山东省郓城一中等学校2019届高三数学第三次模拟考试试题文(含解析)
2019-2020年高三第三次模拟考试数学试题含答案(I).doc
2019-2020年高三第三次模拟考试数学试题含答案(I)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。
不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。
1、若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a = ． 解析：122(2)(34)(38)(46)34(34)(34)25z a i a i i a a iz i i i +++-++===--+为纯虚数，故得83a =． 2、设集合{}{}2120,lg(2)A x x xB x y x =+-<==- ，则=⋂B A ．（2,3） 3、某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率 分布直方图如右下图所示，若(130,140] 分数段的人数为90人，则(90,100]分数 段的人数为 ．解析：根据直方图，组距为10，在(130,140]内的0.005=频率组距，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为(90,100]内的0.045=频率组距，所以频率为0.45，设该区间的 人数为x ，则由0.451800x=，得810x =，即(90,100]分数段的人数 为810．4、已知在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040表示的平面区域面积是9，则常数a 的值为_________．15、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3， 现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______．136、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组为_________．()81,8-7、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S．则“||q =627S S =”的（充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件或既不充分也不必要条件） 充分而不必要条件8、如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P ABD -和Q CBD -是两个高相等的正三棱锥， 四点,,,A B C D 在同一平面内．要使塔尖,P Q 之间的距离为分数PQDN MED CB A50m ，则底边AB 的长为 m ．【解析】由正三棱锥的概念知，顶点,P Q 在底面的射影分别是 正三角形ABD 和正三角形BCD 的中心，因为高相等，所以塔尖,P Q 之间的距离即为两个正三角形中心间的距离， 由平面几何易知，底边AB的长为9、若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成53：两段，则此椭圆的离心率为 ． 解析：根据题意，可得2223()5()22bb c c a b c ⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得c e a ==． 10、若实数x 、y 满足114422xyx y +++=+，则22x y S =+的最大值是 ▲ ．411. 已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ▲ ．710 12、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，x x f =)(，若对任意的]2,[+∈a a x 不等式)(3)(x f a x f ≥+恒成立，则a 的最大值为 ▲ -413．如图，两射线,AM AN 互相垂直，在射线AN 上取一点B 使AB 的长为定值2a ，在射线AN 的左侧以AB 为斜边作一等腰直角三角形ABC ．在射线,AM AN 上各有一个动点,D E 满足A D E ∆与ABC ∆的面积之比为3:2，则C D E D ⋅的取值范围为________________．)25,a ⎡+∞⎣14．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，()()x f x a g x =⋅，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()()n f n a g n =，则使数列{}n a 的前n 项和n S 超过15/16的最小自然数n 的值为 ．5解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出a 的值，从而得到数列{}n a 的通项公式． 解析：∵()()x f x a g x =⋅，且()0g x ≠，∴()()xf x ag x =，从而有(1)(1)15(1)(1)2f f ag g a -+=+=-， 又''2()()()()()0()x f x g x f x g x a g x -=<，知()()xf x ag x =为减函数，于是得12a =，1()2n n a =，由于2341234111115()()()222216a a a a +++=+++=，故得使数列{}n a 的前n 项和n S 超过1516的最小自然数5n =． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知锐角ABC ∆中的三个内角分别为,,A B C ． ⑴设BC CA CA AB ⋅=⋅，求证ABC ∆是等腰三角形；⑵设向量(2sin ,s C =,2(cos2,2cos 1)2C t C =-，且s ∥t ,若12sin 13A =， 求sin()3B π-的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点．（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11； （2）证明：//1F C 平面ABE ；（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．16.（1）证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,060=∠ACB∴32=AB ，∴222AC BC AB =+，∴BC AB ⊥由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥⊂ …………5分 （2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1在AB FM ABC //中，∆,而FM ABE ⊄平面，∴直线FM //平面ABE在矩形11A ACC 中，E 、M 都是中点，∴AE M C //1 而1C M ABE ⊄平面，∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//FMC ABE 面面 故AEB F C 面//1 …………………………10分（或解：取AB 的中点G ，连结FG ，EG ，证明1//C F EG ，从而得证）（3）取11B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB且12EH AB ==由（1）C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面， ∵P 是BE 的中点，∴111111111223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅分ABCE F P1A 1B 1C HGB17. （本题满分14分）如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45(其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上)，设,tan PAB t θθ∠==，探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S (平方百米)。
山东省郓城一中等学校高三数学第三次模拟考试试卷文(含解析)
对于
，当
时，
， 排除
故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的对称性、定义域、函数值的判断与计算，考查分析能力，属 于中档题。
8.函数
的图象可由函数
的图象（ ）
A. 向右平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变得到
B. 向右平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变得到
先作出几何图形，确定四个直角和边长，再找到外接球的球心和半径，再计算外接球的表面
积.
【详解】由题得几何体原图如图所示，
其中 SA⊥平面 ABC,BC⊥平面 SAB,SA=AB=BC=2,
所以 AC=2 ,
,
设 SC 中点为 O,则在直角三角形 SAC 中，OA=OC=OS= ,
在直角三角形 SBC 中，OB=
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 设包含 7 块板的正方形边长为 ，其面积为 ，计算雄鸡的鸡尾面积为 ，利用几何概型概 率计算公式得解。 【详解】设包含 7 块板的正方形边长为 ，其面积为 则雄鸡的鸡尾面积为标号为 的板块，其面积为
所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为
，
故选:B
【点睛】本题主要考查了复数的对称关系，还考查了复数的除法、乘法运算，属于基础题。
3.已知等差数列{an}的前 5 项和为 15，a6＝6，则 a2019＝（ ）
A. 2017 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知得到关于
B. 2018
C. 2019
D. 2020
的方程组，解方程组即得解，再利用等差数列的通项求 a2019.
2019届山东省郓城一中等学校高三第三次模拟考试数学(理)试卷(PDF版)
李华同学取得了三个公司的面试机会，经过评估，李华在三个公司甲、乙、丙三个岗位的面试成功的概率
均为
,李华准备依次从 三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗，且只有
一次机会．李华在某公司选岗时，若以该岗位工资与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可
以选择 公司的哪些岗位？
并说明理由．
A.
