2、机器人的位姿描述与坐标变换
Z i Xi
Yi
☺
O' O
' T R −1 = O OR
R是单位正交阵
Z w Xw Yw
O' O
R =1
O' O
刚的位置和姿态：
' {O'} ={O O R,
P}
2-4 坐标变换（点的映射）
1、坐标平移（坐标系方位相同）
Oj
Zj
•P
Yj
Oi P = OiO j + O j P
i
Xj Zi
Oj i
Y
O' O
Z ]3×3
⎡cos(∠X ' X ) cos(∠Y ' X ) cos(∠Z ' X )⎤ ⎥ cos( X ' Y ) cos( Y ' Y ) cos( Z ' Y ) =⎢ ∠ ∠ ∠ ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎣ cos(∠X ' Z ) cos(∠Z ' Z ) cos(∠Z ' Z ) ⎥
P
P= P+ P
j Oj i
Xi
Oi
Yi
沿着不同轴向的组合平移：
⎡∑ Δx ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡∑ Δx ⎤ ⎢ 0 ⎥ + ⎢∑ Δy ⎥ + ⎢ 0 ⎥ = ⎢∑ Δy ⎥ Oj P = i ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 0 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣∑ Δz ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ∑ Δz ⎥ ⎦
Xw 手 腕
手 臂
Zw
机 座 Yw
9) 位姿(Position&Pose)：机器人末端执行器 在指定坐标系中的位置和姿态。 10) 工作空间(Working Space)：机器人在执 行任务时，其腕轴交点能在空间活动的范 围。由连杆尺寸和构形决定。 11) 负载(Load)：作用于末端执行器上的质量 和力矩。 12) 额定负载(Rated Load)：机器人在规定的 性能范围内，末端机械接口处能够承受的最 大负载量(包括末端执行器在内)。 13) 分辨率 (Resolution) ：机器人每个关节能 够实现的最小移动距离或最小转动角度。 14) 位姿精度(Pose Accuracy)：指令设定位姿 与实际到达位姿的一致程度。 15) 轨迹精度(Path Accuracy)：机器人机械接 口中心跟指令轨迹的一致程度.
T
10.30
2、坐标旋转（坐标系原点相同）
Zj Zi P
坐标系j由坐标系i旋转而成 已知点P在j坐标系的坐标：
Yj
j
P = [x j
yj
z j ]T
Yi Xi Xj
求点P在i坐标系的坐标：
i
P = [ xi
yi
zi ]T
Zj
Zi
zi
P
yj
zj
Yj
xi
Xi Xj
yi
Yi
xj
⎧ xi = x j cos(∠X i , X j ) + y j cos(∠X i , Y j ) + z j cos(∠X i , Z j ) ⎪ i P = ⎨ yi = x j cos(∠Yi , X j ) + y j cos(∠Yi , Y j ) + z j cos(∠Yi , Z j ) ⎪ z = x cos(∠Z , X ) + y cos(∠Z , Y ) + z cos(∠Z , Z ) j i j j i j j i j ⎩ i
力、力矩
超 声 视 觉
2-2、机器人机构分类与图形符号 1) 机器人机构的基本组成
关节 Joint 连杆 Link
2) 机构图形符号
移动关节
转动关节 球关节 圆柱关节 末端执行器 机座 连杆
关节==运动副
3) 机器人按机构形式分类与简图
串联机器人
优点：工作空间大、速度快 缺点：系统的刚性较弱、定 位精度较差
机器人学
战强
北京航空航天大学机器人研究所
第二章 机器人的位姿描述与坐标变换
Z Y X 机器人 的位姿
Zi Xi Zw Xw
连杆I的 位姿 Yi
Yw
2-1、基本概念
1) 自由度(Degree of Freedom, DOF)：指一个 点或一个物体运动的方式，或一个动态系统 的变化方式。每个自由度可表示一个独立的 变量，而利用所有的自由度，就可完全规定 所研究的一个物体或一个系统的位置和姿 态。也指描述物体运动所需的独立坐标数，3 维空间需要6个自由度。 2) 操作臂(Manipulator)：具有和人手臂(Arm) 相似的功能、可在空间抓放物体或进行其它 操作的机电装置。----Arm 3) 末端执行器(End-Effector)：位于机器人腕 部的末端，直接执行工作要求的装置。如灵 巧手、夹持器。----Hand/Gripper
φ
γ
P = F (θ, φ, γ )
E、关节型机器人（通用）
并联机器人示例：
