2、机器人的位姿描述与坐标变换.
机器人的位姿描述与坐标变换
0
1
0
⎥ ⎥
⎢⎣− sinθ 0 cosθ ⎥⎦
Zi Zj
θ
θ Xi
Xj
Yi Y j
⎡cosθ − sinθ 0⎤
j i
R(Zi
,θ
)
=
⎢⎢sinθ
cosθ
0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 1⎥⎦
Zi Zj
θ
Xi Xj
Yj
θ
Yi
⎡1 0
0⎤
j i
R(
X
i
,θ
)
=
⎢⎢0
cosθ
−
sinθ
⎥ ⎥
⎢⎣0 sinθ cosθ ⎥⎦
￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥
位置矢量
⎡x0 ⎤
P o '
o
=
⎢ ⎢
y0
⎥ ⎥
⎢⎣ z0 ⎥⎦
Z b Z'
O' Y' t n X' O
X Y
姿态矢量
O' O
R
=
[
O' O
X
OO'Y
⎡cos(∠X ' X )
O' O
Z
]3×3
=
⎢ ⎢
cos(∠X
'Y
)
⎢⎣cos(∠X ' Z )
单位主矢量
cos(∠Y ' X ) cos(∠Y 'Y ) cos(∠Z ' Z )
cos(∠Z ' X )⎤
cos(∠Z
'Y
)
⎥ ⎥
cos(∠Z ' Z ) ⎥⎦
姿态矩阵R的特点：
机器人学技术基础课程-位姿描述和齐次变换
位姿描述与齐次变换
1 刚体位姿的描述 2 坐标变换 3 齐次坐标系和齐次变换 4 齐次变换矩阵的运算 5 变换方程
2.1 刚体位姿的描述
为了完全描述一个刚体在空间的位姿，通常将刚体与某 一坐标系固连，坐标系的原点一般选在刚体的特征点上，如 质心、对称中心等。
YˆB ZˆA
ZˆB Xˆ A ZˆB YˆA
ZˆB ZˆA
XB n
2.1.4 旋转矩阵的意义
若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕 x,y,z三轴的旋转矩阵分别为：
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
2.1.2 方位的描述
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算： | A | Ax2 Ay2 Az2
z
Az
A
方向角与方向余弦：, ,
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax = A aˆx , cos Ay = A aˆy , cos Az A aˆz
两矢量的叉积又可表示为：
aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
2.1.2 方位的描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三 个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
BAR n o a a
2、机器人的位姿描述与坐标变换
机器人学第二章机器人的位姿描述与坐标变换战强北京航空航天大学机器人研究所第二章 机器人的位姿描述与坐标变换 机器人的位姿连杆I 的位姿YX ZYi XiZi YwXwZw2-1、基本概念1) 自由度(Degree of Freedom, DOF)：指一个点或一个物体运动的方式，或一个动态系统的变化方式。
每个自由度可表示一个独立的变量，而利用所有的自由度，就可完全规定所研究的一个物体或一个系统的位置和姿态。
也指描述物体运动所需的独立坐标数，3维空间需要6个自由度。
2) 操作臂(Manipulator)：具有和人手臂(Arm)相似的功能、可在空间抓放物体或进行其它操作的机电装置。
----Arm3) 末端执行器(End-Effector)：位于机器人腕部的末端，直接执行工作要求的装置。
如灵巧手、夹持器。
----Hand/Gripper4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。
操作臂的组成部分之一。
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作手的动力关节和连杆等组成的组件。
能支撑手腕和末端执行器，并具有调整末端执行器位置的功能。
操作臂的组成部分。
Outdated！6) 世界坐标系(World Coordinate System)：参照地球的直角坐标系。
7)机座坐标系、基坐标系(Base reference coordinate system)：参照机器人基座的坐标系，即机器人末端位姿的参考坐标系。
8)坐标变换(Coordinate Transformation)：将一个点的坐标描述从一个坐标系转换到另一个坐标系下描述的过程。
手腕机座手臂Yw XwZw9)位姿(Position&Pose)：机器人末端执行器在指定坐标系中的位置和姿态。
10)工作空间(Working Space)：机器人在执行任务时，其腕轴交点能在空间活动的范围。
由连杆尺寸和构形决定。
机器人的位姿描述与坐标变换
j i
R (a , ) R( Z , ) R( X , a )
Xi
Xm
Xj
cos sin j i R (a , ) 0
sin cos 0
0 1 0 0 cos a 0 1 0 sin a
0 cos sin sin a cos a 0
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
xi x j cos(X i , X j ) y j cos(X i , Y j ) z j cos(X i , Z j ) i P yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j ) z x cos(Z , X ) y cos(Z , Y ) z cos(Z , Z ) j i j j i j j i j i
T
5 21 7
2、坐标旋转（坐标系原点相同）
Zj Zi P
坐标系j由坐标系i旋转而成 已知点P在j坐标系的坐标：
Yj
j
P [x j
yj
z j ]T
Yi Xi Xj
求点P在i坐标系的坐标：
i
P [ xi
yi
zi ]T
