4.7一元二次方程的应用1
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是中学数学中比较基础的内容之一。
在实际应用中，一元二次方程也有着广泛的适用性。
本文将介绍一元二次方程在实际中的应用，并分析其具体的数学方法和过程。
一、抛物线的应用一个抛物线可以用一元二次方程的形式表示。
其中，方程中的a、b、c分别代表抛物线关于x的二次项系数、一次项系数和常数项系数。
在实际应用中，我们经常需要利用一元二次方程来求解以下问题：（1）给定一个抛物线，求出其顶点坐标顶点坐标可以通过求解方程a(x-p)²+q得到，其中，p、q分别为顶点的横、纵坐标。
根据平面几何的知识，抛物线的顶点就是其对称轴的交点。
因此，我们可以通过求解关于x的一元二次方程来确定对称轴的位置，从而得到顶点坐标。
（2）给定一个抛物线，求出其与x轴的交点1）当抛物线在x轴下方时，交点个数为0。
2）当抛物线与x轴相切时，交点个数为1。
3）当抛物线在x轴上方时，交点个数为2。
根据以上规律，我们可以利用求根公式或配方法求解一元二次方程，从而确定交点坐标。
二、最值与最优解在实际问题中，有许多情形下需要求解一个函数的最值或最优解。
通过构建一元二次函数，我们可以通过求解其极值点来得到最值或最优解。
在解决此类问题时，我们需要用到以下定理：1）一元二次函数在x=a处取得最大值或最小值，当且仅当a为该函数的极值点。
2）一元二次函数的对称轴是该函数最大值或最小值的轴线。
通过对称轴和极值点的求解，我们可以得到一元二次函数的最优解或最值。
三、勾股定理勾股定理在平面几何中由比达赖创建。
在实际问题中，我们可以利用一元二次方程的求根公式验证勾股定理。
对于一个直角三角形，其斜边又可以表示为一元二次方程的形式。
利用求根公式，我们可以求出其两个直角边的长度。
如果其长短满足勾股定理，则该三角形是一个合法的直角三角形。
四、变速直线运动直线运动是物理学中比较基础的内容。
在实际问题中，我们可以将变速直线运动建模成一元二次函数。
一元二次方程的应用(优秀5篇)
一元二次方程的应用(优秀5篇)元二次方程篇一教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点：重点：1.一元二次方程的有关概念2.会把一元二次方程化成一般形式难点：一元二次方程的含义。
教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是壹五0cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决？(间接计算即列方程解应用题。
3.让学生自己列出方程( x（x十5）＝壹五0 )深入引导：方程x(x十5)＝壹五0有人会解吗？你能叫出这个方程的名字吗？二、新课1.从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。
事实上初中代数研究的主要对象是方程。
这部分内容从初一一直贯穿到初三。
到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)2.什么是—元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的最高次数是几。
如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程。
(板书一元二次方程的定义)3.强化一元二次方程的概念下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是数学中常见且重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将探讨一元二次方程的应用，并分析其在实际问题中的具体应用场景。
一、物理学中的应用1. 抛体运动在物理学中，抛体运动是一种常见的物体运动形式。
通过解一元二次方程，可以求解物体的运动轨迹、落地时间和最大高度等相关参数。
例如，一个抛掷物体在抛出后的运动可以用一元二次方程表示，通过求解该方程，我们可以得到物体的落地时间和最大高度，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 天体运动在天体物理学中，一元二次方程可以用来描述天体运动的轨迹。
例如，行星的运动可以用一元二次方程来表示。
通过解方程，可以计算行星的运行周期、离心率等重要参数。
这些参数对于研究宇宙的运行规律和天体力学有着重要的意义。
二、工程学中的应用1. 抛物线天桥设计在工程学中，抛物线天桥是一种被广泛使用的结构。
设计师可以利用一元二次方程来计算抛物线天桥的曲线形状和斜率。
通过合理的抛物线曲线设计，可以使天桥具有更好的稳定性和美观性。
2. 弹道学弹道学是研究飞行物体的轨迹和运动规律的学科。
一元二次方程广泛应用于弹道学中，用于计算弹道飞行的高度、速度和飞行时间等参数。
