矢量和张量
附录矢量与张量运算
附录 矢量与张量运算1标量﹑矢量与张量1.1大体概念在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。
咱们超级熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就能够够表示其状态。
例如质量、压强、密度、温度等都是标量。
矢量那么是在空间有必然取向的物理量，它既有大小、又有方向。
在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。
考虑直角坐标右手系，三个坐标轴别离以1、2和3表示，、2和3别离表示1、2和3方向的单位矢量。
若是矢量a 的三个分量别离为a 1、、a 2、a 3，那么能够表示为也能够用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3) 矢量a 的大小以a 表示a =(a 12+a 22+a 32)1/2咱们还会碰到张量的概念，可将标量看做零阶张量，矢量看做一阶张量，在此将要紧讨论二阶张量的概念。
二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。
张量w 可用矩阵的形式来表示：w其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。
假设w ij =w ji ，那么称为对称张量。
若是将行和列互彼此换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则w T =显然，假设w 是对称张量，那么有w =w T 。
另外，若是w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。
任何一个二阶张量都能够写成两部份之和，一部份为对称张量，另一部份为反对称张量。
w =(w +w T )+ (w -w T )单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量是最简单的对称张量。
张量对角分量之和称为张量的迹t r w =张量的迹是标量，若是张量的迹为零，称此张量为无迹张量。
1.2大体运算1.2.1矢量加法与乘法运算在几何上，矢量的加法知足平行四边形法那么和三角形法那么。
如图附-1所示，减法为加法的逆运算。
1e e e a 332211e e e a a a a ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211w w w w w w w w w ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111w w w w w w w w w 2121δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001δδ∑iiiw图附-1 矢量加减法在解析上，矢量加法（减法）为对应分量之和（差）。
电动力学常用数学公式
垐,,AA AAA A A A===（单位矢量）在坐标系中 31i ii A Ae ==∑ 直角系 z yz A A i Aj A k =++方向余弦：cos ,cos cos cos cos x y z Ax Ay Az Ae e e A Aβγαβγ===++321(A A =+二．矢量运算加法： A B B A +=+ 交换律 ()()A B C A B C ++=++ 结合律 31()iiii A B A B e =+=+∑ 满足平行四边形法则标量积：31cos i ii A B A BAB θ=⋅==∑A B B A ⋅=⋅ 交换律()A B C A B A C ⋅+=⋅+⋅ 分配律123123123sin n e e e A B AB e A A A B B B θ⨯== ()A B C A B A C ⨯+=⨯+⨯ 分配律A B B A ⨯=-⨯ 不满足交换律 123123123()()()A A A A B C B C A C A B B B B C C C ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯=3乘2，点2乘3）()()A B C A B C ⨯⨯≠⨯⨯三．矢量微分ˆˆdA dA dAA A dt dt dt=+ ()A B dB dAA B dt dt dt ⋅=⋅+⋅ ()A B dB dAA B dt dt dt⨯=⨯+⨯ 四．并矢与张量并矢： AB (一般 AB BA ≠)，有九个分量。
若某个量有九个分量，它被称为张量33,1,i i ijij i ji j i jT AB A B e e T e e====∑∑ i j e e 为单位并矢，矢量与张量的矩阵表示：123,i iA A Ae A A A ⎛ == ⎝∑1211223(,B AB A A A B A B A B ⎛⎫==++T AB = T T T T ⎛ = ⎝单位张量：31i j i e e ==∑0100 = ⎝,i j()()()()AB C A B C A C B AC BC B A C BAB C A B CA⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅()()()C AB C A B B C A B A C BA C ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅与矢量叉乘：()()AB C A B C C AB C A B ⎧⨯=⨯⎪⎨⨯=⨯⎪⎩并矢并矢两并矢点乘：()()()AB CD A B C D A B C AD CD AB ⋅=⋅=⋅≠⋅ (并矢) 两并矢二次点乘： ()():AB CD B C A D =⋅⋅ 标量与单位张量点乘：C C C ⋅=⋅=AB AB AB ⋅=⋅=:AB A B =⋅15-20分钟）)()A B A B +⨯- ()()2B A =⨯ ()()M b a c a b c =⋅-⋅与矢量C 垂直。
