2012简单的线性规划最新题型
简单的线性规划练习题,DOC
C．25万元D．27万元
5．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下___元.
船型
每只船限载人数
租金(元/只)
大船
5
12
小船
3
8
简单的线性规划练习题
1．不等式组 所表示的平面区域的面积等于()
A. B.
C. D.
2．设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z＝2x＋y的最小值为()
A．2B．3
C．5D．7
3．已知A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大值及最小值分别是()
A．－1，－3B．1，－3
C．3，－1D．3,1
4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是()
2012-2022年十年高考数学真题分类汇编 专题21 简单线性规划解法(解析版)
专题21 简单线性规划解法理16文16文5目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想 目标函数为线性的规划问题，数形结合思想考点71非线性目标函数的最值问题 考点72线性规划的实际问题 考点69 二元一次不等式（组）平面区域问题1．（2019•新课标Ⅲ，文11）记不等式组⎩⎨⎧≥-≥+026y x y x 表示的平面区域为D ．命题:(,)p x y D ∃∈，92≥+y x ；命题:(,)q x y D ∀∈，122≤+y x ．下面给出了四个命题 ①p q ∨ ②p q ⌝∨ ③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝ 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A【解析】作出不等式组⎩⎨⎧≥-≥+026y x y x 表示的平面区域为D ．在图形可知，命题:(,)p x y D ∃∈，92≥+y x 是真命题，则p ⌝假命题；命题:(,)q x y D ∀∈，122≤+y x ．是假命题，则q ⌝真命题，所以①p q ∨真；②p q⌝∨假；③p q ∧⌝真；④p q ⌝∧⌝假，故选A ．2．（2014新课标Ⅰ，理9）不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥， 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是（ ）A ．2p ，3PB ．1p ，4pC ．1p ，2pD ．1p ，3P 【答案】C【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：20x y +=，平移0l ，由图可知，当直线：2x y z +=过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C ．3．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 【答案】D【解析】若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．4．（2014安徽）不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________．【答案】4【解析】如图阴影部分，可知12(22)42ABC S ∆=⨯⨯+=考点70 线性目标函数的最值问题1．（2020浙江3）若实数,x y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是( )A ．(],4-∞B ．[)4,+∞C ．[)5,+∞D ．(),-∞+∞【答案】B 【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线20x y +=，平移该直线，易知当直线经过点()2,1A 时，z 取得最小值，min 2214z =+⨯=，再数形结合可得2z x y =+的取值范围是[)4,+∞．2．（2017•新课标Ⅱ文5）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+0303320332y y x y x ，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A【解析】作出可行域如图所示，2z x y =+ 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由32330y x y =-⎧⎨-+=⎩解得(6,3)A --，则2z x y =+ 的最小值是15-，故选A ．3．（2017•新课标Ⅰ，文7）设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z xy =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】作出可行域如图所示，则z x y =+经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由033y x y =⎧⎨+=⎩解得(3,0)A ，所以z x y =+ 的最大值为3，故选D ．4．（2017•新课标Ⅲ，文5）设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩则z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，0]B ．[3-，2]C ．[0，2]D ．[0，3]【答案】B【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z x y =-，经过可行域的A ，B 时，目标函数取得最值，由03260x x y =⎧⎨+-=⎩解得(0,3)A ，由03260y x y =⎧⎨+-=⎩解得(2,0)B ，目标函数的最大值为：2，最小值为：3-，目标函数的取值范围：[3-，2]，故选B ．5．（2013新课标Ⅱ，文3）设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5-（D ）3- 【答案】B【解析】由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线23z x y =-经过点(3,4)B 时，min 23346z =⨯-⨯=-，故选B ．6．（2014新课标Ⅱ，理9）设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ． 10B ． 8C ． 3D ． 2 【答案】B【解析】作出可行域如图阴影部分，做出目标函数0l ：2y x =，∵2y x z =-，∴当2y x z =-在y 轴上的截距最小时，z 有最大值，∴当2y x z =-经过C 点时，z 有最大值．由31070x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：(5,2)C 此时：z 有最大值2528⨯-=，故选B ．7．（2014新课标Ⅱ，文9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．8B ．7C ．2D ．1 【答案】B【解析】画出可行域如图阴影部分所示， 将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122zy x =-+的纵截距最大，作出直线0:20l x y +=，平移0l ，当直线l ：2z x y =+A 点时，z 取到最大值．由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩解得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=，故选B ．8．（2012•新课标，文5）已知正三角形ABC 的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是 （A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) 【答案】A【解析】有题设知2)，作出直线0l ：0x y -+=，平移直线0l ，有图像知，直线:l z x y =-+过B 点时，max z=2，过C 时，min z =1-z x y =-+取值范围为(1－3，2)，故选A ．9．(2018天津)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩≤≤≤≥ 则目标函数35z x y =+的最大值为A ． 6B ．19C ．21D ．45 【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线35y x =-．平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由15x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)C ，所以max 325321a =⨯+⨯=，故选C ．10．（2017天津）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≤≤则目标函数z x y =+的最大值为A ．23 B ．1 C ．32D ．3 【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中3(0,1),(0,3),(,3)2A B C -，24(,)33D -，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D ．11．（2017山东）已知x ，y 满足3035030x yx y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值是A ．0B ．2C ．5D ．6【答案】C【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分，当目标函数过(3,4)-时取得最大值，即max 3245z =-+⨯=．选C ．12．（2017北京）若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤ 则2x y +的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．9 【答案】D【解析】不等式组可行域如图阴影部分，目标函数2z x y =+过点(3,3)C 时，取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D ．13．（2017浙江）若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≥≤，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ． [0，4]C ．[6,)+∞D ．[4,)+∞ 【答案】D【解析】如图阴影为可行域，可知在(2,1)A 时，min 4z =，无最大值．所以2z x y =+的取值范围是[4,)+∞．选D ．x14．(2016天津)设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数25z x y =+的最小值为A ．4-B ．6C ．10D ．17【答案】B【解析】如图，已知约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0，2)，B(3，0)，C(l ，3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线255zy x =-+过点B(3，0)时，z 取得最小值23506⨯+⨯=．15．（2015福建）若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥ 则2z x y =-的最小值等于A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为x2y x z =-z 2y x z =-2y x =1(1,)2B -z，故选A ．16．（2013四川）若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b-的值是A ．48B ．30C ．24D ．