有限元发基础总结(国防工业出版社)
材料力学有限元法知识点总结
材料力学有限元法知识点总结材料力学是一门研究物质内部结构、性质和变形行为的学科，而有限元法则是一种在工程和科学领域中广泛应用的数值计算方法。
有限元法可以将一个复杂的实体划分为无数小的单元，通过对这些小单元进行分析和计算，最终得到整个实体的力学性质和行为。
本文将对材料力学有限元法的一些核心概念和知识点进行总结。
1. 有限元法基础概念有限元法基于将实际连续的物体离散为有限数量的单元，通过计算每个单元的受力、变形等性质，再通过组合这些单元的结果来近似整个物体的行为。
它包含以下几个基础概念：1.1 单元（Element）：有限元法中的基本组成单元，可以是一维的线段、二维的三角形或四边形，或三维的四面体、六面体等。
1.2 节点（Node）：单元的角点或边上的点，用于定义单元之间的连接关系和边界条件。
1.3 自由度（Degree of Freedom）：每个节点与力学性质相关的物理量，如位移、应力等。
根据问题的不同，在每个节点上可能有一个或多个自由度。
1.4 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：描述单元内部受力和变形关系的矩阵，在有限元法中通过组合所有单元的刚度矩阵来得到整个系统的刚度矩阵。
1.5 全局刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）：由所有单元刚度矩阵组合而成的整个系统的刚度矩阵，用于计算节点的位移和应力。
2. 有限元法的数学原理有限元法的数学原理主要基于以下两个方面：2.1 变分原理（Variational Principle）：有限元法的数学基础是根据变分原理推导实现的。
它通过对结构的势能进行变分并进行最小化，得到满足结构力学行为和边界条件的位移和应力场。
2.2 加权残差法（Weighted Residuals Method）：有限元法通过将变分原理中的势能函数展开为一系列基函数的线性组合，并使用权重函数对残差进行加权求和的方式进行近似。
这样可以将求解连续问题转化为离散问题，进而进行数值计算。
有限元知识点汇总
有限元知识点汇总有限元知识点汇总第一章1、何为有限元法？其基本思想是什么？》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。
》基本思想：化整为零，化零为整2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值；》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。
3、单元、节点的概念？》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。
》节点：网格间相互连接的点称为节点。
4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。
5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。
》本课程讲授的：位移法6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移}》几何方程——{描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程} 》物理方程——{描述应力分量与应变分量之间的关系}》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程}》弹性矩阵特点——{ }7、何为平面应力问题和平面应变问题？》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用}》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力}第二章7、形函数的特点？》1形函数Ni再节点i处等于1，在其他节点上的值等于0，对于Nj、Nm也有同样的性质。
有限元技术基础及其应用总结
在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。 由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。
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8.有限元法分析过程（续）
有限元法的收敛性概念与收敛条件
有限元法是一种数值分析方法，因此应考虑收敛性问题。 有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。
有限元的收敛条件包括如下四个方面： 单元内，位移函数必须连续。多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。 在单元内，位移函数必须包括常应变项。每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。
非线性有限元
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
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材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
弹性力学及有限元法学习总结
弹性力学及有限元法学习总结摘要：本文就弹性力学的研究对象与方法，弹性力学的基本假设，研究方法，有限元法的基本思想，数学基础，有限元分析的基本步骤进行阐述。
正文：弹性力学是固体力学的一个分支学科，是研究固体材料在外部作用下（外部作用一般包括：荷载、温度变化以及固体边界约束改变），弹性变形及应力状态的一门学科。
弹性力学的研究对象：材料力学--研究杆件（如梁、柱和轴）材料力学的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。