通过解一元二次方程，可以优化发射角度和发射速度，提高弹道导弹的命中率和射程。
三、经济学中的应用1. 供求关系在经济学中，供求关系是研究市场经济的基本规律之一。
供求关系可以用一元二次方程来描述。
通过分析供求方程的解，可以确定市场均衡点的价格和数量，了解市场供应和需求的关系，并为经济政策制定提供依据。
2. 成本和收益分析在经济决策中，成本和收益分析是一种常见的方法。
通过建立成本和收益方程，并求解一元二次方程，可以确定最大利润的产量和价格，从而指导企业的生产和经营决策。
综上所述，一元二次方程在物理学、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。
通过解方程，我们可以得到丰富的信息和参数，从而更好地理解和分析实际问题。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的一元二次方程，并利用解方程的方法得出准确的结果。
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程可以写成一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是实数常数，且a不等于0。
它的解可以通过求解二次方程根的公式来得到，即x = (-b ± √(b^2-4ac))/2a。
这个公式称为二次方程的根公式，可以得到一个二次方程的两个根。
1. 子弹射击问题：假设一个子弹以初速度v0射出，角度为θ。
根据物理学的知识，子弹的运动可以用二次方程描述。
子弹的水平速度vx不变，而竖直速度vy受到重力加速度的作用，所以运动方程可以表示为：x = v0*cos(θ)*ty = v0*sin(θ)*t - 0.5*g*t^2其中x和y分别是子弹的水平和竖直位置，g是重力加速度，t是时间。
将它们代入一元二次方程的根公式，就可以计算出子弹的击中目标的位置和时间。
2.汽车制动问题：假设一个汽车以速度v行驶，突然需要制动停下来。
制动过程可以描述为一个减速运动，而减速度a的大小取决于刹车的力和摩擦系数。
运动方程可以表示为：v=v0-a*t其中v0是汽车的初速度，v是汽车的速度，t是制动所用的时间。
将它代入一元二次方程的根公式，就可以计算出汽车需要制动的距离和时间。
3.投资问题：假设一个人将一笔金额为S的资金投资于一个年利率为r的投资项目，期限为t年。
投资后的本金可以用一元二次方程表示：A=S*(1+r)^t其中A是投资后的总金额。
如果我们想要计算投资项目的回报率r，可以将上式整理为一元二次方程，并使用根公式求解。
这些只是一元二次方程在实际生活中的一些应用举例，还有其他许多领域也有类似的应用。
一元二次方程作为数学中的基本概念，不仅在实际生活中有重要应用，而且还为其他高级数学课程的学习奠定了基础。
因此，掌握一元二次方程的解法和应用是非常重要的。
不仅对于数学学科的学习有帮助，而且对于理解和解决实际生活中的问题也非常有用。
一元二次方程的运用
一元二次方程的运用
一元二次方程在数学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1. 物理学：在物理学中，一元二次方程可以用来描述一些运动问题，如抛体运动、自由落体运动等。
通过解一元二次方程可以求解抛物线的最高点、最远点、碰撞时间等问题。
2. 金融学：在金融学中，一元二次方程可以用来解决一些与利润、成本、销售量等相关的问题。
例如，通过解一元二次方程可以找到最大利润的销售量，或者确定成本、利润等之间的关系。
3. 工程学：在工程学中，一元二次方程可以用来解决一些与曲线、定义域等相关的问题。
例如，在建筑设计中，可以通过解一元二次方程来找到合适的曲线形状。
4. 统计学：在统计学中，一元二次方程可以用来描述一些与模型拟合、回归分析等相关的问题。
通过解一元二次方程可以找到最佳拟合曲线、预测未来趋势等。
5. 生活中的实际问题：一元二次方程在生活中也有一些实际应用，如计算税收、计算折旧、计算物体的轨迹等。
通过解一元二次方程可以帮助人们解决一些实际问题。
一元二次方程的应用(几何图形) 课件 2022—2023学年青岛版数学九年级上册
九年级上册
学习目标：
1、会列出一元二次方程解决简单的实际问题（几何问题）， 培养应用意识和分析问题、解决问题的能力。 2、能根据问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
1.将一根长64cm的铁丝剪成两段,再将每段分别围成正方形(如图),
如果这两个正方形的面积和等于160cm2,求两个正方形的边长。
解:设温室宽为x m，长为3x m,那么蔬菜种植区的长为(3x-
6)m，宽为(x-2)m 根据题意，得：（3x-6）(x-2)=300 整理,得 x2 -4x-96=0
解得 x1 =12,x2=-8
经检验,当温室的宽是12m时，符合题意.
