有限元法数学基础
材料力学有限元法知识点总结
材料力学有限元法知识点总结材料力学是一门研究物质内部结构、性质和变形行为的学科，而有限元法则是一种在工程和科学领域中广泛应用的数值计算方法。
有限元法可以将一个复杂的实体划分为无数小的单元，通过对这些小单元进行分析和计算，最终得到整个实体的力学性质和行为。
本文将对材料力学有限元法的一些核心概念和知识点进行总结。
1. 有限元法基础概念有限元法基于将实际连续的物体离散为有限数量的单元，通过计算每个单元的受力、变形等性质，再通过组合这些单元的结果来近似整个物体的行为。
它包含以下几个基础概念：1.1 单元（Element）：有限元法中的基本组成单元，可以是一维的线段、二维的三角形或四边形，或三维的四面体、六面体等。
1.2 节点（Node）：单元的角点或边上的点，用于定义单元之间的连接关系和边界条件。
1.3 自由度（Degree of Freedom）：每个节点与力学性质相关的物理量，如位移、应力等。
根据问题的不同，在每个节点上可能有一个或多个自由度。
1.4 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：描述单元内部受力和变形关系的矩阵，在有限元法中通过组合所有单元的刚度矩阵来得到整个系统的刚度矩阵。
1.5 全局刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）：由所有单元刚度矩阵组合而成的整个系统的刚度矩阵，用于计算节点的位移和应力。
2. 有限元法的数学原理有限元法的数学原理主要基于以下两个方面：2.1 变分原理（Variational Principle）：有限元法的数学基础是根据变分原理推导实现的。
它通过对结构的势能进行变分并进行最小化，得到满足结构力学行为和边界条件的位移和应力场。
2.2 加权残差法（Weighted Residuals Method）：有限元法通过将变分原理中的势能函数展开为一系列基函数的线性组合，并使用权重函数对残差进行加权求和的方式进行近似。
这样可以将求解连续问题转化为离散问题，进而进行数值计算。
有限单元法的数学基础
有限单元法的数学基础1、引言有限元方法归根结底是一种数值计算方法，它有严格的数学证明作为其近似的客观性和合理性的保证。
力学问题最终归结为一组微分方程的边值问题或者初值问题抑或是混合问题。
比如弹性静力学最终归结为L-N 方程的微分提法。
在很难或者根本不可能得到所得方程的理论解的情况下，究竟用什么样的方法才能得到方程的近似解（这种近似解已经能够满足实际工程的需要），在这种情况下，二十世纪五六十年代由结构力学家进而由数学家提出和证明了这种思想方法的合理性。
有限元方法产生于力学计算，但是，它本质上并不是力学的专利。
世间万物的变化过程很多都可以通过微分方程特别是偏微分方程来描述，也就是说，微分方程是很多现象和过程的数学结构，而大多数的微分方程是不能得到理论解的，这时候就可以使用有限元方法来求其近似解，因为有限元方法是求解微分方程（组）的数值计算方法。
它适用于力学的微分方程，也同样适用于其它领域的相应的微分方程的数值求解。
2、有限元方法数学根源对于一个给定的微分方程定解问题，为了求其近似解，我们可以使用Ritz 方法和Galerkin 方法。
下面分别阐述这两种方法，然后讨论有限元方法和他们的关系。
（1） Ritz 法Ritz 法源于最小势能原理，设H 是可分的Hilbert 空间，在H 中取有限维空间Sn ，它是由N 个线性无关向量12,,,N φφφ 张成，即：121,,(,,)NN n n i i N N i S C C C C R ωωφ=⎧⎫≡=∀∈⎨⎬⎩⎭∑用N S 代替H ，在N S 上求泛函J(w)的极值,即求N U ∈N S ，使得()N J U =min ()N N S N J ωω∈实际上寻求N U 只需通过解一个线性方程组1()(,)()02J D F ωωωω=-≥D--------双线性形式 F--------线性泛函1NN i i i C ωφ==∑111,111()(,)()21(,)()2N N NN i i i i i i i i i NN i j i j i ii j i J D C C F C D C C F C ωφφφφφφ====== =-∑∑∑∑∑－因此，()N J ω是一个以12,,,N C C C 为未知数（自变量）的二次多项式12(,,,)N j C C C ，如果二次项的系数矩阵,1,2,,[(,)]i j i j N D φφ= 是正定的，那么12(,,,)N j j C C C = 在N+1维空间是一个开口向上的椭球抛物面，它有且只有一个极（最）小值点，所谓在N S 上求()N J ω的极值，就是确定00012,,,N