标量矢量张量
标量矢量张量标量、矢量和张量是物理学中常用的概念。
下面将分章节回答这个问题。
一、标量标量是一个只有大小没有方向的物理量。
例如，温度、密度、电荷量等都是标量。
标量通常用一个字母表示，例如温度用T表示，密度用ρ表示。
标量的单位通常是国际单位制中的基本单位，例如温度的单位是开尔文（K），密度的单位是千克每立方米（kg/m³）。
二、矢量矢量是一个既有大小又有方向的物理量。
例如，速度、加速度、力等都是矢量。
矢量通常用一个带箭头的字母表示，例如速度用v表示，加速度用a表示。
矢量的大小用标量表示，通常用绝对值表示，例如速度的大小用|v|表示，加速度的大小用|a|表示。
矢量的方向用角度或者方向余弦表示，例如速度的方向用角度θ表示，加速度的方向用方向余弦cosα、cosβ、cosγ表示。
矢量的单位通常是国际单位制中的基本单位加上方向单位，例如速度的单位是米每秒（m/s），加速度的单位是米每秒平方（m/s²）。
三、张量张量是一个既有大小又有方向，而且还有多个分量的物理量。
例如，应力张量、惯性张量等都是张量。
张量通常用一个带箭头的字母表示，例如应力张量用σ表示。
张量的大小用标量表示，通常用绝对值表示，例如应力张量的大小用|σ|表示。
张量的方向用多个方向余弦表示，例如应力张量的方向用方向余弦cosα、cosβ、cosγ表示。
张量的分量通常用矩阵表示，例如应力张量的分量用一个3×3的矩阵表示。
总之，标量、矢量和张量是物理学中常用的概念，它们分别表示只有大小、既有大小又有方向、既有大小又有方向而且还有多个分量的物理量。
在物理学中，我们需要根据具体问题选择合适的物理量来描述问题，从而得到准确的结果。
电动力学——矢量和张量课件
矢量和张量vectors and tensors中山大学理工学院黄迺本教授(2005级,2007年3月)如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙这本书,它的语言就是数学.——Galileo经典电动力学的研究对象——电磁相互作用的经典场论——狭义相对论——电动力学的相对论协变性主要数学工具微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数等.教材和参考书教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社，1997参考书：[1]黄迺本，方奕忠《电动力学（第二版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004[2]J.D.杰克孙《经典电动力学》人民教育出版社，1978[3]费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，2005[4]朗道等《场论》人民教育出版社，1959[5]蔡圣善等《电动力学》（第二版），高等教育出版社，2003[6]尹真《电动力学》（第二版），科学出版社，2005[7]Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986矢量和张量目录(contens)1.矢量和张量代数(the algebra of vectors and tensors)2.矢量和张量分析(the analysis of vectors and tensors)3.δ函数(δ function)4.球坐标系和柱坐标系1 矢量和张量代数在三维欧几里德空间中，按物理量在坐标系转动下的变换性质，可分为标量（零阶张量），矢量（一阶张量），二阶张量，及高阶张量.（见郭硕鸿，电动力学，P258）分为：0 阶张量，即标量(scalar)，在3维空间中，只有30 = 1个分量.标量是空间转动下的不变量.例如，空间中任意两点之间的距离r ，就是坐标系转动下的不变量.温度、任一时刻质点的能量、带电粒子的电荷、电场中的电势，等等,都是标量.1阶张量，即矢量(vector)，在3维空间中，由31 = 3个分量构成有序集合.例如，空间中任意一点的位置矢量r ，质点的速度v 和加速度a ,作用力F 和力矩M ,质点的动量p 和角动量L 、电流密度J ,电偶极矩p ,磁偶极矩m ,电场强度E ,磁感应强度B ,磁场矢势A ，等等都是矢量.2阶张量(tow order tensor )，在3维空间中，由32 = 9个分量构成有序集合.例如，刚体的转动惯量→→I ,电四极矩→→D ,等.3阶张量，在3维空间中，由33 = 27个分量构成有序集合.