2-3 刚体位姿的数学描述
￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥ 位置矢量
⎡ x0 ⎤ ⎢y ⎥ o' P = o ⎢ 0⎥ ⎢ ⎦ ⎣ z0 ⎥
X Z b Z' O' O n X' Y Y' t
姿态矢量
O' O ' R = [O O X O' O
X
Z b Z' O' O n X' Y Y' t
i
P= R P
j i j
坐标系j相对 于i的方位
旋转矩阵
旋转矩阵的性质：
j i
R= R = R
i j −1 i j
T
►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
Z
j
Zi
0 ⎡1 ⎢0 cosθ j R X ( , θ ) = i i ⎢ ⎢ ⎣0 sin θ
0 ⎤ − sin θ ⎥ ⎥ cosθ ⎥ ⎦
适用的机器人类型举例（有平移关节）
Z1 X1
Y1 Z2 X2
Y2
Z3 X3
Y3
三坐标的直角坐标机器人
Zi
Zj
例: Oi
Yi Xi Xj
•P
Oj
Yj
15 已知
j
P = [− 5 6 7]
T
求 P点在i坐标系中的坐标。
T T
解答： i P = j P + OjP
i
= [− 5 21 7]
= [− 5 6 7] + [0 15 0]
Xi Xm
θ α θ
Xj
i
⎡cosθ ⎢ j R (α ,θ ) = ⎢ sin θ ⎢ ⎣ 0
− sin θ cosθ 0
0⎤ ⎡1 0 ⎥ 0⎥ ⎢ ⎢0 cos α 1⎥ ⎦⎢ ⎣0 sin α
16) 点位控制(Point to Point Control， PTP)：控制机器人从一个位姿转到另 一个位姿，其路径不限。 17) 连续轨迹控制(Continuous Path Control，CP)：机械接口在指定的轨 迹上，按照编程规定的位姿和速度移 动。它适于对两个以上的运动环节进 行控制。 18) 协调控制(Coordinated Control)： 协调多个手臂或多台机器人同时进行 某种作业的控制。 19) 伺服系统(Servo System)：控制机 器人的位姿和速度等，使其跟随目标 值变化的控制系统。
并联机器人
优点：系统的刚度大、定位 精度高 缺点：工作空间小、运动速 度低
串联机器人的种类： A、直角坐标型机器人
Y
Z
X
P = F ( X ,Y , Z )
B、 圆柱坐标机器人
θ
R
θ
R
z
P = F (θ, Z , R)
z
C、 球坐标机器人
θ
φ
R
P = F (θ, φ, R)
D、SCARA机器人
θ
20) 离线编程(Off-line Programming)：机器人作业方式的信息 记忆过程与作业对象不发生直接关系的编程方式。 21) 在线编程(On-line Programming)：通过人的示教来完成操 作信息的记忆 过程的编程方式。 22) 人工智能(Artificial Intelligence，AI)：机器人能执行一些 类似人类智力活动的能力。如推理、规划、图像识别、理解和 学习等。 23) 模式识别(Pattern Recognition)：通过类似人类感觉器官的 传感器所检测的信息来分析、描述和区分各个物体特征的方 法。 24) 机器人语言(Robot Language)：机器人系统中的计算机编程 语言，主要有VAL、VAL2、LAMA、RAIL等。
j i
R
j
P
►姿态矢量矩阵
⎡cos(∠X ' X ) cos(∠Y ' X ) cos(∠Z ' X )⎤ ⎢ ⎥ O' = cos( ∠ ' ) cos( ∠ ' ) cos( ∠ ' ) R X Y Y Y Z Y O ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ cos(∠X ' Z ) cos(∠Z ' Z ) cos(∠Z ' Z ) ⎥ ⎦
►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵 1）、绕固定坐标系旋转
坐标系 ( X i , Yi , Z i ) 坐标系( X m , Ym , Z m ) 坐标系 ( X j , Y j , Z j )
Zm Zi Zj
R( X i ,α )
j i
R ( Z i ,θ )
α
θ
Yj Ym Yi
R(α ,θ ) = R ( Z ,θ ) R( X , α )
⎡cosθ ⎢ sin θ j R Z θ ( , ) = i i ⎢ ⎢ ⎣ 0
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机器人的空间描述与坐标变换
3
2.2平移和旋转坐标系映 射
1.平移坐标变换
BP为坐标系{B}描述的某一空间位
{B}
