 谓 的不 确定 集 和使 ３ 其
导 向矢 量不 确 定 集约 束 的稳 健 Ｃ ｐ ｎ波 束形 成 算 法 ａｏ
刘 聪 锋， 廖 桂 生
（ 西安 电子 科 技 大 学 雷达 信 号 处理 重 点 实验 室 ， 西 西 安 陕 ７０７） １ ０ １
一 ～一 ～ 一 一～ ～一
摘 要 ：针 对 Ｃ ｐ ｎ波 束 形 成 算 法 在 导 向矢 量 不 确 定 集 约 束 下 的求 解 问题 ， 出 了新 的 求 解 方 法 ． 过 对 ａｏ 提 通
阵列信号处理中DOA算法分类总结(大全)
阵列信号处理中的DOA（窄带）空域滤波波束形成：主要研究信号发射/接收过程中的信号增强。
空间谱估计空域参数估计：从而对目标进行定位/给空域滤波提供空域参数。
测向波达方向估计(DOA)空间谱：输出功率P关于波达角θ的函数，P(θ).延迟——相加法/经典波束形成器注，延迟相加法和CBF法本质相同，仅仅是CBF法的最优权向量是归一化了的。
1、传统法常规波束形成CBF/Bartlett波束形成器常规波束形成（CBF：Conventional Beam Former）Capon最小方差法/Capon 波束形成器/MVDR波束形成器最小方差无畸变响应（MVDR：minimum variance distortionless response）Root-MUSIC算法多重信号分类法解相干的MUSIC算法（MUSIC）基于波束空间的MUSIC算法2、[object Object]TAM旋转不变子空间法 LS-ESPRIT （ESPRIT）TLS-ESPRIT确定性最大似然法（DML：deterministic ML）3、最大似然法随机性最大似然法（SML：stochastic ML）4、综合法：特性恢复与子空间法相结合的综合法，首先利用特征恢复方案区分多个信号，估计空间特征，进而采用子空间法确定波达方向最大似然估计法是最优的方法，即便是在信噪比很低的环境下仍然具有良好的性能，但是通常计算量很大。
同子空间方法不同的是，最大似然法在原信号为相关信号的情况下也能保持良好的性能。
阵列流形矩阵（导向矢量矩阵）只要确定了阵列各阵元之间的延迟τ，就可以很容易地得出一个特定阵列天线的阵列流形矩阵A。
传统的波达方向估计方法是基于波束形成和零波导引概念的，并没有利用接收信号向量的模型（或信号和噪声的统计特性）。
知道阵列流形 A 以后，可以对阵列进行电子导引，利用电子导引可以把波束调整到任意方向上，从而寻找输出功率的峰值。
①常规波束形成(CBF)法CBF法，也称延迟—相加法/经典波束形成器法/傅里叶法/Bartlett波束形成法,是最简单的DOA 估计方法之一。
beamforming capon滤波器推导
beamforming capon滤波器推导Capon滤波器是一种用于波束成形（Beamforming）的方法，它可以提高信号的分辨率和抑制干扰。
下面是Capon滤波器的推导过程：假设存在一个传感器阵列，包含M个传感器，接收到的信号为向量x(k)，其中k表示时间。
传感器阵列接收到的信号可以用以下矩阵形式表示：X(k) = [x(1,k) x(2,k) ... x(M,k)]对于传感器阵列接收到的信号，我们可以通过以下协方差矩阵来描述信号之间的相关性：R = E[X(k)X(k)H]其中E表示期望运算，H表示共轭转置。
Capon滤波器的目标是最小化输出信号的方差，并最大化输出信号与期望信号的相关性。
为了实现这个目标，我们可以定义一个权重向量w，通过以下公式进行计算：w = arg max [wH*R*w] / [wH*d]其中，wH表示w的共轭转置，d表示期望信号的方向向量。
我们可以通过拉格朗日乘子法来求解这个问题。
引入拉格朗日乘子λ，并构建拉格朗日函数：L(w,λ) = wH*R*w -λ(wH*d - 1)对L(w,λ)求导并令导数等于0，得到：∂L(w,λ)/∂w = 2R*w - 2λd = 0解上述方程可以得到权重向量w的表达式：w = λ* R^(-1) * d将上述表达式代入约束条件wH*d=1，可以解得λ的表达式：λ= 1 / (dH * R^(-1) * d)最后，将λ的值代入w的表达式，就可以得到Capon滤波器的权重向量w。
总结起来，Capon滤波器通过最小化输出信号的方差，并最大化输出信号与期望信号的相关性，来实现波束成形。
这个过程通过构建拉格朗日函数，并使用拉格朗日乘子法，可以得到最优的权重向量w。
Capon波束形成器的仿真
Capon 波束形成器的仿真一、原理1、波束形成的定义波束形成就是从传感器阵列重构源信号，然后通过增加期望信源的贡献和抑制掉干扰源来实现的。
实际上波束形成可以看成空域（或时域）滤波器。
2、波束形成器的最佳权向量的推导首先，假定一天线阵列中个阵元的接收信号向量为()n x ，权向量为12[,,,]M w w w =w ，由于阵列的输出是对阵元的接收信号向量在个阵元上个分量的加权和，所以阵列的输出可写作：*1()()()MHmm m n n w x n ===∑y w x再令空间远场期望信号为()d t ，J 个干扰信号为()j i t ，1,2,,j J =，每个阵元上的加性白噪声为()k n t ，他们都具有相同的方差2n σ。