矢量表示印刷——用黑体字母，如 r , A 书写——在字母上方加一箭头，如 A r ,正交坐标系的基矢量正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系)基矢量321,e e e ,的正交性可表示为⎩⎨⎧≠===⋅ji j i ij 01δj i e e (1.1) 一般矢量A 有三个独立分量A 1，A 2，A 3，故可写成∑==++=31332211i i i A A A A ee e e A (1.2)矢量的乘积两个矢量的标积与矢积，三个矢量的混合积与矢积分别满足A B B A ⋅=⋅ (1.3)A B B A ⨯-=⨯ (1.4))()()(B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ (1.5))()()(B A C A C B C B A ⋅⋅=⨯⨯- (1.6)并矢量与二阶张量两个矢量A 和B 并置构成并矢量j i e e e e e e e e AB j j i i B A B B B A A A ∑==++++=31,332211332211))(( (1.7)它有9个分量j i B A 和9个基j i e e ，一般地BA AB ≠.三维空间二阶张量也有9个分量ij T ，它的并矢量形式与矩阵形式分别为j i e e ∑=→→=31,j i ij T T (1.8)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211T T T T T T T T T T (1.9) 张量的迹是其主对角线全部元素(分量)之和：332211tr T T T T ++= (1.10)单位张量的并矢量形式与矩阵形式分别是332211e e e e e e ++=→→I (1.11)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I (1.12)因此(Ⅰ.1)式中的符号ij δ实际上是单位张量的分量.对称张量与反对称张量 若ij ji T T =，称之为对称张量，它有6个独立分量，若对称张量的迹为零，则它只有5个独立分量.单位张量是一个特殊的对称张量. 若ij ji T T -=，称之为反对称张量，由于0332211===T T T ，反对称张量只有3个独立分量.任何张量ij T 均可写成一个对称张量ij S 与一个反对称张量ij A 之和，即ij ij ij A S T +=，只需使)/2(ji ij ij T T S +=，)/2(ji ij ij T T A -=.二阶张量与矢量点乘，结果为矢量.由(Ⅰ.1)式，有∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij j ij i j ki ij ji k k k ij ij k k T A e T A T A T e e e e A ji δ,, (1.13) ∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij i ij j i ij k j i k k k k ij ij T A e T A A T T e e e e A jk j i δ,, (1.14)一般地A A ⋅≠⋅→→→→T T . 但单位张量与任何矢量点乘，均给出原矢量：A A A =⋅=⋅→→→→I I (1.15) 并矢量与并矢量、或二阶张量与二阶张量双点乘，结果为标量.运算规则是先将靠近的两个矢量点乘，再将另两个矢量点乘：))(()()(D A C B CD AB ⋅⋅=: (1.16)2 矢量和张量分析（1）算符∇和2∇物理量在空间中的分布构成“场”(field).表示“场”的物理量一般地是空间坐标的连续函数，也可能有间断点，甚至会有奇点.例如:温度T 、静电势ϕ的分布都构成标量场；电流密度J 、电场强度E 、磁感应强度B 、磁场矢势A 的分布都构成矢量场.∇是对场量作空间一阶偏导数运算的矢量算符，2∇=∇⋅∇是二阶齐次偏导数运算的标量算符，即拉普拉斯算符.在直角坐标系中z y x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e ，2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ (2.1) 三个基矢量z y x e ,e ,e 均是常矢量.（2）标量场的梯度(gradient of a scalar field)标量场ϕ在某点的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e (2.2)是一个矢量，它在数值上等于ϕ沿其等值面的法向导数，方向沿ϕ增加的方向，即n dnd ϕϕ=∇ (2.3) 例如静电势ϕ的分布是一个标量场,E =-∇ϕ即变成矢量场——静电场.（3）矢量场的散度(divergence of a vector field)矢量场A 通过某曲面S 通量(flux)定义为⎰⋅=ΦSd S A (2.4) 其中n S dS d =是曲面S 某点附近的面积元矢量，方向沿曲面的法向n .对于闭合曲面(closed surface)，规定S d 的方向沿曲面的外法向.对于矢量场A 中包含任一点)(z y x ,,的小体积V ∆，其闭合曲面为S ，定义极限A S A ⋅∇=∆⋅⎰→∆Vd SV 0lim (2.5) 为矢量场A 在该点的散度，它是标量.在直角坐标系中zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (2.6) 若0≠⋅=Φ⎰S d S A , 则该点散度0≠⋅∇A ，该点就是矢量场A 的一个源点； 若0=⋅=Φ⎰Sd S A ，则该点散度0=⋅∇A ，该点不是矢量场A 的源点. 若处处均有0=⋅∇A ，A 就称为无散场(或无源场)，它的场线必定是连续而闭合的曲线.