C C C ，使得：00012(,,,)N j C C C ＝1000,,12min (,,,)N C C R N j C C C ∈极值条件：ijC ∂∂|00012,,,N C C C ＝0 （1,,i N = ） 得:01()()ni ji i i D CF φφφ==∑ (1,,i N = )即：00012[,,,]T N C C C C = 适合方程组：KC=F11[(),,()]T F F F φφ=112111222212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,),(,),,(,)N N N N N N D D D D D D K D D D φφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，， 。
有限元基础知识
有限元基础知识
嘿，朋友们！今天咱要来聊聊有限元基础知识啊，这可真是个超有意思的东西！
你们有没有玩过拼图游戏呀？有限元就有点像把一个复杂的东西，比如一个机器零件啦，拆分成好多好多小的部分，就像拼图的小块块一样。
比如说，你想想看一辆汽车，它那么复杂，要是直接去研究它可太难了。
但通过有限元，咱就可以把它分成一个个小区域，分别去分析、去理解，这不就简单多了嘛！
有限元就像是给我们一个探索复杂世界的秘密武器！它让那些看似遥不可及、搞不懂的东西变得清晰起来。
你知道吗？工程师们经常用这个方法来解决各种各样的问题呢！比如设计更牢固的桥梁，或者让飞机飞得更安全、更稳定。
就好比有一座摇摇欲坠的老桥，工程师们就可以用有限元方法，一点一点地分析每个部分，找出问题所在，然后想办法加固它，让它重新变得坚固可靠。
这多了不起啊！
那有限元具体是咋工作的呢？简单来说，就是先划分网格，这就像是给那个复杂的东西画格子。
然后再对这些小格子进行计算和分析。
就好像你在做数学题一样，一步步算出答案。
“哎呀，这听起来好难啊！”你可能会这么说。
但别害怕呀！一开始可能觉得有点难理解，但只要你深入进去，就会发现它的奇妙之处。
而且现在有好多软件可以帮我们进行有限元分析呢，超方便的！
总之，有限元基础知识是个非常有用、非常有趣的东西！它就像一把钥匙，能帮我们打开复杂工程世界的大门，让我们更好地去理解和创造。
大家赶紧去探索一下吧，相信你们一定会爱上它的！。
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
《有限元基础》课件
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。
有限元法
一：有限元的基本思想有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
通常有限元法都遵循以下基本步骤:物体的离散化:离散化是有限元法的基础，这就是依据结构的实际情况，选择合适的单元形状、类型、数目、大小以及排列方式，将拟分析的物体假想地分成有限个分区或分块的集合体。
假设这些单元在处于它们边界上的若干个离散节点处相互连接，这些节点的位移将是该问题的基本未知参数。
挑选形函数或插值函数:选择一组函数，通常是多项式，最简单的情况是位移的线性函数。
这些函数应当满足一定条件，该条件就是平衡方程，它通常是通过变分原理得到的，可由每个“有限单元”的节点位移唯一地确定该单元中的位移状态。
确定单元的性质:确定单元性质就是对单元的力学性质进行描述。
确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。
一般用单元的刚度矩阵来描述单元的性质，确定单元节点力与位移的关系。
组成物体的整体方程组:组成物体的整体方程组就是由已知的单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵集成表示整个物体性质的结构刚度矩阵和结构载荷列阵，从而建立起整个结构己知量-------总节点载荷与整个物体未知量-------总节点位移的关系。
解有限元方程和辅助计算:引入强制边界条件，解方程得到节点位移。
一般整体方程组往往数目庞大，可能是几十个、几百个，以至于成千上万个。
对于这些方程组需要一定的计算数学方法解出其未知量。
然后，根据实际问题进行必要的辅助计算。
完整的有限元的求解过程如下图所示：二：有限元的数学方法从更广泛的观点看，有限元法的数学基础是变分原理。
根据变分原理发展而来的有限元法，在求解微分方程方面得到了广泛的应用。
变分原理是表达物理基础定律的一种普遍形式，其表达课概括如下：给出一个依赖物理状态v 的变量()J v ，同时给出()J v 的容许函数集v ，即一切可能的物理状态，则真是的状态是v 中使()J v 达到极小值的函数。