16 【答案】C【解析】作出可行域，如图，则在A 点取得最大值16，在B 点取得最小值8-， 则24a b -=，选C ．17．（2012山东）设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作出可行域，直线，将直线平移至点处有最大值，点处有最小值，即，应选A ．152(1)22z =⨯--=-y x ,222441x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩y x z -=3⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23[]6,1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,603=-y x )0,2()3,21(362z -18．(2011广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z =OM ·OA 的最大值为 A ．3 B ．4 C ．32 D ．42 【答案】B【解析】画出区域D 如图所示，而z =OM ·OA =2x y +，所以2y x z =-+，令0l ：2y x =-，平移直线0l 过点(2,2)时，z 取得最大值，故max 2224z =⨯+=．19．（2020全国I 文13）若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为__________．【答案】1【解析】解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线70x y +=并平移，数形结合可知当平移后的直线经过点(10)A ，时，7z x y =+取得最大值，最大值为1． xy Oy=2x=2yx=2解法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得(10)A ，，(01)B -，，3(1)2C -，，当直线7z x y =+过点(10)A ，时，1z =；当直线7z x y =+过点(01)B -，时，7z =-；当直线7z x y =+过点3(1)2C -，时，112z =-．所以z 的最大值为1．20．（2020全国3文13）若x y ,满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____．【答案】7【解析】解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线320x y +=，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过点(12)A ，时，32z x y =+取得最大值，max 31227z =⨯+⨯=．解法二：易知32z x y =+的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出可行域的顶点坐标，分别将各顶点坐标代入32z x y =+，即可求得最大值．联立得020x y x y +=⎧⎨-=⎩，，解得00x y =⎧⎨=⎩，，代入32z x y =+中可得0z =；联立得01x y x +=⎧⎨=⎩，，解得11x y =⎧⎨=-⎩，，代入32z x y =+中可得1z =；联立得120x x y =⎧⎨-=⎩，，解得12x y =⎧⎨=⎩，，代入32z x y =+中可得7z =．通过比较可知，z 的最大值为7．21．（2020全国II 文15）若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩，，，则2z x y =+的最大值是____．【答案】8【解析】解法一：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线20x y +=并平移，由图知，当平移后的直线经过点(23)A ，时，z 取得最大值，max 2238z =+⨯=．解法二：易知可行域是一个封闭区域，因此目标函数的最值在区域的顶点处取得，由11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，此时1z =-；由121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，，得01x y =⎧⎨=-⎩，，此时2z =-；由121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，，得23x y =⎧⎨=⎩，，此时8z=．综上所述，2z x y=+的最大值为8．22．（2020全国III 理13）若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，，，则32z x y =+的最大值为________．【答案】7【解析】 根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．结合图形可知，当直线322zy x =-+过点(12)A ，时， z 取得最大值，且max 31227z =⨯+⨯=．23．（2020全国I 理13）若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________．【答案】1【解析】解法一：作出可行域，如图中阴影部分所示，由10220x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得10x y =⎧⎨=⎩，，故(10)A ，．作出直线70x y +=，数形结合可知，当直线7z x y =+过点A 时，7z x y =+取得最大值，为1．解法二：作出可行域，如图中阴影部分所示，易得(10)A ，，(01)B -，，312C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，当直线7z x y =+过点A 时，1z =；当直线7z x y =+过点B 时，7z =-；当直线7z x y =+过点C 时，311722z =-=-．所以7z x y =+的最大值为1．24．（2020上海7）已知20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为 ． 【答案】1-【解析】首先画出可行域，和初始目标函数2y x =，当直线2y x =平移至点()1,1A 时，取得最大值，max 1211z =-⨯=-，故答案为：1-．25．（2019•新课标Ⅱ，文13）若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最大值是 ．【答案】9【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z=-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，由⎩⎨⎧=-+=-+030632yx yx 解得(3,0)A ，所以z 有最大值为9．26．（2018•新课标Ⅰ，理13（文14））若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为 ．【答案】6【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由32z x y =+得3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为326z =⨯=．27．（2018•新课标Ⅱ，理14（文14））若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为 ．【答案】9【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，化目标函数z x y =+为y x z=-+，由图可知，当直线y x z=-+过A 时，z 取得最大值，由5230x x y =⎧⎨-+=⎩，解得(5,4)A ，目标函数有最大值，为9z =．28．（2018•新课标Ⅲ，文15）若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则13z x y =+的最大值是 ．【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，13z x y =+变形为33y x z =-+，作出目标函数对应的直线，由图知，当直线33y x z =-+过A 时，直线的纵截距最小，z 最大，由2240x x y =⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A ，所以z 最大值为12333+⨯=．29．（2017•新课标Ⅰ，理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 ．【答案】5-【解析】由x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤+01212y x y x y x 作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得(1,1)A -，32z x y ∴=-的最小值为31215-⨯-⨯=-．30．（2017•新课标Ⅲ，理13）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则34z x y =-的最小值为 ．【答案】1-【解析】由34z x y =-，得344z y x =-，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线344zy x =-，由平移可知当直线344z y x =-，经过点(1,1)B 时，直线344zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，将B 的坐标代入34341z x y =-=-=-，即目标函数34z x y =-的最小值为1-．31．（2016•新课标Ⅱ，文14）若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩，则2z x y=-的最小值为 ．【答案】5-【解答】作出可行域如图，由310xx y=⎧⎨-+=⎩，解得(3,4)B，由图可知，当直线1122y x z=-过(3,4)B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3245-⨯=-．32．（2016•新课标Ⅲ，理13）若x，y满足约束条件1020220x yx yx y-+⎧⎪-⎨⎪+-⎩，则z x y=+的最大值为．【答案】3 2【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由20220x yx y-=⎧⎨+-=⎩得1 (1,)2D，所以z x y=+的最大值为13122+=．33．（2016•新课标Ⅲ，文13）设x，y满足约束条件2102101x yx yx-+⎧⎪--⎨⎪⎩，则235z x y=+-的最小值为．【答案】10-【解析】作出可行域如图阴影部分所示，联立210210x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,1)A --，化目标函数235z x y =+-为25333zy x =-++，由图可知，当直线25333z y x =-++过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2(1)3(1)510⨯-+⨯--=-．34．（2015新课标Ⅰ，文15）若x ，y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为 ．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l ：z =3x +y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1，1），∴z =3x +y 的最大值为4．35．（2016•新课标Ⅲ，理14）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩，则z x y =+的最大值为 ．【答案】32【解析】作出可行域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，由20220x y x y -=⎧⎨+-=⎩得1(1,)2D ，所以z x y=+的最大值为13122+=．36．（2015新课标Ⅱ，文14）若x ，y 满足约束条件 ，则z =2x +y 的最大值为 ．