14222乘法公式的综合运用
新版新人教版2022年八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解142乘法公式1422完全平方公式1
14．2.2 完全平方(píngfāng)公式(1)1．理解完全平方(píngfāng)公式，掌握两个(liǎnɡ ɡè)公式的结构特征．2．熟练运用公式进行(jìnxíng)计算．重点：理解完全平方(píngfāng)公式，掌握两个公式的结构特征．难点：灵活运用公式进行计算．一、自学指导自学1：自学课本P109－110页“探究、思考1及例3”，掌握完全平方公式，完成下列填空．(5分钟)1．计算：(a ＋1)2＝(a ＋1)(a ＋1)＝a 2＋2a ＋1； (a －1)2＝(a －1)(a －1)＝a 2－2a ＋1；(m －3)2＝(m －3)(m －3)＝m 2－6m ＋9．2．用图中的字母表示出图中白色和黑色部分面积的和(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2．总结归纳：两数的和(差)的平方等于这两个数的平方和，加上(减去)这两个数乘积的2倍；(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2.自学2：自学课本P110页“例4，思考2”，灵活运用完全平方公式．(5分钟)填空：(－2)2＝22，(a)2＝(－a)2．总结归纳：互为相反数的两个数(式)的同偶次幂相等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P110页练习题1，2.2．填空：(1－3x)2＝1－6x ＋9x 2.点拨精讲：完全平方公式的反用，关键要确定a ，b ，也可以是(3x －1)2.3．下列各式中，能由完全平方公式计算得到的有①④⑤．①x 2－x ＋14；②m 2－mn ＋n 2；③116a 2＋a ＋9；④x 2＋4y 2＋4xy ；⑤14x 2y 2－xy ＋1.小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)探究1 若多项式x 2＋kx ＋16是某个整式的平方，求k 的值．解：由题意，得(k 2)2＝16，∴k 24＝16，∴k 2＝64，∴k 2＝±8. 探究2 计算：9982.解：9982＝(100－2)2＝1002－2×100×2＋22＝10000－400＋4＝9604.点拨精讲：可将该式变形为完全平方公式的结构可简便运算．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．若(x －5)2＝x 2＋kx ＋25，求k 的值．解：∵(x－5)2＝x 2－10x ＋25，∴k ＝－10.2．计算(jì suàn)：(1)1012；(2)(－m －2n)2.解：(1)1012＝(100＋1)2＝1002＋2×100×1＋12＝10000＋200＋1＝10201；(2)(－m －2n)2＝(m ＋2n)2＝m 2＋2·m·2n＋(2n)2＝m 2＋4mn ＋4n 2.3．填空(tiánkòng)：(a ＋b)2＝(a －b)2＋4ab ，(a －b)2＝(a ＋b)2＋(－4ab)．(3分钟)1.利用完全平方(píngfāng)公式计算某些特殊多项式相乘，速度(sùdù)快，准确率高，但必须注意(zhù yì)完全平方公式的结构特征；2．利用完全平方公式，可得到a ＋b ，ab ，a －b ，a 2＋b 2有下列关系：①a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ；②(a ＋b)2－(a －b)2＝4ab.(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)内容总结（1）14．2.2完全平方公式(1)1．理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征．2．熟练运用公式进行计算．1、在最软入的时候，你会想起谁。
八年级数学上册14.2乘法公式14.2.2完全平方公式(2)教案新人教版(new)
课题:14。
2。
2完全平方公式(2）——添括号法则教学目标：掌握添括号法则；并能综合运用乘法公式进行计算．重点：掌握添括号法则．难点:灵活运用乘法公式进行计算．教学流程:一、知识回顾1。
说一说乘法的平方差公式？答案：两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差．即：22()()a b a b a b +-=-2.说一说乘法的完全平方公式？答案：两数和(或差）的平方，等于它们的平方和,加上(或减去）它们的积的2倍． 即:222()2a b a ab b ±=±+3.你还记得“去括号”法则吗?答案：如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．4。
去括号：a ＋（b ＋c )=__________a －（b ＋c ）=__________答案：a ＋b ＋c ；a －b －c3二、探究问题：a ＋(b ＋c )= a ＋b ＋ca －（b ＋c )= a －b －c根据上面的式子填空：a ＋b ＋c =a ＋( )a －b －c =a －（ )答案：b ＋c ;b ＋c归纳：添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号。
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
试一试:把下列各项填入括号内：2x 3－x 2＋5x －7=＋( ）=－( ）答案：2x 3－x 2＋5x －7；－2x 3＋x 2－5x ＋7想一想：()()a b c a b c +++-怎样计算简便呢？解：22222()()[()][()]()2a b c a b c a b c a b c a b c a ab b c +++-=+++-=+-=++-练习：1．下列添括号正确的是( ）A ．a －b ＋c ＝a －（b ＋c )B ．a ＋b －c ＝a －（b －c )C ．a －b －c ＝a －(b ＋c )D ．a －b ＋c －d ＝（a ＋c )－(b －d ）答案：C2。