磁场B 就是无散场(solenoidal field ).高斯定理(Gaussl theorem ) 对任意闭合曲面S 及其包围的体积V ，下述积分变换定理成立⎰⎰⋅∇=⋅S V A S A dV d (2.7) 由此推知，若A 是无散场，即处处有0=⋅∇A ，则A 场通过任何闭合曲面的净通量均为零.（4）矢量场的旋度(curl of a vector field)矢量场A 沿闭合路径(closed contour)L 的积分⎰⋅Ld l A 称为A 沿L 的环量(circulateon)，其中l d 是路径L 的线元矢量.若对任意闭合路径L ，均有0=⋅⎰Ld l A (2.8) 则称A 为保守场（conservative field ）.当闭合路径L 所围成的面积元S ∆是某点P 的无限小邻域，我们约定：路径积分的绕行方向即d l 的方向，与其所围成的面积元S ∆的法向n 成右手螺旋关系，并定义极限n LS S d )()(lim 0A n A l A ⨯∇=⋅⨯∇=∆⋅⎰→∆ (2.9)为矢量场A 在该点的旋度A ⨯∇在n 方向的分量.在直角坐标系中z x y y z x x y z yA x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (2.10) 它是矢量.按上述约定若()0>⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成右手涡旋；若()0<⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成左手涡旋；若()0=⨯∇n A ，A 线在该点不形成涡旋.如果所有点上均有0=⨯∇A ,A 就称为无旋场.例如静电场E 就是无旋场(irrotational field).斯托克斯定理(stokes theorem) 对任意的闭合路径L 所围的曲面S ，下述积分变换成立()S A l A Sd d L ⋅⨯∇=⋅⎰⎰ (2.11) （5） 矢量场的几个定理标量场的梯度必为无旋场：0=∇⨯∇ϕ (2.12)【证】对任意标量场ϕ的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e 取旋度，可得[]0)()(=∂∂∂∂-∂∂∂∂=∇⨯∇yx x y x ϕϕϕ， []0=∇⨯∇y ϕ，[]0=∇⨯∇z ϕ 逆定理：无旋场必可表示成某一标量场的梯度，即若0=⨯∇A ,必可令ϕ∇=A例如对于静电场强度E ，就可用标势ϕ的负梯度描写: ϕ-∇=E .矢量场的旋度必为无散场：0=⨯∇⋅∇A (2.13)【证】0)()()(=∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂=⨯∇⋅∇y A x A z x A z A y z A y A x x y z x y z A 逆定理：无散场必可表成另一矢量场的旋度，即若0=⋅∇B , 必可令A B ⨯∇=例如对于磁感应强度B ，就可用矢势A 的旋度描写.（6）算符运算标量函数ϕ的梯度ϕ∇是矢量，矢量函数f 的散度f ⋅∇是标量，旋度f ⨯∇是矢量，而f ∇是二阶张量：∑∑∑===∂∂=∂∂=∇31,3131j i i j j j i i x f f x j i j i e e e e f (2.14)若ϕ和φ是标量函数，f 和g 是矢量函数，有ϕφφϕϕφ)()()(∇+∇=∇ (2.15) ϕϕϕ)()()(f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇ (2.16) ϕϕϕ)()()(f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇ (2..17) f g g f g f ⋅⨯∇⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(- (2.18) f g g f g f f g g f )()()()()(⋅∇+∇⋅⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇- (2.19) g f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ (2.20) g f g f fg )()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇ (2.21) f f f 2)()(∇⋅∇∇=⨯∇⨯∇- (2.22)上述运算不必采用化成分量的方法进行，只要抓住算符∇的微分作用及其矢量性质，便可快捷准确地写出结果.当∇作用于两个函数的乘积（或两个函数之和）时，表示它对每一个函数都要作微分运算，可以先考虑∇对第一个量的作用，并将这个量记为∇的下标，以示算符只对此量执行微分运算，第二个量则视为常数，再考虑∇对第二个量的作用，此时亦将第二个量记为∇的下标，第一个量则视为常数；必须注意的是，算符不能与其微分运算对象掉换次序.