【答案】837．（2013新课标Ⅰ，文14）设x ，y 满足约束条件1310x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：20x y -=，平移直线l ，由题知当直线l 过A点时2z x y =-取最大值，由3x x y =⎧⎨-=⎩解得A （3，3），∴max z =233⨯-=3．38．（2012课标，理13）设x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为 ．【答案】[－3，3]【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：2x y -=0，平移直线0l ，有图像知，:l 2z x y =-，过A （1，2）点时min z =－3，过B(3，0)时，max z =3，故2z xy =-的取值范围为[－3，3]．50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩39．（2011•新课标，理13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 ． 【答案】-6【解析】作出可行域与目标函数，由图知，目标函数过A 点时，2z x y =+取最小值，解239x y x y +=⎧⎨-=⎩得A(4，－5)，min 42(5)z =+⨯-=－6．40．(2018北京)若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是__________． 【答案】3【解析】作出不等式组21y xx y⎧⎨+⎩≤≤，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令2z y x =-，作出直线20y x -=，平移该直线，当直线过点(1,2)A 时，2y x -取得最小值，最小值为2213⨯-=．41．(2018浙江)若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则3z x y =+的最小值是__，最大值是__．yxOy=12x y=x+1y=2x A【答案】−2；8【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中(4,2)B -，(2,2)A ．设3z x y =+，将直线:3l z x y =+进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化，可得当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值，()4,22z F ∴=-=-最小值，可得当l 经过点A 时，目标函数z 达到最最大值，()2,28z F ==最大值．考点71非线性目标函数的最值问题1．(2016年山东)若变量x ，y 满足则22x y +的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设(,)P x y 为平面区域内任意一点，则22x y +表示2||OP ．显然，当点P 与点A 合时，2||OP ，即22x y +取得最大值，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩，故(3,1)A -．所以22x y +的最大值为223(1)10+-=．故选C ．2．(2016浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB = A ． B ．4C ．D ．6 【答案】C2,239,0,x y x yx y=9【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点,C D 分别作直线20x y +-=的垂线，垂足分别为,A B ，则四边形ABDC 为矩形；又(2,2)C -，(1,1)D -，所以||||AB CD ===C ．3．（2014福建）已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 A ．5 B ．29 C ．37D ．49 【答案】C【解析】平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心(,)C a b ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为1y =（-2≤x ≤6），由图形得，当点C 在点(6,1)N 处时，22a b +取得最大值226137+=，故选C ．4．（2015新课标Ⅰ，理15）若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 ．【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1，3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3．5. (2016江苏)已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是 ．【答案】4[,13]5【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示，因为原点到直线220x y +-=22min 4()5x y +=，又当(,)x y 取点(2,3)时，22x y +取得最大值13，故22x y +的取值范围是4[,13]5．考点72 线性规划的实际问题1．（2015陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用,A B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ． D ．18万元 【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润，由题意可列，x y 34z x y =+32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩其表示如图阴影部分区域，当直线过点时，取得最大值，所以，故选D ．2．（2016•新课标Ⅰ，理16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B的利润之和的最大值为元． 【答案】216000【解析】设A 、B 两种产品分别是x 件和y 件，获利为z 元，由题意，得,1.50.51500.39053600x N y Nx y x y x y ∈∈⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪+⎩，2100900z x y =+，作出可行域如图中阴影部分所示，由题意可得0.39053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：60100x y =⎧⎨=⎩，(60,100)A ，由图知，2100900z x y =+经过A 时，目标函数取得最大值：210060900100216000⨯+⨯=元．考点73 含参数的线性归化问题340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=1．（2014新课标I ，文11）设,x y ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A ．-5B ．3C ．-5或3D ．5或-3 【答案】B【解析】当a ＞0时，作出可行域如图1中阴影部分所示，作出直线0l ：0x ay +=，平移直线0l ，由图知，l ：z x ay =+过点A 时，z x ay =+取最小值；当a ＜0时，作出可行域如图2中阴影部分所示，作出直线0l ：0x ay +=，平移直线0l ，由图知，z x ay=+无最小值；由1x y a x y +=⎧⎨-=-⎩解得A （12a -，12a +），故1(1)22a a a -++=7，解得a =-5（舍）或a =3，故选 B ．2．（2013新课标Ⅱ，理9）已知a ＞0，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a= A ．14 B ．12C ．1D ．2 【答案】B【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2z x y =+，由题知当直线2z x y =+过A 点时，z 取最小值1，由211x y x +=⎧⎨=⎩解得A （1，－1），因A （1，－1）在(3)y a x =-上，∴a=12，故选B ．3．（2015山东）已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a =A ．3B ．2C ．－2D ．－3 【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，则(2,0)A ，(1,1)B ，若z ax y =+过A 时取得最大值为4，则24a =，解得2a =，此时，目标函数为2z x y =+，即2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件， 若z ax y =+过B 时取得最大值为4，则14a +=，解得3a =，此时，目标函数为3z x y =+，即3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为6，不满足条件，故2a =，故选B ．4．（2014安徽）满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数的值为（ ） A ．B ．C ．2或1D ． 【答案】D【解析】解法一 由题中条件画出可行域，y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ax y z -=a 121-或212或12-或可知三交点(0,2)A ，(2,0)B ，(2,2)C --，则2A z =，2B z a =-，22C z a =-，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要A B C z z z =>或A C B z z z =>或B C A z z z =>，解得1a =-或2a =．解法二 目标函数z y ax =-可化为y ax z =+，令0l ：y ax =，平移0l ，则当0l AB ∥ 或0l AC ∥时符合题意，故1a =-或2a =．5．（2014北京）若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为－4，则k 的值为A ．2B ．-2 C．12D ．12- 【答案】D【解析】作出线性约束条件20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，的可行域．当0k >时，如图(1)所示，此时可行域为y 轴上方、直线20x y +-=的右上方、直线20kx y -+=的右下方的区域，显然此时z y x =-无最小值．当1k <-时．z y x =-取得最小值2；当1k =-时，z y x =-取得最小值-2，均不符合题意， 当10k -<<时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2，0)，B （-2k，0），C (0，2)所围成的三角形区域，当直线z y x =-经过点B （-2k，0）时，有最小值， 即2()4k--=-，所以得12k =-．故选D ．6．（2012福建）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．1-B ．1C ．32D ．2 【答案】B【解析】由题意，230y x x y =⎧⎨+-=⎩，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y =2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件30230x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩，如图所示，则，可得m ≤1，∴实数m 的最大值为1，故选B ．7．（2011湖南）设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，12+） B ．（12+，+∞） C ．（1，3 ） D ．