2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程疑难规律方法

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程疑难规律方法 Word版含答案

直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础．．根据倾斜角求斜率例如图，菱形的∠＝°，求两条对角线与所在直线的斜率．分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定与的倾斜角，再利用公式＝θ.解∵在菱形中，∠＝°，∴∠＝°，∠＝°.又菱形的对角线互相平分，∴∠＝°，∠＝°.∴∠＝°－∠＝°.∴＝°＝，＝°＝－.评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率．．利用两点斜率公式例直线沿轴正方向平移个单位，再沿轴的负方向平移个单位，恰好与原直线重合，求直线的斜率.分析由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现．因此，本题可以采取在直线上取一点，经过相应的平移后得到一个新点，它也在直线上，则直线的斜率即为的斜率．解设(，)是直线上任意一点，按平移后，点的坐标移动到(－，＋)．∵点也在直线上，∴＝＝－.评注①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(，)沿轴正方向平移个单位，再沿轴正方向移动个单位，坐标由(，)变为(＋，＋)．②直线过两点(，)，(，)，若＝，≠，则倾斜角等于°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在．．利用待定系数法例如果直线沿轴负方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，求直线的斜率．分析本题可以利用例的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解．除此之外，还可以考虑直线的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果．解设直线的方程为＝＋.把直线左移个单位，上移个单位后直线方程为－＝(＋)＋，即＝＋＋＋.由条件，知＝＋＋＋与＝＋为同一条直线的方程．比较系数，得＝＋＋，解得＝－.评注本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果．直线方程中的“缺陷”．斜截式中斜率“缺陷”。

[K12配套]2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.2.3

3.2.3 直线的一般式方程学习目标 1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？答案能．思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？答案一定．思考3 当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？答案当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－AB ，在y 轴上截距为－CB的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0，得x ＝－CA ，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线．梳理直线的一般式方程知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系梳理类型一直线的一般式方程命题角度1 求直线的一般式方程例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过点A (－1,5)，B (2，－1)两点； (4)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1. 解 (1)由直线方程的点斜式得y －3＝3(x －5)，即3x －y －53＋3＝0.(2)由斜截式得直线方程为y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(3)由两点式得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0.(4)由截距式得直线方程为x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.反思与感悟 (1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，CA的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，CB 的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．跟踪训练1 根据条件写出下列直线的一般式方程：(1)斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________；(2)经过点B (4,2)，且平行于x 轴的直线方程为________________； (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________；(4)经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________．答案 (1)x ＋2y ＋4＝0 (2)y －2＝0 (3)2x －y －3＝0 (4)x ＋y －1＝0 命题角度2 由含参数的一般式求参数例2 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________. 答案 (1)－53(2)－2解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.反思与感悟 (1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程注意验根．跟踪训练2 若方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，则实数a 满足______．答案 a ≠－2解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋5a ＋6＝0，a 2＋2a ＝0，得a ＝－2，∵方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线， ∴a ≠－2.类型二由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直命题角度1 利用两直线的位置关系求参数例3 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.反思与感悟对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线l 1与l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0.l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练3 已知直线l 1：ax ＋2y －3＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y －a ＝0，求满足下列条件的a 的值． (1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解 (1)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＋1)－3×2＝0，2×(－a )－(－3)(a ＋1)≠0，解得a ＝2.(2)a ×3＋2×(a ＋1)＝0，得a ＝－25.命题角度2 求平行、垂直的直线方程例4 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解方法一 (1)l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为 y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为 y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠－12)．将(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.反思与感悟一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪训练4 已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0. 求：(1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．解 (1)将与直线l 平行的直线方程设为3x ＋4y ＋C 1＝0，又过点A (2,2)，所以3×2＋4×2＋C 1＝0，所以C 1＝－14. 所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)将与l 垂直的直线方程设为4x －3y ＋C 2＝0，又过点A (2,2)，所以4×2－3×2＋C 2＝0，所以C 2＝－2，所以直线方程为4x －3y －2＝0.1．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 答案 C解析直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C. 2．