B.
C.
D.
【答案】C 5.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 1 的正方形，正视图与侧视图都是边长为 1 的正三角形，则 此几何体的体积是（ ）
1页
A.
B.
C.
D.
【答案】D 6.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）
A. y＝2x－x2－1 【答案】D 7.函数
B. y＝2xsinx 的图象可由函数
附：
，若随机变量
，
则
．
【答案】（1）70，161；（2）（ⅰ）317 人；（ⅱ）李华可以选择 公司的甲岗位， 公司的甲、乙岗位， 公
司的三个岗位．
【解析】
【分析】
（1）由样本平均数定义直接计算即可得到平均数，由样本方差公式直接计算即可得到样本方差，问题得解。
（2）（ⅰ）利用正态分布的对称性直接求解。
2页
且直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的圆相切，则 C 的渐近线方程为（ ）
A.
B.
C.
【答案】A
12.已知函数
，
，若对任意
，则实数 的取值范围是（ ）
D.
，总存在
，使
A.
B.
C.
D.
【答案】C
二、填空题
13.焦点在 x 轴上，短轴长等于 16，离心率等于 的椭圆的标准方程为________．
山东郓城一中2019年高三三轮复习(十专题理数) (1)
高三数学三轮复习（理科） 数学专题一 集合 简易逻辑与命题【考点精要】考点一. 集合中元素的意义。
集合中的元素有的是数，有的是点，有的是范围等，研究集合元素时应引起重视。
如：集合A={}R x x y y x ∈+=,2),(，集合B={}R x x y y ∈+=,2，集合A 中的元素是点而集合B 中的元素是数。
考点二. 元素与集合、集合与集合之间的关系.⊆∈,以及a 与{}a 是两组极易混淆的概念.∈表示元素与集合之间的关系，⊆表示集合与集合之间的关系.一般地a 表示一个元素，{}a 表示只含有一个元素的集合.考点三. 集合中元素的互异性.例如集合{}b a P ,,1=，集合{}ab a a Q ,,2=，且P=Q,求实数a,b 的值.在利用两集合相等求解时，共得到三种结果：（1）a=1,b=0,（2）a=-1,b=0,(3)a=1,b=1.确定最后的答案时一定注意验证.考点四. 空集的特殊性.空集是不含任何元素的集合，是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集，空集与任何集合的交集都是空集，例如集合{}=≤≤=B x x A ,82{},321+<<-m x m x ,A B ⊆求m 的取值范围.解答此题首先要考虑到B 是空集的情况.考点五. 命题的否定与否命题的区别.对于一个命题，命题的否定只是否定它的结论，而否命题则是即否定题设也否定结论.对于命题“若P 则q ”，其命题的否定是“若p 则q ⌝”，其否命题是“若p ⌝则q ⌝”.考点六. 充要条件.注意从集合角度掌握充分条件、必要条件,已知{}}{31,44<<=+<<-=x x Q a x a x P ，有Q x p x ∈∈是的必要条件，求实数a 的取值范围.考点七.数形结合思想的运用.注意运用数形结合思想，数形结合思想作为一种重要的数学思想在解决集合等比较抽象的问题时尽可能借助韦恩图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题具体化.如：设A 、B 、I 均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）A. I B A C I =⋃)(B. I B C A C I I =⋃)()(C. φ=⋂)(B C A ID. B C B C A C I I I =⋂)()( 解析：利用韦恩图可知，选B考点八. 逻辑联结词“或”的意义.“或”这个逻辑联结词，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a 或b ”，是指a ，b 中的某一个，但不是两者，日常生活中常采用这种解释。
2019届山东省高三三模理科数学试卷【含答案及解析】
2019届山东省高三三模理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若（为虚数单位），则复数的共轭复数（）A．______________________________ B．______________________________ C．______________________________D．2. 已知集合，，则（）A．____________________________ B．C．________________________ D．3. 某校兴趣小组在某小商品批发市场统计了某商品的销售量（单位：件）与销售价格（元/件）的组数据并画成了如图所示的散点图，则，的线性回归方程可能为（）A．_____________________________________ B．C．______________________________________ D．4. 已知，，，，则真命题是（）A． B． C．___________________________________ D．5. 函数的部分图象如图所示，则函数图象上的最高点坐标为（）A．（）_____________________________________B．（）C．（）______________________________________D．（）6. 若定义在上的偶函数满足，且当时，，函数，则，方程不同解的个数为（）A．___________________________________ B．_________________________________ C．___________________________________ D．7. 已知圆，直线上至少存在一点，使得以点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是（）A． B．______________________________________C． D．8. 某大学数学系需要安排名大四同学到，，三所学校实习，每所学校安排名同学，已知甲不能到学校，乙和丙不能安排到同一所学校，则安排方案的种数有（）A．______________________________________ B．C． D．9. 已知圆台的一个底面的半径为，母线，高，则该圆台的侧面积为（）A．或 B．或C．或 D．或10. 设函数．若且，则的取值范围是（）A． B．_________________________________ C．______________________________ D．二、填空题11. 执行右边的程序框图，若输入，，则输出的的值为______________________________ ．12. 已知（）的展开式的各项系数和与其展开式的二项式系数和相等，则其展开式中的常数项为______________________________ ．13. 若，满足条件，则的最大值为______________________________ ．14. 对于函数的定义域内的任意，都有，定义的最大值为的下确界，如的下确界为．若（，），则函数的下确界为______________________________ ．15. 已知椭圆（）的离心率为，长轴上的等分点从左到右依次为点，，，，过（，，，）点作斜率为（）的直线（，，，），依次交椭圆上半部分于点，，，，，交椭圆下半部分于点，，，，，则条直线，，，的斜率乘积为______________________________ ．三、解答题16. 已知．（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）已知的面积为，角，，的对边分别为，，，若，求的最小值．17. 如图，平行四边形中，，，，为中点，将沿边翻折，折成直二面角，如图所示，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．18. 已知数列满足，，，且数列前项和为．（Ⅰ）求数列的通项公式及；（Ⅱ）若，求正整数的值．19. 微信已成为现代生活信息交流的重要工具，对某市年龄在岁至岁的微信用户进行抽样调查发现，有三分之一的用户平均每天使用微信时间不超过小时，其他都在小时以上；将这些微信用户按年龄分成青年人（岁）和中年人（岁），其中四分之三是青年人；平均每天使用微信时间超过小时的为经常使用微信，经常使用微信的用户中有三分之二是青年人．现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”调查，采用随机抽样的方法选取容量为的一个样本，假设该样本与调查结果吻合．（Ⅰ）计算青年人（岁）和中年人（岁）中经常使用微信和不经常使用微信的人数，并填写下面的列联表；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的数据，利用独立性检验的方法判断是否有 %的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？附：，（Ⅲ）从该市微信用户中任意选取人，其中经常使用微信的中年人的人数为，求的分布列和数学期望．20. 已知已知点是直线上的动点，过作直线，，点，线段的垂直平分线与交于点．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若点，是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，若，求实数的取值范围．21. 已知函数（）．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若时，，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。