在这些假设条件下，第k 个阵元上的接收信号可以表示为1()()()()()()j Jk k d k i j k j x t a d t a i t n t θθ==++∑111212()()()()()()(),(),()()()()J d i i J M M x t d t n t x t i t n t a a a i t n t x t θθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 矩阵形式如下：1()()()()()()()()j Jd i j j t t t a d t a i t n t θθ==+=++∑x As n由以上可知：N 个快拍的波束形成器的输出为()()(1,2,,)H y t w x t t N ==输出的平均功率为2211222222111111()()()111()()()()()j N N H t t N J NNH Hd j i t j t t P w y t w x t N N w a d t i t w a w n t N N N θθ========⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑当N →∞时，上式变为{}{}{}{}22222221()()()()()()()()jHHHJHHdj i nj P w E y t w E x t x t w wRwE d t w a E i t w a wθθσ=====++∑为了保证来自方向d θ的期望信号的正确接收，并完全抑制其它J 个干扰，关于权向量的约束条件应为：()1H d w a θ=和()0j H i w a θ=加上约束条件后{}222()()n P w E d t w σ=+波束形成器最佳权向量的确定以叙述为：在置零约束条件的约束下，求满足{}{}2min ()min HwwE y t w Rw =的权向量w 。
稳健自适应波束形成算法(刘聪锋)第1-3章章-(1)
第4章 模约束稳健波束形成算法
图4.1-3 负加载对波束形成算法方向图的影响
第4章 模约束稳健波束形成算法
正加载对波束形成算法方向图的影响如图4.1-4所示。 当加
载电平在
内变化时， NCCB的方向图指向相应地
进行变化， 当加载电平为正时， 对应于NICCB， 从方向图
的指向可以看出， 正加载对波束形成算法的指向性能有一
第4章 模约束稳健波束形成算法
第4章 模约束稳健波束形成算法
4.1 基于模约束的稳健Capon波束形成算法 4.2 基于二次约束的稳健LCMP波束形成算法
第4章 模约束稳健波束形成算法
4.1 基于模约束的稳健Capon波束形成算 法
假设阵列由M个传感器组成， 则窄带自适应波束形成算
法的输出通常表示为
参数取最大值的方向图之外， 其它参数时的方向图变化也不 是很明显， 但是性能改善相当显著。 因为当模约束参数取最 大值时， 约束条件基本不起作用， 所以性能改善较差。
第4章 模约束稳健波束形成算法
图4.1-8 模约束参数变化时的NECCB方向图
第4章 模约束稳健波束形成算法
Capon波束形成算法的SNR相对于模约束参数的变化如图
第4章 模约束稳健波束形成算法
图4.1-2 Capon波束形成算法的方向图（2）
第4章 模约束稳健波束形成算法 2. 负加载对波束形成算法方向图的影响如图4.1-3所示。 当 加载电平在 ［ ，0］内变化时， NCCB的方向图指向相应 地进行变化， 当加载电平为负时， 对应于NECCB， 从方向图 的指向可以看出， 负加载对波束形成算法的指向性能有一定 的改善， 但是只有在最优的NECCB时， 方向图的主瓣指向是 最优的。
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Capon 波束形成器推导
()t x 表示阵列接收信号，其中包括有用信号、噪声和干扰， w 表示阵列加权系数，
在不同准则下，其最有加权计算方法不一样。
则空间匹配滤波器的表达式为：
()()y t t =H w x
其中 ()=()()()s I t t t t ++x x x n ，()s t x 为有用信号，有方向，()I t x 为干扰信号，也有方向，
()t n 为噪声，与信号和干扰独立，并且没有方向。
阵列输出信号为：
s ()()=()()i+n y t t t t =+H H H w x w x w x
输出功率为：
{
}2
2s s s s s () ()() =()()()() =()()()() =+out i+n H
i+n i+n H H
i+n i+n s i+n P E y t E t t E t t t t E t t E t t R R ⎡⎤
=⎣⎦
⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤+⎣⎦⎣⎦
H H H H H H
H H H H w x w x w x w x w x w x w x x w w x x w w w w w
在最小噪声方差（MNV ）准则下，欲使噪声方差最小，故有：
所以Capon 波束形成器的推导可以转化为如下数学优化问题：
约束条件保证0θ方向的来波增益恒定，解该约束问题通过拉格朗日乘子法（附录介绍）构造目标函数，再对其针对w 进行求导，即可解出让噪声方差最小的w ，如下：
解之得：（注意：1
00()()H n a R a θθ-为一个数）
至此，求得使噪声方差最小的opt w 。
将opt w 带入min out P 的表达式中即可求出最小输出功率。
综上，Capon 波束形成器的方向图形成表达式为：
()()H opt
p w
a θθ=
附录：拉格朗日乘子法介绍。