空间向量及其线性运算-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件
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·
8
·
情
3.空间向量的线性运算
课
景
堂
导 学
(1)向量的加法、减法
小 结
·
探
提
新 知
空间向量的
加法 O→B＝_O→_A_＋__O_→_C＝a＋b
素 养
合 作
运算
减法 C→A＝_O→_A_－__O→_C_＝a－b
课
探
时
究
①交换律：a＋b＝__b_＋__a__
分 层
释 疑 难
加法运算律 ②结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_) _
究
分
层
释 关，④不正确．综上可知只有①正确，故选 B.]
作
疑
业
难
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·
30
·
空间向量的线性运算
情
课
景 导
【例 2】
(1)如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列各
堂 小
学
结
探 新 知
式中运①算(A→B结＋果B→为C)向＋量C→CA→1C；1的有(
)
·
提 素 养
合 作 探
②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1；
课 时 分
层
释 疑
④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p.
作 业
难
其中正确命题的序号是________．
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24
·
情 景
(2)如图所示，在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中，顶点连接的向量
课 堂
导
小
学 探
中 ， 与 向 量 A→A′ 相 等 的 向 量 有 ________ ； 与 向 量 A→′B′ 相 反 的 向 量 有
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·
·
13
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的
情
课
景 导
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
堂 小
学
结
·
探
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 提
新
素
知
养
直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，
探
点F，连接AF，则有
A→B
＋
1 2
·
小 结
提
新
知 －32D→E－A→D化简的结果为________．
合 作 探 究
释 疑 难
素
B→C＝A→F，32D→E＋A→D＝A→D＋ 养
课
D→F
＝
A→F
，故
A→B
＋
1 2
B→C
－
3 2
时 分 层
作
D→E－A→D＝0.]
业
·
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22
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
课 时
究 释
③(A→B＋B→B1)＋B→1C1；
分 层 作
疑
难
④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1.
业
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
返 首
页
·
31
·
情
课
景
堂
导
小
学
(2)已知正四棱锥 P-ABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 结
·
探
提
新 知
的中点，求下列各式中 x，y，z 的值．
作
疑 难
当 λ＝0 时，λa＝_0_；λa 的长度是 a 的长度的_|λ_|_倍．
业
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10
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
②运算律
素
知
养
a．结合律：λ(μa)＝_μ_(_λ_a_) ＝_(_λ_μ_)a_.
合
作 探
b．分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a__，λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b___.
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
23
·
情
空间向量的有关概念
课
景
堂
导
【例 1】 (1)给出下列命题：
小
学
结
·
探 新
①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b；
提 素
知
养
②若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|＝|b|；
合
作 探 究
③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A→C＝A→1C1；
堂 小
学
结
·
探 ________.
提
新
素
知
养
合 作 探
－53
[因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| 课
时
究
释 疑
＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
分 层 作 业
难
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·
21
·
情
4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD
0 [延长DE交边BC于 课
景
堂
导 学
是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C
合
作 探
存在实数 λ，使得O→P＝λa.
究
课 时 分
层
释
作
疑
业
难
·
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14
·
情 景
5．共面向量
课 堂
导
小
学
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
·
结
探
提
新 知
(2)共面向量定理：若两个向量
a，b
不共线，则向量
p
与向量
a，
素 养
合 b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
作
课
探 究
时
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x， 分
层
释 疑 难
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
作 业
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·
15
·
情
课
景
堂
导
小
学 探
思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？
·
结 提
新
素
知
(2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足O→P＝13O→A 养
合
作
课
探 究
＋13O→B＋13O→C，则点 P 与点 A，B，C 是否共面？
时 分 层
释
作
疑
业
难
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·
16
·
情 景
[提示]
(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成
课 堂
导
小
学 为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
提
新
素
知
养
合
对于③，根据相等向量的定义知，A→C＝A→1C1，故③正确；
作
课
探
对于④，根据相等向量的定义知正确．
时
究
分
层
释 疑
(2)根据相等向量的定义知，与向量A→A′相等的向量有B→B′，C→C′，
作 业
难
·
D→D′.与向量A→′B′相反的向量有B→′A′，B→A，C→D，C→′D′.]
返
首
页
26
导 学
1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( )
小 结
·
探
提
新
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
素
知
养
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
合
作
课
探
③若 a≠b，则|a|≠|b|；
究
时 分
层
释
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
作
疑
业
难
A．0
B．1
C．2
D．3
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29
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·
结
探
提
新
素
知
(2)由O→P＝13O→A＋13O→B＋13O→C得O→P－O→A＝13(O→B－O→A)＋13(O→C－ 养
合
作 探 究
O→A)
课 时 分
层
释 疑 难
即A→P＝13A→B＋13A→C，因此点 P 与点 A，B，C 共面．
作 业
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·
·
·
情
景
导
学
探
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
·
27
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
·
提
新
素
知
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相 养
合 作
等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,
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人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 空间向量及其线性运算
能否用向量a,b表示?怎样表示?
