2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算 文
高考数学一轮复习第4章 第5节 数系的扩充与复数的引入
答案：5
5．已知复数 z＝1－3＋3ii2，则|z|＝________. 解析：z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i 3i ＝－2－3＋2 i3－i2－＋22＋23i3i＝－ 43＋14i，
答案：8
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解析：由题意知xx2－－11≠＝00， 得 x＝－1.
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解析：当 m»＝第1 五时级，z1＝3－2i，故 z1＝z2；反之当 z1＝z2 时， 有mm22＋ ＋mm＋ －14＝ ＝－ 3，2， 解得 m＝1 或 m＝－2.所以 m＝1 是 z1＝ z2 的充分不必要条件．
以 1 为半径的圆上.yx表示圆上的点与原点连线的斜率．
设过原点的直线为 y＝kx，由直线与圆相切，得 k|22＋k| 1＝1，
解得
k＝±
3 3.
故所求yx的取值范围为－ 33， 33.
答案：A
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2015届高考数学总复习第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算精讲课件 文
(2)(2013· 陕西卷 ) 设 z1 ， z2 是复数，则下列命题中的假 命题是( ) A．若|z1－z2|＝0，则 Z 1 = Z 2
B．若z1＝ Z 2 ，则 Z 1 ＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1· Z Z ＝z2·
1 2
D．若|z1|＝|z2|，则
解析：(1)设z＝a＋bi，a，b∈R，
变式探究
3．(1)(2013· 四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，
则图中表示z的共轭复数的点( A．A C．C B．B D．D )
(2)若复数z＝(x－5)＋(3－x)i在复平面
内对应的点位于第三象限，则实数x的
取值范围是( A．(－∞，5) C．(3,5) ) B．(3，＋∞) D．(5，＋∞)
(2)z1z2＝(1－i)(2＋i)＝2＋i－2i－i2＝2＋1－i＝3－i.故选A.
(3)z2＋
2＝பைடு நூலகம்cos
θ＋isin θ)2＋(cos θ－isin θ)2＝2cos 2θ＝
1⇒sin 2θ＝
.
点评： 复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本
思路就是应用运算法则进行计算．复数的加减运算类似于实 数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复
变式探究
1 ． (1) 设 a ， b∈R ， i 是虚数单位，则“ ab ＝ 0” 是“复数 a ＋ 为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件 (2)下面是关于复数z＝ p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件 的四个命题：
p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1，
运算转化为实数运算，体现了化归与转化思想；
【解密高考】2015届高考数学(人教)大一轮课件：5-4数系的扩充与复数的引入
.
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特别提醒：注意复数 a＋bi 是实数、虚数、纯虚数及两复数 相等的充要条件，注意实数与复数的区别与联系．特别注意 a＝ 0 是 a＋bi(a、b∈R)为纯虚数的必要不充分条件．
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(4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴 叫做 实轴，y轴 叫做虚轴．实轴上的点都表示实数 ；除原点外，虚轴 上的点都表示 纯虚数 ；各象限内的点都表示 复数 ． (5)复数的模 → 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |z| 或 |a＋bi| ， 向量OZ
答案：D
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2．(2013· 山东)复数 z 满足(z－3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 为( A．2＋i C．5＋i ) B．2－i D．5－i
52＋i 5 解析：由(z－3)(2－i)＝5，得 z＝3＋ ＝3＋ ＝ 2－i 2－i2＋i 3＋2＋i＝5＋i，所以 z ＝5－i.