（3，+∞）【答案】A【解析】1m >，故直线y mx =与直线1x y +=交于1(,)11m m m ++点，目标函数z x my =+对应的直线与直线y mx =垂直，且在1(,)11m m m ++点，取得最大值，其关系如下图所示，即2121m m +<+，解得11m <+又1m >，解得(1,1m ∈+，故选A ．m m 23≥-8．（2014浙江）当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】3[1,]2【解析】由约束条件作可行域如图，由1240x x y =⎧⎨+-=⎩解得3(1,)2C．由10240x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得(2,1)B ，在10x y --=中取0y =得(1,0)A ，要使14ax y +恒成立，则103102402140a a a a -⎧⎪⎪+-⎪⎨⎪-⎪+-⎪⎩，解得：312a ，∴实数a 的取值范围是3[1,]2．9．（2014湖南）若变量满足约束条件，且的最小值为－6， x y 240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩14ax y ≤+≤a ,x y 4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =+则 ．【答案】－2【解析】作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，由2z x y =+，得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+的截距最小，此时z 最小，目标函数为26x y +=-，由26x y y x +=-⎧⎨=⎩，解得22x y =-⎧⎨=-⎩，即(2,2)A --，点A 也在直线y k =上，2k ∴=-．10．（2013浙江）设z kx y =+，其中实数,x y 满足2242240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--<⎩，若z 的最大值为12，则实数k =________ ．【答案】2【解析】此不等式表示的平面区域如图所示，其中(2,0)C ，(2,3)A ，(4,4)B ． 当0k >时，直线：平移到B 点时目标函数取最大值，即4+4=12k ， 所以2k =；当0k <时，直线：平移到A 或B 点时目标函数取最大值， 此时2312k +<或4412k +<，所以不满足题意．所以2k =，所以填2．11．（2011湖南）设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为 ． 【答案】3【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为155z y x =-+，显然只有155z y x =-+k =0l y kx =-0l y kx =-1,m >1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩5z x y =+m在y 轴上的截距最大时z 值最大，根据图形，目标函数在点A 处取得最大值，由1y mx x y =⎧⎨+=⎩，得1(,)11mA m m ++，代入目标函数，即15411mm m +=++，解得3m =．。
第十三次课高中简单线性规划教案知识点总结加题型训练(带答案)
+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），
当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;
+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）
当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。
四、线性规划的有关概念：
①线性约束条件： ②线性目标函数：
③线性规划问题： ④可行解、可行域和最优解：
【例题导引】
一、平面区域的确定：【例1】点（－2，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是_____________.
解析：（－2，t）在2x－3y+6=0的上方，则2×（－2）－3t+6＜0，解得t＞ .
答案：t＞
【例2】不等式组 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有_________个.
=-500x-300y+17200
设Ｗ＝17200－100T，其中Ｔ＝5x+3y,
又由题意可知其约束条件是
作出其可行域如图：作直线l0：5x+3y＝０，再作直线l0的平行直线l：5x+3y＝Ｔ
当直线l经过点（０，10）时，Ｔ取得最小值，
当直线l经过点（10，8）时，Ｔ取得最大值，
所以，当x=10，y=8时，Wmin=9800（元） 当x=0，y=10时，Wmax=14200（元）．
3.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0
2012年高考试题分类考点28 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考点28 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.（2012·安徽高考文科·Ｔ8）若x ，y 满足约束条件则yx z -=的最小值是（ ）（A ）-3 （B ）0 （C ）32 （D ）3【解题指南】先作出可行域，根据x y -的几何 意义求出最小值.【解析】选A .约束条件对应ABC ∆及其内部区域（含边界），其中3(0,3),(0,),(1,1)2A B C ，则 z[3,0]t x y =-∈-，其中(0,3)A 为最小值点. 2.（2012·广东高考文科·Ｔ5）已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为（ ）（A ）3 （B ）1 （C ）-5 （D ）-6 【解题指南】解本小题的关键是正确作出可行域，按照“直线定界，特殊点定域”的原则进行，在找最优解时，要判断准z 的值与直线z=x+2y 在y 轴的截距是正相关，还是负相关.本题是正相关.【解析】选C. 作出如图所示的可行域,当直线z=x+2y 经过点B(-1,-2)时,z 取得最小值,最小值为-5.3.（2012·广东高考理科·Ｔ5）已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y的最大值为（ ）（A ）12 （B ）11 （C ）3 （D ）1-【解题指南】解本小题的关键是正确作出可行域，按照“直线定界，特殊点定域”的原则进行，在找最优解时，要判断准z 的值与直线z=3x+y 在y 轴的截距是正相关，还是负相关.【解析】选B.作出如图所示的可行域，当直线z=3x+y 经过点B （3，2）时，z 取得最大值，最大值为11.4.（2012·福建高考文科·Ｔ10）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ）(A)1- (B)1(C)32(D)2【解题指南】本题考查线性规划问题，检验学生的数形结合能力和转化能力. 【解析】选B. 如图，当2y x =经过且只经过30x y +-=和x m =的交点时，m 取到最大值，此时，即(,2)m m 在直线30x y +-=上，则1m =．5.（2012·辽宁高考文科·Ｔ9）与（2012·辽宁高考理科·Ｔ8）相同设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…剟剟则2x+3y 的最大值为（ ）(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【解题指南】作出线性约束条件表示的可行域，找到最优解.【解析】选D. 如图，线性约束条件表示的可行域（图中阴影部分），最优解为点（5,15），则max 2531555z =⨯+⨯=.6.（2012·福建高考理科·Ｔ9）若函数2xy =图象上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ）(A)12(B)1(C)32(D)2【解题指南】结合不等式先画可行域，描出动直线x m =，其他直线和函数都是确定的，当x=m 向右移动到y=2x 的最终可接触点时，即为所求. 【解析】选B ．如图，当2xy =经过且只经过30x y +-=和x m =的交点时，即三条线有唯一公共点， m 取到最大值，此时，即(,2)mm 在直线30x y +-=上，由选项知，1m =是解． 7. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ5）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（ ） （A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) 【解题指南】先求得点C 的坐标，然后画出可行域，通过平移目标函数，求得z 的取值范围.【解析】选A.由顶点C 在第一象限且与A ，B 构成正三角形可求得点C坐标为()12，将目标函数化为斜截式为y x z =+，结合图形可知当y x z =+过点C 时z取到最小值，此时min 1z =y x z =+过点B 时z 取到最大值，此时max 2z =，综合可知z的取值范围为()12.8.（2012·天津高考文科·Ｔ2）设变量x ，y 满足约束条件2+20,240,10,x y x y x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）(A)-5 (B)-4 (C)-2 (D)3【解题指南】作出可行域可知，所求目标函数的图象经过直线2+2=0x y -与直线-2+4=0x y 的交点A （0,2）时取得最小值-4.【解析】选B.作出可行域，设直线2+2=0x y -与直线-2+4=0x y 的交点为C ，解得C （0,2），故目标函数的图象经过点C 时取得最小值-4.9.（2012·山东高考文科·Ｔ6）与（2012·山东高考理科·Ｔ5）相同设变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-【解题指南】本题可先根据题意画出可行域，将目标函数化为斜截式，平移目标函数得取值范围.【解析】选A. 画出约束条件222441x yx yx y+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩表示的可行域如图所示,由目标函数3z x y=-得直线zxy-=3，当直线平移至点B(2,0)时, 目标函数3z x y=-取得最大值为6, 当直线平移至点)3,21(A时, 目标函数3z x y=-取得最小值为23-.所以目标函数3z x y=-的取值范围是3[,6]2-.10.（2012·江西高考理科·Ｔ8）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）(A)50，0 (B)30,20 (C)20,30 (D)0,50【解题指南】由题意列出约束条件，写出关于总利润的目标函数，画出可行域，结合图形，将目标函数平移求得总利润最大时，黄瓜和韭菜的亩数. 【解析】选B .设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则z 关于,x y 的关系式为40.55 1.260.30.9z x x y y =⨯-+⨯-0.9x y =+，且,x y 满足约束条件为画可行域如图，设110:9l y x =-，将1l 上下平移可知，当直线0.9z x y =+过点()30,20A 时，z 取最大值，因此，当总利润z 最大时，30x =，20y =. 二、填空题11. （2012·新课标全国高考理科·T14）设x,y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z=x-2y的取值范围为 .【解题指南】由约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式后平移求得z 的取值范围.【解析】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线20x y -=，并向左上，右下平移，过点A 时，2z x y =-取得最大值，过点B 时，2z x y =-取最小值.由1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,2B ，由030y x y =⎧⎨+-=⎩，得()3,0A .max 3203z ∴=-⨯=,min 1223z =-⨯=-.