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0答案 D解析方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 3．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限答案 C解析由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b ，∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．4．已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， (1)若l 1∥l 2，则m ＝________； (2)若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 (1)－1 (2)12解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m (m －2)＝0，2m 2≠6×3，得m ＝－1.(2)由题意知1×(m －2)＋m ×3＝0，得m ＝12.5．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l 的方程．解由题意，设l 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0，将点(1,2)代入l 的方程 3＋4×2＋C ＝0，得C ＝－11， ∴直线l 的方程为3x ＋4y －11＝0.1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k 1＝k 2且b 1≠b 2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，或A 1C 2－A 2C 1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k 1k 2＝－1.(2)一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 第二种方法可避免讨论，减小失误．课时作业一、选择题1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 答案 D解析由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)．2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0 D ．AB >0，C ＝0答案 D解析通过直线的斜率和截距进行判断．3．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1 C ．－3，1 D ．－3，－1答案 D解析原方程化为x 1a ＋y1b ＝1，∴1b＝－1，∴b ＝－1. 又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－ab ＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°， ∴k ＝tan 120°，∴a ＝－3，故选D.4．两条直线mx ＋y －n ＝0和x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1答案 D解析令m×m＝1×1，得m＝±1.当m＝1时，要使x＋y－n＝0与x＋y＋1＝0平行，需n≠－1.当m＝－1时，要使－x＋y－n＝0与x－y＋1＝0平行，需n≠1.5．把直线x－y＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是()A．y＝－3x B．y＝3xC．x－3y＋2＝0 D．x＋3y－2＝0答案 B解析如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°.∴l的斜率k＝tan α＝tan 60°＝3，∴l的方程为y－3＝3(x－1)，即y＝3x.6．在同一直角坐标系中表示直线ax－y＝0与x－y＋a＝0(a≠0)正确的是()答案 C解析若a>0，直线y＝x＋a与y轴的交点在y轴正半轴上，直线x－y＋a＝0过第一、二、三象限，而直线ax－y＝0过定点(0,0)，倾斜角为锐角，此时各选项都不正确；若a<0，则直线y＝x＋a与y轴的交点在y轴负半轴上，直线过第一、三、四象限，而直线y＝ax过定点(0,0)，且倾斜角为钝角，故C正确．7．若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为()A．1 B．－1C．－2或1 D．－1或2答案 D解析当直线ax ＋y －2－a ＝0过原点时，可得a ＝－2.当直线ax ＋y －2－a ＝0不过原点时，由题意知，当a ＝0时，直线l 与x 轴无交点，当a ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为2＋a a，与在y 轴上的截距2＋a 相等，可得2＋a a＝2＋a ，解得a ＝1，或a ＝－2.综上知，a ＝－2或1.所以直线l 的斜率为－1或2.二、填空题8．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．答案－415解析把(3,0)代入已知方程，得(a ＋2)×3－2a ＝0，∴a ＝－6，∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，令x ＝0，得y ＝－415. 9．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l 的方程为________．答案 4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0解析由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，令y ＝0，得x ＝－c 4，令x ＝0，得y ＝－c 3，则S △＝12|－c 4·(－c 3)|＝6，得c 2＝122，c ＝±12，∴直线l 的方程为4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0.10．若直线mx －y ＋(2m ＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．答案 (－2,1)解析由y ＝mx ＋2m ＋1，得y －1＝m (x ＋2)，所以直线恒过定点(－2,1)．11．直角坐标平面上一机器人在行进中始终保持到两点A (a,0)(其中a ∈R)和B (0,1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l ：y ＝x ＋1，则a 的值为________．答案 1解析根据题意可知机器人在线段AB 的中垂线上运动，且轨迹与直线l ：y ＝x ＋1平行，由此可得AB ⊥l ，因此k AB ·k l ＝－1，即1－00－a×1＝－1，解得a ＝1. 三、解答题12．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线．(1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2. (2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 13．(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0.①若这两条直线垂直，求k 的值；②若这两条直线平行，求k 的值．解 ①根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0，解得k ＝5±52. ∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52. ②根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验，均符合题意．∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.(2)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为9的直线方程．解设直线方程为2x －y ＋c ＝0，设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为－c 2和c ，∴S △＝12×|－c 2|×|c |＝9，解得c ＝±6. ∴所求直线方程为2x －y －6＝0或2x －y ＋6＝0.四、探究与拓展14．已知坐标平面内两点A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是_____．答案 3解析由题可知直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，若P 点坐标为(x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，故xy 的最大值为3. 15．经过点A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．解当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，又直线过点A (1,2)，则得斜率k ＝2，即y ＝2x ；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y －a＝1. ∵直线过点A (1,2)，则得a ＝3或a ＝－1.即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.这样的直线有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.。