置，我们也可以用AP（坐标系{A}）描 述同一空间位置。因为两个坐标系具有 相同的姿态，同一个点在不同坐标系下 的描述满足以下关系
A
B
P
{A}
A
P OB
A
PBO
P B P A PBo
（2-4）
OA
图2-3平移变换
第二章 机器人的空间描述和坐标变换
2.1 位姿和坐标系描述
2.2平移和旋转坐标系映射 2.3平移和旋转齐次坐标变换 2.4物体的变换和变换方程 2.5通用旋转变换
1
2.1位置方位表示与坐标系描述
1.位置描述
矢量 Ap 表示箭头指向点的位置矢量，其 中右上角标“A”表示该点是用{A}坐标系描述 的。 px
注：固定坐标系变换，矩阵乘的顺序“自右向左”
13
2.4物体的变换和变换方程
已知坐标系{B}相对坐标系{A}的描述 求坐标系{A}相对坐标系{B}的描述
B A
A B
T
即齐次变换的求逆问题。
T
一种直接的方法是矩阵求逆，另一种方法是根据变换矩阵的特点直 接得出逆变换。后一种方法更简单方便。
给定 A 计算 BT
ZA
q
P1 XA
图2-7旋转算子
0 sq 1 0 0 cq 0 0
0 0 0 1
9
定义了平移算子和旋转算子以后，可以将它们复合实现复杂的映射 关系。变换算子与前面介绍的坐标变换矩阵形式完全相同，因为所有描 述均在同一坐标系下，所以不需上下标描述（坐标系）。
机器人的位姿描述与坐标变换
0
1
0
⎥ ⎥
⎢⎣− sinθ 0 cosθ ⎥⎦
Zi Zj
θ
θ Xi
Xj
Yi Y j
⎡cosθ − sinθ 0⎤
j i
R(Zi
,θ
)
=
⎢⎢sinθ
cosθ
0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 1⎥⎦
Zi Zj
θ
Xi Xj
Yj
θ
Yi
⎡1 0
0⎤
j i
R(
X
i
,θ
)
=
⎢⎢0
cosθ
−
sinθ
⎥ ⎥
⎢⎣0 sinθ cosθ ⎥⎦
￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥
位置矢量
⎡x0 ⎤
P o '
o
=
⎢ ⎢
y0
⎥ ⎥
⎢⎣ z0 ⎥⎦
Z b Z'
O' Y' t n X' O
X Y
姿态矢量
O' O
R
=
[
O' O
X
OO'Y
⎡cos(∠X ' X )
O' O
Z
]3×3
=
⎢ ⎢
cos(∠X
'Y
)
⎢⎣cos(∠X ' Z )
单位主矢量
cos(∠Y ' X ) cos(∠Y 'Y ) cos(∠Z ' Z )
cos(∠Z ' X )⎤
cos(∠Z
'Y
)
⎥ ⎥
cos(∠Z ' Z ) ⎥⎦
姿态矩阵R的特点：
机器人学技术基础课程-位姿描述和齐次变换
2、齐次变换在研究空间机构动力学、机器人控制算法、计算 机视觉等方面也得到广泛应用。
位姿描述与齐次变换
1 刚体位姿的描述 2 坐标变换 3 齐次坐标系和齐次变换 4 齐次变换矩阵的运算 5 变换方程
2.1 刚体位姿的描述
为了完全描述一个刚体在空间的位姿，通常将刚体与某 一坐标系固连，坐标系的原点一般选在刚体的特征点上，如 质心、对称中心等。
YˆB ZˆA
ZˆB Xˆ A ZˆB YˆA
ZˆB ZˆA
XB n
2.1.4 旋转矩阵的意义
若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕 x,y,z三轴的旋转矩阵分别为：
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
2.1.2 方位的描述
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算： | A | Ax2 Ay2 Az2
z
Az
A
方向角与方向余弦：, ,
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax = A aˆx , cos Ay = A aˆy , cos Az A aˆz
两矢量的叉积又可表示为：
aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
2.1.2 方位的描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三 个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
BAR n o a a
位姿描述与齐次变换
1 刚体位姿的描述 2 坐标变换 3 齐次坐标系和齐次变换 4 齐次变换矩阵的运算 5 变换方程
2.1 刚体位姿的描述
为了完全描述一个刚体在空间的位姿，通常将刚体与某 一坐标系固连，坐标系的原点一般选在刚体的特征点上，如 质心、对称中心等。
YˆB ZˆA
ZˆB Xˆ A ZˆB YˆA