6.第3章 有限元法
建立雅可比矩阵及右端剩余矢量 ΔR
根据边界条件修正方程组 计算迭代误差 计算各单元 A，B 结束 是 迭代误差是否 小于控制值？ 否 解方程组 得到各节 点A 计算各单 元γ 及 B
第3章 有限元法基础
3.8 有限元素的自动剖分
采取自动剖分的必要性： 在单元剖分中，为了尽可能的压缩存储，减小计算量，提高精度，必须 注意以下问题：
H B H K BK 1 γ H H B 1 HB 2 K 1 K B B B B B 2 BK 1 BK
第3章 有限元法基础
2. 改进型的牛顿-拉夫逊迭代法
牛顿-拉夫逊迭代法的优点：
（1）收敛速度快，按平方律收敛，每经一次迭代有效位数基本上增加一倍； （2）自校正功能，即 A(K+1) 仅依赖于 F(A) 与 A(K)，前面迭代的舍入误差不 会一步步传递下去。 其缺点：
F K A R
e e e
e
第3章 有限元法基础
单元雅可比矩阵为：
f i e 以 为例，看雅可比矩阵第 ii 项元素对单元 e 的贡献。K 是 A 的函数 ， Ai
e Kije ，K im 对A的偏导数均不为零，由 (3.66)式可知
fi e Ai e e F e f j J A Ai A f me Ai
第3章 有限元法基础
3.8.1 直线内插法
适宜于对以直线段为边界的的场域进行自动剖分。只需给出 x, y方向上两 端点的坐标，就可算出所有节点的坐标。 1. 确定 x 方向、y方向节点数及总 节点数 x方向节点数 y方向节点数 节点总数 2. 确定各节点的坐标 x 和 y 方向节点坐标最小值为x1、y1，最 大值为xm、ym，则节点坐标增量分别为
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并且v和 v 为与微分方程个数相等的函数。对任意 上述积分式均成立。
则表明积分形式与微分方程的定解问题等价
6
3.1 等效积分
1
问题的提出
vT A(u ) f d (v1 A1 (u ) f1 v2 A2 (u ) f 2 )d 0
9
3.2 等效积分的弱形式
例题：梁弯曲问题
d 4w EJ q 0 4 dx
x (0, l )
等效积 分形式
d 4w v EJ dx4 q dx 0 0
l
x (0, l )
等效积分 弱形式
l l
d v d w d w dv d w dx 2 EJ dx 2 vqdx vEJ dx3 dx EJ dx 2 0 0 0 0 0
n N j A( Ni ai ) f )d 0 i 1
( j 1 n)
Galerkin法精度最高！
21
3.3 加权残量(余量)法
6
例题
d 2u u x 0 2 dx 0 x 1
边界条件：x=0，u=0；x=1，u=0 取近似解：u=x(1-x)(a1+a2x+…) 取一项近似解u1=a1x(1-x) 余量R1 (x)=x+a1 (-2+x-x2)
v T B(u ) g d (v1 B1 (u ) g1 v2 B2 (u ) g 2 )d 0
5
3.1 等效积分
1
问题的提出
v1 这里 v v2 v1 v = v 2 为任意函数向量，
2
泛函
A
v 2gh
X
dt
1 y 2 2 gh
a
dx
1 y 2 dx 2 gh
Y
B
T [ y ( x)]
0
称T为y(x)的泛函，y(x)为自变函数。即以函数 作自变量以积分形式定义的函数为泛函。
函数是变量与变量的关系，泛函是变量与函数的 关系。泛函是一种广义的函数。
30
0
R1 ( x) N1dx x(1 x) x a1 (2 x x 2 ) dx 0
0
1
5 a1 18
5 u1 x(1 x) 18
26
3.4 泛函与变分
1
线性、自伴随微分算子
如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则： 不仅可以建立它的等效积分形式，并可利用加权余 量法求其近似解；还可建立与之相等效的变分原理， 基于它的另一种近似求解方法—Ritz法。
v Wj
( j 1n)
权函数
等效积 分形式
~ ~ W jT ( A(u ) f )d W jT ( B(u ) g )d 0
( j 1 n)
W jT Rd W jT R d 0
( j 1 n)
强迫残值在某种平均意义上为零。
14
且，u应满足边界条件:
B1 (u ) g1 ( x, t ) B (u ) g ( x, t ) B2 (u ) B2 ( x, t ) 0 on , 是的边界
4
3.1 等效积分
1
问题的提出
vT A(u ) f d v B(u ) g d 0
C T (v) D(u )d E T (v) F (u )d 0