2018-2019学年最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.3.3~3.3.4

3.3.3点到直线的距离
3.3.4两条平行直线间的距离
学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题．
知识点一点到直线的距离
思考1如图，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？
答案d＝|PR||PS| |RS|
.
思考2根据思考1的思路，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？
答案d＝|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2
.
思考3点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？答案仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，
即y＝－C
B
，d＝|y0＋
C
B
|＝
|By0＋C|
|B|
，适合公式．
②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－C
A
，d＝|x0＋
C
A
|＝
|Ax0＋C|
|A|
，适合公式．
梳理点到直线的距离
(1)定义：点到直线的垂线段的长度．
(2)图示：。

[推荐学习]2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.3.1~3

3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用．知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？答案(1)若方程组无解，则l1∥l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．梳理(1)两直线的交点(2)两直线的位置关系知识点二两点间的距离已知平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．思考1 当x 1≠x 2，y 1＝y 2时，|P 1P 2|＝？答案 |P 1P 2|＝|x 2－x 1|.思考2 当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？答案 |P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考3 当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？请简单说明理由．答案如图，在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2＝|P 1Q |2＋|QP 2|2，所以|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.即两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.类型一两直线的交点问题命题角度1 代数法判断两直线的位置关系例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2. 反思与感悟两条直线相交的判定方法跟踪训练1 直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3的交点坐标是________．答案 (1,2)解析联立两方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以两直线的交点坐标为(1,2)．命题角度2 根据交点求参数的值或其范围例2 已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是________．答案 (－32，2)解析由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37>0，a －27<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－32，a <2.∴－32<a <2.引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a 的取值范围又如何？解由例2得交点坐标为(2a ＋37，a －27)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37<0，a －27<0，得a <－32.反思与感悟解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．跟踪训练2 若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－kk ＋2，y ＝6k ＋4k ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧2－kk ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2<k <2，k <－2或k >－23，∴－23<k <2.故选C.类型二求过两条直线交点的直线方程例3 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为(－35，－75)．又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3(x ＋35)，即15x ＋5y ＋16＝0. 方法二设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得(2＋112)x ＋(112－3)y ＋(2×112－3)＝0，即15x ＋5y ＋16＝0. 引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．解设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.反思与感悟求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．跟踪训练3直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为()A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0答案 B解析设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.类型三两点间的距离公式及其应用例4如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．解(1)方法一∵|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52，又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26.反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪训练4 已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |，并求|PA |的值．解设P (x,0)，|PA |＝(x ＋1)2＋(－2)2，|PB |＝(x －2)2＋(－7)2，∵|PA |＝|PB |， ∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7，得x ＝1，∴P (1,0)， ∴|PA |＝(1＋1)2＋4＝2 2.1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A ．(－1，13)B ．(13，1)C ．(1，13)D ．(－1，－13)答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．－1或5 答案 C 解析 |AB |＝(a ＋2)2＋42＝5，解得a ＝1或－5.3．已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (2,3)，则BC 边上的中线长为________．答案17解析 BC 的中点坐标为(0,1)，则BC 的中线长为(－1－0)2＋(5－1)2＝17.4．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为________．答案 2x ＋y －4＝0解析设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0，即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.5．点A 在第四象限，A 点到x 轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A 的坐标．解由题意得A 点的纵坐标为－3，设A (x ，－3)，则(x －0)2＋(－3－0)2＝5，x ＝±4.又点A 在第四象限，∴x ＝－4(舍)， ∴A (4，－3)．1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R)是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)． 2．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．课时作业一、选择题1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(2,2) B ．(1,1) C ．(1,2) D ．(2,1)答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2得交点坐标为(1,2)，故选C.2．已知两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6C ．±6D ．以上都不对答案 C解析联立两条直线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得x ＝k 2－363＋2k ，∵两直线交点在y 轴上，∴k 2－363＋2k ＝0，∴k ＝±6(经检验知符合题意)．3．已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M 的线段的中点是(1,0)，那么点M 到原点的距离为( ) A ．41 B.41 C.39 D ．39答案 B解析设M (x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2＋x 2，0＝5＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5，∴M (4，－5)．则M 到原点的距离为(4－0)2＋(－5－0)2＝41.4．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，12 B.⎣⎡⎭⎫－14，12 C.⎣⎡⎦⎤－14，12 D.⎝⎛⎦⎤－14，12 答案 A解析直线y ＝－x ＋2与两坐标轴的交点为A (0,2)、B (2,0)，直线y ＝kx ＋2k ＋1恒过定点P (－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k 满足：k PB <k <k PA ，即－14<k <12.5．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( ) A ．x －3y ＋7＝0 B ．x －3y ＋13＝0 C ．x －3y ＋6＝0 D ．x －3y ＋5＝0 答案 B解析直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点为(－1,4)，与3x ＋y －1＝0垂直，得斜率为13，由点斜式，得y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0，故选B.6．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A ．24 B ．20 C ．0 D ．－4答案 B解析两直线互相垂直，－m 4×25＝－1，m ＝10，又垂足坐标为(1，p )，代入直线10x ＋4y －2＝0，得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0，得n ＝－12，所以m －n ＋p ＝20，故选B.7．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)、B (a,0)和C (a 2，32a )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形答案 C解析 ∵|AB |＝2|a |，|AC |＝(a 2＋a )2＋(32a －0)2＝3|a |， |BC |＝(a 2－a )2＋(32a －0)2＝|a |， ∴|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，∴△ABC 为直角三角形．8．直线x ＋y －1＝0上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)答案 C解析设所求点的坐标为(x 0，y 0)，有x 0＋y 0－1＝0，且(x 0＋2)2＋(y 0－3)2＝2，两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1，y 0＝2.故选C. 二、填空题9．过点A (4，a )和B (5，b )的直线和直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝________.答案 2解析因为k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1，所以|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2. 10．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 答案 2解析首先方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2.11．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．答案 2 6解析 |BD |＝12|BC |＝2， |AD |＝(5－3)2＋(4－0)2＝2 5.在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长|AB |＝22＋(25)2＝2 6. 12．若直线l ：y ＝kx －3与直线l 1：2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．答案 (30°，90°)解析直线l 1：2x ＋3y －6＝0过A (3,0)，B (0,2)，而l 过定点C (0，－3)，由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧k >k AC ，k >0， ∴l 倾斜角α的范围是(30°，90°)．三、解答题13．过点(3,5)作直线4x ＋3y －2＝0的垂线，求垂足坐标．解设与4x ＋3y －2＝0垂直的直线方程为3x －4y ＋C ＝0，又∵直线过点(3,5)，∴3×3－4×5＋C ＝0，∴C ＝11，∴过点(3,5)与4x ＋3y －2＝0垂直的直线方程为3x －4y ＋11＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －2＝0，3x －4y ＋11＝0，得垂足坐标为(－1,2)．四、探究与拓展14．已知x ，y ∈R ，S ＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2，则S 的最小值是( )A ．0B ．2C ．4 D. 2答案 B解析 S ＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2可以看作是点(x ，y )到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合易知最小值为2.15．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．解当直线l 的斜率不存在时，过点A (1，－1)的直线为x ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，x ＝1即为所求．当直线l 的斜率存在时，设过A (1，－1)的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线的交点为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则与已知直线平行)，则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)．由已知(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52，解得k ＝－34， ∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.。