ZˆB ZˆA
XB n
2.1.4 旋转矩阵的意义
若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕 x,y,z三轴的旋转矩阵分别为：
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
2.1.2 方位的描述
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算： | A | Ax2 Ay2 Az2
z
Az
A
方向角与方向余弦：, ,
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax = A aˆx , cos Ay = A aˆy , cos Az A aˆz
两矢量的叉积又可表示为：
aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
2.1.2 方位的描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三 个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
BAR n o a a
机器人坐标变换原理
机器人坐标变换原理机器人坐标变换是机器人控制中的一个重要概念，它涉及到机器人在不同坐标系下的定位和运动控制。
机器人通常使用多个坐标系来描述其运动和操作，如世界坐标系、基座坐标系、工具坐标系等。
机器人坐标变换的原理基于坐标系之间的关系和变换矩阵的计算。
下面从多个角度来解释机器人坐标变换的原理。
1. 机器人坐标系，机器人通常由多个关节组成，每个关节都有自己的坐标系。
机器人的末端执行器也有自己的坐标系。
这些坐标系之间通过关节运动相互连接，形成了机器人的整体坐标系。
2. 坐标系关系，机器人的坐标系之间存在着一定的关系，如基座坐标系与世界坐标系之间的关系、工具坐标系与末端执行器坐标系之间的关系等。
这些关系可以通过变换矩阵来描述。
3. 变换矩阵，变换矩阵是用于描述坐标系之间关系的数学工具。
对于二维情况，变换矩阵是一个2x2的矩阵，对于三维情况，变换矩阵是一个4x4的矩阵。
变换矩阵包含了平移、旋转和缩放等变换信息。
4. 坐标变换过程，机器人坐标变换的过程可以分为两个步骤，前向变换和逆向变换。
前向变换是从基座坐标系到末端执行器坐标系的变换，逆向变换是从末端执行器坐标系到基座坐标系的变换。
5. 坐标变换公式，机器人坐标变换的公式可以通过矩阵乘法来表示。
对于前向变换，可以使用连续的变换矩阵相乘的方式计算末端执行器坐标系相对于基座坐标系的变换。
对于逆向变换，可以使用逆矩阵的方式计算基座坐标系相对于末端执行器坐标系的变换。
总结起来，机器人坐标变换的原理是基于坐标系之间的关系和变换矩阵的计算。
通过变换矩阵的乘法和逆矩阵的运算，可以实现机器人在不同坐标系下的定位和运动控制。
这种坐标变换的原理在机器人控制中起着重要的作用，能够帮助机器人实现复杂的任务和精确的定位。
机器人导论第二章 空间描述和变换
❖为什么要引进齐次坐标,它有什么优点?
❖机器人的坐标变换主要包括平移和旋转变换,平移是矩 阵相加运算,旋转则是矩阵相乘,综合起来可以表示为p’ = m1*p + m2(m1旋转矩阵,m2为平移矩阵,p为原向量,p’ 为变换后的向量).引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵 运算中的乘法和加法,合并后可以表示为p' = M*p的形式. 即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的 一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法.
A
P
BP
PA BORG
这个例子说明了如何将一个矢量从 一个坐标系映射到另一个坐标系。 映射的概念，即描述一个坐标系到 另一个坐标系的变换。
两个坐标系具有相同的姿态
关于旋转坐标系的映射
❖ 我们已知矢量相对于某坐标系{B}的定义 BP ，怎样求矢量相对 另一个坐标系{A}的定义 AP ？且这两个坐标系原点重合。
{B}绕 Zˆ 轴旋转30度
0.866
A B
R
0.500
0.000
0.500 0.866 0.000
0.000 0.000 1.000
0.0
已知：
B P 2.0
0.0
1.000
求出
AP
：
A
P BAR BP
1.732
0.000
❖齐次坐标
❖所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1 维向量来表示.有一个特定的投影附加于n维空间,也可以 把它看作一个附加于每个矢量的比例系数.
