八（下）数学：证明平行四边形的常用方法，总结全面，收藏复习

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北师大版八年级数学下册判定平行四边形的五种常用方法

5．(中考·哈尔滨)如图①，在▱ ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，EF 过点 O，且 EF 与 AD，BC 分别相交于点 E，F， GH 过点 O，且 GH 与 AB，CD 分别相交于点 G，H，连接 EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形 EGFH 是平行四边形；
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
3．(中考·青海)如图，在▱ ABCD 中，点 E，F 在对角线 AC 上，且 AE＝CF.求证：
(2)四边形 DEBF 是平行四边形．
证明：由(1)，可知△ADE≌△CBF， ∴∠ADE＝∠CBF. ∵∠DEF＝∠DAE＋∠ADE，∠BFE＝∠BCF＋∠CBF， ∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE＝BF， ∴四边形 DEBF 是平行四边形．
4．(2018·巴中)如图，在▱ ABCD 中，过 B 点作 BM⊥AC 于点 E，交 CD 于点 M，过 D 点作 DN⊥AC 于点 F，交 AB 于点 N.
(2)已知 AF＝12，EM＝5，求 AN 的长．解：∵四边形 BMDN 是平行四边形， ∴DM＝BN. ∵CD＝AB，CD∥AB，∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF. ∵∠CEM＝∠AFN＝90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN＝EM＝5.
第六章平行四边形
阶段方法专训判定平行四边形的五种常用方法
1．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF 都是等边三角形．求证：四边形 ADEF 是平行四边形．
证明：∵△ABD，△BCE 都是等边三角形， ∴BA＝BD，BC＝BE，∠DBA＝∠EBC＝60°. ∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA.∴∠ABC＝∠DBE. ∴△ABC≌△DBE(SAS)． ∴AC＝DE.
解：与四边形 AGHD 面积相等的平行四边形有▱ GBCH，▱ ABFE，

平行四边形四种证明方式

平行四边形的性质有很多种证明方式，下面列举了四种常见的证明方式：
1. 同底异边平行四边形性质证明：
性质：若平行四边形的一对对边分别平行，则该平行四边形是平行四边形。

证明：利用平行线的性质，通过对应角相等或同位角相等的方式证明。

2. 同位角平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的同位角相等。

证明：利用平行线的同位角性质，通过角对应或同位角相等的方式证明。

3. 对角线分割平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的对角线互相等分，即平行四边形的一条对角线把它分成两个全等的三角形。

证明：利用三角形的全等条件，通过SAS、ASA等证明两个三角形全等。

4. 边角对应平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的对应边成比例，对应角相等。

证明：利用对应角相等和平行线的性质，通过相似三角形的性质证明对应边成比例。

这些证明方式可以根据具体的平行四边形问题选择合适的方法。

在证明中，要善于利用平行线的性质和三角形的性质，灵活应用各种角关系和边关系。

(完整版)判定平行四边形的五种方法

鉴识平行四边形的基本方法怎样鉴识一个四边形是平行四边形呢 ?下面举例予以说明 .一、运用“两条对角线互相均分的四边形是平行四边形”判别例 1 如图 1,在平行四边形 ABCD 中,E、F 在对角线 AC 上,A D 且 AE =CF ,试说明四边形 DEBF 是平行四边形 .E解析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相均分的四边形是平行四边形”进行鉴识 .为此 ,需连接 BD.解：连接 BD 交 AC 于点 O.OF B C图 1由于四边形 ABCD 是平行四边形 ,因此 AO =CO,BO=DO . 又 AE= CF,因此 AO -AE=CO -CF ,即 EO= FO .因此四边形 DEBF 是平行四边形 .二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”鉴识例 2 如图 2，是由九根完满同样的小木棒搭成的图形，请A F E你指出图中所有的平行四边形，并说明原由 .解析:设每根木棒的长为 1 个单位长度，则图中各四边形的B C D边长即可求得，故应试虑运用“两组对边分别相等的四边形是平图 2行四边形”进行鉴识 .解：设每根木棒的长为 1 个单位长度，则AF = BC=1, AB= FC=1,因此四边形 ABCF 是平行四边形 .同样可知四边形 FCDE 、四边形 ACDF 都是平行四四边形 .由于 AE=DB=2, AB=DE=1,因此四边形 ABDE 也是平行四边形.D C 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判F别E 例 3 如图 3，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两A B点，AE=CF,DF =BE,DF ∥BE，试说明四边形 ABCD 是平行四边图 3形.解析: 题目给出的条件都不能够直接鉴识四边形 ABCD 是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ ADF ≌△CBE，由此即可获得鉴识平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件 .解：由于 DF∥BE，因此∠ AFD =∠CEB .由于 AE =CF,因此 AE+ EF= CF+ EF ，即 AF= CE .又 DF = BE, 因此△ ADF ≌△CBE，因此 AD=BC，∠DAF =∠BCE，因此 AD ∥BC .因此四边形 ABCD 是平行四边形 .1四、运用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”鉴识例 4 如图 4，在平行四边形 ABCD 中，∠ DAB 、∠BCD 的均分线分别交 BC 、AD 边于点 E 、F ，则四边形 AECF 是平行四边形吗？为什么？AF1 3D解析：由平行四边形的性质易得 AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可获得平行线，故本题应试2B E C虑运用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”进行鉴识 . 图 4解：四边形 AECF 是平行四边形 .原由：由于四边形 ABCD 是平行四边形，因此 AD ∥BC ， ∠DAB =∠BCD ，因此 AF ∥EC .又由于∠ 1= 1 2∠DAB ，∠2= 1 2∠BCD ，因此∠ 1=∠2.由于 AD ∥BC ，因此∠ 2=∠3，因此∠ 1=∠3，因此 AE ∥CF. 因此四边形 AECF 是平行四边形 .判断平行四边形的五种方法平行四边形的判断方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相均分；（5）证两组对角分别相等。