数学解析初中代数中常见的乘法公式及应用
数学解析初中代数中常见的乘法公式及应用乘法在初中代数中是一个常见的运算方式，通过掌握乘法公式和灵活运用，可以更好地解决数学问题。
在本文中，我们将介绍一些常见的乘法公式以及它们的应用。
一、基础乘法公式1. 同底数乘法公式当两个数的底数相等时，指数相加。
例如：aⁿ * aᵐ= a^(ⁿ+ᵐ)2. 平方乘法公式任何数的平方都可以表示为底数相同，指数为2的形式。
例如：(a * b)² = a² * b²3. 一次多项式的乘法公式两个一次多项式相乘的结果可以用分配律展开。
例如：(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd二、常见的乘法公式应用1. 多项式的乘法在解决多项式相乘的问题中，可以运用分配律进行展开，并根据指数相加的规则进行合并。
例如：(2x + 3)(x + 5) = 2x * x + 2x * 5 + 3 * x + 3 * 5 = 2x² + 10x + 3x + 15 = 2x² + 13x + 152. 平方差公式平方差公式可以帮助我们快速求解两个数的平方差的形式。
例如：(a + b)(a - b) = a² - b²3. 立方差公式立方差公式可以帮助我们快速求解两个数的立方差的形式。
例如：(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³4. 特殊乘法公式有一些特殊的乘法公式，经常出现在代数问题中，例如：- (a + b)² = a² + 2ab + b²- (a - b)² = a² - 2ab + b²- a² - b² = (a + b)(a - b)- a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这些特殊乘法公式在解答问题时非常有用，通过熟练掌握可以提高解题速度和准确性。
1422乘法公式完全平方公式1课件2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2 的图形理解
完全平方差公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
【例题】
【例1】运用完全平方公式计算： (x+2y)2
【解析】(x + 2y)2 = x2 +2•x •2y +(2y)2
1. 下列等式是否成立? 说明理由． (1) (4a+1)2=(1−4a)2； 成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立
(3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2； (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
不成立．
提高1
(1)已知(a+b)2=11,ab=1, 求(a-b)2的值.
(4)(m-2)²=(m-2 )(m-2)
=m2-2×m×2+22 =m2-4m+4
首平方，尾平方， 首尾两倍中间放
再来计算(a + b)2, (a – b)2.
算一算：
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2 +ab +ab +b2 = a2 +2ab+b2
(a-b)2 =(a-b) (a-b) = a2 - ab - ab +b2 = a2 - 2ab+b2
(2),已知(a+b)2=11 (a - b)2=7 则 ab=__
(3) 已知 :a+b=8,ab=15, 求下列各式的值:
(1)a2+b2 (2) (a-b)2
八年级数学上册第十四章14.2乘法公式14.2.2完全平方公式备课资料教案
第十四章14.2.2完全平方公式
)的平方等于它们的平方和倍.即(a+b)2+2ab+b2=a2
其中两项是公式左边二项式中每一项的平方
添括号法则包括两种情况
(a+b+c)2
考点1：利用完全平方公式化简求值
【例1】已知x2-5x=14,求-+1的值.
解:-+1=2x2-x-2x+1-(x2+2x+1)+1
=2x2-x-2x+1-x2-2x-1+1=x2-5x+1,
当x2-5x=14时,原式=(x2-5x)+1=14+1=15.
点拨：本题利用公式化简后,再用整体代换的数学思想求值,不必将已知等式中的x值求出.
考点2：完全平方公式的应用
【例2】如图,长方形ABCD的周长是20 cm,以AB,AD为边分别向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68 cm2,那么长方形ABCD的面积是( )
A.21 cm2
B.16 cm2
C.24 cm2
D.9 cm2
答案:B
点拨：设AB=x cm,AD=y cm,由题意得x2+y2=68,x+y=10,所以(x+y)2=100,即x2+y2+2xy=100,所以2xy=32,xy=16,所以长方形ABCD的面积是16 cm2 ,选B.此题是一道几何计算问题,运用方程的方法可转化为整式的运算问题.。
14.2.2乘法公式—完全平方公式(2)
（2）(a + b +c ) 2. (a + b + c ) 2 解： = [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
练习
2.运用乘法公式计算: (1) (a + 2b – 1 ) 2 ; (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
遇加不变遇减变
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b + c = a + ( b + c ); (2) a – b – c = a – ( b + c ) ;
(3) a - b + c = a – ( b - c );
(4) a + b + c = a - ( -b - c ).
能否用去括号 法则检查添括 号是否正确?