2019年高三数学三模试卷及答案
2019年高三第三次模拟测试数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．．．．．． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝ ． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝ ．3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的 条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12，则2+a b 与b 的夹角大小是 ．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为 ．6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的切线方程为 ．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为 ． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．9．当实数x ，y满足240,10,1x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221y x a b+=(0a b >>)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右AD C BE顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ．11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则1x y x y z+++的最小值分别为．12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为．13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若∠CED ＝23π，EC CD ＝． 14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()4sin cos()3f x x x π=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．A DP MB16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离OD 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b+=＞＞ 的，抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴交于点M ，且1(,2)2P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n a a a a n λ+==+∈N ，(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；(2)当2λ=时，令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．(本小题满分16分) 已知函数2ln )(ax x x f +=（a ∈R ），)(x f y =的图象连续不间断．(1)求函数)(x f y =的单调区间；(2)当1=a 时，设l 是曲线)(x f y =的一条切线，切点是A ，且l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求切线l 的方程．数学参考答案一、填空题1．{-101}，， 2．1- 3．充分不必要 4．6π5．2214x y -=6．310x y -+= 7．48．64259．3[1,]210．1311．312．4944 13．7 14．(1,0)-二、解答题15．(1)1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-22sin cos x x x =-sin 2x x =2sin(2)3x π=+ (4)分 因为06x π≤≤，所以22333x πππ+≤≤，sin(2)123x π+≤， ……………………………6分 所以函数()f x的值域为⎤⎦． (7)分(2)依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径4r =，sin 232a A r ===， ……………………………9分sin 232b B r ===cos 3A =，1cos 3B =，………………………11分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， (13)分所以11sin 2223ABCS ab C ∆==⨯=． (14)分16．(1)证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD于AB ， 又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ．………3分 又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ． ……………5分 由已知PA PB ⊥，且PB BC B =，所以PA ⊥平面PAB ． ……………………………7分 (2)证明：如图，取AD 的中点E ，连结CE ， 在平面PAB 内，过点M 作//MF AB 交PA 于F ， 连结,FM FE . 在△PAB 中，由作法知//MF AB ，且3342MF AB ==， (9)分PM BCDAF E在底面ABCD 中，易证//CE AB 且32CE =， 所以//MF CE 且MF CE =， ………………………11分 所以四边形MCEF 是平行四边形，所以//CM EF ， ………………………12分 又EF ⊂平面APD ，CM ⊄平面APD ，所以//CM 平面PAD ．……………14分17．建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1)小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥ 此时点D 为AB 中点． 故小路的最短长度为4+(百米)(2)显然，当广场所在的圆与△ABC 面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为则△ABC 的面积为1()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，……………6分 由弦长公式AB =可得2244AB d =-，所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+， (8)分设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++， (10)分 又因为0d CD<≤，即0d <，所以)x AB ⎡==⎣，……………12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-， 即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．………………………………………14分18．(1)由题意c a=1c =， …………………2分所以2,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=． …………………4分设直线1122:(,),(,)AB x ty m A x y B x y =+，，代入2214x y +=得22()14ty m y ++=，即222(4)240()t y tmy m +++-=*，212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，……………6分22222222222412112(2)42(8)164242241211514424242m tm t m t m t m t m t t m tm t t m m t m t t -⎛⎫⎛⎫-----+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………10分又241122PMk mm ==--，8212PM k m =-． (12)分因为2PA PBPM k k k +=，所以2158241280181416.2122m m m m m ⎧⎪-⋅=-⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎩，，解得8m =．……………15分经检验()*有解时恒成立，存在定点(8,0)M 符合条件．……………16分19．