当x =12时,3x=3×12=36.
答：温室宽度为12m时，蔬菜种植面积300m2.
当x -x =16-4 =12.
答：两个正方形的边长分别是12cm和4cm.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m), 四边用木栏围成,木栏长40m.
(1)设养鸡场宽为x m， 则长为（__4_0___2__x_）__m__,_即__(_2_0_-__x_)_m；
经检验,当道路的宽是2m时，符合题意.
答：道路宽度为2m时，绿化面积7644m2.
课本152页练习1
4.天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长宽的比为3：1,在温室内,沿前后两侧
内墙各留3m的空地放置工具，其他两侧内墙各留1m宽通道.当矩形温室的长与宽多少时,
蔬菜种植区的面积是300m2?
等量关系式:蔬菜种植面积=300m2
同步117页跟踪3
3.如图，在边长100m,宽80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互
相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2,则道
一元二次方程的实际应用与解法
一元二次方程的实际应用与解法一元二次方程是数学中常见的一种类型方程，表达形式为ax^2 + bx + c = 0。
本文将介绍一元二次方程的实际应用以及解法。
一、一元二次方程的实际应用一元二次方程广泛应用于各个领域，特别是在物理学、工程学和经济学等实际问题的建模与求解中。
以下是一些常见的实际应用：1. 物体运动问题：对于抛体运动或自由落体运动等问题，可以通过一元二次方程来描述物体的运动轨迹。
例如，当我们知道一个物体的初速度、重力加速度和运动时间时，可以使用一元二次方程来求解物体的最终位置。
2. 地面覆盖问题：在城市规划中，经常需要考虑各类设施的地面覆盖范围。
通过一元二次方程可以描述设施的传播范围和受影响区域的大小。
例如，对于一个无线网络信号的传播范围，可以通过一元二次方程来计算无线信号的衰减程度和覆盖范围。
3. 财务问题：在经济学中，一元二次方程常应用于财务问题的建模与解决。
例如，在投资分析中，可以使用一元二次方程来计算某项投资的回报率和投资时间。
此外，一元二次方程也可用于计算生产成本与产量之间的关系等。
二、一元二次方程的解法解一元二次方程有多种方法，常见的有以下几种：1. 因式分解法：如果一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积，即可直接得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，可以因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，从而得到x = 1和x = 3两个解。
2. 公式法：一元二次方程的解也可以通过求根公式来计算。
根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)，可以得到方程的解。
其中，a、b和c 分别代表方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
3. 完全平方式：当一元二次方程的解可以表示为一个完全平方数时，可以通过完全平方式求解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以将其转化为(x + 3)^2 = 0，从而得到x = -3作为方程的解。
4.7一元二次方程的应用
=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间． （2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值
为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成 的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．
我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度×时 间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题．
请思考下面的例题． 例1 某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之 间的关系为：s=10t+3t2，那么行驶200m需要多长时间? 分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把 s=200代入求关系t的一元二次方程即可． 解：当s=200时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0．
，x 1≈4.08（不合，舍去），x 2≈0.9（s）． 答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．
三、巩固练习 一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，
滚动20m后小球停下来． （1）小球滚动了多少时间? （2）平均每秒小球的运动速度减少多少? （3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0．1s）?
