【课堂设计】高二数学北师大版选修4-4课件2.2.2 圆的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
2
2
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
高二数学北师大版选修4-4课件：第二章 参数方程 本章整合
参数方程
������ = 5cos������, ������ = 5sin������
−
π 2
≤
������
≤
π 2
表示的曲线是什么?
提示:先将参数方程化为普通方程再判断曲线的形状.
解:化为普通方程是 x2+y2=25,
∵-π2 ≤θ≤π2 , ∴0≤x≤5,-5≤y≤5.
∴表示以(0,0)为圆心,5 为半径的右半圆.
平行线,求所作两直线交点 P 的轨迹方程.
提示:借助于圆、椭圆的参数方程求解.
专题一
专题二
网络构建
专题归纳
解:设 A
2 2
cos������,
2 sin������
2
,B(5cos θ,4sin θ)(θ 为离心角),则所求轨迹的
������ = 5cos������, ①
参数方程为 ������ = 2 sin������②
������2 ������2
������2 - ������2
=
1(������
>
0,������
>
0)的双曲线参数方程为
������ = ������tan������,
������
=
������
1 (������为参数) cos������
代入消元法
参数方程与普通方程的互化 加减消元法
利用代数式三角函数中的恒等式消元参数
专题一
专题二
网络构建
专题归纳
专题二 参数方程的应用
1.在圆锥曲线中常涉及曲线上某点到另外一点的距离问题,利用参数方程可以转化到三角函数、二次函数 等问题来求解,利用三角函数的有界性及参数的范围得最大值或最小值.
2018年高中数学北师大版选修4-4课件： 圆,椭圆,双曲线的参数方程
2.椭圆的参数方程
【做一做 2-1】
������2 ������2 椭圆 + =1 的参数方程为 9 4
.
解析:根据题意,a=3,b=2, ������ = 3cos������, 所以参数方程为 (φ 为参数). ������ = 2sin������ ������ = 3cos������, 答案: (φ 为参数) ������ = 2sin������
.
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Z 知识梳理
HISHISHULI
Z 重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D 典例透析
IANLITOUXI
S 随堂演练
UITANGYANLIAN
3 .双曲线的参数方程 双曲线
������2 ������ 2
− 2 =1(a>0,b>0)的参数方程是
������
(1-������ )r 1+������ 2������������ 1+������
2 2 2
1.圆的参数方程
,
������ =
(k 为参数).
参数 k 的几何意义是直线 AP 的斜率.
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������ = 2cos������, 【做一做 1-1】 直线 3x-4y-9=0 与圆 (θ 为参数)的位置关系 ������ = 2sin������ 是( ). A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 解析:由圆的参数方程知圆心坐标为(0,0),半径 r=2. 所以圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离 d=
高二数学北师大版选修4-4课件：2.2.2 圆的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程
思维脉络
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X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
1
2
3
1.圆的参数方程
圆的普通方 程
圆的参数方程
参数的几何意义
x2+y2=r2
x = r������������������ y = r������������������
∵0<θ<43π
,
π 3
<θ+π3
<
5π 3
,-1≤cos
������ + π
3
∴0≤x<32.
<
1 2
,
故△ABC 的重心 G 的轨迹方程是圆(x-1)2+y2=1 中 0≤x<32的一段圆
弧.
探究一
探究二
探究三
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探究四
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=2+sin 2α-cos 2α
=2+
2sin
2������− π
4
.
则当 α=kπ+38π(k∈Z)时,x2+2xy+3y2 取最大值为 2+ 2,当 α=kπ-π8(k∈
Z)时,x2+2xy+3y2 取最小值为 2- 2.