证明：(1)由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………2分解得1n n aa +=． ……………4分121212*********212122222111122221122()()42211()22PA PB y y y y k k x x ty m ty m ty y t y y m y y m t y y t m y y m ----+=+=+--+-+-⎛⎫⎛⎫-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0n a >，所以1n n a a +=为常数，故数列{}n a是等比数列，公比为12．……6分(2)当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122nn n n a b a a +==+．……………8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，……10分又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-， ……………14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ……………………16分20．解:(1)2121'()2(0)ax f x ax x x x+=+=>，………………………1分①0≥a 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞； (3)分②<a 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(a-，减区间是),21(+∞-a．……………6分(2)设切点))(,(00x f x A ,00>x x xx f 21)(+=',所以在点A 处切线的斜率是0021x x + 所以切线方程为))(21()(0000x x x x x f y -+=-，………………………7分即02000ln 1)21(x x x x x y +--+=．l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象，即在点A 的两侧，曲线)(x f y =在直线的两侧．令02000ln 1)21()(x x x x x x g +--+=，设)()()(x g x f x h -=，所以在0x x =附近两侧)(x h 的值异号． (8)分设020002ln 1)21(ln )(x x x x x x x x h -+++-+=，注意到0)(0=x h ．下面研究函数的单调性：002121)(x x x x x h --+='=)12)((00xx x x --=xx x x x x x x x x x )21)((212)(00000--=--． ………………10分当021x x <时：)(),,0(0x h x x ∈0)()(0=<x h x h当)(),21,(00x h x x x ∈是减函数,所以0)()(0=<x h x h 所以)(x h 在0x x =处取极大值，两侧附近同负，与题设不符． ……………12分同理，当0021x x >时，)(x h 在0x x =处取极小值，两侧附近同正，与题设不符．故0021x x =,即220=x 时，22(2()0x h x x'=≥，所以)(x h 在),0(+∞内单调增所以当)()(),,0(00=<∈x h x h x x ，当0)()(),,21(00=>+∞∈x h x h x x 符合题设．………14分所以220=x ，切线方程为13ln 222y =--． (16)分21．A ．证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FAEA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．因为B ，E ，F ，C 四点共圆， ……………5分 所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°． 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．……………10分21．B ．解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………5分M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6错误!未找到引用源。
极坐标参数方程专题
坐标系与参数方程一、解答题1．在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2=4x .（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是{x =2+tcosαy =tsinα（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，|AB |=4√6，求l 的倾斜角.【来源】【市级联考】河南省六市2019届高三第二次联考数学（文)试题 【答案】（1）ρsin 2θ−4cosθ=0；（2）π4或α=3π4【解析】 【分析】(1)由题意利用直角坐标与极坐标的转化公式可将直角坐标方程转化为极坐标方程；(2)联立直线参数方程与抛物线方程，结合参数的几何意义求得sinα的值即可确定直线的倾斜角. 【详解】（1）∵{x =ρcosθy =ρsinθ ，代入y 2=4x ，∴ρsin 2θ−4cosθ=0.（2）不妨设点A ，B 对应的参数分别是t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入抛物线方程得：t 2sin 2α−4cosα⋅t −8=0， ∴{t 1+t 2=4cosαsin 2αt 1t 2=−8sin 2α ，则|AB |=|t 1−t 2|=√16+16sin 2αsin 2α=4√6， ∴sinα=√22，∴α=π4或α=3π4.【点睛】本题主要考查直角坐标方程转化为极坐标方程的方法，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程：{x =1−√22t (t 为参数)y =√22t ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2asin (θ+π4)(a >0)． （1）若曲线C 1与曲线C 2相切，求a 的值；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|AB |=√6，求a 的值． 【来源】江西省吉安市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】（1）a =√24；（2）√2 【解析】 【分析】（1）先把曲线C 1和曲线C 2化成普通方程，再根据点到直线距离等于半径列等式可解得； （2）联立直线与曲线C 2的参数方程，利用参数的几何意义可得答案 【详解】（1）直线C 1的直角坐标方程为x +y −1=0． 圆C 2的普通方程为(x−√22a)2+(y−√22a)2=a 2．因为直线l 与圆C 2相切，所以|√22a+√22a−1|√2=a ⇒a =√24．（2）把C 1的参数方程：{x =1−√22ty =√22t （t 为参数）代入曲线C 2的普通方程： 得t 2−√2t −√2a +1=0，故t 1+t 2=√2,t 1t 2=−√2a +1， |AB |=√6=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2⇒a =√2． 【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，较为简单 3．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点P (−2,−4)的直线l 的参数方程为{x =2+√22t y =−4+√22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cosθ，记直线l 与曲线C 分别交于M,N 两点. （1）求曲线C 和l 的直角坐标方程； （2）证明：|PM |,|MN |,|PN |成等比数列.【来源】【全国市级联考】河北省定州市2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题 【答案】(1)y 2=2x , y =x −2.（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）曲线C 的极坐标方程左右两边同乘ρ ，再利用x =ρcosθ,y =ρsinθ 可求其直角坐标方程；消参可求直线的普通方程；（2）把直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程联立，利用韦达定理分别表示|PM |,|MN |,|PN | ，利用等比中项法即可证明。
2019届山东省菏泽市郓城第一中学高三下学期一模数学(文)试题(解析版)