[]3,3z ∴∈-【答案】[]3,3-12. （2012·安徽高考理科·Ｔ11）若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围是 .【解题指南】先作出可行域，根据x y -的几何意义求出最大值和最小值即得到取值范围.【解析】约束条件对应ABC ∆边界及内部区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C 则[3,0]t x y =-∈-，其中A(0,3), C(1,1)为最值点.【答案】[3,0]-13.（2012·湖北高考文科·Ｔ14）若变量x ，y 满足约束条件则目标函数z=2x+3y 的最小值是________.【解题指南】本题考查线性规划,解答本题的关键是正确地画出可行域,找到最小值点,再代入求解即可. 【解析】先作出可行域,如图:当线性目标函数经过点A(1,0)时,目标函数z=2x+3y 有最小值2. 【答案】214.（2012·江苏高考·Ｔ14）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba 的取值范围是 . 【解题指南】考查不等式的性质、导数的应用以及转化和化归的思想.关键是对不等式的变形和构造函数()ln =-h x x x ，利用导数求最值. 【解析】534-≤≤-c abc a 变形为5341⋅-≤≤⋅-c b c a a a ，设1,()ln ()2==-≥a x h x x x x c ，利用导数可以证明()h x 在[1(,1)2上单调递减，在[(1,)+∞上单调递增，所以()(1)1≥=h x h ，故ln 1≥∴≥b b e a a ，ln 1≥∴≥b b ea a ②，由①②可得7≤≤b e a .【答案】[,7]e15.（2012·浙江高考文科·Ｔ14）设z=x+2y ，其中实数x ，y 满足则z 的取值范围是_________.【解题指南】利用线性规划的方法求出其最大值和最小值.【解析】由1020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得13(,)22.作直线:20l xy +=，平移l 至原点时取得最小值０； 平移l 至点13(,)22时取得最大值72． 【答案】70,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2012·陕西高考理科·Ｔ14）设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 .【解题指南】先确定封闭区域D 的大致范围和关键点，其中求出切线方程是关键，然后确定z 的含义，最后再把点的坐标代入求最大值. 【解析】当0x >时，()ln f x x =，所以1()f x x'=，所以曲线在点（1,0）处的切线的斜率1k =，该曲线在点(1,0)处的切线方程是1y x =-，所以区域D 是一个三角形，当直线2x y z -=过点（0，1-）时,z 的值最大为2.【答案】2。
(完整版)简单的线性规划问题(附答案).doc
简单的线性规划问题[ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量 x， y 的一次不等式 (组 )线性约束条件关于 x， y 的一次不等式 (组 )目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x， y 的函数解析式线性目标函数关于变量 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x， y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数 z＝ ax＋ by (b≠ 0)对应的斜截式直线方程是y＝－a z，在 y 轴上的截距是z，bx＋b b当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界 )便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的 A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x， y 满足约束条件y≤ 2，x＋ y≥ 1，x－ y≤1，则 z＝ 3x＋ y 的最大值为( )A ． 12B ．11C．3 D．－ 1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－ 3x＋z 经y＝2，x＝ 3，过点 A 时， z 取得最大值．由? 此时z＝3x＋ y＝ 11.x－y＝ 1 y＝ 2，x＋y－ 2≤ 0，跟踪训练 1 (1)x，y 满足约束条件x－ 2y－ 2≤ 0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，．．．2x－y＋ 2≥ 0，则实数 a 的值为 ()1 1A. 2或－ 1 B ．2 或 2C．2 或 1 D． 2 或－ 1x－y＋ 1≤ 0，(2)若变量 x，y 满足约束条件x＋2y－ 8≤ 0，则 z＝ 3x＋ y 的最小值为 ________ ．x≥0，答案(1)D (2)1解析(1) 如图，由 y＝ax＋ z 知 z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当 a>0 时，要使z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当 a<0 时，要使 z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝－ 1.y＝－ 3x＋ z 过点(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z＝ 3x＋ y，即(0,1)时 z 取最小值 1.题型二非线性目标函数的最值问题x－ y－2≤ 0，例2 设实数 x， y 满足约束条件 x＋ 2y－ 4≥ 0，求2y－ 3≤ 0，(1)x2＋y2的最小值；y(2)x的最大值．解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，(1)令 u＝ x2＋ y2，其几何意义是可行域ABC 内任一点 (x， y)与原点的距离的平方．x＋2y－ 4＝ 0，4，8 过原点向直线 x＋ 2y－ 4＝0 作垂线 y＝ 2x，则垂足为y＝2x 的解，即 5 5 ，x＋ 2y－ 4＝ 0， 3又由2y－ 3＝0，得 C 1，2 ，所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝1＋3 2 213＝2，13所以， x2＋y2的最小值为4 .yABC 内任一点 (x， y)与原点相连的直线l 的斜率为 v，即 v (2)令 v＝x，其几何意义是可行域y－ 0＝x－0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点 C 时， v 最大，3由(1) 知 C 1，2，所以 v max＝3 y 3，所以的最大值为.2 x 2x≥ 0，跟踪训练 2 已知 x， y 满足约束条件y≥ 0，则(x＋3) 2＋ y2的最小值为 ________．x＋ y≥ 1，答案10解析画出可行域 ( 如图所示 ) ． (x＋ 3)2＋ y2即点 A(－ 3,0)与可行域内点(x， y)之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC2＝ (0＋ 3)2＋ (1－ 0)2＝ 10，即 (x＋ 3)2＋y2的最小值为 10.题型三线性规划的实际应用例 3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克．每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A， B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？x＋ 2y≤ 12，解设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为2x＋ y≤ 12，z 元，于是有x≥ 0， y≥ 0，x∈ N ， y∈ N ，z＝ 300x＋ 400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝ 0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时 z＝ 300x＋ 400y 取得最大值，最大值是 z＝ 300× 4＋ 400× 4＝ 2 800，即该公司可获得的最大利润是 2 800 元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：① 分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③ 确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数 (直线 )求出最优解；⑥ 实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练 3 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买x 张、 y 把，目标函数z＝ x＋ y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为50x＋20y≤ 2 000，y≥ x，y≤ 1.5x，x≥ 0，x∈ N*，y≥0， y∈ N* .x＝200，50x＋ 20y＝2 000，7由解得200 y＝ x，y＝，7所以 A 点的坐标为 200，200 .7 750x ＋ 20y ＝2 000，x ＝ 25，由解得75y ＝ 1.5x ，y ＝ 2 ，所以 B 点的坐标为 7525， 2 .200 20075所以满足条件的可行域是以 A 7 ，7 ， B 25， 2 ， O(0,0) 为顶点的三角形区域 (如图 )．75由图形可知，目标函数 z ＝x ＋ y 在可行域内的最优解为 B 25， 2 ，但注意到 x ∈ N * ， y ∈ N * ，x ＝ 25， 故取y ＝ 37.故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择．x ＋ y － 3≤ 0，1．若直线 y ＝ 2x 上存在点 ( x ， y)满足约束条件 x － 2y － 3≤0， 则实数 m 的最大值为 ()x ≥ m ，3A ．－ 1B ． 1C.2D ． 25x － 11y ≥－ 22，2x ＋ 3y ≥ 9， 2．某公司招收男职员x 名，女职员 y 名， x 和 y 需满足约束条件则 z2x ≤ 11，x ∈ N * ， y ∈ N * ，＝ 10x ＋ 10y 的最大值是 ( )A ． 80B ．85C ．90D ． 95y≤1，3．已知实数x，y 满足x≤1，则z＝x2＋y2的最小值为________．x＋y≥ 1，一、选择题1．若点 (x, y)位于曲线 y＝ |x|与 y＝ 2 所围成的封闭区域，则 2x－ y 的最小值为 ( ) A ．－ 6 B．－ 2 C． 0 D． 2x≥ 1，2．设变量 x， y 满足约束条件x＋ y－ 4≤ 0，则目标函数 z＝ 3x－ y 的最大值为 ()x－ 3y＋4≤ 0，4A ．－ 4 B． 0 C.3 D． 4x≥ 1，则 z＝y－1的取值范围是 (3．实数 x， y 满足 y≥ 0，)x－ y≥ 0，xA ． [ － 1,0]B ．( －∞， 0]C．[ －1，＋∞ ) D． [ － 1,1)x－ y≥ 0，4．若满足条件x＋ y－ 2≤ 0，的整点 (x， y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有 9 个，y≥ a则整数 a 的值为 ()A ．－ 3 B．－ 2C．－ 1 D． 0x≥ 1，5．已知 x， y 满足x＋ y≤ 4，目标函数z＝ 2x＋ y 的最大值为7，最小值为1，则 b，c x＋ by＋ c≤ 0，的值分别为( )A ．－ 1,4B ．－ 1，－ 3C．－ 2，－ 1 D．－ 1，－ 26．已知x，y 满足约束条件x＋ y≥ 5，x－ y＋ 5≥0，x≤ 3，使 z＝ x＋ ay(a＞ 0)取得最小值的最优解有无数个，则 a 的值为( )A ．－ 3 B． 3 C．－ 1 D． 1二、填空题x≤ 2，7．若 x， y 满足约束条件y≤2，则 z＝ x＋ 2y 的取值范围是 ________．