北师大版八年级下数学第六章平行四边形6.2平行四边形的判定

（二）平行四边形的判定1、平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；边两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；角两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形；2、平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离。

“平行线间距离处处相等”★对应训练知识点一、平行四边形的判定1、能识别四边形ABCD是平行四边形的题设是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形A. ∠∠B. ∠∠C. D.3、如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点且，在① ；② ；③ ；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ ；⑥ 这些结论中正确的是______．4、已知：如图，在▱BEDF 中，点A 、C 在对角线EF 所在的直线上，且求证：四边形ABCD 是平行四边形．5、如图，D 是的边AB 上一点，，DE 交AC 于点F ，若．求证：四边形ADCE 是平行四边形；若，，求四边形ADCE 的面积．6、如图，□ABCD 中，BM 垂直AC 于M,DN 垂直AC 于N, 求证：四边形BMDN 是平行四边形。

CDNM7、在四边形ABCD 中，AB//CD,对角线AC 、BD 交于点O ，EF 过O 交AB 于E ，交CD 于F ，且OE=OF 。

求证，ABCD 是平行四边形。

8、如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，直线EF 经过点O ，分别交DA ，BC 的延长线于点E ，F ，连接BE ，DF 。

求证：（1）AE=CF ；（2）四边形BEDF 是平行四边形。

八年级数学下册第六章重点知识点归纳总结

八年级数学下册第六章重点知识点归纳总结八年级数学下册第六章重点知识点归纳总结第六章平行四边形1．正确理解定义〔1〕定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

〔2〕表示方法：用“〞表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作，读作“平行四边形ABCD〞．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．〔1〕角：平行四边形的邻角互补，对角相等；〔2〕边：平行四边形两组对边分别平行且相等；〔3〕对角线：平行四边形的对角线相互平分；〔4〕面积：①；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．※3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线相互平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形4.※几种特别四边形的有关概念〔1〕矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的根底，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．〔2〕菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的根底，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．〔3〕正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特别的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．〔4〕梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．〔5〕等腰梯形：是一种特别的梯形，它是两腰相等的梯形，特别梯形还有直角梯形．※5．几种特别四边形的有关性质〔1〕矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线相互平分且相等；④对称性：轴对称图形〔对边中点连线所在直线，2条〕．〔2〕菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线相互垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形〔对角线所在直线，2条〕．〔3〕正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线相互垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形〔4条〕．〔4〕等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；②角：同一底边上的两个角相等；对角互补③对角线：对角线相等；④对称性：轴对称图形〔上下底中点所在直线〕．※6．几种特别四边形的判定方法〔1〕矩形的判定：满足以下条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等〔2〕菱形的判定：满足以下条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线相互垂直的平行四边形；③四条边都相等．〔3〕正方形的判定：满足以下条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线相互垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；〔4〕等腰梯形的判定：满足以下条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特别四边形的常用说理方法与解题思路分析〔1〕识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．〔2〕识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线相互垂直．③说明四边形ABCD的四条相等．〔3〕识别正方形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线相互垂直且相等．③先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．〔4〕识别等腰梯形的常用方法①先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等．②先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．③先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等．.5．几种特别四边形的面积问题①设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．②设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；假设菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=．③设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=a2；假设正方形的对角线的长为a，则S正方形=．④设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=。