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2.2 圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
观察2
圆 心 为 O1 ( a , b )、 半 径 为 r的 圆 可 以 看 作 由 圆 心 为 原 点 O 、 半 径 为 r的 圆 平 移 得 到 , 设 圆 O1上 任 意 一 点 P ( x , y ) 是 圆 O 上 的 点 P1 ( x1 , y1 ) 平 移 得 到 的 , 由平移公式,有 x x1 a y y1 b
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1， 用参数方程表示为 x 3 cos y 2 sin 由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ） （1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2
=14+4 sinθ +6cosθ=14+2
sin(θ +ψ). 13
(其中tan ψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ，最小值为14- 2 13 。 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
2 sin（θ +
2
） 4 。
4 )
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 3 cos 2 sin 1 2
2
一段抛物线； （ 3） x y 4 , 双曲线；
【课堂设计】高二数学北师大版选修4-4课件2.2.1 直线的参数方程
为参数)
做一做3
经过点Q(1,2),P(3,7)的直线的参数方程为( )
A.
������ = ������
2+3������ , 1+������ 1+7������ (λ = 1+������
为参数,λ≠-1)
B.
������ = ������
1+3������ , 1+������ 2+7������ (λ = 1+������ 1−3������ , 1+������ 2−7������ (λ 1+������
1+3������ , 1+������ 2+7������ (λ 1+������
������������ ,则直线 ������������
为参数,λ≠-1).
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究一直线的参数方程与参数的几何意义
对于一般的参数方程 ,其中的参数可能不具有一定的几何意义 ,但是 直线参数方程中的参数有一定的几何意义.过定点 M0(x0,y0)、 倾斜角 ������ = ������0 + ������cos������, 为 α 的直线 l 的参数方程都可以写成 ������ = ������ + ������sin������ (t 为参数),其 0 中直线上的动点 M(x,y)到定点 M0 的距离等于参数 t 的绝对值.当点 M 在点 M0 的上方时,t>0;当点 M 在点 M0 的下方时,t<0;当点 M 与点 M0 重合时,t=0.很多与线段长度有关的问题,我们可以考虑应用直线 参数方程中 t 的几何意义去求解.
§2
高中数学 第二章 参数方程 2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程学案 北师大版选修44
2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程对应学生用书P24][自主学习]1．有向线段的数量如果P ，M 是l 上的两点，P 到M 的方向与直线的正方向一致，那么PM 取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段2．直线参数方程的两种形式(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．其中M(x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M的位移，可以用有(2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M 量比QM MP.①当λ>0时，M 为内分点；②当λ<0且λ≠－1时，M 为外分点； ③当λ＝0时，点M 与Q 重合．[合作探究]1．如何引入参数求过定点P (x 0，y 0)且与平面向量a ＝(a ，b )⎝⎛⎭⎪⎫或斜率为b a平行的直线的参数方程？提示：在直线l 上任取一点M (x ，y )，a，＝(x －x 0，y －y 0)，可得x －x 0a ＝y －y 0b ，设这个比值为t ，即：x －x 0a ＝y －y 0b＝t ，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t ∈R )．2．问题1中得到的参数方程中参数何时与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t ∈R )中参数t 具有相同的几何意义？提示：当a 2＋b 2＝1时．对应学生用书P24][例1] (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点．[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α得到直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点．[精解详析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两直线的交点为(3,4)．1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．已知直线过两点，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λλ为参数且λ≠－3．已知直线经过的定点与其方向向量a ＝(a ，b )(或斜率ba)，则其参数方程可为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋ta ，y ＝y 0＋tb(t 为参数)．1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．解：设直线AB 与l 的交点M (x ，y )，且AMMB＝λ，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝3＋λ1＋λ(λ为参数且λ≠－1)．①把①代入y ＝x 得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，所以点M 分AB 的比为1∶1.[例2] 写出经过点M 0(－2,3)，倾斜角为4的直线l 的参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标．[思路点拨] 本题考查直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的应用，特别是参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M 0相距为2的点对应的参数t ，然后代入参数方程求此点的坐标．[精解详析] 直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 3π4，y ＝3＋t sin 3π4(t 为参数)．①设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，M 点对应的参数为t ，则|M 0M |＝|t |＝2， ∴t ＝±2.将t 的值代入①式：当t ＝2时，M 点在M 0点上方，其坐标为(－2－2，3＋2)； 当t ＝－2时，M 点在M 0点下方，其坐标为(－2＋2，3－2)．1．过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，|t |P 与M 间的距离．2．过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t为参数)．当a2＋b 2＝1时，|t |a 2＋b 2≠1时，|t |的长度的1a 2＋b 2.2．过点A (1，－5)的直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t(t 为参数)，它与方程为x－y －23＝0的直线l 2相交于一点P ，求点A 与点P 之间的距离．解：将直线l 1的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)．⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1且32＞0，令t ′＝2t ，则将t ′代入上述方程得直线l 1的参数方程的标准式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ′，y ＝－5＋32t ′(t ′为参数)．代入x －y －23＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋32t ′－23＝0，解得t ′＝43， ∴|AP |＝|t ′|＝4 3.[例3] 已知直线l 过点P (1,0)，倾斜角为3，直线l 与椭圆3＋y 2＝1相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P ，M 两点间的距离； (2)求线段AB 的长|AB |.[思路点拨] 本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用，解答此题需要求出直线的形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的方程，然后利用参数的几何意义求解．[精解详析] (1)∵直线l 过点P (1,0)，倾斜角为π3，cos α＝12，sin α＝32.∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．①∵直线l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程 并整理得5t 2＋2t －4＝0，Δ＝4＋4×5×4>0.设这个二次方程的两个实根为t 1，t 2.