x＋ y≥2，8．已知－ 1≤ x＋y≤ 4 且 2≤ x－y≤ 3，则 z＝ 2x－ 3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．0≤ x≤ 2，9．已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组y≤ 2，给定．若 M(x， y)为 Dx≤ 2y上的动点，点 A 的坐标为 (→ →2， 1)，则 z＝ OM ·OA的最大值为 ________．10．满足 |x|＋ |y|≤ 2 的点 (x，y)中整点 (横纵坐标都是整数)有 ________个．x－ y＋ 2≥ 0，11．设实数 x， y 满足不等式组2x－ y－ 5≤ 0，则 z＝ |x＋ 2y－ 4|的最大值为 ________．x＋ y－ 4≥ 0，三、解答题x－ 4y≤－ 3，12．已知x， y 满足约束条件3x＋ 5y≤ 25，目标函数z＝ 2x－ y，求z 的最大值和最小值．x≥ 1，x＋ y－ 11≥ 0，13．设不等式组3x－ y＋ 3≥0，表示的平面区域为 D.若指数函数y＝ a x的图象上存在区域5x－ 3y＋ 9≤0D 上的点，求 a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润80 元，出售一个书橱可获利润120 元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1． 答案B解析 如图，当 y ＝ 2x 经过且只经过x ＋ y － 3＝0 和 x ＝ m 的交点时， m 取到最大值，此时，即 (m,2m)在直线 x ＋ y － 3＝ 0 上，则 m ＝ 1.2． 答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于 x ， y ∈ N * ，计算区域内与11 9 最近的点为 (5,4)，故当 x ＝5， y ＝ 4 时， z 取得最大值为90.2 ，213． 答案2解析实数 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方，故 z min ＝ 12＝ 1.2 2课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－ 2,2)，设 z＝ 2x－ y，把z＝ 2x－ y 变形为 y＝ 2x－ z，则直线经过点 A 时 z 取得最小值；所以 z min＝2× (－ 2)－ 2＝－ 6，故选 A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．x＋ y－ 4＝0，x＝2，联立解得x－ 3y＋ 4＝ 0，y＝2.当目标函数z＝ 3x－ y 移到 (2,2)时， z＝ 3x－ y 有最大值4.3．答案 D解析作出可行域，如图所示，y－1的几何意义是点 (x， y)与点 (0,1)连线 l 的斜率，当直线l 过 B(1,0) 时 k l最小，最小为－ 1. x又直线 l 不能与直线x－ y＝ 0 平行，∴ k l＜ 1.综上， k∈ [－ 1,1)．解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当 a＝0 时，只有 4 个整点 (1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)．当 a＝－ 1 时，正好增加 (－ 1，－ 1)，(0，－ 1)，(1 ，－ 1)，(2，－ 1)，(3，－ 1)5 个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋ c＝ 0 经过直线2x＋ y＝ 7 与直线x＋ y＝ 4 的交点，且经过直线2x＋ y＝1 和直线x＝ 1 的交点，即经过点(3,1)和点 (1，－ 1)，3＋ b＋ c＝ 0，b＝－ 1，∴解得1－ b＋ c＝ 0，c＝－ 2.6．答案 D解析如图，作出可行域，作直线l：x＋ ay＝0，要使目标函数z＝ x＋ ay(a＞ 0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x＋ y＝ 5 重合，故a＝ 1，选 D.二、填空题7．答案[2,6]解析如图，作出可行域，作直线 l ：x＋ 2y＝ 0，将 l 向右上方平移，过点 A(2,0)时，有最小值 2，过点 B(2,2)时，有最大值 6，故 z 的取值范围为[2,6] ．解析作出不等式组－1≤ x＋ y≤ 4，表示的可行域，如图中阴影部分所示．2≤ x－ y≤ 3在可行域内平移直线 2x－3y＝ 0，当直线经过 x－ y＝ 2 与 x＋y＝ 4 的交点 A(3,1)时，目标函数有最小值z min＝2× 3－ 3× 1＝ 3；当直线经过 x＋ y＝－ 1 与 x－ y＝ 3 的交点 B(1，－ 2) 时，目标函数有最大值z max＝2× 1＋ 3× 2 ＝ 8.所以 z∈[3,8] ．9．答案 4解析由线性约束条件0≤ x≤ 2，y≤ 2，画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数→ →2x＋ y，将其化为z＝OM ·OA＝x≤ 2yy＝－ 2x＋ z，结合图形可知，目标函数的图象过点( 2， 2)时， z 最大，将点 ( 2， 2)代入 z ＝ 2x＋ y，得 z 的最大值为 4.10．答案13解析|x|＋ |y|≤ 2 可化为x＋ y≤ 2 x－ y≤ 2x≥ 0， y≥0x≥ 0， y＜ 0 ，，－x＋ y≤ 2 x＜0， y≥ 0 ，－x－ y≤ 2 x＜0， y＜ 0 ，作出可行域为如图正方形内部(包括边界 )，容易得到整点个数为13 个．11．答案 21解析作出可行域 (如图 )，即△ABC 所围区域 (包括边界 )，其顶点为A(1,3)， B(7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋ 2y－ 4＝0 上方，∴x＋ 2y－ 4＞ 0，则目标函数等价于 z＝ x＋ 2y－4，易得当直线 z＝ x＋2y－ 4 在点 B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝ 21.方法二z＝ |x＋ 2y－4|＝|x＋ 2y－ 4|· 5，5令 P( x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－ 4＝ 0，则z＝ 5d，其中 d 为 P(x， y)到直线 x＋2y－ 4＝ 0 的距离．由图可知，区域内的点 B 与直线的距离最大，故d的最大值为 |7＋ 2× 9－4|＝ 21.5 5故目标函数z max＝ 21 · 5＝ 21.5三、解答题12．解z＝ 2x－ y 可化为y＝ 2x－ z， z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－ y＝0 平行的直线系l，经上下平移，可得：当l 移动到l1，即经过点A(5,2) 时， z max＝ 2× 5 － 2＝ 8.当l 移动到 l 2，即过点 C(1,4.4) 时，z min＝ 2× 1－4.4＝－ 2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝ a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9) ，∴ 9＝ a2，∴a＝ 3.∵a＞ 1，∴ 1＜ a≤ 3.14．解由题意可画表格如下：方木料 (m3) 五合板 (m2) 利润 (元 ) 书桌 (张 ) 0.1 2 80书橱 (个 ) 0.2 1 120(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元，0.1x≤ 90，x≤ 900，2x≤ 600，? x≤300，? 0≤ x≤ 300.则z＝ 80x，x≥0x≥ 0所以当 x＝ 300 时， z max＝ 80× 300＝ 24 000(元 ) ，即如果只安排生产书桌，最多可生产300 张书桌，获得利润24 000 元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，0.2y≤ 90，y≤ 450，1·y≤ 600，? y≤ 600，? 0≤ y≤ 450.则z＝ 120y，y≥ 0y≥ 0所以当 y＝ 450 时， z max＝ 120× 450＝ 54 000(元 )，即如果只安排生产书橱，最多可生产450 个书橱，获得利润54 000 元．(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为z 元，0.1x＋ 0.2y≤ 90，x＋ 2y≤ 900，2x＋ y≤ 600，2x＋ y≤ 600，则?x≥ 0，x≥ 0，y≥ 0 y≥ 0.z＝ 80x＋120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图 )．作直线 l ：80x＋ 120y＝0，即直线 l： 2x＋ 3y＝0.把直线 l 向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时 z＝ 80x＋ 120y 取得最大值．x＋ 2y＝ 900，由2x＋ y＝ 600，解得，点M 的坐标为 (100,400) ．所以当 x＝ 100，y＝ 400 时，z max＝ 80×100＋ 120×400＝ 56 000(元 )．因此，生产书桌100 张、书橱400 个，可使所得利润最大．。
高考数学 试题汇编 第二节简单的线性规划 文(含解析)
第二节简单的线性规划求目标函数的最值考向聚焦线性规划的基本问题,即求线性目标函数在线性约束条件下的最值,一直是新课标高考命题的重点,多以选择、填空题的形式出现,难度中低档,所占分值为4~5分备考指津解决此类问题的关键是(1)准确作出可行域注意边界的实虚.(2)准确理解目标函数的几何意义.(3)充分利用数形结合思想解题1.(2012年山东卷,文6,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是( )(A)[-,6] (B)[-,-1](C)[-1,6] (D)[-6,]解析:画出表示的可行域如图所示阴影部分,直线z=3x-y经过点A,B时分别取到最大值和最小值.∵A(2,0),∴z max=3×2=6.由得,即B(,3)∴z min=×3-3=-,∴-≤z≤6.答案:A.2.(2012年广东卷,文5,5分)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为( )(A)3 (B)1 (C)-5 (D)-6解析:本小题主要考查线性规划问题,由知对应的平面区域如图所示:目标函数可化为y=-x+,易知过平面区域内点B(-1,-2)时最小为z=-5.答案:C.3.(2012年天津卷,文2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-2y的最小值为( )(A)-5 (B)-4 (C)-2 (D)3解析:画出可行域如图阴影部分所示,作出与3x-2y=0平行的直线z=3x-2y可知,当直线z=3x-2y过(0,2)点时z取最小值-4.故选B.答案:B.4.(2012年新课标全国卷,文5,5分)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( )(A)(1-,2) (B)(0,2)(C)(-1,2) (D)(0,1+)解析:由△ABC是等边三角形易知C(1+,2).由图当目标函数线过区域内点C时,z取最小值,z min=-(1+)+2=1-,过区域内点B时,z取到最大值,z max=-1+3=2,∴z的取值范围是(1-,2).答案:A.5.(2012年安徽卷,文8,5分)若x,y满足约束条件则z=x-y的最小值是( )(A)-3 (B)0 (C)(D)3解析:不等式表示的区域是以(1,1),(0,3),(0,)为顶点的三角形区域(含边界),易见目标函数z=x-y在顶点(0,3)处取最小值-3.答案:A.6.(2012年四川卷,文8,5分)若变量x,y满足约束条件则z=3x+4y的最大值是( )(A)12 (B)26 (C)28 (D)33解析:画出线性约束条件下的可行域如图,当直线y=-x+过点A(4,4)时,z取得最大值28,故选C.答案:C.7.(2012年辽宁卷,文9,5分)设变量x,y满足则2x+3y的最大值为( )(A)20 (B)35 (C)45 (D)55解析:由已知x、y满足的可行域为如图的阴影部分,设z=2x+3y,则y=-x+,作直线l0:y=-x,平行移动直线l0,当过点B时,直线y=-x+在y轴上的截距最大,此时z最大.由得即点B坐标为(5,15),∴z最大为55.