将微分方程转化为弱形式，弱并不是弱化对方程 解的结果，而是弱化对解方程得要求，是弱化待求 变量的连续性，是以提高权函数的连续性为代价的。
x x A (u ) f 0 B (u ) g 0
上述方程的简化形式：
由于以上微分方程在 和 中每一点都成立，因此有：
vT A(u ) f d (v1 A1 (u ) f1 v2 A2 (u ) f 2 )d 0
则有：
n D j A( Ni ai ) f )d 0 i 1
( j 1 n)
这种方法相当于强迫残值在n个子域内的积分等于零。
19
3.3 加权残量(余量)法
4
最小二乘法
n R Wj [ A( N i ai ) f ] A( N j ) a j a j i 1
22
3.3 加权残量(余量)法
6
例题
d 2u u x 0 2 dx 0 x 1
余量R1 (x)=x+a1 (-2+x-x2) 配点法 取x=1/2作为配点
1 1 7 R a1 0 2 2 4 2 u1 x(1 x) 7
2 a1 7
23
3.3 加权残量(余量)法
x x A (u ) f 0 B (u ) g 0
vT A(u ) f d v B(u ) g d 0
微分方程的等效积分形式
8
3.2 等效积分的弱形式
将等效积分形式分步积分，得到的形式就称为等 效积分弱形式。因为分步积分后，算子导数阶次降 低，对待求变量的连续性降低，就起到了弱化作用。
a1 0.2723
u1 0.2723x(1 x)
25
3.3 加权残量(余量)法
6
例题
d 2u u x 0 2 dx 0 x 1
余量R1 (x)=x+a1 (-2+x-x2) 迦辽金法
u1 N1a1 a1 x(1 x)
W1 N1 x(1 x )
1
3.3 加权残量(余量)法
1
基本概念
等效积分
得到的是近似解。
加权余量
等效积分形式的 近似方法，得到的 是近似解。
15
3.3 加权残量(余量)法
1
基本概念
试函数
出现在近似解中。 满足一定的域内条 件或边界条件。
权函数
出现在等效积分 表达式中，不同的 权函数涉及不同的 计算格式。
16
3.3 加权残量(余量)法
加权余量法：适用于所有的偏 微分方程，不管是否存在进行 变分的泛函
注意：变分法和加权余量法也只能求解几何形状规则的问题，因为它 们都是在求解域上假设近似函数。但已构成了有限元法的理论基础。
3
3.1 等效积分
1
问题的提出
工程中的许多问题，通常以未知场函数应满足的 微分方程和边界条件的形式提出。
A1 (u ) f1 ( x, t ) A(u ) f ( x, t ) A2 (u ) f 2 ( x, t ) 0 in , u为未知函数
3.4 泛函与变分
3
变分
y* ( x) y( x) y( x) 称 y( x)为y(x)的变
A[ ( Ni ( x j )ai )] f ( x j ) 0
i 1
n
( j 1 n)
相当于简单地强迫残值在域内的n个点上等于零。
18
3.3 加权残量(余量)法
3
子域法
将求解域分为n个区域 D j ( j 1n)权函数如下确定：
1 (在D j内） Wj 0 (在D j 外）
10
l
2
2
l
3
2
3.3 加权残量(余量)法
1
基本概念
权，然后知轻重。----《孟子》
通过引入权函数/试函数，将近 似解带入微分方程会有余值，在余 值形式中引入权函数，把这种余值 的加权积分，称为加权余值法。 采用使余量的加权积分为零求得微分方程近 似解的方法，称为加权余量(余值、残量)法。
11
3.3 加权残量(余量)法
24
3.3 加权残量(余量)法
6
例题
d 2u u x 0 2 dx 0 x 1
余量R1 (x)=x+a1 (-2+x-x2) 最小二乘法
R 2 x x 2 a1
1 R R1 ( x) dx x a1 (2 x x 2 ) (2 x x 2 )dx 0 0 0 a1 1
称L*为L的伴随算子。若L*=L，则称算子自伴随。
28
3.4 泛函与变分
2
泛函
最速落径问题--质量为m的小环从A处自由滑下， 试选择一条曲线使所需时间最短（不计摩擦）
A
X
设路径为 y=y(x)
ds
Y
B
dx 2 dy 2
1 y 2 ds v dx dt dt
29
3.4 泛函与变分
微分方程
L(u ) b 0
in
微分算子
L( u1 u2 ) L(u1 ) L(u2 )
线性微分算子
27
3.4 泛函与变分
1
线性、自伴随微分算子
若
L(u )vd 定义为函数的内积，
对上式分部积分，直至u 的导数消失，得：
L(u )vd uL* (u )vd b.t.(u, v)
取权函数：
则有：
n A( N j ) A( Ni ai ) f )d 0 i 1
或平方的积分最小。
( j 1 n)
这种方法相当于使域内每一点的残值的平方和最小，
20
3.3 加权残量(余量)法