2019届山东省菏泽市郓城第一中学高三下学期一模数学（文）试题一、单选题1．若全集为实数集R ，集合{}ln A x y x ==，{}260B x x x =-->，则 R A B I ð是（ ） A ．()0,∞+ B ．(]0,2C ．(]0,3D ．[)2,0-【答案】C【解析】首先具体求两个集合，再求 R A B I ð. 【详解】ln y x =的定义域是{}0x x >，所以{}0A x x =>， 260x x --> ，解得：3x >或2x <-所以{3B x x =>或2}x <-，{} 23R B x x =-≤≤ð，所以(]0,3R A B =I ð. 故选：C 【点睛】本题考查集合的表示，集合的运算，属于基础计算题型.2．已知复数()10z ai a =+<，2z =，则z 的共轭复数z 的虚部是（ ）A ．i BC ．1D【答案】D【解析】首先根据条件解出a ，计算z 和z ，最后得到共轭复数z 的虚部. 【详解】2z ==，0a <，解得：a =所以1z =，1z =+所以z 故选：D【点睛】本题考查复数的运算，重点考查模和虚部，属于基础题型.3．在直角三角形ABC 中，A 为直角，3AB =，4AC =，其内切圆为圆O ，若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆的的概率是（ ） A ．6π B ．4π C ．16π-D ．14π-【答案】A【解析】由题意可知此概率类型应是几何概型，所以利用等面积公式计算直角三角形内切圆的半径，利用面积比值计算概率. 【详解】5BC ==,设三角形的内切圆半径为r ， 则()113434522r ⨯⨯=++⋅，解得：1r =， 则内切圆的面积2S r ππ==，直角三角形ABC 的面积6S =, 由题意可知此概率类型应是几何概型， 所以豆子落在其内切圆的内的概率6P π=.故选：A 【点睛】本题考查几何概型，本题的关键是根据等面积公式计算内切圆的半径，属于基础题型. 4．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且639S S =，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．2-C ．3D ．3-【答案】A【解析】当1q =时，等式不成立，当1q ≠时，根据等比数列的前n 项和列等式求公比q .【详解】当1q =时，等式不成立，所以1q ≠，当1q ≠时，()()631119111a q a q qq--=--，即()63319119q qq-=-⇒+=，解得：2q =. 故选：A 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，属于基础计算题型.5．已知奇函数()f x 的导函数为()()y f x x R '=∈，若()f x '在[)0,+∞上是减函数，则不等式()()1f x f ''>的解集是（ ） A ．{2,x x <-或}2x > B ．{}22x x -<< C ．{1,x x <-或}1x > D ．{}11x x -<<【答案】D【解析】由题意可知导函数()f x '是偶函数，所以不等式等价于()()1f x f ''>，利用导函数的单调性解不等式. 【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以导函数()f x '是偶函数， 所以()()1f x f ''>，等价于()()1f x f ''> 因为()f x '在[)0,+∞上是减函数， 所以1x <，解得：11x -<< ， 即不等式的解集是{}11x x -<<. 故选：D 【点睛】本题考查利用函数的性质解抽象不等式，重点考查函数性质的综合应用，属于基础题型. 6．若点G 是ABC ∆的重心，BC 边的中点为D ，则下列结论错误的是（ ） A ．G 是ABC ∆的三条中线的交点B ．0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r rC ．2AG GD =u u u r u u u rD ．AG GD =u u u r u u u r【答案】D【解析】由定义可知ABC V 的中线的交点就是重心，并且2AG GD =，由此判断选项，得到正确答案. 【详解】A.ABC V 的中线的交点就是重心，所以A 正确；B.根据平行四边形法则可知2GB GC GD +=u u u r u u u r u u u r，因为点G 是ABC ∆的重心，所以2GA GD=-u u u r u u u r ，所以0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r,所以B 正确； C.因为点G 是ABC ∆的重心，所以2AG GD =，所以2AG GD =u u u r u u u r，所以C 正确； D.由以上可知D 错误. 【点睛】本题考查向量共线，三角形重心的性质，属于基础题型.7．某圆锥的三视图如图.圆锥表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆锥表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆锥侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．2B ．3C ．22D ．4【答案】B【解析】首先根据三视图，画出扇形侧面展开图，从M 到N 的路径中，最短路径是如图MN 的长度，根据余弦定理求解. 【详解】如图，圆锥底面周长是224l ππ=⨯=，所以圆锥展开图的扇形圆周角是43π， 根据三视图可知4433MON ππ∠=÷=，从M 到N 的路径中，最短路径是如图MN 的长度，MON △中，根据余弦定理22233233cos93MN π=+-⨯⨯⨯=，所以3MN = 故选：B 【点睛】本题考查三视图，以及圆锥侧面展开图两点之间的最短距离，意在考查数形结合分析问题的能力，属于重点题型.8．已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 作垂直x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，以MN 为直径的圆交y 轴于C 、D 两点，且3CD =，则抛物线方程为（ ） A ．22y x = B ．223y x =C ．243y x =D ．26y x =【答案】B【解析】由题意可知圆是以焦点为圆心，p 为半径的圆，那么COF V 中，利用勾股定理求解. 【详解】由题意可知通径2MN p =，所以圆的半径是p ，在COF V 中，222322p p ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0p >，解得：3p =，所以抛物线方程：223y x =故选：B 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是根据抛物线和圆的几何性质抽象出数学等式，属于基础题型.9．已知函数()ln xf x x e a =--.若()f x 在()1,2存在1个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(),e -+∞ B ．()0,ln 2 C ．(),ln 2e -D ．()2ln 2,e e --【答案】D【解析】首先根据导数判断函数的单调性，再结合零点个数列出满足条件的不等式，得到实数a 的取值范围. 【详解】当()1,2x ∈时，()ln xf x x e a =--()110xx xe f x e x x-'=-=<，所以函数在区间()1,2上单调递减， 若()f x 在()1,2存在1个零点，则()10f e a =-->，且()22ln 20f e a =--< ，解得:2ln 2e a e -<<- ,所以a 的取值范围是()2ln 2,e e --. 故选：D 【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题型，本题的关键是确定函数的单调性，再结合零点存在性定理得到答案.10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右顶点分别为1A 、2A ，垂直于x 轴的直线l 与双曲线的右支交于M 、N 两点，若12A M A N ⊥，则双曲线的离心率等于（ ）A B C 1 D 1【答案】B【解析】首先根据120AM A N ⋅=u u u u r u u u u r ，整理为22200x y a -=，再结合双曲线方程，可知2022110y a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，00y ≠，可得22a b =，可得双曲线标的离心率. 【详解】设()1,0A a -，()2,0A a ，()00,M x y ，()00,N x y -，00y ≠ ()100,A M x a y =+u u u u r ，()200,A N x a y =--u u u u r 22212000AM A N x a y ⋅=--=u u u u r u u u u r整理为：22200x y a -=，即2200221x y a a-=，且2200221x y a b-= ，两式整理为：2022110y a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，00y ≠，所以22110a b-=，即22a b =， 所以22222c a b a =+=，即双曲线的离心率ce a==故选：B 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，意在考查转化与化归的思想，属于中档题型，本题的关键是理解直线l 的任意性，这样再整理为2022110y a b ⎛⎫-=⎪⎝⎭，00y ≠时，可知22a b =. 11．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆22:4O x y +=交于第一象限内的点P ，点P 的纵坐标为23，把射线OP 顺时针旋转3π，到达射线OQ ，Q 点在圆O 上，则Q 的横坐标是（ ）A ．B C ．