小黑板 ★教学过程 一、复习引入
师生活动：（学生口答，老师点评） 1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么 呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？ 5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？ 二、探索新知 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决 一些实际问题． 例1 某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积 为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽 为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模． 解：（1）设渠深为xm． 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m． 依题意，得：
一元二次方程在生活中的实际应用
一元二次方程在生活中的实际应用一元二次方程是数学中的一个重要概念，它在生活中有许多实际应用。
它可以描述很多自然现象和实际问题，帮助我们理解和解决各种问题。
本文将以几个具体的例子来说明一元二次方程在生活中的实际应用。
一元二次方程可以用来描述抛物线的形状。
抛物线在现实生活中随处可见，比如一个抛出的体育用球、喷泉中的水柱等等。
通过一元二次方程，我们可以推导出抛物线的顶点、焦点、准线等重要参数，进而帮助我们设计和建造具有美感的建筑和景观。
一元二次方程还可以用于解决关于速度和时间的问题。
例如，当我们开车行驶一段距离时，可以通过一元二次方程来描述车辆的加速度和速度变化。
这有助于我们了解车辆在不同时间段内的速度变化情况，从而更好地掌握驾驶技巧和行车安全。
一元二次方程还可以应用于物体的抛射问题。
当我们抛出一个物体时，可以通过一元二次方程来描述物体的运动轨迹和落地点。
这对于设计投掷物、计算射程和预测物体的落点都非常重要，比如投掷运动员、投掷武器等。
一元二次方程还可以用来解决最优化问题。
例如，在生产过程中，为了降低成本和提高利润，我们需要确定最优的生产数量。
通过建立一元二次方程，可以找到使得成本和利润达到最优的生产数量，从而优化生产过程。
一元二次方程还可以用来解决金融问题。
例如，在投资中，我们可以通过一元二次方程来计算投资收益和风险。
通过建立一元二次方程，我们可以找到最佳的投资策略，最大化收益和降低风险。
一元二次方程在生活中有许多实际应用。
它可以用来描述抛物线的形状，解决关于速度和时间的问题，应用于物体的抛射问题，解决最优化问题，以及解决金融问题。
通过理解和应用一元二次方程，我们可以更好地理解和解决各种实际问题，提高生活和工作的效率。
一元二次方程的应用 (销售 数字问题) 课件 2022—2023学年青岛版数学九年级上册
2. 某种服装,平均每天可销售20件,每件44元.为了减少库存，若每件降价1元,则每天可多售5件.如果每天销售1600元,每件衣服应降价多少元?
等量关系：降价后，每件衣服售价×销售量=总价1600
注意：减少库存应该多卖出一些
同步118页9题
3. 某特产专卖店销售核桃，进价每千克40元，按每千克60元出售平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20kg，若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：每千克核桃应降价多少元？
等量关系：降价后，每千克核桃利润×销售量=2240
10×5+2，即52
10×2+5，即25
10x+2
10(x-2)+5，即10x-15
4.一个两位数,十位数字与个位数字的和为5,把十位数字与个位数字互换后得到的两位数与原数的积为736,求原两位数.
思路：由①：原两位数个位数为x，十位数为_____，两位数为___________________;现两位数个位数为____，十位数为___，两位数为_________________;由②：可得方程
某商品原来每天可销售100件，后来进行价格调整。市场调查发现，该商品每涨价1元，商场平均每天可少销售2件。 （列式表示）
1.如果涨价3元，则少卖________件，每天销售量为___________件
2.如果涨价x元，则少卖____件，每天销售量为_________件
(2×3)=6
(100-2×3)=94
等量关系：①原两位数：个位数＋十位数=5②原两位数×现两位数=736
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独立思考后进行小组交流。
例题2：某养殖场2010的产值为500万元，2012年的产值 为605万元，求2010---2012年该养殖场产值的年平均增 长率。 解：设2010---2012年该养殖场产值的年平均增 长率为x,根据题意得： 500（1+x）2=605 解这个方程得，x1 =0.1 , x2=-2.1 因为x2=-2.1不符合题意，应舍去。 答：2010---2012年该养殖场产值的年平均增 长率为10%。
例题2：某养殖场2010的产值为500万元，2012年的产值 为605万元，求2010---2012年该养殖场产值的年平均增 长率。
点拨： 1、可直接设年平均增长率为x.