2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程章末复习课

学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.(2)k ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 存在，α≠90°，不存在，α＝90°. (3)斜率的求法：①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标．2．直线方程的几种形式的转化3．两条直线的位置关系设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；(2)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；(3)重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)． 4．距离公式(1)两点间的距离公式．已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式．①点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2； ②两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.类型一待定系数法的应用例1 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解方法一设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0，4－y 0)，并且满足⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝5，因此直线l 的方程为y －25－2＝x －(－1)－2－(－1)，即3x ＋y ＋1＝0.方法二设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4. 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题．知识点一点到直线的距离思考1 如图，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离d 同线段PS ，PR ，RS 间存在什么关系？答案 d ＝|PR ||PS ||RS |.思考2 根据思考1的思路，点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 怎样用A ，B ，C 及x 0，y 0表示？答案 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.思考3 点到直线的距离公式对于A ＝0或B ＝0时的直线是否仍然适用？答案仍然适用，①当A ＝0，B ≠0时，直线l 的方程为By ＋C ＝0，即y ＝－C B ，d ＝|y 0＋C B |＝|By 0＋C ||B |，适合公式．②当B ＝0，A ≠0时，直线l 的方程为Ax ＋C ＝0，x ＝－C A ，d ＝|x 0＋C A |＝|Ax 0＋C ||A |，适合公式．梳理点到直线的距离(1)定义：点到直线的垂线段的长度． (2)图示：(3)公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.知识点二两条平行直线间的距离思考直线l 1：x ＋y －1＝0上有A (1,0)、B (0,1)、C (－1,2)三点，直线l 2：x ＋y ＋1＝0与直线l 1平行，那么点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为多少？有什么规律吗？答案点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为2、2、 2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．梳理两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长． (2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离．(4)公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.类型一点到直线的距离例1 (1)求点P (2，－3)到下列直线的距离． ①y ＝43x ＋13；②3y ＝4；③x ＝3.解 ①y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，点P (2，－3)到该直线的距离为 |4×2－3×(－3)＋1|42＋(－3)2＝185； ②3y ＝4可化为3y －4＝0，由点到直线的距离公式得|－3×3－4|02＋32＝133；③x ＝3可化为x －3＝0，由点到直线的距离公式得|2－3|1＝1.(2)求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程．解方法一当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，恰好与A (2,3)，B (－4,5)两点距离相等，故x ＝－1满足题意，当过点M (－1,2)的直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由点A (2,3)与B (－4,5)到直线l 的距离相等，得 |2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－13，此时l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.综上所述直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0. 方法二由题意得l ∥AB 或l 过AB 的中点，当l ∥AB 时，设直线AB 的斜率为k AB ，直线l 的斜率为k l ，则k AB ＝k l ＝5－3－4－2＝－13，此时直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点(－1,4)时，直线l 的方程为x ＝－1. 综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题： ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． ②点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．③直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练1 (1)若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________________．(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为______．答案 (1)[13，313] (2)2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0解析 (1)由题意知|4×4－3a |42＋(－3)2≤3，解得13≤a ≤313，故a 的取值范围为[13，313]．(2)过点P (3,4)且斜率不存在时的直线x ＝3与A 、B 两点的距离不相等，故可设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23，∴所求直线l 的方程为 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 类型二两平行线间的距离例2 (1)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为_________． (2)已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________________．答案 (1)104(2)2x －y ＋1＝0 解析 (1)由题意，得63＝m1，∴m ＝2，将直线3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，由两平行线间距离公式，得|－1＋6|62＋22＝540＝104. (2)设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，由题意，得|3－c |22＋12＝|c ＋1|22＋12，解得c ＝1， ∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.反思与感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．跟踪训练2 (1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程； (2)两平行直线l 1，l 2分别过P 1(1,0)，P 2(0,5)，若l 1与l 2的距离为5，求两直线方程．解 (1)方法一设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0，在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方法二设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. (2)依题意，两直线的斜率都存在，设l 1：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0， l 2：y ＝kx ＋5，即kx －y ＋5＝0. 因为l 1与l 2的距离为5，所以|－k －5|k 2＋1＝5，解得k ＝0或512.所以l 1和l 2的方程分别为y ＝0和y ＝5或5x －12y －5＝0和5x －12y ＋60＝0. 类型三利用距离公式求最值命题角度1 由点到直线的距离求最值例3 已知实数x ，y 满足6x ＋8y －1＝0，则x 2＋y 2－2y ＋1的最小值为________．答案710解析 ∵x 2＋y 2－2y ＋1＝(x －0)2＋(y －1)2， ∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到定点N (0,1)的距离，即为点N 到直线l ：6x ＋8y －1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即|MN |min ＝d ＝|8－1|62＋82＝710. 