❖三维直 v x y zT ❖齐次 v wx wy wz wT
❖角坐标
❖坐标
显然,齐次坐标表达并不是唯一的,随w值的不同而不同. 在计算机图学中,w 作为通用比例因子,它可取任意正值, 但在机器人的运动分析中,总是取w=1.
机器人的位姿描述与坐标变换
j i
R (a , ) R( Z , ) R( X , a )
Xi
Xm
Xj
cos sin j i R (a , ) 0
sin cos 0
0 1 0 0 cos a 0 1 0 sin a
0 cos sin sin a cos a 0
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
xi x j cos(X i , X j ) y j cos(X i , Y j ) z j cos(X i , Z j ) i P yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j ) z x cos(Z , X ) y cos(Z , Y ) z cos(Z , Z ) j i j j i j j i j i
T
5 21 7
2、坐标旋转（坐标系原点相同）
Zj Zi P
坐标系j由坐标系i旋转而成 已知点P在j坐标系的坐标：
Yj
j
P [x j
yj
z j ]T
Yi Xi Xj
求点P在i坐标系的坐标：
i
P [ xi
yi
zi ]T
Zj
Zi
zi
P
yj
zj
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
☺ 关于(Yi , X j )？
Z2 Z i (Z1 )
j f
R(Z i ,j )
j i
R(Y1 , )
R(Z 2 , f )
Zj
[课件](工业机器人)位姿描述与齐次变换PPT
六、齐次表达
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
Ap b a b a b a c s cs b a
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(An a,A sb,A0)Ro(zA t,)s0
c
0
0 b 1 0
0
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！
问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
B在
A 中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A 1ps0 0
c
0 0
0 1 0
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
aacbs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs cb
坐 标 值
b 1 0b 1 0B A 0R
Ap 1OBB 1pA BTB 1p
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
Ap b a b a b a c s cs b a
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(An a,A sb,A0)Ro(zA t,)s0
c
0
0 b 1 0
0
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！
问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
B在
A 中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A 1ps0 0
c
0 0
0 1 0
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
aacbs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs cb
坐 标 值
b 1 0b 1 0B A 0R
Ap 1OBB 1pA BTB 1p
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
机器人运动学-1位姿表示,坐标变换 第五讲 数理基础共27页
0
0
0
3
0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 1 0 2
0 0 0
1
0
0 0 1 0
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
APA BTBP, A BTB A0 R AP 1B0
三、齐次坐标变换
2.平移齐次坐标变换
{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距 离的平移齐次变换矩阵写为：
1 0 0 a Trans(a,b,c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。
3.位姿描述
• 刚体位姿(即位置和姿 态),用刚体的方位参考
坐标的原点位置矢量和
旋转矩阵表示，即
B B A RA p B 03 4
•
表示位置时，A B
R
• 表示姿态时，ApB0＝0
一、位置和姿态的表示
4.机器人手爪坐标系
T noaP
n:法向矢量 (normal)
o:方向矢量