结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构结构力学（如桁架、刚架等）。
弹性力学--研究各种形状的弹性体，如杆弹性力学件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。
弹性力学研究方法：在研究方法上，弹力和材力也有区别：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程; 三套方程在边界s 上考虑受力或约束条件，建立边界条件并在边界条件下求解上边界条件; 边界条件述方程，得出较精确的解答。
弹性力学的基本假设：1）连续性，假定物体是连续的。
连续性因此，各物理量可用连续函数表示。
2）均匀性与各向同性假设假定固体材料是均匀的，并且在各个方向上物理特性相同，也即材料的物理性质在空间分布上是均匀的（或不变的）3）小变形假设假定固体材料在受到外部作用（荷载、温度等）后的位移（或变形）与物体的尺寸相比是很微小的，在研究物体受力后的平衡状态时，物体尺寸及位置的改变可忽略不计，物体位移及形变的二次项可略去不计，由此得到的弹性力学微分方程将是线性的。
4）完全弹性假设假设固体材料是完全弹性的。
5）无初始应力假设假定外部作用（荷载、温度等）之前，物体处于无应力状态，由弹性力学所求得的应力仅仅是由外部作用（荷载、温度等）所引起的。
有限元法的基本思想：有限元是一种结构分析的方法，先把所有系统分解为他们的元件或单元，这些元件的行为已经被充分的了解，再把元件重新组装成原来的系统。
及将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连接在一起的单元组合体来加以分析。
有限元基础知识归纳
有限元基础知识归纳有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处Ni=1,其它节点Ni=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
有限元基础课程学习总结
有限元基础理论学习总结报告中国矿业大学（北京）14级硕士王涛通过课上和课下的学习，对有限元基础理论有了一定的了解和认识。
经过学习，更加深刻的理解了有限元的离散、单元类型、插值函数构造和等参变换等知识，现对有限元的基本理论和用法做了如下学习和报告。
已经发展的偏微分方程数值分析方法可以分为两大类。
一类是有限差分法，其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解，求解步骤归纳为：首先将求解域划分为网格，然后在网格的节点上用差分方程来近似微分方程。
借助于有限差分法能够求解相当复杂的问题，特别是求解方程建立于固结在空间的坐标系（Euler坐标系）的流体力学问题，有限差分法有自身的优势，因此在流体力学领域内，至今仍占支配地位。
但是对于固体结构问题，由于方程通常建立于固结的物体上的坐标系（Lagrange坐标系）和形状复杂，另一类数值分析方法——有限元法则更为合适。
有限差分法：特点：以差分方程近似微分方程，直接数值求解原问题的微分方程，在流体力学，岩土力学领域占重要地位。
有限元法：特点：区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从等效的积分形式出发，数值求解原问题的等效积分方程。
基本思想：1 将求解域离散为有限个子域（单元）的集合2 分片逼近待求函数分析过程：1 单元特性分析，单元节点位移与节点力之间的关系2 系统特性分析，将单元刚度矩阵集成整体刚度方程1. 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理1.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法1.1.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件形式提出来的，可以一般地表示为未知函数应满足微分方程组()0A u =（在Ω内） （1.1.1） 域Ω可以是体积域、面积域等。
同时未知函数还应满足边界条件()0B u =（在Г内） （1.1.2） Г是域Ω的边界。
由于微分方程组（1.1.1）在域Ω中每一点都必须为零，因此就有0...))()(()(2211=Ω++=Ω⎰⎰ΩΩd A A d A T μυμυμυ （1.1.3）其中是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。
有限元法基础
有限元法基础一、引言有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程领域。
它通过将复杂的实际问题离散化为有限个简单的子问题，利用数值计算方法求解，从而得到问题的近似解。
本文将介绍有限元法的基础知识和应用。
二、有限元法的基本原理有限元法的基本思想是将求解区域划分为有限个简单的几何单元，如三角形、四边形等，每个几何单元内部的物理量假设为一个局部函数，通过组合这些局部函数来逼近整个求解区域内的物理量。
有限元法的基本步骤包括：建立数学模型、离散化、建立有限元方程、求解有限元方程、后处理。
三、建立数学模型建立数学模型是有限元法的第一步，它包括确定问题的几何形状、边界条件和材料特性等。
在建立数学模型时，需要根据实际问题的特点选择适当的数学方程描述物理现象，如弹性力学方程、热传导方程等。
四、离散化离散化是将求解区域划分为有限个几何单元的过程。
常见的几何单元有三角形、四边形、六面体等。
离散化的精细程度取决于问题的复杂度和精度要求，一般来说，划分得越细，结果越精确，但计算量也越大。
五、建立有限元方程建立有限元方程是根据离散化后的几何单元和数学模型，利用变分原理或加权残差法推导出的。
有限元方程是一个代数方程组，包含未知数和已知数，未知数是几何单元内的物理量，已知数是边界条件和材料特性等。
六、求解有限元方程求解有限元方程是通过数值计算方法解算方程组，得到未知数的近似解。
常用的求解方法有直接法、迭代法和松弛法等。
在求解过程中，需要注意数值稳定性和计算精度的控制。