反思与感悟解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．跟踪训练3 (1)动点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，求|OP |最小时P 点的坐标； (2)求过点P (1,2)且与原点距离最大的直线方程．解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP 垂直于已知直线，则k OP ＝1，∴OP 所在直线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. ∴P 点坐标为(2,2)．(2)由题意知过P 点且与OP 垂直的直线到原点O 的距离最大， ∵k OP ＝2，∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.命题角度2 有关两平行线间距离的最值例4 两条互相平行的直线分别过点A (6,2)，B (－3，－1)，并且各自绕着点A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d . (1)求d 的取值范围；(2)求d 取最大值时，两条直线的方程．解 (1)设经过A 点和B 点的直线分别为l 1、l 2，显然当⎩⎪⎨⎪⎧l 1⊥AB ，l 2⊥AB 时，l 1和l 2的距离最大，且最大值为|AB |＝(－3－6)2＋(－1－2)2＝310， ∴d 的取值范围为(0,310]．(2)由(1)知d max ＝310，此时k ＝－3，两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0或3x ＋y ＋10＝0.反思与感悟两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．跟踪训练4 已知P ，Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．3 B. 3 C.32 D.32答案 D解析两平行线间的距离就是|PQ |的最小值，3x ＋4y －5＝0可化为6x ＋8y －10＝0，则|PQ |＝|5－(－10)|62＋82＝32.1．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C. 2 D ．±2 答案 D解析由题意知|a －1＋1|12＋12＝1，即|a |＝2，∴a ＝±2.2．直线x －2y －1＝0与直线x －2y －c ＝0的距离为25，则c 的值为( ) A ．9 B ．11或－9 C ．－11 D ．9或－11答案 B解析两平行线间的距离为d ＝|－1－(－c )|12＋(－2)2＝25，解得c ＝－9或11.3．已知点M (1,2)，点P (x ，y )在直线2x ＋y －1＝0上，则|MP |的最小值是( ) A.10 B.355C. 6 D ．3 5 答案 B解析点M 到直线2x ＋y －1＝0的距离，即为|MP |的最小值，所以|MP |的最小值为|2＋2－1|22＋12＝355. 4．两平行直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝________. 答案 10解析由两直线平行知，a ＝8，d ＝|15－5|5＝2，∴a ＋d ＝10.5．直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________________．答案 (5，－3)解析由题意知过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线，设垂足为M ，则|MP |为最小，直线MP 的方程为y －1＝－43(x －2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －27＝0，y －1＝－43(x －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3 ∴所求点的坐标为(5，－3)．1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰． 3．已知两平行直线，其距离可利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．课时作业一、选择题1．点(1，－1)到直线y ＝1的距离是( ) A. 2 B.22C ．3D ．2答案 D解析 d ＝|－1－1|1＋0＝2，故选D.2．两平行线3x －4y －7＝0和6x －8y ＋3＝0之间的距离为( ) A.45 B ．2 C.1710 D.175 答案 C解析 3x －4y －7＝0可化为6x －8y －14＝0，由两平行线间的距离公式可得|3＋14|62＋82＝1710. 3．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( ) A.79B ．－13C ．－79或－13D ．－79或13答案 C解析由点到直线的距离公式可得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，化简得|3a ＋3|＝|6a ＋4|，解得实数a ＝－79或－13.故选C.4．到直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0 答案 D解析根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0或c ＝2，故所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.5．点P (2,3)到直线：ax ＋(a －1)y ＋3＝0的距离d 为最大时，d 与a 的值依次为( ) A ．3，－3 B ．5,2 C ．5,1 D ．7,1答案 C解析直线恒过点A (－3,3)，根据已知条件可知当直线ax ＋(a －1)y ＋3＝0与AP 垂直时，距离最大，最大值为5，此时a ＝1.故选C.6．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0<d ≤3 B ．0<d ≤5 C ．0<d <4 D ．3≤d ≤5 答案 B解析当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0<d ≤5. 7．过两直线x －y ＋1＝0和x ＋y －1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条答案 B解析联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. ∴两直线交点为(0,1)，由交点到原点的距离1，故只有1条．8．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( ) A ．3 2 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 2答案 A解析由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2. 二、填空题9．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．答案 8解析由x 2＋y 2的实际意义可知，它代表直线x ＋y －4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1×0＋1×0－4|22＝8.10．若点(2，－k )到直线5x ＋12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．答案－3或173解析 d ＝|5×2＋12×(－k )＋6|52＋122＝|16－12k |13，由题意知|16－12k |13＝4，即|4－3k |13＝1，∴k ＝－3或k ＝173.11．经过点P (－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l 的方程为________．答案 x ＝－3或7x ＋24y －75＝0解析 (1)当直线l 的斜率不存在时，原点到直线l ：x ＝－3的距离等于3，满足题意； (2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋4＝0. 原点到直线l 的距离d ＝|3k ＋4|k 2＋(－1)2＝3，解得k ＝－724. 直线l 的方程为7x ＋24y －75＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－3或7x ＋24y －75＝0.三、解答题12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．解设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )，∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， ∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.四、探究与拓展13．已知入射光线在直线l 1：2x －y ＝3上，经过x 轴反射到直线l 2上，再经过y 轴反射到直线l 3上．若点P 是直线l 1上某一点，则点P 到直线l 3的距离为( )A ．6B ．3 C.655 D.9510答案 C解析如图所示，结合图形可知，直线l 1∥l 3，则直线l 1上一点P 到直线l 3的距离即为l 1与l 3之间的距离．由题意知l 1与l 2关于x 轴对称，故l 2的方程为y ＝－2x ＋3，l 2与l 3关于y 轴对称，故l 3的方程为y ＝2x ＋3.由两平行线间的距离公式得l 1与l 3间的距离d ＝|3－(－3)|12＋22＝655，即点P 到直线l 3的距离为655. 14．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到l 的距离等于2.解 AB 的中点坐标为(3，－2)，k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0，设点P (a ，b )，则P 在直线x －y －5＝0上，故a －b －5＝0，又|4a ＋3b －2|42＋32＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧ a ＝277，b ＝－87，故所求的点为P (1，－4)或P (277，－87)．。