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
1.1.1空间向量及其线性运算-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件
使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2]成立.
2 = ,
-1 = 2( + 1),
1
∴k=− 2.
∴
题型三、向量的共线问题
【例 3】 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,CD
的中点,请判断向量 与
是否共线?
解:如图,取AC的中点记为G,连接EG,FG,
1
位置关系？反过来呢？
结论：可以发现，如果两个向量a, b不共线，那么向量p与向量a, b共面的
充要条件是存在唯一的有序实数对（x, y），使p xa yb
做一做：设 e1 , e2是空间两个不共线的向 量，若 AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 ,
AD 3e1 3e2，求证 A, B, C , D四点共面。
向量的加减法以及数乘运算：
OB
（1）a b OA AB ___
(2)a b OA OC _____
CA
PQ
(3)当 0时，a OA ____
MN
当 0时，a OA ______
当 0时，a _____
0
【做一做 1】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中
2
+
).
又
=
而
2
=
, = −
3
所以
=
=
1
(
3
+
=
,
+
2 1
+ × (
3 2
+
+
2
3
=
+
2 = ,
-1 = 2( + 1),
1
∴k=− 2.
∴
题型三、向量的共线问题
【例 3】 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,CD
的中点,请判断向量 与
是否共线?
解:如图,取AC的中点记为G,连接EG,FG,
1
位置关系？反过来呢？
结论：可以发现，如果两个向量a, b不共线，那么向量p与向量a, b共面的
充要条件是存在唯一的有序实数对（x, y），使p xa yb
做一做：设 e1 , e2是空间两个不共线的向 量，若 AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 ,
AD 3e1 3e2，求证 A, B, C , D四点共面。
向量的加减法以及数乘运算：
OB
（1）a b OA AB ___
(2)a b OA OC _____
CA
PQ
(3)当 0时，a OA ____
MN
当 0时，a OA ______
当 0时，a _____
0
【做一做 1】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中
2
+
).
又
=
而
2
=
, = −
3
所以
=
=
1
(
3
+
=
,
+
2 1
+ × (
3 2
+
+
2
3
=
+
数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算共24张ppt
0
单位向量
模为__的向量
1
―→
|a|＝1 或| AB |＝1
相反
相等
与向量 a 长度______而方向______的
相反向量
－a
向量称为 a 的相反向量
相等向量
相同
相等
方向______且模______的向量
共线向量或平 表示若干空间向量的有向线段所在的
行向量
直线互相平行或重合
―→ ―→
a＝b 或 AB ＝ CD
的两个向量．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量与任意向量平行．
(
)
―→
―→
(2)向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等．
(
)
(3)空间向量 a 用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取．
(
答案：(1)√
(2)√
(3)√
)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
个;单位向量有
个;模为√5的向量有
.
解析:(1)①错误.两个空间向量相等,其模相等且方向相同,但与起点和终
点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.
③正确.由正方体的定义知, 与1 1 模相等,方向相同,故 与1 1 是相
等向量.
④错误.由 = ,知| |=| |,且向量 与同向,但点 A 与 C,点 B 与
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件
• 2.直观想象：向量运算的几何意义；
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
高二上学期数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件
高中数学
选择性必修第一册
RJ·A
问题1
空间向量是平面向量的推广。
我们已经学过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给
出空间向量的概念和线性表示吗？
高中数学
选择性必修第一册
RJ·A
新知讲解:
一 空间向量的概念、表示
1.空间向量的概念：在空间，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量.
2.空间向量的长度或模：向量的 大小 .
→ →
4.向量AB与AC是共线向量，则 A，B，C 三点必在一条直线上.( √ )
高中数学
选择性必修第一册
RJ·A
四 空间向量的运算律
1.运算律
交换律：＋＝＋；
结合律：＋(＋)＝(＋)＋，λ(μ)＝(λμ)；
分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ.
高中数学
而不是一个数.
（2）混淆向量共线与线段共线、点共线.
高中数学
选择性必修第一册
RJ·A
典例剖析
例1
(多选题)下列说法中正确的是（
）
A.若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C.空间向量的加法满足结合律
D.任一向量与它的相反向量不相等
解析
||＝||，说明与模相等，但方向不确定；对于的相反向量＝－，故||＝||，从而B正确；
→ →
→
→
→
→
→
→
→ →
共面. 由OP＝OA＋xAB＋yAC，可得AP＝xAB＋yAC，所以向量AP与向量AB，AC共面，
故点 P 与点 A，B，C 共面.