(orientation) a:接近矢量 (approach) P:位置矢量 (position)
0 1 0 07 3
R(z,90) 1
0
0
0.3＝
7
0 0 1 02 2
0
0
0
11
1
0 0 1 03 2
R(y,90)
0
1 0 0. 7 ＝7
1 0 0 0 2 3
0
0
0
1
1
1
例4-4：在上述基础上再平移（4，-3，7）。
1 0 0 42 6 Tra(n4,s3,7)0 1 0 3.7＝4
因此旋转矩阵是单位正交矩阵，具有如下特性： B AR1B ART B AR1
机器人学--坐标转换
1
p px py pz T ,n nx ny nz T ,o ox oy oz T ,a ax ay az T
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换 及逆变换
3.变换方程初步 {B}:基坐标系 {T}:工具坐标系 {S}:工作台坐标系 {G}:目标坐标系
或工件坐标系 满足方程
A P
1
A B
R
0
A
PB 1
0
B P
1
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
(2-14)
AP Ax A y Az 1T ,BP Bx B y Bz 1T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A P ABTB P,
ABT
A B
R
0
A
PB0 1
(2-15,16)
Robotics 数学基础
ny
oy
ay
0
fx
f
yvers
f z s
fy fyvers c
fz fyvers fxs 0
nz 0
oz 0
az 0
0 1
fx
f z v ers 0
f y s
fy fzvers fxs 0
fz fzvers c 0
0 1
将上式对角线元素相加,并简化得
nx
oy
az
(
f
2 x
f
2 y
f
2023最新整理收集 do
something
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 位置和姿态的表示 2.2 坐标变换 2.3 齐次坐标变换 2.4 物体的变换及逆变换 2.5 通用旋转变换
工业机器人技术基础
直角坐标系下，用户可控制机器人末端沿坐标系任一方 向移动或旋转，常用于现场点位示教。
机器人 末端
右手定则
直角坐标系
1 机器人坐工标业系机器人基础知识
（2）直角坐标系 由于轨迹为空间插补，所以会遇到指定的位置和姿态不
能到达，即奇异现象。 常见的奇异有：
a）4、6轴共线附件，即5轴角度0附件。 b）2、3、5轴关节坐标系原点接近共线，即已经到达工作范 围边界。 c） 5轴关节坐标系原点在Z轴正上方附近。
T6
0 n
R
0
0 n
p
1
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
p
y
pz 1
3 机器人运工动业学机器人基础知识
逆运动学计算：
如何选取 某个解
3 机器人运工动业学机器人基础知识
逆动学应注意的问题：奇异性 奇异性：造成机器人运动能力缺失（缺少自由度）的特性。 工具坐标系常见的奇异有：
建立了各连杆坐标系后，n-1系与n系间的变换关系可以用坐标系的平移、旋转来实现。 从n-1系到n系的变换，可先令以n-1系绕Z n-1轴旋转θn角，再沿Z n-1轴平移dn ，然后沿Xn轴平移an ，最后绕 Xn轴旋转αn角，使得n-1系n系重合。 上述四次变换时应注意到坐标系在每次旋转或平移后发生了变动，后一次变换都是相对于动系进行的，因 此在运算中变换算子应该右乘。
动力学 ——动力学方程
惯性
离心
哥氏Leabharlann 粘摩静摩重力
外力
关节
力
力
力
擦
擦
力矩
••
•
••
•
•
B(q) q C1(q) q C2(q, q) q Fv q Fssign(q) G(q) f
机器人 末端
右手定则
直角坐标系
1 机器人坐工标业系机器人基础知识
（2）直角坐标系 由于轨迹为空间插补，所以会遇到指定的位置和姿态不
能到达，即奇异现象。 常见的奇异有：
a）4、6轴共线附件，即5轴角度0附件。 b）2、3、5轴关节坐标系原点接近共线，即已经到达工作范 围边界。 c） 5轴关节坐标系原点在Z轴正上方附近。
T6
0 n
R
0
0 n
p
1
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
p
y
pz 1
3 机器人运工动业学机器人基础知识
逆运动学计算：
如何选取 某个解
3 机器人运工动业学机器人基础知识
逆动学应注意的问题：奇异性 奇异性：造成机器人运动能力缺失（缺少自由度）的特性。 工具坐标系常见的奇异有：
建立了各连杆坐标系后，n-1系与n系间的变换关系可以用坐标系的平移、旋转来实现。 从n-1系到n系的变换，可先令以n-1系绕Z n-1轴旋转θn角，再沿Z n-1轴平移dn ，然后沿Xn轴平移an ，最后绕 Xn轴旋转αn角，使得n-1系n系重合。 上述四次变换时应注意到坐标系在每次旋转或平移后发生了变动，后一次变换都是相对于动系进行的，因 此在运算中变换算子应该右乘。
动力学 ——动力学方程
惯性
离心
哥氏Leabharlann 粘摩静摩重力
外力
关节
力
力
力
擦
擦
力矩
••
•
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•
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B(q) q C1(q) q C2(q, q) q Fv q Fssign(q) G(q) f