2019届高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练四

高分突破复习：小题满分限时练(四)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2}，B ＝{x |x ≥－1}，则∁U (A ∪B )＝( ) A.[－2，－1] B.(－2，－1)C.(－∞，－2]∪[－1，＋∞)D.(－2，1)解析 A ∪B ＝(－∞，－2]∪[－1，＋∞)，∁U (A ∪B )＝(－2，－1). 答案 B2.已知复数z ＝5i1－2i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 因为复数z ＝5i 1－2i ＝5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－2＋i ， 所以z －＝－2－i ，其对应的点为(－2，－1)，在第三象限. 答案 C3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天的空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，下列说法错误的是( )A.该地区在12月2日空气质量最好B.该地区在12月24日空气质量最差C.该地区从12月7日到12月12日AQI 持续增大D.该地区的空气质量指数AQI 与这段日期成负相关解析 12月2日空气质量指数最低，所以空气质量最好，A 正确；12月24日空气质量指数最高，所以空气质量最差，B 正确；12月7日到12月12日AQI 在持续增大，所以C 正确；在该地区统计这段时间内，空气质量指数AQI 整体呈上升趋势，所以空气质量指数与这段日期成正相关，D 错误. 答案 D4.已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sin A >sin B ”是“tan A >tan B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 根据正弦定理asin A＝bsin B，知sin A >sin B a >b A >B ，而正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以A >B an A >tan B .答案 C5.右面程序框图是为了求出满足3n －2n>1 000的最小偶数n ，那么在◇和两个空白框中，可以分别填入( ) A.A >1 000和n ＝n ＋1 B.A >1 000和n ＝n ＋2 C.A ≤1 000和n ＝n ＋1 D.A ≤1 000和n ＝n ＋2解析 因为题目要求的是“满足3n－2n>1 000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以内填入“n ＝n ＋2”.由程序框图知，当◇内的条件不满足时，输出n ，所以◇内填入“A ≤1 000”. 答案 D6.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( ) A.17532里 B.1 050里 C.22 57532里D.2 100里解析 由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{a n }，其中首项为a 1，公比q ＝12，S 7＝700，则700＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12，解得a 1＝350×128127，那么S 14＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12141－12＝22 57532.答案 C 7.已知sin α＝1010，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6的值为( )A.43－310 B.43＋310 C.4－3310D.33－410解析 ∵sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝31010，sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫10102＝1－15＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310.答案 A8.如图，已知双曲线E ：x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)，长方形ABCD 的顶点A ，B分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则此双曲线的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析 因为2c ＝|AB |＝6，所以c ＝3.因为b 2a ＝|BC |＝52，所以5a ＝2b 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以9＝a 2＋5a 2，解得a ＝2或a ＝－92(舍去)，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32.答案 B9.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB＝2，BC ＝23，则球O 的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π解析 法一 由题意知，S ，A ，B ，C 是如图所示三棱锥S －ABC 的顶点，且SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AC ＝22＋（23）2＝4，SC ＝22＋42＝2 5.取AC 的中点E ，SC 的中点F ，连接EF ，EB ，BF ，FA ，则FS ＝FC ＝FA ＝12SC ＝5，BE ＝12AC ＝2，FB ＝BE 2＋EF 2＝22＋12＝5，故FS ＝FC ＝FA ＝FB ，即点F 就是三棱锥的外接球的球心，且其半径为5，故球的表面积S ＝4π·(5)2＝20π.法二 由题意可知，S ，A ，B ，C 为如图所示长方体的四个顶点，连接SC ，且SA ＝AB ＝2，BC ＝23，设球O 的半径为R ，则2R ＝SC ＝SA 2＋AB 2＋BC 2＝25，即R ＝5，故球O 的表面积S ＝4πR 2＝20π. 答案 C10.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( ) A.f (log 27)<f (－5)<f (6) B.f (log 27)<f (6)<f (－5) C.f (－5)<f (log 27)<f (6) D.f (－5)<f (6)<f (log 27)解析 由f (x ＋2)＋f (x )＝0，得f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x )，f (x )的周期T ＝4. 又f (－x )＝－f (x )，且有f (2)＝－f (0)＝0，所以f (－5)＝－f (5)＝－f (1)＝－log 22＝－1，f (6)＝f (2)＝0. 又2<log 27<3，所以0<log 27－2<1，即0<log 274<1，∵x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈[0，1]， ∴f (log 27)＝－f (log 27－2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274 ＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274＋1＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272，又1<log 272<2，所以0<log 2⎝⎛⎭⎪⎫log 272<1，所以－1<－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272<0， 所以f (－5)<f (log 27)<f (6). 答案 C11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.若x 1x 2<0，且f (x 1)－f (x 2)＝0，则|x 2－x 1|的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫4π3，＋∞解析 如图，画出f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的大致图象，记M ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则|MN |＝π6.设点A ，A ′是平行于x 轴的直线l 与函数f (x )图象的两个交点(A ，A ′位于y 轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x 1，x 2，结合图形可知，|x 2－x 1|＝|AA ′|∈(|MN |，＋∞)，即|x 2－x 1|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，＋∞.答案 A12.已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)<f (x )对任意的x >2恒成立，则k 的最大值为( ) A.3B.4C.5D.6解析 先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m >2)， 所以f ′(m )＝f （m ）m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln mm －2，化为m －4－2ln m ＝0，设g (x )＝x －4－2ln x (x >2)，则g ′(x )＝1＋2x>0，故g (x )在(2，＋∞)上单调递增.因为g (e 2)＝e 2－8<0，g (e 3)＝e 3－10>0，且g (m )＝0，所以e 2<m <e 3，又k <f ′(m )＝2＋ln m ∈(4，5)，且k ∈Z ，所以k max ＝4. 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.(x ＋2y )5的展开式中含x 3y 2项的系数为________.。