由根与系数的关系得：t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45，由M 为AB 的中点，根据t 的几何意义， 得|PM |＝|t 1＋t 22|＝15. (2)|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝8425＝2215.1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解，比利用直线l 的普通方程来解决更为方便．2．在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0.假设该方程的解为t 1，t 2，对应的直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，那么由参数t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.(1)弦AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|. (2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22(解题时可以作为基本结论使用)．3．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.本课时常考查直线参数方程的确定与应用，同时考查运算、转化及求解能力，高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲线的参数方程交汇命题．[考题印证](湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系确定参数值的方法．[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意．[答案] 4对应学生用书P26]一、选择题1．已知直线l 过点A (1,5)，倾斜角为π3，P 是l t 为参数，则直线l 的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝5－32tB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－12t ，y ＝5＋32tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t解析：选D t t .则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋－t π3，y ＝5＋－tπ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t .故选D.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°解析：选C 法一：将原方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝tan 110°(x －3)，所以直线的倾斜角为110°.法二：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋－t ，y ＝－t ，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°，所以直线的倾斜角为110°. 3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：选C 设直线上的点Q (－2－2t,3＋2t )与点P (－2,3)的距离等于2， 即d ＝－2－2t ＋2＋＋2t －2＝ 2.解得t ＝±22.当t ＝22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×22＝－3，y ＝3＋2×22＝4，∴Q (－3,4)．当t ＝－22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝3＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，∴Q (－1,2)．综上，符合题意的点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．4．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )A.3＋1 B ．6(3＋1) C ．6＋ 3D ．63＋1解析：选B 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据参数t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)． 二、填空题5．过P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________． 解析：∵直线l 通过P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4－32t ，y ＝t 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝12t6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t的斜率为－32，∴－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin θ，y ＝－2＋t cos θ(t 为参数)，其中角θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则直线l 的倾斜角是________．解析：将原参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin θ，y ＋2＝t cos θ，消去参数t ，得y ＋2＝(x －1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π和倾斜角的范围可知直线l 的倾斜角为3π2－θ. 答案：3π2－θ8．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点A ，B ，若点P 的坐标为(2，－1)，则|PA |·|PB |＝________.解析：把直线的参数方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋12t 2＝1， 即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |＝12＋12＝2，|PB |＝22＋22＝2 2.∴|PA |·|PB |＝2×22＝4.答案：4三、解答题9．已知P 为半圆C ：x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)． 10．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程； (2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于点A 和点B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角α＝π6，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4， 整理，得t 2＋(3＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋(3＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．已知圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1，F 2是圆锥曲线的左、右焦点． (1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．解：(1)圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos30°，y ＝0＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t (t 为参数)． (2)法一：直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则根据正弦定理得ρsin60°＝1－θ， 即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3. 法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程：ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.。
21椭圆的参数方程课件(北师大选修4-4)
Y y D
解 : 设 A 1 0 c o s, 8 s i n
A D 2 0co s, A B 1 6sin S 2 01 6sinco s 1 6 0sin2
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
所 以 , 矩 形 A B C D 最 大 面 积 为 1 6 0
y A
B O M N
φ
x
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x rcos ( 为参数 ) 圆的参数方程: y rsin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 x 1 (2) (1) 4 9 16 x 2cos x co s ( 1 ) (2 ) y 3sin y 4sin
y x 练习3:已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 :椭 圆 参 数 方 程 设 点 P ( 3 c o s , 2 s i n ) SA 面 积 一 定 ,需 求 SA 最 大 即 可 B C B P 即 求 点 P 到 线 AB的 距 离 最 大 值
x2 y2 1上变化 ，求2x+3y的最 1、动点P(x,y)在曲线 9 4 大值和最小值 最大 6值 2 ,最 小 6 值 2 . 2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .
练习4
高中数学(北师大版)选修4-4 同步教学课件+练习+作业：第二讲 参数方程 2.2
数学 选修4-4
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第二讲 参数方程
解析：(1)由 C1 的参数方程yx＝＝21s＋in3αcos α，
得x－3 1＝cos α， 2y＝sin α，
平方消去 α 得曲
即 5sin 2φ－2sin φ－3＝0.
数学 选修4-4
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第二讲 参数方程
解得 sin φ＝1 或 sin φ＝－35. sin φ＝1 时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45. ∴P 的坐标为54，－34或－54，34.
数学 选修4-4
x＝2pt (4)抛物线x2＝－2py(p>0)的参数方程为____y_＝__－__2_p_t2(t为参数)，t∈(－∞，＋∞)．
数学 选修4-4
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第二讲 参数方程
课堂深度拓展
考点一 椭圆参数方程的应用
【例题 1】 已知 A，B 分别是椭圆3x62 ＋y92＝1 右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆 上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹的普通方程．
第二讲 参数方程
【变式 2】 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P，使 P 到直线 y＝x 的距离为 2.
解析：设
P
的坐标为co1s
φ，tan
φ，
由 P 到直线 x－y＝0 的距离为
1 2得cos
φ－tan 2
φ ＝
2
即co1s φ－csoins φφ＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得 1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)，
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
2
2
A
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2
2
把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin y 5sin
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
Hale Waihona Puke F2X A2 X所以, 矩形ABCD最大面积为 160
y x 练习3:已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABC 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
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∴直线与圆相交.
点(0,0)不在直线 3x-4y-9=0 上,故直线与圆相交但不过圆心. 答案:D
1
2
3
2.椭圆的参数方程
������2 (1)椭圆 2 ������
+
������ 2 =1(a>b>0)的参数方程是 ������ 2
������ = ������cos������, ������ = ������sin������ (φ 为参数).参数
1 1
(a 为参数),则该曲线是
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一圆的参数方程的应用
1.圆的参数方程是三角形式,这有利于进行三角代换,运用三角知识解决解析几何 中的范围、最值问题,使复杂的计算变得十分简洁.
2.当动点的轨迹由圆上的点来决定时,可借助于圆的参数方程表示出这一点的
坐标,从而建立动点与该点的联系,求得动点的参数方程.
=sin ������ + 3 ,
π
∴0≤x<2.
2 2
3
故△ABC 的重心 G 的轨迹方程是圆(x-1) +y =1 中 0≤x<2的一段圆 弧.
3
探究一
探究二
探究三
探究四
点评
利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型,是圆的参数方程的主要作 用.
探究一
探究二
典型例题1
点 A(3,0) 是圆 x2+y2=9 上的一个定点 ,在圆上另取两点 B,C,使∠ π BAC= 3 ,求△ ABC 的重心的轨迹.
