鞍山市第一中学2024年全国新课标II卷高考数学试题最后一模

鞍山市第一中学2024年全国新课标II 卷高考数学试题最后一模注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =( )A ．{}32x x -<< B ．{}22x x -<< C ．{}62x x -<<D ．{}12x x -<<2．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．1283．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-4．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ） A ．12-B ．12C ．-8D ．85．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．32C ．23D ．337．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><8．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）A ．1eB ．1eC ．12eD ．21e 9．若双曲线22214x y b -=的离心率72e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．23B ．2C ．3D ．110．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．63C ．33D ．2311．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}|()0B x f x '=≤，则AB =（ ）A ．[-1,0]B ．[-1,2]C ．[0,1]D ．(,1][2,)-∞⋃+∞ 12．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知0.32log 0.2,log 0.2a b ==，则+a b ________.ab (填“>”或“=”或“<”).14．在如图所示的三角形数阵中，用().i j a i j ≥表示第i 行第j 个数()*,i j N ∈，已知()*.1i 1112i a i N -=-∈，且当3i ≥时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即(). 1.1 1.21i j i j i j a a a j i ---=+≤≤-，若.22019m a >，则正整数m 的最小值为______.1111223314477778448152********82816111122n n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-15．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412cos ,cos 513B C ==，1b =，则a =__________.16．若6260126(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则012345623456a a a a a a a ++++++=________.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:6OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.18．（12分）已知函数()e e xx f x ax -=++，a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()()()12122e exx f x f x a -<--.19．（12分）在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知tan ,tan ,tan A B C 成等差数列，cos ,cos ,cos A C B 成等比数列．（1）求A 的值；（2）若ABC 的面积为1,求c 的值． 20．（12分）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .21．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功 晋级失败 合计 男 16 女50（1）求图中a 的值；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．（参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）22．（10分）已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,二阶矩阵B 满足1001AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵B ;（2）求矩阵B 的特征值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【题目详解】由题意知,集合}{16A x x =-<<,}{2B x x =<, 由集合的交运算可得,}{12A B x x ⋂=-<<. 故选:D 【题目点拨】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题. 2、B 【解题分析】列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【题目详解】第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【题目点拨】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 3、C 【解题分析】 在等比数列中，由11n n a a S qq-⋅=-即可表示之间的关系.【题目详解】由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n nn n a a q a a q S -⋅-===---故选：C 【题目点拨】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 4、B 【解题分析】先求出向量a b +,a b -的坐标，然后由||||a b a b +=-可求出参数m 的值. 【题目详解】由向量(1,4)a =，(2,)b m =-， 则()1,4a b m +=-+，()3,4a b m -=- (2||1+a b +=(2||3+a b -=又||||a b a b +=-，则12m =. 故选：B【题目点拨】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题. 5、D 【解题分析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【题目详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <；又(2)(0)f f -=()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立；22(3)(2)250t t t +-+=+>，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ． 【题目点拨】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6、D 【解题分析】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，设1PF m =，2PF n =，可得2m n a +=，由切线的性质：切线长相等推得12m n =，解得m 、n ，并设1QF t =，求得t 的值，推得2PF Q ∆为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值． 【题目详解】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，M 为切点，且为2PF 中点，12PF PM MF ∴==，设1PF m =，2PF n =，则12m n =，且有2m n a +=，解得23a m =，43an =，设1QF t =，22QF a t =-，设圆I 切2QF 于点N ，则2223aNF MF ==，1QN QF t ==， 由22223a a t QF QN NF t -==+=+，解得23at =，43a PQ m t ∴=+=，2243aPF QF ==，所以2PF Q ∆为等边三角形，所以，3423ac =，解得3c a =因此，该椭圆的离心率为33. 故选： D. 【题目点拨】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题． 7、D 【解题分析】 由题意可得955a a a =，从而得到53a =，再由53a =就可以得出其它各项的值，进而判断出9S 的范围． 【题目详解】解：i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，29a a ∴+或者29a a 或者92a a 是该数列中的项， 又数列{}n a 是递增数列，1239a a a a ∴<<<⋯<， 299a a a ∴+>，299a a a >，只有92a a 是该数列中的项， 同理可以得到93a a ，94a a ，..，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<⋯<<，∴955a a a =，53a ∴=或53a =-（舍)，63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =，同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7483a =，94912914133613S a a a -∴=++⋯+=<-，故选：D ． 【题目点拨】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题． 8、A 【解题分析】画出分段函数图像，可得121x x =，由于()()122222ln f x f x x x x x ==，构造函数()ln xg x x=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解. 【题目详解】由于22123012x x e x e <<<<<<+，1212ln ln 1x x x x -=⇒=,由于()()122222ln f x f x x x x x ==， 令()ln xg x x=，()21x e ∈，，()()21ln xg x g x x=⇒'-在()1e ，↗，()2e e ，↘ 故()1()max g x g e e ==.故选：A 【题目点拨】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 9、C 【解题分析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【题目详解】双曲线22214x y b -=的离心率e =则2a =，2c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为2y x =±20y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d ==，故选：C. 【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题. 10、A 【解题分析】首先找出PC 与面PAB 所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值. 【题目详解】由题知ABC 是等腰直角三角形且90ACB ∠=︒，ABP △是等边三角形，设AB 中点为O ，连接PO ，CO ，可知6PO =，22CO =，同时易知AB PO ⊥，AB CO ⊥，所以AB ⊥面POC ，故POC ∠即为PC 与面PAB 所成角，有22222cos 2PO CO PC POC PO CO +-∠==⋅， 故1sin 1cos 3POC POC ∠=-∠=. 故选：A. 【题目点拨】本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题. 11、C 【解题分析】分别求解不等式得到集合,A B ,再利用集合的交集定义求解即可. 【题目详解】2{|20}{|02}A x x x x x =-≤=≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤， ∴{|01}AB x x =≤≤．故选C ． 【题目点拨】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易. 12、D 【解题分析】利用复数的运算法则即可化简得出结果 【题目详解】故选 【题目点拨】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。