例如(2.16)式，)(f ϕ⋅∇是对矢量f ϕ求散度，故运算结果的每一项都必须是标量，我们有ϕϕϕϕϕϕ)()()()()(f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇f又如(2.20)式，)(g f ⋅∇是对标量g f ⋅求梯度，结果的每一项都必须是矢量，先把它写成)()()(g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇g f再根据三矢量的矢积公式(1.6)式，但结果中必须体现f ∇对f 的微分作用，以及g ∇对g 的微分作用，故有f g f g g f )()()(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇fg f g f g f )()()(∇⋅+∇⨯⨯=⋅∇gg f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇右方所得结果中第二项实际上是f g ∇⋅，第四项是g f ∇⋅.（7）积分变换⎰⎰⋅=⋅∇SV d dV S A A )( （高斯定理） (2.23.) →→→→⋅=⋅∇⎰⎰T d dV T SV S )( (2.24) ⎰⎰⋅=⋅⨯∇LS d d l A S A )( （斯托克斯定理） (2.25) ⎰⎰⋅∇=∇+∇SV d dV S )()(22φϕϕφφϕ（格林公式） (2.26) ⎰⎰⋅∇-∇=∇-∇SV d dV S )()(22ϕφφϕϕφφϕ（格林公式） (2.27) 3 δ函数一维δ函数定义为 ⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.1) 1)(='-⎰b adx x x δ ，当b x a <'< (3.2) 主要性质为：)(x x '-δ为偶函数，其导数是奇函数；又若函数)(x f 在x x '=附近连续，有)()()(x f dx x x x f ba '='-⎰δ，当b x a <'< (3.3) 这一性质由中值定理可以证明.三维δ函数定义为⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.4) 1)(='-⎰VdV x x δ，当x '在V 内 (3.5) 因此，位于x '的单位点电荷的密度可表示为)()(x x x '-=δρ. (4.3)式可推广到三维情形，若函数)(x f 在x x '=附近连续，便有)()()(x x x x '='-⎰f dV f V δ，当x '在V 内 (3.6)4.球坐标系和圆柱坐标系直角坐标系当坐标),,(z y x 变化时，三个基矢z y x e ,e ,e 的方向保持不变.常用的微 分运算表达式为z y x zy x e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.1) zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (4.2) z x y y z x x y z y A x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (4.3) 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.4)曲线正交坐标系任一点的坐标也可用曲线正交坐标系描述，沿三个坐标),,(321u u u 增加方向的基矢量321e ,e ,e 互相正交，随着坐标变化，一般地三个基矢量的取向将会改变.无限小线元矢量l d 、坐标i u 的标度系数i h ，以及微分算符分别为333222111332211e e e e e e l du h du h du h dl dl dl d ++=++= (4.5)21222])()()[(ii i i u z u y u x h ∂∂+∂∂+∂∂= (4.6) 333222111111u h u h u h ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e (4.7) )]()()([13321322132113213212u h h h u u h h h u u h h h u h h h ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇ (4.8) 球坐标系r u =1，θ=2u ，φ=3u ；11=h ，r h =2，θsin 3r h =.三个基矢r e e =1，θe e =2，φe e =3的方向均与坐标θ和φ有关，而与r 无关.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x e e e e e e r 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin φφθφθφθθφθφθφθ (4.9) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡φθθθφφθφθφφθφθe e e e e e r 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin z y x (4.10)坐标变换为φθcos sin r x =，φθsin sin r y =，θcos r z = (4.11)常用的微分运算表达式为φϕθθϕϕϕφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r r r re e e (4.12) φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r rr r sin 1)sin (sin 1)(122A (4.13) φθθφθφθφθφθθθe e e