500(1 x) 2、2011年的产值为--------------。
500(1 x) 2 3、2012年的产值为--------------。 4.根据题意列出方程。
耕地矩形的宽（纵向） (20-x)米 即 32 x 20 x 540.
2
， 。
x 52x 100 0, x1 50, x2 2
总结:
解决面积类问题，要借助图形和 几何直观加以分析，正确利用图形的面 积公式，数形结合，巧妙地进行解决。
利用“图形经 过平移，它的 面积大小不会 改变”的道理， 把纵、横两条 路移动一下， 你有什么发现？
复习：
一元一次方程解决应用问题的一般步骤？ ⒈审清题意，设出未知数； ⒉找出等量关系，从而列出方程；
3、解这个方程，求出未知数的值； 4、检验求得的答数是否符合应用题的
实际意义后，写出答语。
例1：如图所示，一条长为64cm的铁丝剪成两段， 每段均折成正方形，若两个正方形的面积和为160cm2， 求这两个正方形边长。
平均增长率问题： 如：
一件商品售价为100元，因为商品卖得好，
商家决定提价20%，则现价为------------； 100(1 20%)
100 100 20%
第一次提价后仍然卖得火爆，所以商家决定进行 2 100(1 20%) 二次提价，再提价20%，则商品现价为---------。
x米
32m
32 20 32 x 20 x x 则有：
2
2
540
x 52x 100 0, x1 2, x2 50
其中x=50超出了原矩形的长和宽， 舍去. 答：所求道路的宽为2米。
xm
解法2：
20 m
xm
如图，设路宽为x米， 32m 耕地矩形的长（横向）为 （32-x)米
思考：设a为原来的基数，x表示增长率，n表示增长的次 数，A为增长后的目标数。则它们之间有怎样的数量关 系？
n a(1+x) =A
应用练习： 某种药品经过两次降价后，每盒售价为原售价的 64%，求该药品平均每次的降价率。 （提示：分析时可以将原售价看作1）
1 (1 x) 64% 1
2
总结：设a为原来的基数，x表示增长率(或降低率)，n表
示增长的次数，A为增长（或降低）后的目标数。则它 们之间有怎样的数量关系为：
n a(1+x) =A
n a(1-x) =A
拓展提升： 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销 售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改 善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达 到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
解：设其中一个正方形的边长 为x cm，另一个正方形的边长 为 64 4 x 即16 x cm ，根据题 意得 4 2 2
x (16 x) 160 解得 x1 12, x2 4
经检验， x
12或x 4 均符合题意
当x=12时，16 — x=4；当x=4时， 16 — x=12
解：设这两个月的平均增长率为x,则方程为：
①审
②设
找出已知量、未知量，哪些是要求的未知 量和所涉及的基本数量关系、相等关系； 设元：设未知数，并用所设的未知数的代 数式表示其他的相关量；
③列 列方程(一元二次方程)；
④解 解方程；
⑤验 检验：注意根的准确性及形分析问题。
2）等积变形，一题多解。
2、平均增长率类。
n 它的基本模型是： a(1+x) =A n a(1-x) =A
答：两个正方形的边长是12cm和4cm。
灵活应用：在宽为20米、长为32米
的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相 垂直的道路，余下部分作为草坪，要使 草坪面积为540米2，道路的宽应为多少？
20m 32m
解: 如图，设道路的宽为x米， 20m 2 32 x 米 则横向的路面面积为 ， 2 20 x 米 纵向的路面面积为 。