2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.1.2

3.1.2两条直线平行与垂直的判定学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．知识点一两条直线平行的判定思考1如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？答案α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，因为α1＝α2，所以tan α1＝tan α2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．思考2对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？答案一定有l1∥l2.因为k1＝k2⇒tan α1＝tan α2⇒α1＝α2⇒l1∥l2.梳理知识点二两条直线垂直的判定思考1如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？答案α2＝90°＋α1，因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和．思考2已知tan(90°＋α)＝－1tan α，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k1、k2之间的关系？答案因为α2＝90°＋α1，所以tan α2＝tan(90°＋α1)，由于tan(90°＋α)＝－1tan α，tan α2＝－1tan α1，即tan α2tan α1＝－1，所以k1·k2＝－1.思考3如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？答案当k1·k2＝－1时，一定有l1⊥l2.不妨设k2<0，即α2为钝角，因为k1·k2＝－1，则有tan α2tan α1＝－1，所以tan α2＝－1tan α1＝tan(90°＋α1)，则α2＝90°＋α1，所以l1⊥l2.当l1⊥l2时，不一定有k1·k2＝－1，因为如果直线l1和l2分别平行于x轴、y轴，则k2不存在，所以k1·k2＝－1不成立．梳理类型一两条直线平行的判定例1下列直线l1与直线l2平行的有________．①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，3)，N(－2，－23)；。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程习题课 Word版含答案

学习目标.能熟练求出两直线的交点坐标.理解直线过定点的含义.能解决简单的对称问题.体会坐标法的基本思想．知识点一两直线的交点坐标已知直线：：＋＋＝；：＋＋＝，点(，)．()若点在直线：＋＋＝上，则有：＋＋＝.()若点是直线与的交点，则有：知识点二两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线与的公共点的个数一个无数个零个直线与的位置关系相交重合平行知识点三两点间的距离公式()条件：点(，)，(，)．()结论：＝.()特例：点(，)到原点()的距离＝.类型一直线恒过定点问题例求证：不论取什么实数，直线(－)＋(＋)－(－)＝都经过一定点，并求出这个定点坐标．证明方法一对于方程(－)＋(＋)－(－)＝，令＝，得－－＝；令＝，得＋＋＝.解方程组得两条直线的交点坐标为(，－)．将点(，－)代入方程组左边，得(－)×＋(＋)×(－)－(－)＝.这表明不论取什么实数，所给直线均经过定点(，－)．方法二将已知方程(－)＋(＋)－(－)＝整理为(＋－)＋(－＋＋)＝.由于取值的任意性，有解得所以不论取什么实数，所给直线均经过定点(，－)．反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题()方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．()方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为＋＋＋λ(＋＋)＝，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成－＝(－)的形式，则表示所有直线必过定点(，)．跟踪训练不论为何实数，直线(－)＋(－)＝－恒过的定点坐标是．答案(，－)解析方法一取＝，得直线＝－.取＝，得直线＝.故两直线的交点为(，－)，下面验证直线(－)＋(－)＝－恒过点(，－)．。