A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=⨯∇r r r A A r r r A r r A r A A rsin -))-(1(sin 11)sin (1 (4.14) 2222222sin 1)sin (sin 1)(1φϕθθϕθθθϕϕ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r (4.15) 立体角元、球面积元与体积元分别为φθθd d d sin =Ω (4.16) Ω===d r d d r dl dl dS r 2232sin φθθ (4.17) φθθd drd r dl dl dl dV sin 2321== (4.18)柱坐标系r u =1，φ=2u ，z u =3； 11=h ，r h =2，13=h .三个基矢量r e e =1，φe e =2 ，z e e =3中，r e 和φe 的方向均与坐标φ有关，z e 则为常矢量.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z e e e e e e r 1000cos sin 0sin cos φφφφφ (4.19) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z z y x e e e e e e r φφφφφ1000cos sin 0sin cos (4.20)坐标变换为φcos r x =，φsin r y =，z z = (4.21)常用的微分运算表达式为z r zr r e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕφϕϕϕφ1 (4.22) z A A r A r r r z r ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φφ1)(1A (4.23)z r z r r z A A r r r rA z A z A A r e e e A ]([1()1(φφφφφ∂∂-∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⨯∇))-- (4.24)2222221)(1z r r r r r ∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∇ϕφϕϕϕ (4.25) 体积元为dz rdrd dl dl dl dV φ==321 (4.26)例1．设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u dudfu f ∇=∇)( (1) dud u u AA ⋅∇=⋅∇)( (2) dud u u AA ⨯∇=⨯∇)( (3) 【证】对于)(u f ∇，注意到du df u f =∂∂，有u drdf z u y u x u du df zf y f x f u f z y x z y x∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇)()(e e e e e e在直角坐标系中将矢量A 写成分量形式，便可证明(2)式和(3)式.例2．从源点（即电荷电流分布点）x '到场点x 的距离r 和矢径r 分别为222)()()(z z y x y x x r '-+'-+'-= z y x z z y -y x -x e e e r )-()('+'+'=)(对源变数x '和场变数x 求微商的算符分别为z y x z y x'∂∂+'∂∂+'∂∂=∇'e e e ,zy x zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e 证明下列结果，并体会算符∇'与∇的关系：rr r r=∇'-=∇ (单位矢量) (1) 3=⋅∇'-=⋅∇r r (2) 0=⨯∇'-=⨯∇r r (3)→→=∇'-=∇I r r (单位张量) (4) 311rr r r-=∇'-=∇(5)033=⋅∇'-=⋅∇rrr r ，（0≠r ） (6) 033=⨯∇'-=⨯∇r r r r (7)【证】 将算符∇与∇'分别作用于r 和矢径r 的表达式，可得到(1)至(4)式的结果.利用前面1.2题的第一式和本题(1)至(4)式的结果，得3211)(1rr r r dr r d r rr -=-=∇=∇- 0)(333=⋅∇+⋅∇=⋅∇-r r r -r r r ，（当0≠r ） 0)(333=⨯∇+⨯∇=⨯∇-r r r -r r r同理可证31r r r =∇'；03=⋅∇'rr ，当0≠r ；03=⨯∇'r r.事实上，对任意的标量函数)(r f 和矢量函数r )(r f ，不难证明)()(r f r f ∇'-=∇；])([])([r r r f r f ⋅∇'-=⋅∇ ])([])([r r r f r f ⨯∇'-=⨯∇；])([])([r r r f r f ∇'-=∇即算符∇与∇'存在代换关系∇'-→∇.这种代换将会经常用到.。
矢量张量公式及推导
矢量及张量1. 协变基矢量：321g g g a 321a a a ++=，i a 称为逆变基分量，i g 是协变基矢量。
2. 逆变基矢量：321g g g a 321a a a ++=，i a 称为协变基分量，ig 是逆变基矢量。