答案:D.8.(2011年安徽卷,文6)设变量x,y满足,则x+2y的最大值和最小值分别为( )(A)1,-1 (B)2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1解析:不等式组表示的可行域如图所示,设z=x+2y,则y=-x+,当直线y=-x+分别过C(0,1)及A(0,-1)时得z max=2,z min=-2.故选B.答案:B.9.(2011年大纲全国卷,文4)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+3y的最小值为( )(A)17 (B)14 (C)5 (D)3解析:约束条件所表达的区域如图,可解得A(1,5),B(1,1).由z=2x+3y得y=-x+.由图知当动直线y=-x+经过点B(1,1)时,z取到最小值.z最小=2×1+3×1=5,故选C.答案:C.10.(2011年天津卷,文2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的最大值为( )(A)-4 (B)0 (C)(D)4解析:该线性约束条件所代表的平面区域如图,易解得A(1,3),B(1,),C(2,2),由z=3x-y得y=3x-z,由图可知当x=2,y=2时,z取到最大值,即z最大=3×2-2=4.故选D.答案:D.11.(2011年广东卷,文6)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=·的最大值为( )(A)3 (B)4 (C)3(D)4解析:区域D如图所示:设M(x,y)则z=·=(x,y)·(,1)=x+y.要求目标函数z=x+y的最大值即求直线y=-x+z在y轴上截距的最大值,画l0:y=-x,由图知过直线y=2与直线x=的交点M(,2)时,z取得最大值为z max=×+2=4.故选B.答案:B.12.(2011年山东卷,文7)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( )(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5解析:画出平面区域表示的可行域,解方程组,∴,∴A(3,1).平移直线z=2x+3y+1,当直线过A(3,1)时,目标函数z=2x+3y+1取得最大值10.故选B.答案:B.13.(2011年浙江卷,文3)若实数x,y满足不等式组则3x+4y的最小值是( )(A)13 (B)15 (C)20 (D)28解析:由已知线性约束条件对应的可行域为如图所示:设z=3x+4y,则y=-x+,平行移动直线l0:y=-x,当过点A时z取最小值.又∵得点A坐标为(3,1).∴3x+4y的最小值为13.故选A.答案:A.14.(2012年全国大纲卷,文14,5分)若x、y满足约束条件则z=3x-y的最小值为.解析:画出约束条件下的可行域如图阴影部分,当直线y=3x-z过点A(0,1)时,z取得最小值为-1.答案:-115.(2012年浙江卷,文14,5分)设z=x+2y,其中实数x,y满足则z的取值范围是.解析:根据不等式组如图所示的阴影部分,则z=x+2y过点(0,0),(,)取得最小值和最大值,所以0≤z≤.答案:0≤z≤16.(2012年湖北卷,文14,5分)若变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+3y 的最小值是.解析:作出不等式组所表示的可行域,如图阴影部分所示(含边界).可知当直线z=2x+3y经过的交点M(1,0)时,z=2x+3y取得最小值,且z min=2.答案:217.(2012年上海数学,文10,4分)满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y-x的最小值是.解析:∵|x|+2|y|≤2的图象关于坐标轴对称,只需画出的图象即可,其图象如图所示.由y-x=z得y=x+z,由图象知过C点z最小,而C(2,0),∴z min=0-2=-2.答案:-218.(2011年陕西卷,文12)如图,点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动,那么2x-y的最小值为.解析:设z=2x-y,则y=2x-z,则直线y=2x-z过可行域内点A(1,1)时,z最小即z=2×1-1=1. 答案:119.(2011年上海卷,文9)若变量x,y满足条件,则z=x+y的最大值为.解析:可行域如图所示:要求目标函数z=x+y的最大值,即求y=-x+z在y轴上截距的最大值,画l0:y=-x,由图知当过3x-y=0与x-3y+5=0交点A(,)时,z取最大值.∴z max=+==.答案:线性规划的实际应用考向聚焦纵观近几年新课标高考试题,线性规划问题的实际应用有所侧重.主要解决实际生活、生产中的最优化问题,如用料最省、用时最少、效益最好、获利最大等,难度中低档,分值为5分左右备考指津解决线性规划实际应用问题的关键是准确理解题意列出两个变量满足的约束条件及线性目标函数,作图时要力求准确规范,注意最优解的确定方法20.(2010年四川卷,文8)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )(A)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱(B)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱(C)甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱(D)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱解析:设甲、乙两车间每天各加工原料x、y箱,总获利为z元,根据题意得其可行域如图:z=280x+200y,易知当直线z=280x+200y过点M(15,55)即x=15,y=55时,z有最大值.故选B. 答案:B.21.(2010年广东卷,文19)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?解:设为该儿童预订x个单位的午餐,y个单位的晚餐.则x,y满足(x,y∈N*)即(x,y∈N*)目标函数z=2.5x+4y.下面画出可行域,如图.其中A(2,5),B(4,3)当目标函数过B点时z最小,此时x=4,y=3.所以为该儿童预订4个单位的午餐,3个单位的晚餐时,满足营养要求,并且花费最少.涉及线性规划的实际应用题,首先要确定影响整个问题的两个主要变化因素,并用x,y表示出来,然后根据题目要求把一些限制条件用x,y的不等式表示出来,并写出目标函数,运用数形结合的思想进行求解.线性规划的综合应用考向聚焦高考难点内容主要涉及(1)已知目标函数最值求参数值或参数范围;(2)线性规划与其他知识的综合应用,难度较大,多为选择、填空题,分值为5分左右备考指津解决此类问题的关键在于准确理解目标函数的几何意义及利用数形结合思想解题22.(2012年福建卷,文10,5分)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( )(A)-1 (B)1(C)(D)2解析:由题意知,先把确定的两条边界直线划出,再画出直线y=2x,由确定的区域如图,结合图可知,若直线y=2x上存在点满足约束条件,实数m的最大值应为1.故选B.答案:B.本题考查线性规划知识,对同学们的画图能力、分析问题的能力要求较高,属中档题.23.(2011年湖南卷,文14)设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为.解析:∵m>1,∴可行域如图所示.目标函数z=x+5y化为y=-x+z可看成斜率为-,在y轴上截距为z的直线.由图可知,动直线过B点时取最大值.∴4=+,解得m=3.答案:324.(2010年北京卷,文11)若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m= .解析:由点到直线的距离公式得=4,即=1,∴m=7或m=-3,又∵2m+3<3即m<0,∴m=-3.答案:-3。
高考数学线性规划常见题型及解法[1]
高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。
现就常见题型与解决方法总结如下： 一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。
可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。
二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。
简单的线性规划问题
[解析]
如右图，
x ＝2， 由 x ＋2y－a＝0. x ＝2， 得 y＝a－2， 2 代入 x －2y＝2 中， 解得 a＝2.
[答案]
2
[类题通法] 求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题 解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行 域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同 时要搞清目标函数的几何意义．
5x＋4y≤24， x＋2.5y≥6.5， x≥0，y≥0，
(4 分)
5x＋4y≤24， 即 2x＋5y≥13， x≥0，y≥0.
作出上述不等式组表示的平面区域，如右图阴影部分所 示．(6 分) 由目标函数 z＝20x ＋10y， z 可得 y＝－ 2x ＋ .当直线 10 z y＝－ 2x ＋ 的纵截距最大时，对应的目标函数 z ＝ 20x 10 ＋10y 也会取得最大值．(8 分)
(2)常见代数式的几何意义主要有： ① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离． y－b y ② x 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率； 表示点(x，y)与 x－a 点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得 以转化，往往是解决问题的关键．
分，直线y＝3x－z斜率为3. 由图象知当直线y＝3x－z经过 A(2,0)时，z取最大值6，
1 当直线y＝3x－z经过B2，3时，
所表示的平面区域如图阴影部
3 3 z取最小值－ ，∴z＝3x－y的取值范围为－2，6，故选A. 2 [答案]：A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理 解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可 行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点 或最小值点．
3.3.2简单的线性规划问题(最新)
1. 例中涉及了很多的相关数据， 你有什么办法理顺这些数据？
食物/kg
A B 碳水化合物 蛋白质/kg /kg 0.105 0.105 0.07 0.14
脂肪/kg
0.14 0.07
2.设每天食用xkg食物A，ykg食物B， 问题中的约束条件用不等式组怎样 表示？
7y 5 ? 0.105x 0.105y 0.075 ? 7x ï ï ï ï ï ï ï 7x + 14y ï 0.07x + 0.14y 6 0.06 ï ï ï 即ï í í ï 14x + 7y 6 ï 0.14x + 0.07y 0.06 ï ï ï ï ï x 吵 0, y ï x 吵 0, y 0 ï 0 ï ï î ï î
x
z 3
Z m ax 4 2 2 3 14
x 2y 8 象这样关于x,y一次不等 4 x 16 式组的约束条件称为 线性约束条件 4 y 12 x 0 Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又 y 0 称为线性目标函数
目标函数：z＝x＋y.
8.如何确定最优解？
y
2x＋y＝15
x＋y=0
x＋3y＝27
18 39 M( , ) 5 5
2x y 15 x +2y 18 x +3y 27 x N , y N
x＋2y＝18 在可行域内取与点M最临近的整点，并比较Z 值的大小.最优解（3，9）和（4，8）.
3.3.2
简单的线性规划问题
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8h计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么?