3D 【答案】C【解析】根据三角函数的定义求sin ,cos αα，再由定义可知点Q 的横坐标是2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】由条件可知1sin 3α=，并且α是第一象限角，那么cos 3α==由条件可知射线OQ 所对的角是3πα-，则223cos cos cos sin sin 3336πππααα+⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭ 则点Q 的横坐标是2232cos 33πα+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的定义的综合应用，重点考查计算能力和理解应用，属于基础题型. 12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，一只蚂蚁在该正方体的表面上爬行，在爬行过程中，到点A 的直线距离为22，它爬行的轨迹是一个封闭的曲线，则曲线的长度是（ ） A ．32 B ．62C ．2πD ．3π【答案】D【解析】首先根据题意分析出爬行轨迹的封闭曲线，再利用圆的周长求曲线的长度. 【详解】根据题意可知，封闭的曲线上的点看到点A 的距离为22，则形成的封闭曲线应是以点A 为球心，22为半径的球面，在正方体上形成的封闭曲线如图所示：曲线只能在侧面11BB C C ，侧面11DD C C 和上底面1111D C B A 上，在侧面11BB C C 上，曲线以点B 为圆心，半径为2的14圆，其长度为1224ππ⨯⨯=，同理，在侧面11DD C C 上，曲线以D 为圆心，半径2的14圆，其长度为1224ππ⨯⨯=，上底面1111D C B A 上，曲线以1A 为圆心，半径2的14圆，其长度为1224ππ⨯⨯=，则曲线的长度为3π.故选：D 【点睛】本题考查球与几何体的综合题型，重点考查弧长计算，属于中档题型，本题的难点是确定曲线的形状，而关键是理解平面截球，得到的是圆面，再根据球的几何性质，得到圆弧.二、填空题13．若实数,x y 满足条件110330x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是______.【答案】7【解析】首先画出可行域和初始目标函数，再平移初始目标函数，求解最优解，求目标函数的最大值. 【详解】首先画出可行域，然后画出初始目标函数，令0z =，2y x =-，然后初始目标函数平移至点B 处时，取得最大值，10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得：2,3x y ==， 此时max 2237=⨯+=z.故答案为：7 【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型. 14．已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且()*3221n n S n n N T n +=∈-，则33a b =______. 【答案】179【解析】利用等差中项公式，构造等差数列的前n 项和的比值，得到答案. 【详解】()()151535151535535217225251922a a a a a Sb b b b b T ++⨯+=====++⨯-.故答案为：179【点睛】本题考查等差数列前n 项和和等差数列的性质，重点考查转化与变形，属于基础计算题型.15．△ABC 中，3sin 5A =，5cos 13B =，则cosC =_____． 【答案】1665【解析】试题分析：三角形中，cos cos()cos()cos cos sin sin C A B A B A B A B π=--=-+=-+,由5cos ,013B B π=<<，得12sin ,13B =又123sin sin 135B A =>=,所以有正弦定理得,b a >即,B A >即A 为锐角，由3sin 5A =得4cos 5A =，因此4531216cos .51351365C =-⨯+⨯=【考点】正余弦定理 16．若函数()31sin 2sin 22f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______. 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】首先求函数的导数，并设[]cos ,1,1x t t =∈-，()2252482a a g t t ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，若满足条件可知()0g t ≥恒成立，列满足条件的不等式，求实数a 的取值范围. 【详解】()3cos 2cos 2f x x a x '=-- 22352cos 1cos 2cos cos 22x a x x a x =-+-=--+， 2252cos 482a a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，设[]cos ,1,1x t t =∈-，()2252482a a g t t ⎛⎫=-+-+⎪⎝⎭，若函数在R 上单调递增，则()0g t ≥恒成立，即()()1010g g ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩ ，解得：1122a -≤≤. 故答案为：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查导数和函数单调性的关系，以及二次函数，重点考查转化与化归的思想，属于中档题型，本题的关键是转化为()0f t '≥恒成立，根据二次函数的图形和性质求解.三、解答题17．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，4c =，且满足32sin a b A =.（1）求角B ；（2）如图，D 为ABC ∆外一点，若在平面四边形ABCD 中，2B D ∠=∠，4CAD π∠=，求CD .【答案】（1）3B π=（2）26CD =【解析】（132sin sin A B A =，再求解sin B ； （2）首先ABC V 中，根据余弦定理求b ，ACD V 中利用正弦定理求CD 的长度.解：（1）由正弦定理得：3sin 2sin sin A B A =，因为sin 0A ≠，所以3sin 2B =又因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3B π=.（2）由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-， 因为2a =，4b =，所以21416224122b =+-⨯⨯⨯=，所以23b =， ∵在ACD ∆中，6D π∠=，4CAD π∠=，由正弦定理得sin sin b CDD CAD=∠， 解得26CD =. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查逻辑推理，计算能力，属于基础题型. 18．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，点B 在直线AC 上的正投影为点E .（1）证明：BE ⊥平面ACD ；（2）若3BC =，5BD =，直线AB 与平面ACD 所成的角为30o ，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】（1）要证明线面平行，需证明BE 垂直于平面内的两条相交直线，关键是证明CD BE ⊥；（2）由条件可知30BAC ∠=o ，这样利用条件可求出棱锥的底面面积和高，最后求三棱锥A BCD -的体积.解：（1）∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴CD AB ⊥，又CD BC ⊥，AB BC B ⋂=，∴CD ⊥平面ABC . 又BE ⊂平面ABC ，∴BE CD ⊥，又BE AC ⊥，CD AC C =I ，∴BE ⊥平面ACD . （2）由（1）知，BE ⊥平面ACD ，∴BAC ∠就是直线AB 与平面ACD 所成的角，即30BAC ∠=o . ∴ABC ∆中，AB BC ⊥，30BAC ∠=o ，从而333AB BC ==. 又AB ⊥平面BCD ，∴三棱锥A BCD -的高为33AB =.又BCD ∆中，BC CD ⊥，3BC =，5BD =，从而4CD =，13462BCD S ∆=⨯⨯=. ∴三棱锥A BCD -的体积116336323BCD V S AB ∆=⋅⋅=⨯⨯= 【点睛】本题考查线面垂直，棱锥的体积，重点考查推理证明，计算能力，属于基础题型. 19．为了比较两位运动员甲和乙的打靶成绩，在相同条件下测得各打靶10次所得环数（已按从小到大排列）如下：甲的环数：6.9,7.3,7.5,7.6,7.8,8.2,8.4,8.5,8.7,9.1 乙的环数：6.1,6.2,6.5,7.3,7.4,8.6,8.7,9.5,9.8,9.9 （1）完成茎叶图，并分别计算两组数据的平均数及方差；（2）（i ）根据（1）的结果，分析两人的成绩；（ii ）如果你是教练，请你作出决策：根据对手实力的强弱分析应该派两人中的哪一位上场比赛.【答案】（1）作图见解析；甲的环数的平均数为8，方差0.43；乙的环数的平均数为8，方差为1.99（2）（i ）详见解析（ii ）应派乙上场【解析】（1）由茎叶图中的数据分别计算两组数据的平均数和方差；（2）（ⅰ）平均数相同的情况下，方差小说明数据比较集中，稳定，判断甲乙的成绩好（ⅱ）根据对手的成绩是否大于平均分来判断. 【详解】解：（1）完成茎叶图，如图所示.甲的环数的平均数为()16.97.37.57.67.88.28.48.58.79.1810x =+++++++++=甲. 