答案：D
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3．(2013· 四川)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表 示 z 的共轭复数的点是( A．A C．C ) B．B D．D
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算 理
第五节 数系的扩充、复数的概念与四则运算知识梳理一、复数的有关概念 1．复数的概念．形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若________，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若________，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________(a ，b ，c ，d ∈R ).3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔________(a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复平面．建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________．5．复数的模．向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作________或________，即|z |＝|a ＋b i|＝________.6．复数的几何意义．(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.答案：1.实部 虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0 2.a ＝c 且b ＝d 3.a ＝c ，b ＝－d4.x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数5.|z | |a ＋b i| \r(a 2＋b 2)二、复数代数形式的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 1．z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. 2．z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 3.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． 三、常见运算规律1．i 的幂运算：i4n ＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i(其中n ∈N )．2．(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.3．(1±i)2＝±2i. 4.1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i. 5．1的立方根是1，－12＋32i ，－12－32i ；－1的立方根是－1，12＋32i ，12－32i.6．设ω＝－12＋32i ，则ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.四、复数运算所满足的运算律 1．加法交换律： z 1＋z 2＝z 2＋z 1.2．加法结合律： (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．3．乘法运算律：(1)z 1(z 2z 3)＝(z 1z 2)z 3 ；(2)z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3；(3)(z 1＋z 2)z 3＝z 1z 3＋z 2z 3.五、复数加减法的几何意义1．复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量OP 1→，OP 2→，那么，以OP 1，OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量 OS →就是z 1＋z 2的和所对应的向量． 2．复数减法的几何意义：两个复数的差z 1－z 2与连接向量Oz 1→，Oz 2→的终点，并指向被减数的向量z 2z 1→对应．六、几个重要的结论1．|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)．2．z ·z ＝|z |2＝|z |2. 3．若z 为虚数，则|z |2≠z 2.基础自测1．(2013·潮州二模)设i 为虚数单位，则复数i2＋i等于( )A.15＋25i B ．－15＋25i C.15－25i D ．－15－25i 解析：i 2＋i ＝－＋－＝1＋2i 5＝15＋25i.故选A.答案：A2．(2013·广州一模)已知a1－i＝1＋b i ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则a ＋b i＝( )A ．1＋2iB ．2＋IC ．2－ID ．1－2i 解析：由a 1－i ＝1＋b i ，即a 2＋a2i ＝1＋b i ，得a ＝2，b ＝1.故选B.答案：B3．设i 为虚数单位，则1－i ＋i 2－i 3＋i 4－…＋i 20＝________.解析：根据i n (n ∈N *)的周期性知，－i ＋i 2－i 3＋i 4＝－i 5＋i 6－i 7＋i 8＝ 0∴1－i ＋i 2－i 3＋i 4－…＋i 20＝1. 答案：14．若(1－2i)i ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝________.解析：由(1－2i)i ＝i －2i 2＝2＋i ＝a ＋b i ，根据复数相等的条件可得a ＝2，b ＝1，∴ab ＝2.答案：21．(2013·江西卷)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i＝－4i.答案：C2．(2013·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i1．(2013·梅州二模)复数z ＝11－i(i 为虚数单位)的共轭复数z －是( )A ．1－iB ．1＋i C.12＋12i D.12－12i解析：因为复数z ＝11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i.所以z －＝12－12i.故选D.答案：D2．(2013·江门一模)在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2－i(其中，i 是虚数单位)，如果点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数是( )A ．－2－IB ．－2＋iC ．2＋iD ．1－2i解析：由题意可得点A 的坐标为(2，－1)，点A 关于实轴的对称点为点B (2,1)，则向量OB →对应的复数是2＋i ，故选C.答案：C。
【全程复习方略】(福建专版)高考数学 第四章 第五节数系的扩充与复数课件 理
(a+c)+(b+d)i ①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_____________;
(a-c)+(b-d)i ②减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_____________;
(ac-bd)+(ad+bc)i ③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=_________________;
(2)(2012·江西高考)若复数z=1+i(i为虚数单位), z 是z的共
轭复数，则 z2 z2 的虚部为( )
(A)0
(B)-1
(C)1
(D)-2
1 ai 1 ai 2 i 2 a 1 2a i， 【规范解答】(1)选A. 2 i 2 i 2 i 5 5 又 1 ai 是纯虚数， 2i
其中|z|=|OP|.