思路分析:利用圆的参数方程设点.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:不妨设 B(3cos θ,3sin θ), C 3cos ������ +
2π 3
,3sin ������ +
2π 3
,0<θ< 3 .
4π
设重心为 G(x,y), 1 2π 则 x=3 3 + 3cos������ + 3cos ������ + 3 =1+cos ������ +
1 π 3
,
2π 3y=3 0 +3sin������ + 3sin ������ +
消去 θ 得(x-1)2+y2=1. 4π π π 5π π 1 ∵0<θ< 3 , 3 <θ+3 < 3 ,-1≤cos ������ + 3 < 2 ,
������ = ������cos������, ������ = ������ + ������cos������, (θ 为参数)和方程 (θ 为参数)若要表示一个完 ������ = ������sin������ ������ = ������ + ������sin������ 整的圆,θ 至少应满足 θ∈[ α,β],β-α≥2π. (3)方程
1
2
3
做一做1
������ = 2cos������, 直线 3x-4y-9=0 与圆 (θ 为参数)的位置关系是( ) ������ = 2sin������ A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 解析 : 将圆的参数方程 化为普通方程为 x2+y2=4, 则圆心到直线 |−9| 9 3x-4y-9=0 的距离 d= 2 2 = <2,
φ 的几何意义是以原点为圆心,a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的 连线与 x 轴正半轴的夹角. (2) 中 心 在 点 C(x0,y0), 长 轴 平 行 于 x 轴 的 椭 圆 的 参 数 方 程 是 ������ = ������0 + ������cos������, ������ = ������0 + ������sin������ (φ 为参数).参数 φ 的几何意义是以 C 为圆心,a 为半 径所作圆上一点 P 和椭圆中心 C 的连线 CP 与 x 轴正半轴的夹角.
1
2
3
做一做2
������ = 3 2cos������, 椭圆 (φ 为参数)的焦距是 ������ = 2 3sin������ 解析:根据参数方程,可知 a=3 2,b=2 3.
.
∴c= (3 2 )2 −(2 3 )2 = 18−12 = 6, ∴焦距为 2c=2 6.
答案:2 6
1
2
3
1
2
3
温馨提示
关于圆的参数方程说明以下几点:
(1)由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.有些参数方程不能直接看出是否 表示圆,这时可考虑通过消去参数转化为普通方程(对于其他曲线必要时也可类似 考虑). (2)一般地,同一条曲线可以选取不同的变数为参数,因此得到的参数方程也可以 有不同的形式.形式不同的参数方程,它们表示的曲线却可以是相同的.在建立曲线 的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围.
2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程
学习目标 1.能依据圆锥曲线的几何性质,选择适当的 参数,写出它们的参数方程. 2.能利用圆锥曲线的参数方程来解决简单的实际 问题.
思维脉络
1
2
3
1.圆的参数方程 圆的普通方 圆的参数方程 参数的几何意义 程 x = r������������������ α, y = r������������������ α OP 与 x 轴正方向的夹角为 α(O 为坐标原点,P 为圆 x2+y2=r2 上任意一点) (α 为参数) x = a + r������������������ α, OP 与 x 轴正方向的夹角为 α(P 为圆上任意一点,O (x-a)2+ y = b + r ������ ������ ������ α (y-b)2=r2 为圆心) (α 为参数) (1-k2 )r x= , 1 + k2 A(-r,0),P 为圆上任意不同于 A 的一点,k 是直线 AP x2+y2=r2 2kr 的斜率 y= 2 1+ k (k 为参数)
3.双曲线的参数方程 双曲线������ 2 − ������ 2 =1(a>0,b>0)的参数方程是
������2 ������ 2
������ = cos ������ , ������ = ������tan������
1 1
������
(φ 为参数).
做一做 3
已知某条曲线的参数方程为 ( ) A.线段 B.圆 C.双曲线 D.圆的一部分 答案:C ������ = 2 ������ + ������ , ������ = 2 ������− ������