七、后处理后处理是对求解结果进行分析和可视化的过程。
通过后处理，可以得到问题的各种物理量分布、应力分布等，进一步分析和评估计算结果的合理性和准确性。
八、有限元法的应用有限元法广泛应用于工程领域，如结构力学分析、流体力学分析、热传导分析等。
在结构力学分析中，有限元法可以用于计算结构的应力、应变、变形等；在流体力学分析中，有限元法可以用于模拟流体的流动行为；在热传导分析中，有限元法可以用于计算物体的温度分布等。
有限元知识点总结
有限元分析及其应用-2010；思考题：1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？答：基本思想：几何离散和分片插值。
基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。
离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。
当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。
2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。
3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件；2）构造其泛函形式；3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。
4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。
5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用节点载荷：作用于节点上的外载6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。
Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。
7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。
形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0；单元内任一点的形函数之和恒等于1；形函数的值在0~1间变化。
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1.平面问题三节点三角形单元的位移、应力特征：三节点三角形在单元内位移是线性变化的，应力应变在一个单元内均为常数。
因此，用三节点三角形单元求得的弹性力学平面问题近似解，不能反映单元内应力和应变变化，只有当单元划分的很小时才能接近实际解。
2.轴对称问题三节点三角形与平面问题三节点三角形单元的异同：①轴对称问题比平面问题多了一个周向应变，轴对称问题的应力分量不是三个而是四个，即轴向正应力、径向正应力、周向正应力和剪应力②轴对称问题的三角形单元几何矩阵不是常数矩阵，所以其三角形单元不是常应变单元也不是常应力单元。
3.轴对称问题需要满足的三个条件：轴对称物体、轴对称约束、轴对称荷载；周向应变产生的原因：由径向位移引起，因为径向位移会导致周长的改变，从而有了周向应变和周向应力。
4.（1）等参元优点：①计算精度高，可以较好模拟曲线边界的求解问题②需要输入的数据少；缺点：由于要进行等参数变换，是程序编制变得复杂，由于要进行数值积分，使得形成刚度矩阵的时间加长，占用较多的计算机资源（2）等参元变换所需满足的条件①雅克比行列式在整个单元上不为零②在整体坐标系下划分任意四边形单元应该为凸四边形且不能有大于等于180°的内角③任意两边不能通过延伸在单元上出现交点④划分单元尽量使形状与正方形相差不远。
5.矩形单元薄板弯曲的有限元求解中，节点未知量除了挠度w 外，还要选择节点处的转角y x θθ、是因为挠度函数)(y x w w ，=二次差值多项式函数阶次大于等于2，即至少包含自变量x 、y 完全二次多项式才能保证薄板弯曲问题有限元的收敛性，一个关于x 和y 的完全二次多项式有6个待定系数，若只取w 作为节点未知量，每个单元只有4个未知量，即单元自由度为4，不能决定一个完全二次多项式，考虑对称性每个节点还要取y x θθ、作为未知量，所以每节点取3个变量。
6.从求解精度和应力分布特点对平面问题六节点三角形和三节点三角形进行比较：①六节点三角形比三节点三角形精度提高了②三节点三角形在单元内位移是线性变化的，应力应变在一个单元内均为常数，六节点三角形位移是按二次多项式变化的，应力应变按线性变化。
7.泛函与一般函数的区别：①一般函数定义域是一个数集，无论怎么复合实函数的最终定义域都是定义在一个数集上的自变量，而泛函是定义在一个函数集基础上的，它的自变量为满足某一条件的函数集②实函数求微分，泛函求变分。
8.泛函求极值问题与微分方程边值问题比，优点：①对求解区域复杂或边界复杂的工程问题，微分方程无法求解，而泛函可以求解各种复杂问题②边界条件：微分方程边值问题，边界条件必须作为定解条件列出，而泛函求极值问题在求解时自动满足③导数阶次：微分方程含有二阶导数，泛函只含有一阶导数，所以采用泛函求极值问题解稳定温度场问题相对容易些。
9.广义坐标有限元线性结构分析的步骤：①写出单元位移、节点力向量②选择适当的位移函数③求单元任一点位移与节点位移的关系④求单元应变-单元位移-节点位移的关系⑤求应力-应变-节点位移的关系⑥求节点力与节点位移的关系⑦求节点位移与应力的关系。
10.薄板平面应力问题需满足条件：等厚度薄板弹性体，受力方向沿板面方向；薄板弯曲问
题需满足条件：①薄板厚度小于另两个方向尺寸，规定l t 小于
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1为薄板②荷载垂直于板的中面③小挠度板中面各点沿垂直于中面的横向变形t w 小于等于51。
11.有限元法中选取单元位移函数的原则：①位移插值函数应能反映单元的刚体位移②位移插值函数应能反映-常应变准则③位移插值函数应能保证单元内及相邻单元的连续性-变形协调性（相容性）准则。