3. 爱因斯坦求和约定：省略求和符号，ii g g a i i a a == 4. 逆变基于协变基的关系：ji δ=•j i g g5. 标积：i i j i j i b a b a =•=•g g b a6. 坐标转换系数i i 'β：i i i i i ii i i i i xx x x x x g g r r g '''''β=∂∂=∂∂∂∂=∂∂=7. 转换系数的性质：i j k j i k δββ=''，因为''''m l m j i l j i i j g g g g •=•=ββδ8. 张量：分量满足坐标转换关系的量，比如矢量''''''i i i i i i k k i i v v v ββ=•=•=g g g v9. 置换张量：ijk k j i ijk e g ==][g g g ε，其中][321g g g =g ，同理有ijkk j i ijk e g1][==g g g ε 由行列式的性质及线性][][]['''''''''n m l nk m j l i n n k m m j l l i k j i g g g g g g g g g ββββββ==，因此ijk ε是张量分量。
定义置换张量：k j i ijk k j i ijk g g g g g g εεε==10. 基的叉积：k l ijl ijk k j i g g g g g •==•⨯εε，所以l ijl j i g g g ε=⨯，l ijlj i g g g ε=⨯11. 叉积：k ijk j i j i j i b a b a g g g b a ε=⨯=⨯，或写成实体形式ε:ab ab :εb a ==⨯，双标量积用前前后后规则完成。
张量分析——精选推荐
《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。
*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
连续介质力学-例题与习题
《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。
3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。
二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。
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手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标 轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶 张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量， 分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量 数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量， 分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形 的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi
U (V W ) (U V ) W
• 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。 • 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，
则力F绕原点的力矩为：
M rF
1.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U (V W ) v1 v2 v3 (U V ) W
w1 w2 w3
• 称为三重标量积或框积，是以U、V、W 为边的平行六面体的体积或体积的负值。 可用[U，V，W]来表示。
• 可简洁表示为：
vi ui
• 下标i没有特别指明，认为它代表了三种可能 下标中的任一个。
• 两个矢量Ｕ与Ｖ之和由平行四边形法则得到， 为分量之和：
W U V (u1 v1)e1 (u2 v2 )e2 (u3 v3 )e3
• 或简洁表示为：
wi ui vi
1.2.2 标量积
• 矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积） 和矢量积（叉积）。
• 矢量既有大小又有方向，在坐标系中 通常用箭头表示。
• 对空间任一点Ｐ，坐标是（v1， v２， v３），可以表示为矢量ＯＰ或Ｖ。
• 由单位矢量叠加有：
V v1e1 v2e2 v3e3
• 或简洁写为：
V (v1, v2, v3 )
• 若两矢量Ｖ和Ｕ相等，可表示为：
vi ui ,i 1,2,3
• 相乘 • 一个张量与一个标量的乘积为一同阶的
张量。
• 张量相乘构成一个新张量，其阶数是原 张量的阶数之和。如
cijk aibjk
cijk aibjk (limam )(l jnlkpbnp ) liml jnlkpcmnp
• 缩并 • 将两个指标赋给相同的字母，则张量进
行缩并。如对三阶张量 aijk ，有
• 三重标量积可写为
U (V W ) ijk uiv jwk
• 对交错张量和克罗内尔符号，有下列关 系式：
ijk ist js kt jt ks
• 可用指标方法证明：
A(B C) (AC)B (A B)C