(4)复数的加法和减法的几何意义复数 的加、减法可以转化为其对应的向量的 加、减法,即满足平行四边形法则或三 角形法则.如图所示,设复数z=a+bi, ω =c+di,分别用向量 OA,OB 表示,则①z+ω = OC ,其中OC是以 OA,OB为邻边的平行四边形的对角线；②z-ω = BA OD ;③kz对 应的向量 OM k OA.
第五节 数系的扩充与复数
1.复数的有关概念 (1)复数的定义
高中数学《数系的扩充和复数的概念 》课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
解析 对于复数 a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 且 b≠0 时为纯虚数． 在①中，若 a＝－1，则(a＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误； 在③中，若 x＝－1，x2＋3x＋2≠0 不成立，故③错误； ④正确．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
解析
探究2 复数的分类 例 2 当实数 m 为何值时，复数 z＝m2＋mm－6＋(m2－2m)i 为：(1)实数？ (2)虚数？(3)纯虚数？ [解] (1)当mm≠2－02，m＝0， 即 m＝2 时，复数 z 是实数； (2)当 m2－2m≠0，即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数；
集合 C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}中的数，即形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做
□03 复数 ，其中 i 叫做 □04 虚数单位 ．全体复数的集合 C 叫做 □05 复数集 ．
复数通用字母 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做
□06 复数的代数形式 ．其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的 □07 实部与虚部 ．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．( × ) (2)若 z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当 m＝0，n≠0 时，z 为纯虚数．( × ) (3)bi 是纯虚数．( × ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相 等．( √ )
(3)当m2＋mm－6＝0， 即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数． m2－2m≠0，
2015高考数学一轮复习配套课件：4-4数系的扩充与复数的引入
抓住3个必备考点
突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
第四章 平面向量、数系的扩充与复数 的引入
第四章 第4讲
第1页
第一页，编辑于星期五：十二点 二十七分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学 理
抓住3个必备考点
突破3个热点考向
抓住3个必备考点
突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
[解析]
(1)11＋－2ii2＝
1＋2i －2i
＝
1＋2ii －2ii
＝
－2＋i 2
＝－1＋
1 2
i，故
选B.
(2)由已知可得
3＋bi＝(a＋bi)(1－i)＝a＋b＋(b－a)i，
∴a＋b＝3.
[答案] (1)B (2)3
第四章 第4讲
第7页
第七页，编辑于星期五：十二点 二十七分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学 理
抓住3个必备考点
突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
01抓住3个必备考点
第四章 第4讲
第8页
第八页，编辑于星期五：十二点 二十七分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学 理
∴z＝3－5 4i＝3－543i＋34＋i 4i＝35＋45i.
故z的虚部为45，选D.
[答案] (1)C (2)D
第四章 第4讲
第19页
第十九页，编辑于星期五：十二点 二十七分。
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2015高考数学一轮总复习课件：4.4数系的扩充与复数的引入
特点及熟练应用运算技巧．
(2)一般先乘方、再乘除、最后为加减，有括号者可先算括号 里面的．
第二十一页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
聚焦考向透析
梳理自测1
1．(教材改编)复数1－＋i2i(i 是虚数单位)的实部是( D )
A.15
B．－15
C．－15i
D．－25
2．(课本精选)已知1＋z i＝3－i，则复数 z 的实部为( A )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
第四页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
基础知识梳理 梳 理 一 复数的概念与运算
11
11
A．－2－2i B．－2＋2i
C.12－12i
D.12＋12i
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1)先利用i的性质，再进行除法
运算．
第十六页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
聚焦考向透析
考向二 复数的代数运算
例题精编
(1)(2014·重庆质检) i2＋i3＋i4
复数 1－i ＝( C )
单位)在复平面内对应的点在直线 x＋y＝0 上，
则实数 a 的值是( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
第二十五页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
聚焦考向透析
考向三 复数的几何意义
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(2014·豫东、豫北十校联考) 设 a 是实数，若复数1－a i＋1－2 i(i 为虚数
No ◆以上题目主要考查了以下内容：
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第五节 数系的扩充、复数的概念与四则运算
1．理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示形式及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
知识梳理 一、复数的有关概念 1．复数的概念．
形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若________，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若________，则a ＋b i 为纯虚数．
2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________(a ，b ，c ，d ∈R ). 3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔________(a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复平面．
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________．
5．复数的模．
向量OZ →
的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作________或________，即|z |＝|a ＋b i|＝________.