方差()2222222222211.10.70.50.40.20.20.40.50.7 1.10.4310S =+++++++++=甲 乙的环数的平均数为()16.1 6.2 6.57.37.48.68.79.59.89.9810x =+++++++++=乙. 方差为()2222222222211.9 1.8 1.50.70.60.60.7 1.5 1.8 1.9 1.9910S =+++++++++=乙 （2）（i ）由（1）知，x x =甲乙，22S S <甲乙，这表明甲乙二人打靶的平均水平相当，但甲成绩更稳定.（ii ）由此作出决策：若对手实力较弱（以往平均成绩小于8），则应派甲上场，这样胜率较大；若对手实力较强（以往平均成绩超过8），则应派乙上场，这样可以拼一下. 【点睛】本题考查统计的实际应用问题，重点考查样本的平均数，方差，以及分析，抽象概括能力，计算能力，属于基础题型.20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>离心率为45，椭圆上的点到右焦点的最小距离是1，直线:1l y kx =+交椭圆于A 、B 两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆的方程；（2）求三角形AOB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【答案】（1）221259x y +=（2）面积的最大值为3，此时直线l 的方程是1y =. 【解析】（1）由条件可知45c a =，且1a c -=，求椭圆方程； （2）直线1y kx =+与椭圆方程联立，并且表示12250925k x x k -+=+，122200925x x k -=+， 利用韦达定理表示三角形的面积，并通过换元求三角形面积的最值，和此时直线l 的方程. 【详解】解：（1）因为45c a =，1a c -=，所以5a =，4c =，3b =，221259x y +=，（2）把直线:1l y kx =+代入椭圆，得，()22925502000k xkx ++-=，>0∆设()11,A x y ，()22,B x y ，则12250925k x x k -+=+，122200925x x k -=+AB ===点O到直线l 的距离为d =，12S AB d ==，设29259t k =+≥，则S ===1109t ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭当119t=，即9t =，即0k =时，max 3S =，此时直线l 的方程是1y =. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具. 21．已知函数()()1xf x e ax a R =--∈.（1）若0a >，试判断()2ln f a 的符号；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）当0a ≤或1a =时，()f x 有1个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有2个零点【解析】（1）首先计算得到()22ln 12ln f a a a a =--，设()()22ln 0g a a a a a a =-->，利用二次求导，判断函数的单调性，()g a 和()1g 比较大小；（2）首先求函数的导数()xf x e a '=-，讨论0a ≤，0a >两种情况讨论函数的单调性，判断函数的零点个数，当0a >时，()()min ln ln 1f x f a a a a ==--，设()()ln 10h a a a a a =-->，再次求函数的导数，判断函数的单调性和最小值，讨论求函数的零点个数. 【详解】解：（1）()2ln 22ln 2ln 112ln af a ea a a a a =--=--.设()()212ln 0g a a a a a =-->，则()()()22ln 121ln g a a a a a '=-+=--. 设()()1ln 0h a a a a =-->，则11()1a h a a a-'=-=， ∴当01a <<时，()0h a '<；当1a >时，()0h a '>.∴当1a =时，()()min 10h a h ==.故()0h a ≥，从而()0g a '≥. ∴()g a 在()0,∞+上单调递增.∴当01a <<时，()()10g a g <=，从而()2ln 0f a <； 当1a =时，()()10g a g ==，从而()2ln 0f a =； 当1a >时，()()10g a g >=，从而()2ln 0f a >. （2）()f x 的定义域为R ，()xf x e a '=-.∴当0a ≤时，()0f x '≥，故()f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又()00f =，∴()f x 有1个零点.当0a >时，令()0f x '<，得ln x a <；令()0f x '>，得ln x a >. ∴()f x 在上(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.设()()ln 10h a a a a a =-->，则()ln h a a '=-.∴当01a <<时，()0h a '>；当1a >时，()0h a '<.∴()()max 10h a h ==. ∴当01a <<时，()0h a <，即()()min ln 0f x f a =<，又当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞；故()f x 有2个零点. 当1a =时，()()min 00f x f ==，故()f x 有1个零点. 当1a >时，()0h a <，即()()min ln 0f x f a =<，又当x →-∞时，()f x →+∞；由（1）知()2ln 0f a >，故()f x 有2个零点. 当0a ≤或1a =时，()f x 有1个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有2个零点. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，第二问中当0a >时，判断零点个数相对其他情况比较难，还需构造函数，解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合. 22．已知直线l 的参数方程为x a ty t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求直线l 与圆C 的普通方程；（2）若直线l 分圆C 所得的弧长之比为2:1，求实数a 的值.【答案】（1）0x y a +-=；()2224x y -+=（2）2a =±【解析】（1）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，求圆的普通方程，消去参数t ，就是直线l 的普通方程；（2）由条件可知，劣弧所对的圆心角是23π，得到弦长为到a . 【详解】解：（1）由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=0x tx y a x y a y a t =⎧⇒+=⇒+-=⎨=-；（2）()22224024x x y x y -+=⇒-+=；直线l 分圆C 所得的弧长之比为2:1，劣弧所对的圆心角是23π，=1d ==；1d ⇒==，所以2a =±【点睛】本题考查极坐标，参数方程，直角坐标方程的互化，重点考查互化公式，以及圆的弦长公式，属于基础计算题型. 23．已知()211f x x ax =++-.（1）当2a =时，求不等式()()02f x f >+的解集；（2）若不等式()22f x x <+的解集包含()0,2，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{1,x x <-或}1x >（2）(]0,1 【解析】（1）首先利用零点分段法，分12x ≤-，1122x -<≤，或12x >三段去绝对值，得到函数()f x ，解不等式；（2）当()0,2x ∈时，不等式等价于11ax -<恒成立，即()0,2是不等式解集的子集，讨论求a 的取值范围. 【详解】解：（1）当2a =时，()2121f x x x =++-，即14,211()2,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩故不等式()()02f x f >+的解集为{1,x x <-或}1x >.（2）即不等式()22f x x <+的()0,2内恒成立，等价于当()0,2x ∈时，11ax -<恒成立.当0a ≤，则当()0,2x ∈时11ax -≥，矛盾.若0a >，11ax -<的解集为20,a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22a ≥，故01a <≤.综上，a 的取值范围为(]0,1. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立求参数的取值范围，重点考察零点分段法，以及转化与变形，计算能力，属于中档题型.。
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的方程组，解方程组即得解，再利用等差数列的通项求
D. 2020 a . 2019
【详解】由题得
，
所以
.