证明是平行四边形的方法

证明是平行四边形的方法
要证明一个四边形是平行四边形，可以通过以下几种方法：
1. 证明对边平行：如果四边形的对边都是平行的，那么它就是一个平行四边形。

可以使用向量、几何转化或相交线所成的对应角来证明对边平行。

2. 证明对角线等长和平分：如果四边形的对角线相等长并且平分彼此，那么它就是一个平行四边形。

可以使用距离公式和线段等长或直角来证明对角线等长和平分。

3. 证明对角线互相垂直：如果四边形的对角线互相垂直，那么它就是一个平行四边形。

可以使用向量、几何转化或角度的平分线来证明对角线互相垂直。

4. 证明边的比例：如果四边形的对边之间的长度比例相等，那么它就是一个平行四边形。

可以使用距离公式和线段比例来证明边的比例。

请注意，在进行证明时，需要使用较为严谨的逻辑推理和数学语言，并保证所使用的前提条件和定理的正确性。

初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题

平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的外角和定理：。

推论：多边形的内角和定理：多边形的外角和定理：。

2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n ，则多边形的对角线条数为___________。

二、平行四边形1．定义： 2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：（2）边：（3）对角线：（4）面积：①_________________； ②平行四边形的对角线将四边形分成_____个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法三、矩形1. 矩形定义：2. 矩形性质3. 矩形的判定：4. 矩形的面积四、菱形 1. 菱形定义：2. 菱形性质3. 菱形的判定：．4. 菱形的面积五、正方形1. 正方形定义：它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形。

2. 正方形性质3. 正方形的判定：4. 正方形的面积平行四边形练习2．一只因损坏而倾斜的椅子,从背后看到的形状如图,其中两组对边的平行关系没有发生变化,若∠1=75°,则∠2的大小是（）A ．75º B．115º C．65º D．105ºA BDO C C DB A O 12(第2题图) 第3题图第4题图B (第7题图)3．如图3，在□ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC=2，▱ABCD 的周长是在14，则DM 等于）是（）6．过□ABCD 对角线交点O 作直线m ，分别交直线AB 于点E ，交直线CD 于点F ，若AB=4，AE=6，则DF 的长是．7. 如图7，□ABCD 中，∠ABC=60°，E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC ，DF=2，则EF= ．8. 在□ABCD 中，AD=BD ，BE 是AD 边上的高，∠EBD=20°，则∠A 的度数为．9. 在□ABCD 中，AB ＜BC ，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC 沿AC 翻折至△AB ′C ，使点B ′落在□ABCD 所在的平面内，连接B ′D ．若△AB ′D 是直角三角形，则BC 的长为．10．如图，已知：□ABCD 中，∠BCD 的平分线CE 交AD 于点E ，∠ABC 的平分线BG 交CE 于点F ，交AD 于点G ．求证：AE=DG ．11．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE=∠BAD ，AE ⊥AC ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长．C ． 36D ． 3613．如图，将矩形纸带ABCD ，沿EF 折叠后，C 、D 两点分别落在C ′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，第12题图第14题图第5题图第13题图第15题图A B C DEF G14．如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则的16．如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=2AD ，如果对角线AC 与BD 相交于点O ，△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作S 1、S 2、S 3、S 4，那么下列结论中，不正确的是（）A ．S 1=S 3B ．S 2=2S 4C ．S 2=2S 1 D．S 1•S 3=S 2•S 417．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE=1，F 为AB 上一点，AF=2，P 为AC 上一点，则PF+PE 的最小值为．18．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为或秒时．△ABP 和△DCE 全等．19．已知，如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，DF∥BE，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD 为菱形．20．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AB=CB ，AD=CD ．对角线AC ，BD 相交于点O ，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E ，F ．求证OE=OF ．21. 如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，第17题图第16题图第18题图然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．22. 如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．。

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八（下）数学：证明平行四边形的常用方法，总结全面，收藏
复习
同学们好，在八年级数学下册第六单元，我们学习了平行四边形。

这一单元的知识，无论是在平时的考试中，还是在中考里，都属于重点内容之一。

特别是平行四边形的性质与判定，一定要作为重中之重去对待。

接下来老师就带大家一起来对这一块的知识进行一下复习：
1.平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行且相等；平行四边形两组对角分别相等；平行四边形两条对角线互相平分
2.平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。

接下来我们就一起来看看具体证明平行四边形的方法吧：
方法一：利用两组对边分别平行判定平行四边形
1
第1题相对比较基础，由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC,AD=BC,则BF//DE,再结合BF=DE,可判定四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形性质可得BE//DF,即ME//FN。

接着由BF=DE,AD=BC,可证AE=CF,结合AE//CF,从而可证四边形AECF是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可得FM//EN,从而可证四边形FMEN是平行四边形。

方法二：利用两组对边分别相等判定平行四边形
2
方法三：利用一组对边平行且相等来判定平行四边形
3
方法四：利用对角线互相平分判定平行四边形
4
以上就是老师为大家分享的平行四边形判定常用的四种方法。

要证明一个四边形是平行四边形，同学们一定先要将判定方法熟记于心，
才能根据具体的题目条件判断出使用的证明方法。

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