【小初高学习】2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.3.1~

3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用．知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？答案(1)若方程组无解，则l1∥l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．梳理(1)两直线的交点(2)两直线的位置关系知识点二两点间的距离已知平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．思考1 当x 1≠x 2，y 1＝y 2时，|P 1P 2|＝？答案 |P 1P 2|＝|x 2－x 1|.思考2 当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？答案 |P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考3 当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？请简单说明理由．答案如图，在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2＝|P 1Q |2＋|QP 2|2，所以|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.即两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.类型一两直线的交点问题命题角度1 代数法判断两直线的位置关系例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2. 反思与感悟两条直线相交的判定方法跟踪训练1 直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3的交点坐标是________．答案 (1,2)解析联立两方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以两直线的交点坐标为(1,2)．命题角度2 根据交点求参数的值或其范围例2 已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是________．答案 (－32，2)解析由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37>0，a －27<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－32，a <2.∴－32<a <2.引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a 的取值范围又如何？解由例2得交点坐标为(2a ＋37，a －27)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37<0，a －27<0，得a <－32.反思与感悟解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．跟踪训练2 若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－kk ＋2，y ＝6k ＋4k ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧2－kk ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2<k <2，k <－2或k >－23，∴－23<k <2.故选C.类型二求过两条直线交点的直线方程例3 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为(－35，－75)．又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3(x ＋35)，即15x ＋5y ＋16＝0. 方法二设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得(2＋112)x ＋(112－3)y ＋(2×112－3)＝0，即15x ＋5y ＋16＝0. 引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．解设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.反思与感悟求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．跟踪训练3直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为()A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0答案 B解析设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.类型三两点间的距离公式及其应用例4如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．解(1)方法一∵|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52，又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26.反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪训练4 已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |，并求|PA |的值．解设P (x,0)，|PA |＝(x ＋1)2＋(－2)2，|PB |＝(x －2)2＋(－7)2，∵|PA |＝|PB |， ∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7，得x ＝1，∴P (1,0)， ∴|PA |＝(1＋1)2＋4＝2 2.1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A ．(－1，13)B ．(13，1)C ．(1，13)D ．(－1，－13)答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．－1或5 答案 C 解析 |AB |＝(a ＋2)2＋42＝5，解得a ＝1或－5.3．已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (2,3)，则BC 边上的中线长为________．答案17解析 BC 的中点坐标为(0,1)，则BC 的中线长为(－1－0)2＋(5－1)2＝17.4．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为________．答案 2x ＋y －4＝0解析设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0，即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.5．点A 在第四象限，A 点到x 轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A 的坐标．解由题意得A 点的纵坐标为－3，设A (x ，－3)，则(x －0)2＋(－3－0)2＝5，x ＝±4.又点A 在第四象限，∴x ＝－4(舍)， ∴A (4，－3)．1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R)是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)． 2．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．课时作业一、选择题1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(2,2) B ．(1,1) C ．(1,2) D ．(2,1)答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2得交点坐标为(1,2)，故选C.2．已知两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6C ．±6D ．以上都不对答案 C解析联立两条直线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得x ＝k 2－363＋2k ，∵两直线交点在y 轴上，∴k 2－363＋2k ＝0，∴k ＝±6(经检验知符合题意)．3．已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M 的线段的中点是(1,0)，那么点M 到原点的距离为( ) A ．41 B.41 C.39 D ．39答案 B解析设M (x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2＋x 2，0＝5＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5，∴M (4，－5)．则M 到原点的距离为(4－0)2＋(－5－0)2＝41.4．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，12 B.⎣⎡⎭⎫－14，12 C.⎣⎡⎦⎤－14，12 D.⎝⎛⎦⎤－14，12 答案 A解析直线y ＝－x ＋2与两坐标轴的交点为A (0,2)、B (2,0)，直线y ＝kx ＋2k ＋1恒过定点P (－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k 满足：k PB <k <k PA ，即－14<k <12.5．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( ) A ．x －3y ＋7＝0 B ．x －3y ＋13＝0 C ．x －3y ＋6＝0 D ．x －3y ＋5＝0 答案 B解析直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点为(－1,4)，与3x ＋y －1＝0垂直，得斜率为13，由点斜式，得y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0，故选B.6．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A ．24 B ．20 C ．0 D ．－4答案 B解析两直线互相垂直，－m 4×25＝－1，m ＝10，又垂足坐标为(1，p )，代入直线10x ＋4y －2＝0，得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0，得n ＝－12，所以m －n ＋p ＝20，故选B.7．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)、B (a,0)和C (a 2，32a )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形答案 C解析 ∵|AB |＝2|a |，|AC |＝(a 2＋a )2＋(32a －0)2＝3|a |， |BC |＝(a 2－a )2＋(32a －0)2＝|a |， ∴|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，∴△ABC 为直角三角形．8．直线x ＋y －1＝0上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)答案 C解析设所求点的坐标为(x 0，y 0)，有x 0＋y 0－1＝0，且(x 0＋2)2＋(y 0－3)2＝2，两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1，y 0＝2.故选C. 二、填空题9．过点A (4，a )和B (5，b )的直线和直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝________.答案 2解析因为k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1，所以|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2. 10．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 答案 2解析首先方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2.11．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．答案 2 6解析 |BD |＝12|BC |＝2， |AD |＝(5－3)2＋(4－0)2＝2 5.在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长|AB |＝22＋(25)2＝2 6. 12．若直线l ：y ＝kx －3与直线l 1：2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．答案 (30°，90°)解析直线l 1：2x ＋3y －6＝0过A (3,0)，B (0,2)，而l 过定点C (0，－3)，由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧k >k AC ，k >0， ∴l 倾斜角α的范围是(30°，90°)．三、解答题13．过点(3,5)作直线4x ＋3y －2＝0的垂线，求垂足坐标．解设与4x ＋3y －2＝0垂直的直线方程为3x －4y ＋C ＝0，又∵直线过点(3,5)，∴3×3－4×5＋C ＝0，∴C ＝11，∴过点(3,5)与4x ＋3y －2＝0垂直的直线方程为3x －4y ＋11＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －2＝0，3x －4y ＋11＝0，得垂足坐标为(－1,2)．四、探究与拓展14．已知x ，y ∈R ，S ＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2，则S 的最小值是( )A ．0B ．2C ．4 D. 2答案 B解析 S ＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2可以看作是点(x ，y )到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合易知最小值为2.15．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．解当直线l 的斜率不存在时，过点A (1，－1)的直线为x ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，x ＝1即为所求．当直线l 的斜率存在时，设过A (1，－1)的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线的交点为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则与已知直线平行)，则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)．由已知(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52，解得k ＝－34， ∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.。