故选： C
【点睛】 本题主要考查等差数列的通项和前
理解掌握水平和分析推理能力 .
n 项和公式的应用， 意在考查学生对这些知识的
4. 已知命题 p： x∈ R， x 2＞ 0，则 是（ ）
A. x∈R， x 2＜ 0
．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄
鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡
D.
【答案】 C 【解析】 【分析】 设包含 7 块板的正方形边长为 ，其面积为 ，计算雄鸡的鸡尾面积为 率计算公式得解。 【详解】设包含 7 块板的正方形边长为 ，其面积为 则雄鸡的鸡尾面积为标号为 的板块，其面积为
，复数 在复平面内的对应点关于虚轴对称，
2
【点睛】本题主要考查了复数的对称关系，还考查了复数的除法、乘法运算，属于基础题。
3. 已知等差数列 {a n} 的前 5 项和为 15， a6＝6，则 a2019＝（ ）
A. 2017
B. 2018
C. 2019
【答案】 C
【解析】
【分析】
根据已知得到关于
D.
【答案】 A 【解析】
4
【分析】 先通过三视图找到几何体原图，再利用锥体
体积公式求体积 .
的 【详解】
由题得几何体是如图所示的正四棱锥，底面是边长为
所以几何体的高为
.
所以几何体的体积为
.
1
山东省郓城一中等学校 2019 届高三数学第三次模拟考试试题 文（含
解析）
一、选择题
1. 已知集合 A＝ {x| －2≤x≤3} ， 函数 f（ x）＝ ln（ 1－ x）的定义域为集合 B，则 A∩B＝（ ）
A. [ － 2， 1]
B. [ － 2， 1）
C. [1 ， 3]
D. （1，3]
【答案】 B
【解析】
【分析】
求出集合 ，再利用交集运算得解
【详解】由
得：
，
所以集合 所以
，又 .
故选： B 【点睛】本题主要考查了集合
交集运算，属于基础题。
2. 若复数
在复平面内的对应点关于虚轴对称，
，则
（）
A. 【答案】 B 【解析】 【分析】 利用已知求得 【详解】
，
故选 :B
B.
C. 1
D.
的 ，再利用复数的乘法、除法运算计算即可得解。
B. x∈ R，x 2＜ 0
x2≤０
C. x∈ R， x2≤０
D. x∈R，
【答案】 D
【解析】
【分析】
直接利用全称命题的否定解答 . 【详解】因为命题 p： x∈ R， x2＞ 0，所以
： x∈ R，x 2≤０
故选： D
【点睛】 本题主要考查全称命题 否定， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推
理能力 .
5. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具， 是由七块板组成的． 而这七块板可拼成许多图形，
例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：
近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在
18 世纪，七巧板流传到了国外，
3
至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》
，利用几何概型概
所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为
.
故选： C. 【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算，考查观察能力，属于基础题。
6. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为
的正三角形，则此几何体的体积是（
）
1 的正方形，正视图与侧视图都是边长为 1
A.
B.
C.
1 拿到试卷：熟悉试卷 刚拿到试卷一般心情比较紧张， 建议拿到卷子以后看看考卷一共几页， 有多少道 题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有 效措施，也从根本上防止了“漏做题”。 2 答题顺序：从卷首依次开始 一般来讲， 全卷大致是先易后难的排列。 所以，正确的做法是从卷首开始依次做 题，先易后难，最后攻坚。但也不是坚决地“依次”做题，虽然考卷大致是先易后 难，但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的， 执着程度适当， 才能绕过难题， 先做好有保证的题，才能尽量多得分。 3 答题策略 答题策略一共有三点： 1. 先易后难、先熟后生。先做简单的、熟悉的题，再做 综合题、难题。 2. 先小后大。先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。 3. 先局部后整体。把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决 一步就能得到一步的分数。 4 学会分段得分 会做的题目要特别注意表达准确、书写规范、语言科学，防止被“分段扣点分。”不会做的 题目我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不 对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处。如” 果题目有多个问题，也可以跳步作答，先回答自己会的问题。 5 立足中下题目，力争高水平 考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷 中要立足中下题目。中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下 这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。 6 确保运算正确，立足一次性成功 在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。不 能为追求速度而丢掉准确度， 甚至丢掉重要的得分步骤。 试题做完后要认真做好 解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。 7 要学会“挤”分 考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量 把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。考试时，每一道题都认真思考，能做几步 就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。 8 检查后的涂改方式要讲究 发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。如果对现有的 题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。有的同学先把原来写的题解涂抹了， 写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。考试期间遇到这些事，莫慌乱！ 不管是大型考试还是平时的检测，或多或少会存在一些突发情况。遇到这些意外情况应该怎 么办？为防患于未然，老师家长们应该在考前给孩子讲清楚应急措施，告诉孩子遇事不慌乱， 沉重冷静，必要时可以向监考老师寻求帮助。