6．复数的几何意义．
(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应
复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →. 二、复数代数形式的运算法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
1．z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 2．z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 3.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 三、常见运算规律
1．i 的幂运算：i4n ＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i(其中n ∈N )． 2．(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2. 3．(1±i)2＝±2i. 4.
1＋i 1－i ＝i ，1－i
1＋i
＝－i. 5．1的立方根是1；－12＋32i ，－12－32i ，－1的立方根是－1，12＋32i ，12－32i.
6．设ω＝－12＋3
2i ，则ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.
四、复数运算所满足的运算律 1．加法交换律： z 1＋z 2＝z 2＋z 1.
2．加法结合律： (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．
3．乘法运算律：(1)z 1(z 2z 3)＝(z 1z 2)z 3 ; (2)z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3；(3)(z 1＋z 2)z 3＝z 1z 3＋z 2z 3. 五、复数的几何意义
1．复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量OP 1→，OP 2→
，那么，以OP 1，
OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS →
就是z 1＋z 2的和所对应的向量． 2．复数减法的几何意义：两个复数的差z 1－z 2与连接向量Oz 1→，Oz 2→
的终点，并指向被
减数的向量z 2z 1→
对应．
六、几个重要的结论
1．|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)． 2．z ·z ＝|z |2＝|z |2. 3．若z 为虚数，则|z |2≠z 2.
一、1.实部 虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0 2.a ＝c 且b ＝d 3.a ＝c ，b ＝－d 4.x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 5.|z | |a ＋b i|
基础自测
1．(2013·汕头二模)已知i 为虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12
C ．－12
D ．－2
解析：因为复数(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧
2－a ＝0，
1＋2a ≠0，
解得a ＝
2.故选A.
答案：A
2．(2013·广州一模)已知a
1－i
＝1＋b i ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则a ＋b i ＝( ) A ．1＋2i B ．2＋i C ．2－i
D ．1－2i
解析：由a 1－i ＝1＋b i ，即a 2＋a
2i ＝1＋b i ，得a ＝2，b ＝1.故选B.
答案：B
3．(2012·荆州质检)设i 为虚数单位，则1－i ＋i 2－i 3＋i 4－…＋i 20＝________.
解析：根据i n (n ∈N *)的周期性知，－i ＋i 2－i 3＋i 4＝－i 5＋i 6－i 7＋i 8＝…＝0， ∴1－i ＋i 2－i 3＋i 4－…＋i 20＝1. 答案：1
4．(2013·湖北卷)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1
＝2－3i ，则z 2＝________.
解析：依题意z 1＋z 2＝0，所以z 2＝－z 1＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
1．(2013·广东卷)若i(x ＋y i)＝3＋4i ， x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
解析：根据复数相等的充要条件可得x ＝4，y ＝－3，易得x ＋y i 的模为5，故选D. 答案：D
2．(2013·安徽卷)设i 是虚数单位．若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
解析：a －10
3－i ＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ，且a －10
3－i
为纯虚数知a ＝3.故选D. 答案：D
1．(2013·梅州二模)复数z ＝11－i (i 为虚数单位)的共轭复数z －
是( )
A ．1－i
B ．1＋i
C.12＋1
2
i
D.12－12
i
解析：因为复数z ＝1
1－i ＝1＋i
(1－i )(1＋i )＝12＋1
2i.
所以z －＝12－1
2i.故选D.
答案：D
2．(2013·江门一模)在复平面内，O 是原点，向量OA →
对应的复数是2－i(其中，i 是虚数
单位)，如果点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →
对应的复数是( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2＋i
D ．1－2i
解析：由题意可得点A 的坐标为(2，－1)，点A 关于实轴的对称点为点B (2,1)，则向量OB →
对应的复数是2＋i ，故选C.
答案：C。