第11讲 整数规划方法

第十一章整数规划方法整数规划的一般模型；整数规划解的求解方法；整数规划的软件求解方法；0-1规划的模型与求解方法；整数规划的应用案例分析。

一、整数规划的一般模型1. 问题的提出:固定资源分配问题设某企业有n 个生产车间需要m 种资源，对于第i 个生产车间分别利用第j 种资源ij x 进行生产，单位资源可以获得利润为ij r (1,2,,;1,2,,)i n j m == ．若第j 种资源的单位价格为(1,2,,)j a j m = ，该企业现有资金M 元.试问该企业应购买多少第j 种资源(总量为j X ），又如何分配给所属的n 个生产车间，使得总利润最大？固定资源分配问题解 设决策变量为(1,2,,;1,2,,)ij x i n j m == 表示分配给第i 个生产车间的第j 种资源的资源量，均为非负整数，第j 种资源的需求总量(1,2,,)j X j m = 也都为整数． 问题的目标函数为总利润求11n mij iji j z r x ===∑∑的最大值． 1111max ,(1,2,,),,s.t.0(1,2,,),0(1,2,,).n mij ij i j nij j i m j j j ij j z r x x X j m a X M x i n X j m =====⎧==⎪⎪⎪≤⎨⎪≥=⎪≥=⎪⎩∑∑∑∑ 且为整数且为整数2. 整数规划模型的一般形式一、整数规划的一般模型(A) ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=≥⋅⋅⋅=≥=≤=∑∑==),,2,1(,0),,2,1(),(max(min)11n j x x m i b x a x c z j j i nj j ij nj jj 为整数 •问题是如何求解整数规划问题呢？•能否设想先略去决策变量整数约束，即变为线性规划问题求解，再对其最优解进行取整处理呢？•实际上，可借鉴这种思想来解决整数规划问题．1 .整数规划求解的总基本思想•松弛问题(A)中的约束条件,使构成易于求解的新问题---松弛问题(B)；•如果问题(B)的最优解是原问题(A)的可行解,则就是原问题(A)的最优解；•否则,在保证不改变松弛问题(B)的可行解的条件下,修正松弛问题(B)的可行域(增加新的约束),得到新问题(C)，再求问题（C)的解.•重复这一过程直到修正问题的最优解在原问题(A)的可行域内为止,即得到了原问题的最优解。

1 .整数规划求解的总基本思想(A) ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=≥⋅⋅⋅=≥=≤=∑∑==),,2,1(,0),,2,1(),(max(min)11n j x x m i b x a x c z j j i n j j ij n j jj 为整数 (B) 11max(min)(,)(1,2,,)0(1,2,,)nj j j nij j i j j z c x a x b i m x j n ===⎧≤=≥=⋅⋅⋅⎪⎨⎪≥=⋅⋅⋅⎩∑∑ ！！注意：如果每个松弛问题的最优解不是原问题的可行解,则这个解对应的目标函数值z 一定是原问题最优值*z 的上界(最大化),即z z ≤*，或下界(最小化),即z z ≥*．（1）分枝定界法的思想2 .整数规划分枝定界法● 将原问题（Ａ）中整数约束去掉变为问题（Ｂ）,求出（Ｂ）的最优解.● 如果不是原问题（Ａ）的可行解，则通过附加线性不等式约束(整数)，将问题(B)分枝变为若干子问题),,2,1)((I i B i ⋅⋅⋅=，即对每一个非整变量附加两个互相排斥（不交叉）的整型约束，就得两个子问题. ●继续求解定界，重复下去，直到得到最优解为止。

2、整数规划的分枝定界法（2）分枝定界法一般步骤1)将原整数规划问题（A）去掉所有的整数约束变为线性规划问题（B），用线性规划的方法求解问题（B）:•问题(B)无可行解，则(A)也无可行解，停止；X，并是(A)的可行解，则此●问题(B)有最优解*解就是(A)的最优解，计算结束；●问题(B)有最优解*X，但不是(A)的可行解，转下一步。

2）将*X 代入目标函数，其值记为z ，并用观察法找出（A ）的一个可行解（整数解，不妨可取),,2,1(0n j x j ⋅⋅⋅==），求得目标函数值（下界值），记为z ，则（A ）的最优值记为*z ，即有z z z ≤≤*，转下一步； （2）分枝定界法一般步骤3) 分枝：在问题(B)的最优解中任选一个不满足整数约束的变量j j b x =，附加两个整数不等式约束：][j j b x ≤和1][+≥j j b x 到问题(B)中，构成两个新的子问题)(1B 和)(2B ，求)(1B 和)(2B 的解。

定界：对每一子问题的求解结果，找出最优值最小者为新的上界z ，从所有符合整数约束条件的分枝中找出目标函数值最大的为新下界z（2）分枝定界法一般步骤（2）分枝定界法一般步骤4）比较与剪枝：各分枝问题的最优值同z 比较，如果其值小于z ，则这个分枝可以剪掉，以后不再考虑。