简单的线性规划(含答案、详解)
简单的线性规划一、点与直线的位置关系1、若点)1,2(a 在直线01=--y x 的左上方，则实数a 的取值范围是2、已知点(-2,1)和点(1,1)在直线023=--a y x 的两侧,则a 的取值范围是3、在下列各点中，不在．．不等式532<+y x 表示的平面区域内的点为 ①． )1,0( ②． )0,1( ③． )2,0( ④． )0,2(4、下列给出的四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是①、(0,2) ②、(2,0)- ③、(0,2)- ④、(2,0)5、原点和点()1,1在直线0=-+a y x 的同侧，则a 的取值范围是6、点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中①、2≤-y x ②．022>--y x ③．0≤y ④．2≥x7、已知点()3,1和点()4,6-在直线320x y m -+=的两侧，则m 的取值范围是__________．二、简单的线性规划之不等式表示的平面区域8、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是9、不等式组201022x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域的面积是10、1x y +≤表示的平面区域的面积是________________.11、已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为__________. 三、简单的线性规划之最值12、已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为13、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧->-<+>+144222y x y x y x 则目标函数y x z -=3的取值范围是________.⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x14、已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,0,2,y y x x y 那么目标函数y x z 3+=的最大值是 .15、已知实数满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x b =的取值范围是16、若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为 .17、已知，则的最大值为18、若变量,x y 满足约束条件，则3log (2)w x y =+的最大值是19、已知实数,x y 满足约束条件20,350,1,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则212x y z +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值等于 20、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大?简单线性规划（参考答案）1、试题分析：因为直线01=--y x 的左上方的点满足不等式10x y --<,所以1210a--<,即01a <<. 2、试题分析：因为点(-2,1)和点(1,1)在直线023=--a y x 的两侧,所以(3(2)21)(31a a ⨯--⨯-⨯-⨯-<，解得8 1.a -<<3、③解决该试题的关键是理解，不满足平面区域内的点不满足不等式。
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（Ⅱ）因为p=100+3（5-x）+2（8-y）， 所以3x+2y=131-p，设131-p=k，那么当k最 大时，p最小.在通过图中的阴影部分区域 3 （包括边界）且斜率为 的直线3x+2y=k中， 2 使k值最大的直线必通过点（10，4），即 当x=10，y=4时，p最小. 此时，v=125，w=30，p的最小值为 93元. 线性规划问题首先要根据实际 问题列出表达约束条件的不等式，然后分 析要求量的几何意义.
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2.表示图中阴影 部分的二元一次不 等式组是（ C ） 2x-y+2≤0 2x-y+2≥0 A. x-1≥0 B. x-1≥0 y≤2 0≤y≤2 2x-y+2≥0 2x-y+2≤0 C. x-1≤0 D. x-1≤0 0≤y≤2 0≤y≤2 容易看出0≤y≤2且x≤1，排除A、 B，再代（0，0）点检验.选C.
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直 线 AB 的 方 程 为 x+2y-1=0 ， BC 及 CA的直线方程分别为x-y+2=0和2x+y-5=0， 所求区域用不等式组表示为 x+2y-1≥0 x-y+2≥0
2x+y-5≤0，作平行于直线3x-2y=0的 直线系t=3x-2y（t为参数），即平移直 3 线y x ， 观 察 图 形 可 知 ： 当 直 线
解决简单线性规划问题的一般步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的 可行域.
4.可行解、可行域和最优解：满足 线性约束条件的解（x， y）叫可行解.由 所有可行解组成的集合叫做可行域.使目 标函数取得最大或最小值的可行解叫线 性规划问题的最优解.
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重点突破：作出不等式组所 表示的平面区域
例1 求不等式 x 1 y 1 2表
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3.给出平面区域（包括边界）如图所示 ，若使目标函数z=ax+y（a>0）取得最大值 的最优解有无穷多个，则a的值为（ B ）
A.14
B.35
C.4
D.53
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作出可行域，如图.当把z 看作常数时，它表示直线y=zx的斜 率，因此，当直线y=zx过点A时，z 最大；当直线y=zx过点B时，z最小.
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由
3x+5y-25=0 x=1
22 ，得（ ， ）， A1 5
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例4 变量x、y满足条件
x-4y+3≤0 x≥1 大值和最小值.
y x 可以看成过（x，y） y 3x+5y-25≤0 ，设 z ，求z的最 x
与（0，0）的直线的斜率.
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重点突破：注意所作平行线的斜率， 作图时体现所作直线与其他直线的位置关 系 例2 求z=2x+3y的最大值，使式中的x， y满足约束条件： x+2y≤24 3x+2y≤36 1≤x≤12 1≤y≤12 关键是作出满足线性约束 条件的可行域. 16
3 2 1 y x t 过 A（ 3， -1）时， 纵截距 2 2 1 t 最小.此时t最大， =3×3-2×（-1）=11； tmax 2
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3 1 当直线 y 2 x 2 t 经过点B（-1，1） 1 时，纵截距 t 最大，此时t有最小值 2
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作出直线l0 ：252x+160y=0，把直线l 向右上方平移，使其经过可行域上的整点， 且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见 当直线252x+160y=z经过点（2，5）时， 满足上述要求. 此时，z=252x+160y取得最小值，即 x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304. 答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆， 车队所用成本费最低.
4.点（-2，t）在直线2x-3y+6=0的上方，
则t的取值范围是
2 t＞ . 3
（0，0）点在直线下方，代入 2x-3y+6大于0，（-2，t）在2x-3y+6=0的
2 上方，则2×（-2）-3t+6<0，解得 t＞ 3 2 应填 t＞ . 3
.
易错点：在上方，误以为2×（2）-3t+6>0.
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速v n le/h（4≤v≤20）从A港出发到 距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀 速w km/h（30≤w≤100）自B港向距300 km的C市驶去.应该在同一天下午16至 21点间到达C市.设乘汽车、摩托艇去 所需要的时间分别是x h、y h.
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设每天派出甲型车x辆、乙 型车y辆，车队所花成本费为z元，那么 x+y≤9 60x+48y≥360 0≤x≤4 0≤y≤7 z=252x+160y，其中x， y∈N+， 作出不等式组所表示 的平面区域，即可行域， 如图.
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变式练习2 画出以A（3，-1）、B（1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域 （包括各边），写出该区域所表示的二元一 次不等式组，并求以该区域为可行域的目标 函数z=3x-2y的最大值和最小值. 如图，连接 点A、B、C，则直线 AB、BC、CA所围成的 区域为所求△ABC区域.
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（Ⅰ）作图表示满足上述条件的x、 y范围；
（Ⅱ）如果已知所需的经费 p=100+3（5-x）+2（8-y）（元），那 么v、w分别是多少时所花费用最少?此 时需花费多少元? 由p=100+3（5-x）+2（8y）可知影响花费的是3x+2y的取值范围.
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画出约束条件所 表示的区域：如图示 x=6 x+2y=24 ，解得 由 y=9 3x+2y=36 ，取点M（6，9）， 作 直 线 l1 ： 2x+3y-z=0 与2x+3y=0平行，当l1经过 点M（6，9）时，原点到l1 的距离最大，此时z最大， 最大值为z=2×6+3×9=39. 作平行线求最值，注意y与z的符号.
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x>0 5.不等式组 y>0 4x+3y<12 表示的平面区域内的整点（横坐 标和纵坐标都是整数的点）共有 3 个.
（1，1），（1，2），（2， 1），共3个.应填3.
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1.线性约束条件：不等式组是一组 变量x 、 y的约束条件，这组约束条件都 是关于x 、 y的一次不等式，故又称线性 约束条件.
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50 （Ⅰ）依题意得 v ， 300， w y x 4≤v≤20，30≤w≤100. 5 25 所以3≤x≤10， y . ① 2 2
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y 应在9至14个小时之间，即9≤x+y≤14. ② 因此，满足 ①②的点（x，y） 的存在范围是图 中阴影部分（包 括边界）.
3x+5y-25=0 由 ，得B（5，2）， x-4y+3=0 所以 zmax
22 5 22 ，z 2 . min 1 5 5
答：z的最大值和最小值分别为225、25. 本题可以看作是简单线性规划问 题与几何问题的交汇.
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1 所以面积 S 4 4 8. 2
画平面区域 时作图要尽量准确，要 注意边界.
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变式练习1 设二元一次不等式组
x+2y-19≥0 x-y+8≥0 所表示的平面区域为M， 2x+y-14≤0 求使函数y=ax（a＞0,a≠1）的图象过 区域M的取值范围.
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2
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1.不等式2x-y-4>0表示的平面 区域在直线2x-y-4=0的（ D ） A.左上方 B.右上方