高中数学
选择性必修第一册
人教A版高中数学选择性必修第一册第1章1-1-1空间向量及其线性运算课件
考向2 共面问题 【例4】 如图所示，已知P是平行四边形 ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC， PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC， △PCD，△PDA的重心．求证：E，F，G， H四点共面．
[证明] 如图，分别连接PE，PF，PG，PH并 延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R， 连接EG，MQ，EF，EH． ∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心， ∴M，N，Q，R分别为所在边的中点．
知识点2 空间向量的线性运算及其运算律
加法
空间向量的 线性运算
减法 数乘
交换律：a＋b＝b＋a；
运算律 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a__，λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b__
知识点3 共线向量与共面向量
(1)
条件 a∥b的充要条件是存在 是存在唯一的有序实数对(x，y)，
实数λ，使_a_＝__λ_b_
使_p_＝__x_a_＋__y_b_
(2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，与向量a_平__行_的非零向量称为直线l的方向 向量．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∥b，b∥c，则a∥c． ( )
×
提示：当b＝0时，a∥c不一定成立．
(2)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb．( )
×
提示：当a是非零向量，b＝0时，不存在实数λ，使得a＝λb．
(3)任意两个空间向量必共面 ，任意三个空间向量也一定共面 ．
()
×
提示：任意两个空间向量必共面，但任意三个空间向量不一定共面．
× ×
①④
①④ [对于②，其终点构成一个球面，所以②是假命题；对于③空 间向量可以用一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以 ③是假命题；易知点相同，终点也相同时，这两个向量必相 等，但两个相等向量不一定起点相同，终点也相同，故①错误； 要保证两向量相等，则需模相等且方向相同，要保证两向量是相反 向量，则需模相等且方向相反，但②中仅给出向量a与向量b的模相 等，所以这两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错误； 命题③是相等向量的传递性，显然正确；
人教A版选择性必修第一册1.1空间向量及其运算课件
当 λ＝0 时，λa＝0．
a
O
A
a
P
Q
M
λa(λ＞0)
λa(λ＜0)
N
？
想一想，向量线性运算的结
果，与向量起点的选择有关系吗？
一、知识讲解
2．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算满足以下运
算律（其中 λ，μ∈R）：
？
你能证明这些运算律吗？证
交换律：a＋b＝b＋a；
明结合律时，与证明平面向量的
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，
如果表示若干空间向量的有向线段所在
b，以任意点 O 为起点，作向
的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做
量＝a，＝b，我们就可
共 线 向 量 （ colliner vectors ） 或 平 行 向 量
以把它们平移到同一个平面 α
（parallel vectors）．我们规定：零向量与任
内．
意向量平行，即对于任意向量 a，都有 0∥a．
线上分别取点 E，F，G，H，使
＝k．求证：E，F，G，H
O
＝ ＝ ＝
D
四点共面．
A
C
B
H
分析：欲证 E，F，G，H 四点共面，只需证明
G
，， ， 共面的
表达式推得 ，， 共面的表达式．
a
α
A
l
一、知识讲解
3．空间向量的共线与共面
如果两个向量 a，b 不
探究
对平面内任意两个不共线向量 a，b，由
共线，那么向量 p 与向量 a， 平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一
b 共面的充要条件是存在唯
个向量 p 可以写成 p＝xa＋yb，其中 (x，y) 是
a
O
A
a
P
Q
M
λa(λ＞0)
λa(λ＜0)
N
？
想一想，向量线性运算的结
果，与向量起点的选择有关系吗？
一、知识讲解
2．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算满足以下运
算律（其中 λ，μ∈R）：
？
你能证明这些运算律吗？证
交换律：a＋b＝b＋a；
明结合律时，与证明平面向量的
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，
如果表示若干空间向量的有向线段所在
b，以任意点 O 为起点，作向
的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做
量＝a，＝b，我们就可
共 线 向 量 （ colliner vectors ） 或 平 行 向 量
以把它们平移到同一个平面 α
（parallel vectors）．我们规定：零向量与任
内．
意向量平行，即对于任意向量 a，都有 0∥a．
线上分别取点 E，F，G，H，使
＝k．求证：E，F，G，H
O
＝ ＝ ＝
D
四点共面．
A
C
B
H
分析：欲证 E，F，G，H 四点共面，只需证明
G
，， ， 共面的
表达式推得 ，， 共面的表达式．
a
α
A
l
一、知识讲解
3．空间向量的共线与共面
如果两个向量 a，b 不
探究
对平面内任意两个不共线向量 a，b，由
共线，那么向量 p 与向量 a， 平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一
b 共面的充要条件是存在唯
个向量 p 可以写成 p＝xa＋yb，其中 (x，y) 是
1-1-1空间向量及其线性运算课件高中数学人教版(A版)选择性必修第一册
表达式推得EH,EF,EG 共面的表达式.