A(B C) (A B)C
() 0,其中为一标量
1.3.4 坐标变换
• 任何一个二阶张量都可唯一分解成一个 对称张量与一个斜对称张量之和，即
aij
1 2
(aij
a ji )
1 2(aija i )bijcij
各向同性
• 如果一个张量的分量在所有坐标系中都 具有相同的值，则它是各向同性的。
• 张量 ij ,ijk 都是各向同性的。
ij lirl js rs lirl jr ij
• 矢量U和V的标量积定义为： U V |U ||V | cos
• |U|表示矢量U的绝对长度， 为矢量U和V的
夹角。
e1 e2 | e1 || e2 | cos90 0 e1 e1 | e1 || e1 | cos0 1
• 标量积的计算式为：
U V (u1e1 u2e2 u3e3 ) (v1e1 v2e2 v3e3 )
aijk lipl jqlkra pqr
• 缩并后，
aikk lip (lkqlkr )a pqr lip qra pqr lipa prr
• 这是对一阶张量的变换规则。
对称与斜对称
• 对张量 aij ，如果 aij a ji ，则称之为对
称张量；
• 如果aij a ji，则称之为斜对称张量。
1.3.1 指标记法和求和约定
• 矢量V用指标记法为 vi ，指标可以自由
挑选。 • 规则1：如果在一个表达式或方程的一
项中，一种下标只出现一次，称之为 “自由指标”。 • 规则2：如果在一个表达式或方程的一 项中，一种指标正好出现两次，则称之 为“哑标”，它表示从1到3进行求和。
• 规则3：在一个表达式或方程的一项中， 一种指标出现的次数多于两次，则是错 误的。
• 两坐标系中的点的坐标变换为
xi lij x j
•和
xi l ji xj
lij
xi x j
x j xi
• i为新坐标轴，j为旧坐标轴。
1.3.5 笛卡尔张量
• 张量的名称起源于它与应力（张力）有 关的历史。
• 新坐标系中每一个新矢量的分量是原来 分量的一个线性组合，这种变换很规则 方便且有很多用途。
• 三重矢量积：
U (V W ) (U W )V (U V )W
1.2.5 标量场和矢量场
• 函数 (x1, x2, x3) c 称为一个标量场，梯
度
grad
e1
x1
e2
x2
e3
x3
( , , )
x1 x2 x3
• 构成矢量场， 垂直于 =常数的表面。
• 矢量的散度：
V v1 v2 v3 x1 x2 x3
二、矢量和张量
• 1.1 基本概念 • 1.2 矢量 • 1.3 张量
1.1 基本概念
• 讨论应力、应变和本构方程时，通常采 用矢量和张量符号。具有表达简洁的特 点。
• 坐标系规定：采用右手螺旋直角坐标系， 熟悉记法为x轴、y轴、z轴，按规则记法 为x1 轴、 x2轴、 x3轴。
1.2.1 矢量代数
l22
l23
l31
l32
l33
• 注意 lij 的元素不对称。 • 由 lij 的定义有：
lij ei e j
ei lije j
• 所以 ei ej ij lirer l jk ek lirl jk rk lirl jr
•或
lirl jr ij
• 该式隐含6个等式：
l121 l122 l123 1 l221 l222 l223 1 l321 l322 l323 1 l11l21 l12l22 l13l23 0 l11l31 l12l32 l13l33 0 l21l31 l22l32 l23l33 0
• 矢量的旋度：
e1 V curlV / x1
v1
e2 / x2
v2
e3 / x3
v3
1.3 张量
• 1.3.1 指标记法和求和约定 • 1.3.2 ij 符号（Kronecker符号） • 1.3.3 ijk 符号（交错张量） • 1.3.4 坐标变换 • 1.3.5 笛卡尔张量 • 1.3.6 张量性质
商法则
• 对于aij ，如果在任一坐标系中对任何张
量 bij ，有：
aijbij c
• c是一标量，则 aij 是一个张量。
• 证明： • 由于c是标量
• 由于 • 于是 • 得到
aijbij c c aijbij arsbrs
arsbrs aijbij 0
bij lrilsjbrs
• 所以，将 ij 应用于 只是将j用i置换， 因此 ij 符号通常称为置换算子。
vj
1.3.3 ijk 符号（交错张量）
• ijk 符号有33或27个元素，取值为1，-1， 0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如 果交换次数为偶数，则元素为1，为奇 数，则为-1，如果下标出现重复，则值 为0。可从图解判断：
u1v1 u2v2 u3v3
3
uivi
i 1
• 两个垂直矢量的点积为零。
• 一个矢量长度的平方由它与自身的点积得到。
• 应用：力F作用在一运动速度为V的物体上， 功率由点积（ F V）求出。
1.2.3 矢量积
• 两矢量的积为垂直于两矢量平面且按右 手螺旋法则确定的一个矢量，该矢量长 度等于 |U ||V | sin 。标记为：
• 叉积
U V ijk u jvk ei
• 证明：对分量1，对于表达式 1 jk u jvk
由于下标1，j，k必须互不相同，所以可 能的组合有1，j=2，k=3和1，j=3，k=2， 因而
1 jk u jvk 123u2v3 132u3v2 u2v3 u3v2
• 同理可对其它分量计算，合并得证。
• 如此可以推广到更高阶张量。
• 虽然所有的矢量都是张量，但并不是所 有的矩阵都必定是张量，如工程应变分 量不构成一个张量。