如果其值大于z ，且又不是（A ）的可行解，则继续分枝，返回（3），直到最后得到最优解使z z =*，即),,2,1(*n j x j⋅⋅⋅=为最优解。

（1）割平面法的思想将原整数规划问题(A)去掉整数约束变为线性规划问题(B)，引入线性约束条件(称为Gomory约束，几何术语割平面)使问题(B)的可行域逐步缩小.每次切割掉的是问题非整数解的一部分，不切掉任何整数解，直到最后使目标函数达到最优的整数解成为可行域的一个顶点时，即问题最优解。

利用线性规划的求解方法逐步缩小可行域，最后找到整数规划的最优解。

（2）割平面法的一般步骤设原问题中有n 个决策变量，m 个松弛变量，共m n +个变量，略去整数约束求解线性规划问题. 设),,2,1(m i x i ⋅⋅⋅=表示基变量，),,2,1(n j y j ⋅⋅⋅=表示非基变量.1)在最优解中任取一个具有分数值的基变量，不妨是)1(m i x i ≤≤,则有i n j j ij i b y a x =+∑=1，即∑=-=n j j ij i i y a b x 1 （a ）2）将i b和ij a（为假分数）分为整数部分和非负的真分数，即),,2,1(,njfNafNbijijijiii⋅⋅⋅=+=+=，其中iN和ijN表示整数，而)10(<<iiff和)10(<≤ijijff表示真分数，代入（a）式，并将整数放在一边，分数放在一边，即∑∑==-=-+njjijijnjjijiyffNyNx11（b）3）要使ix和jy都有为整数，（b）式的左端必为整数，右端也是整数，而且由jijyf,0≥是非负整数，故此01≥∑=njjijy f，又因0>if是真分数，于是有11<≤-∑=injjijify ff，则必有1≤-∑=njjijiy ff（c）这就是所要求的切割方程（Gomory约束条件）。

４）对（c）引入一个松弛变量iS，则（c）变为injjijifyfS-=-∑=1将其加入原问题中去，求解新的线性规划问题.5）应用单纯形法求解，直到最优解为整数解为止，否则继续构造Gomory约束条件。

3、整数规划的LINGO 解法二、整数规划的求解方法MODEL: sets: row/1..m/:b; arrange/1..n/:c,x; link(row,arrange):a; endsets data:b=b(1),b(2),…,b(m); c=c(1),c(2),…,c(n); a=a(1,1),a(1,2),…,a(1,n),... ... ... ...a(m,1),a(m,2),…,a(m,n);enddata[OBJ] min=@sum(arrange(j):c(j)*x(j));@for(row(i):@sum(arrange(j):a(i,j)*x(j))>=b(i);); @for(arrange(j):x(j)>=0;);@for(arrange(j):@GIN(x(j)););END11min (1,2,,)0,(1,2,,)n j j j n ij j i j j j z c x a x b i m x x j n ===⎧≥=⋅⋅⋅⎪⎨⎪≥=⋅⋅⋅⎩∑∑为整数1、0-1整数规划的模型三、0-1 整数规划0-1规划一般模型: ∑==nj j j x c z 1max(min)⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=≥=≤∑=),,2,1(,10),,2,1(),(1n j x m i b x a ji n j j ij 或 如果整数线性规划问题的所有决策变量i x 仅限于取0或1两个值，则称此问题为0-1线性规划，简称为0-1规划。

三、0-1 整数规划2、指派（或分配）问题在生产管理上，总希望把人员最佳分派，以发挥其最大工作效率，创造最大的价值。

例如：某部门有n项任务，正好需要n个人去完成，由于任务的性质和各人的专长不同，如果分配每个人仅能完成一项任务。

如何分派使完成n项任务的总效益为最高（效益量化），这是典型的分配问题。

现在不妨设有4个人，各有能力去完成4项科研任务中的任一项，由于4个人的能力和经验不同，所需完成各项任务的时间如右表：项目人员A B C D甲乙丙丁2109715414813141611415139问如何分配何人去完成何项目使完成4项任务所需总时间最少？建立模型：设ij x 表示第i 个人去完成第j 项任务，则⎩⎨⎧=项任务时个人不去完成第当第项任务时个人去完成第当第j i j i x ij ,0,1 每个人去完成一项任务的约束为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++111144434241343332312423222114131211x x x x x x x x x x x x x x x x 每一项任务必有一人完成的约束：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++111144342414433323134232221241312111x x x x x x x x x x x x x x x x目标函数：444342413433323124232221141312119118713161491514410413152min x x x x x x x x x x x x x x x x z +++++++++++++++=记系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=9118713161491514410411152ij c 称其为效益（价值）矩阵.ij c 表示第i 个人去完成第j 项任务时有关的效益（时间、费用、价值等）。

则目标函数可表示为ij i j ij x c z ∑∑===4141min⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======∑∑==)4,3,2,1,(1034,2,1,14,3,2,1,14141j i or x j x i x ij ij i ij j故模型为：ij i j ijx cz ∑∑===4141min设指派问题有相应的系数矩阵()nn ijc ⨯，其元素ijc 表示分配第i 个人去完成第j 项任务时的效益（0≥），或者说：以ij c 表示给定的第i 单位资源分配用于第j 项活动时的有关效益。