例 1如图，已知oABCD, 过平面AC外 一 点O, 作射线
OA,OB,OC,OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H ,
使
求证：E,F,G ,H 四点共面。
证明：因为
OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD.
因为ABCD是口，所以AC=AB+AD.
=k(AB+AD)=k(OB-OA+0D-0A)
=OF-OE+OH-OE=EF+EH
由向量共面可知，EH,EF,EG 共面， 又EH,EF,EG 过同一点E, 从而E,F,G,H 四点共面.
6.如图，已知E,F,G,H F,G,H 四点共面
分别为四面体ABCD 的 棱AB,BC,CD,DA
的中点，求证：E,
空间向量与立体几何
1.1空间向量及其运算
本图展示的是一个做滑翔伞运动的场景。可以想象，在滑翔 过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索 的拉力、风力、重力等， 显 熊 ，这些力不全凤一个平面内.联想 用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向 量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢?下面我门类比平面向量 研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量
a,b(b≠0),a11b 的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
如图，0是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a, 则对于直线 l 上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数λ,使得OP=λa.
我们把与向量a平行的非零向量称为直线 a
三、空间向量的线性运算 (1)OB=0A+AB=a+b
例 1如图，已知oABCD, 过平面AC外 一 点O, 作射线
OA,OB,OC,OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H ,
使
求证：E,F,G ,H 四点共面。
证明：因为
OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD.
因为ABCD是口，所以AC=AB+AD.
=k(AB+AD)=k(OB-OA+0D-0A)
=OF-OE+OH-OE=EF+EH
由向量共面可知，EH,EF,EG 共面， 又EH,EF,EG 过同一点E, 从而E,F,G,H 四点共面.
6.如图，已知E,F,G,H F,G,H 四点共面
分别为四面体ABCD 的 棱AB,BC,CD,DA
的中点，求证：E,
空间向量与立体几何
1.1空间向量及其运算
本图展示的是一个做滑翔伞运动的场景。可以想象，在滑翔 过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索 的拉力、风力、重力等， 显 熊 ，这些力不全凤一个平面内.联想 用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向 量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢?下面我门类比平面向量 研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量
a,b(b≠0),a11b 的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
如图，0是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a, 则对于直线 l 上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数λ,使得OP=λa.
我们把与向量a平行的非零向量称为直线 a
三、空间向量的线性运算 (1)OB=0A+AB=a+b
【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册《空间向量及其线性运算》课件(共71张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算
1
学习目标
核心素养
1.理解空间向量的概念．(难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，
2.掌握空间向量的线性运算．(重 培养学生的数学抽象核心素养.
点) 2.借助向量的线性运算、共线向量
3.掌握共线向量定理、共面向量 及共面向量的学习，提升学生的直
b．分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a__，λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b___.
10
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系．
11
4.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 若 干 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线
_互__相__平__行_或__重__合__，则这些向量叫做_共_线__向__量__或平行向量． (2)方向向量：在直线 l 上取非零向量 a，与向量 a_平__行_的非零向
2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
5
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大__小__和方__向__的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的_大__小_．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用_有__向_线__段__表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
a＝b
7
3.空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的 加法 O→B＝_O→_A_＋__O_→_C＝a＋b
运算
减法 C→A＝_O→_A_－__O→_C_＝a－b
①交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 加法运算律 ②结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_) _
1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算
1
学习目标
核心素养
1.理解空间向量的概念．(难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，
2.掌握空间向量的线性运算．(重 培养学生的数学抽象核心素养.
点) 2.借助向量的线性运算、共线向量
3.掌握共线向量定理、共面向量 及共面向量的学习，提升学生的直
b．分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a__，λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b___.
10
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系．
11
4.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 若 干 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线
_互__相__平__行_或__重__合__，则这些向量叫做_共_线__向__量__或平行向量． (2)方向向量：在直线 l 上取非零向量 a，与向量 a_平__行_的非零向
2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
5
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大__小__和方__向__的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的_大__小_．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用_有__向_线__段__表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
a＝b
7
3.空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的 加法 O→B＝_O→_A_＋__O_→_C＝a＋b
运算
减法 C→A＝_O→_A_－__O→_C_＝a－b
①交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 加法运算律 ②结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_) _
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：