【配套K12】2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.2.1

3.2.1 直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一直线的点斜式方程思考1 如图，直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？答案由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0，则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2 经过点P 0(x 0，y 0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0. 梳理知识点二思考1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？答案将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.思考2方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？答案y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零．思考3对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.①l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，②l1⊥l2⇔k1k2＝－1.梳理类型一直线的点斜式方程例1写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直．解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0.(3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．反思与感悟(1)求直线的点斜式方程(2)点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)的所有直线，但直线x ＝x 0除外．跟踪训练1 (1)经过点(－3,1)且平行于y 轴的直线方程是________．(2)直线y ＝2x ＋1绕着其上一点P (1,3)逆时针旋转90°后得到直线l ，则直线l 的点斜式方程是________．(3)一直线l 1过点A (－1，－2)，其倾斜角等于直线l 2：y ＝33x 的倾斜角的2倍，则l 1的点斜式方程为________．答案 (1)x ＝－3 (2)y －3＝－12(x －1)(3)y ＋2＝3(x ＋1)解析 (1)∵直线与y 轴平行，∴该直线斜率不存在， ∴直线方程为x ＝－3.(2)由题意知，直线l 与直线y ＝2x ＋1垂直，则直线l 的斜率为－12.由点斜式方程可得l 的方程为y －3＝－12(x －1)．(3)∵直线l 2的方程为y ＝33x ，设其倾斜角为α，则tan α＝33，∴α＝30°，那么直线l 1的倾斜角为2×30°＝60°，则l 1的点斜式方程为y ＋2＝tan 60°(x ＋1)，即y ＋2＝3(x ＋1)．类型二直线的斜截式方程例2 (1)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________． (2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．(1)答案 y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 解析 ∵直线的倾斜角是60°， ∴其斜率k ＝tan 60°＝3，∵直线与y 轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在y 轴上的截距是3或－3， ∴所求直线方程是y ＝3x ＋3或y ＝3x －3. (2)解由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2，由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2. 引申探究本例(2)中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程．解 ∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12，∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数，直线l 2：y ＝4x －2，∴l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2.反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．跟踪训练2 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的斜截式方程．解设直线方程为y ＝16x ＋b ，则当x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线l 的斜截式方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.类型三平行与垂直的应用例3 (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2： y ＝(a 2－2)x ＋2平行？(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？解 (1)由题意可知，1l k ＝－1，2l k ＝a 2－2，∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2： y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)由题意可知，1l k ＝2a －1，2l k ＝4，∵l 1⊥l 2， ∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．反思与感悟设直线l 1和l 2的斜率k 1，k 2都存在，其方程分别为l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，那么：(1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；(2)k 1＝k 2，且b 1＝b 2⇔两条直线重合；(3)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.跟踪训练3 已知直线l ：y ＝(a 2－2)x ＋2a ＋9与直线y ＝－12x ＋1垂直，且与直线y ＝3x ＋5在y 轴上的截距相同，求a 的值．解由题意知：(a 2－2)×(－12)＝－1，解得a ＝±2.经检验知a ＝－2符合题意．1．方程y ＝k (x －2)表示( )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线答案 C解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴． 2．直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0 D ．k <0，b <0答案 B解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.3．已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的方程为________．答案 x －2y ＝0解析由x －4y ＋3＝0，得y ＝14x ＋34，其斜率为14，故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点P (2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.4．已知直线l 1：y ＝2x ＋3a ，l 2：y ＝(a 2＋1)x ＋3，若l 1∥l 2，则a ＝________. 答案－1解析因为l 1∥l 2，所以a 2＋1＝2，a 2＝1，所以a ＝±1，又由于l 1∥l 2，两直线l 1与l 2不能重合，则3a ≠3，即a ≠1，故a ＝－1.5．已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若l 在y 轴上的截距为7，则m ＝______.答案 4解析直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，∴2m－1＝7，得m＝4.1．求直线的点斜式方程的方法步骤2．直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．课时作业一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为()A．y－2＝－33(x＋4)B．y－(－2)＝－33(x－4)C．y－(－2)＝33(x－4)D．y－2＝33(x＋4)答案 B解析由题意知k＝tan 150°＝－33，所以直线的点斜式方程为y－(－2)＝－33(x－4)．2．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2斜率的2倍的直线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝22(x ＋1) 答案 C解析由方程知已知直线的斜率为22， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)． 3．直线y ＝ax －1a 的图象可能是( )答案 B解析根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的截距正负相反．4．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案 D解析由题意可设所求直线方程为y ＝kx ＋4，又由2k ＝－1，得k ＝－12，∴所求直线方程为y ＝－12x ＋4.5．下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ①中方程：k ＝y －2x ＋1中x ≠－1；④中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴①④错误，②③正确．6．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有的直线恒过定点( ) A ．(1,3) B ．(－1，－3) C ．(3,1) D ．(－3，－1)答案 C解析直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．7．若原点在直线l 上的射影是P (－2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋2y ＝0 B ．y －1＝－2(x ＋2) C ．y ＝2x ＋5 D ．y ＝2x ＋3 答案 C解析 ∵直线OP 的斜率为－12，又OP ⊥l ，∴直线l 的斜率为2，∴直线l 的点斜式方程为y－1＝2(x ＋2)，化简，得y ＝2x ＋5，故选C. 二、填空题8．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________．答案 y ＝3x －6或y ＝－3x －6 解析因为直线与y 轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为3或－3，又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6.9．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________．答案 [32，＋∞)解析由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.10．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________________．答案 y ＝34x －3解析根据题意知直线l 的斜率k ＝34，故直线l 1的斜率k 1＝34，设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b 1，则令y ＝0得它在x 轴上的截距a 1＝－43b 1.∵a 1＋b 1＝－43b 1＋b 1＝－13b 1＝1，∴b 1＝－3.∴直线l 1的方程为y ＝34x －3.11．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．答案 y ＝34x ±3解析设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0得x ＝－4b3，由题意得|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋ b 2＋16b 29＝12，|b |＋43|b |＋53|b |＝12，4|b |＝12，∴b ＝±3， ∴所求直线方程为y ＝34x ±3.三、解答题12．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边上的高所在的直线方程．解设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ， ∴k AD ·k BC ＝－1，即2＋30－3·k AD ＝－1，解得k AD ＝35.∴BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝35(x ＋5)，即y ＝35x ＋3. 13．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ， l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，所以直线l 的方程为y ＝32x －35. 四、探究与拓展14．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．答案 y ＝3x解析由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为 3.又∵直线过点(1，3)，∴由直线的点斜式方程有y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .15．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求l ′的方程，使得：(1)l ′与l 平行，且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4.解 (1)∵直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，∴直线l 的斜率为－34. ∵l ′与l 平行，∴直线l ′的斜率为－34.∴直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43. 设l ′在y 轴上的截距为b ，则l ′在x 轴上的截距为－34b ，由题意可知，S ＝12|b |·|－34b |＝4，∴b ＝±463， ∴直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或y ＝43x －463.。