例 运用乘法公式计算: (1)( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2. 解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) = [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形
(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是 （ ）
经典乘法公式的应用总结
乘法公式的应用1、平方差2－b2平方差公式：(a＋b)(a－b) ＝a平方差公式的特征：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算．推广：多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd。
即：多项式的平方等于各项的平方和，加上每两项积的2倍。
2、完全平方公式完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab＋b2完全平方公式的特征：（a+b）2=a2+2ab＋b2与(a－b)2=a2－2ab＋b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个符号不同．②公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式．③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算．④公式中的字母具有一般性，它可以表示数也可以表示多项式.推广：（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca3、立方和（差）公式立方和(差)公式: (a±b)(a2±ab+b2)=a3±b3。
4、由平方差,立方和(差)公式引申的公式(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4，(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b65、公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab；(a-b)2=(a+b)2-4ab。
八年级数学上册14.2乘法公式14.2.2完全平方公式课件新版新人教版
本节课你的收获是什么？
1 完全平方公式及其结构特征和应用 2 添括号法则 3 综合应用公式进行计算
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a±b)2=a2±2ab+b2 例6 运用乘法公式计算： (1) (a+b+3) (a+b−3); (2) (a+b+c)2
解二:
(a+b+c)2 =[(a+c)+b]2 =(a+c)2+2(a+c)b+b2 =a2+2ac+c2+2ab+2bc+b2 =a2+ b2 +c2+2ab+2ac+2bc
=4x2 − (y2+2yz+z2)
=4x2 –y2-2yz-z2
例3 运用完全平方公式计算
(1)
(4m+n)2
1 (2)(y- )2 2
(2)(b-a)2
例4 运用完全平方公式计算
(1) (-a-b)2
公式的字母a、b可以表 例5 运用完全平方公式计算 : 示数，也可以表示单项 式、多项式。 (1) 1022 (2)992 例6 运用乘法公式计算： (1) (a+b+3) (a+b−3); (2) (a+b+c)2
(-a-b)2= (a+b)2 （b-a)2= (a-b)2
互为相反数的两数的平方相等。 填空：
(1) (4a+1)2 (2) (4a−1)2
2 (4a − 1) = 2 (4a+1) =
(a ± b)2=a2±2ab+b2
例5
运用完全平方公式计算:
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2．乘法公式变形 (1)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； (2)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab； (3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)； (4)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab； (5)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab.
题型 一 添括号法则
【例 1】按要求把多项式 5a3b－2ab＋3ab3－2b2添 上括号： (1)把后三项括到前面带有“－”号的括号里； 解：原式＝5a3b－(2ab－3ab3＋2b2)； (2)把四次项括到前面带有 “＋”号的括号里，把 二次项括到前面带有“－”号的括号里． 解：原式＝＋(5a3b＋3ab3)－(2ab＋2b2)．
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式 14.2.2 完全平方公式 第2课时 乘法公式的综合运用
1 课堂讲解
? 添括号法则 ? 乘法公式的综合运用
2 课时流程
预习 导学
题型ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分类
当堂 演练
课后 作业
1．添括号法则 文字描述 ：添括号时，如果括号前面是正号，括 到括号里的各项都 ___不__变__符__号___；如果括号前面 是负号，括到括号里的各项都__改__变__符__号____． 符号表述：(1)a＋b＋c＝a＋___(_b_＋__c_)____； (2)a－b－c＝a－___(_b_＋__c_)____．
＝x2－(2y－3)2
＝x2－4y2＋12y＋9； (3)(a－b－c)2.
解：原式＝ ???a ? b?? c??2
＝(a2－2ab＋b2)－2c(a－b)＋c2
＝a2＋b2＋c2－2ab－2ac＋2bc.
1．3ab－4bc＋1＝3ab－( )，括号中所填入的整式应 是( C )
A．－4bc＋1 B．4bc＋1 C．4bc－1 D．－4bc－1 2．将多项式3x3－2x2＋4x－5添括号后正确的是( B ) A．3x3－(2x2＋4x－5) B．(3x3＋4x)－(2x2＋5) C．(3x3－5)＋(－2x2－4x) D．2x2＋(3x3＋4x－5)
解：原式＝ ???2x ? y?? 3??2
＝4x2－4xy＋y2－6(2x－y)＋9 ＝4x2＋y2＋6y＋9－4xy－12x.
请完成本课时对应的课外演练
3．在等号的右边的括号内填上适当的项．
(1)2a＋3b－c＝2a＋(
3b－)c；
(2)2a－3b－c＝2a－(
3b＋)c；
(3)－2a－3b－c＋d＝－(
2a＋)3－b ( c－)；d
(4)2a＋3b＋d＝2a－( －3b－)．d
4．运用乘法公式计算： (1)(x＋y＋1)(x＋y－1)； 解：原式＝(x＋y)2－1 ＝x2＋2xy＋y2－1； (2)(2x－y－3)2.
题型 二 乘法公式的综合运用
【例2】计算： (1)(a＋b－c)(a＋b＋c)；
解：原式＝ ???a ? b?? c?? ???a ? b?? c??
＝(a＋b)2－c2 ＝a2＋2ab＋b2－c2；
(2)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；
解：原式＝ ??x ? ?2 y ? 3??? ??x ? ?2 y ? 3???