Zj
Zi
zi
P
yj
zj
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
☺ 关于(Yi , X j )？
Z2 Z i (Z1 )
j f
R(Z i ,j )
j i
R(Y1 , )
R(Z 2 , f )
Zj
机器人运动学坐标变换
xi cos x j sin y j 0 z j yi sin x j cos y j 0 z j zi 0 x j 0 y j 1 z j
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
工 业 机 器 人
第3章
3.1.1 机器人位姿的表示
姿态可h ｏ ｐ(ｘ,ｙ,ｚ) h
ｏ ｙh ｙ
3.1 机器人的位姿描述
ｚ
余弦值组成3×3的姿态
矩阵来描述。
cos(x , x h ) cos(x , yh ) cos(x , z h ) R cos(y , x h ) cos(y , yh ) cos(y , z h ) cos(z , x h ) cos(z , yh ) cos(z , z h )
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
R
x , ij
第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
②绕x轴旋转α角的 旋转变换矩阵为：
机器人运动学
ｚi
3.2 齐次变换及运算
ｚj
α
0 0 1 0 cos sin 0 sin cos
ｘj
ｙj ｏi ｏj
xi x j cos y j sin yi x j sin y j cos zi z j
ｘi
ｙi
ｘj
2017年2月19日星期日
工 业 机 器 人
第3章
3.2.1 直角坐标变换
2、旋转变换
机器人运动学
3.2 齐次变换及运算
① 绕z轴旋转θ角 若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则有：
3位姿变换Trans-Matrix
与o-xyz之间的方位关系，即旋
0 0 1
sin z cos z 0
从
ob xb yb zb
到O-xyz的坐标变换
由
x x0 Rx b
x u cos z v sin z 得 y u sin z v cos z w z
x x0 Rxb
例题： 如图3-4所示，b 系
坐标原点与基坐标系 O-xyz 原 点重合， x 轴与 xb 轴之间的夹 角为θz，另外轴zb与轴z重合， 求表示 b 系相对于 O-xyz 的位 置矢量 x0 和方位矩阵 R，并求 空间一点从 b 系到 O-xyz 的坐 标变换。 z 解： （1）x0为零。
四、齐次坐标变换
1、 齐次坐标 将三维直角坐标系中点矢量（a,b,c）T用四维列向量 U=(x,y,z,w)T来表示，其中w是比例因子,且令a=x/w, b=y/w, c=z/w,则称(x,y,z,w)T为三维空间点（a,b,c）T的齐次坐标。 当取w=1,则（a,b,c）T的一个齐次坐标为（a,b,c，1）T。 例：
又称此矩阵为旋转矩阵
(4)R矩阵正交性:
由于n、o、a为三个坐标轴的单位矢量，于是有 n o 0, a o 0, na 0 n n 1, o o 1, a a 1 因此矩阵R是正交矩阵。 (5)刚体位姿描述： R P 用4× 4的齐次矩阵来表示刚体位姿 T 013 1 称此矩阵 为刚体位 姿矩阵
c s 0 s c 0 0 cb 0 0 1 sb 0 sb 1 0 0 cg 1 0 0 cb 0 sg 0 sg cg
[课件](工业机器人)位姿描述与齐次变换PPT
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
Ap b a b a b a c s cs b a
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(An a,A sb,A0)Ro(zA t,)s0
c
0
0 b 1 0
0
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！
问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
B在
A 中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A 1ps0 0
c
0 0
0 1 0
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
aacbs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs cb
坐 标 值
b 1 0b 1 0B A 0R
Ap 1OBB 1pA BTB 1p
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
机器人编程常用的四大语言介绍
机器人编程常用的四大语言介绍伴随着机器人的发展，机器人语言也得到了发展和完善，机器人语言已经成为机器人技术的一个重要组成部分。
机器人的功能除了依靠机器人的硬件支撑以外，相当一部分是靠机器人语言来完成的。
早期的机器人由于功能单一，动作简单，可采用固定程序或者示教方式来控制机器人的运动。
随着机器人作业动作的多样化和作业环境的复杂化，依靠固定的程序或示教方式已经满足不了要求，必须依靠能适应作业和环境随时变化的机器人语言编程来完成机器人工作。
下面就来了解一下常见的机器人编程语言吧！VAL语言一、VAL语言及特点VAL语言是美国Unimation公司于1979年推出的一种机器人编程语言，主要配置在PUMA和UNIMATION等型机器人上，是一种专用的动作类描述语言。
VAL语言是在BASIC语言的基础上发展起来的，所以与BASIC语言的结构很相似。
在VAL的基础上Unimation公司推出了VALⅡ语言。
VAL语言可应用于上下两级计算机控制的机器人系统。
上位机为LSI-11/23，编程在上位机中进行，上位机进行系统的管理；下位机为6503微处理器，主要控制各关节的实时运动。
编程时可以VAL语言和6503汇编语言混合编程。
VAL语言命令简单、清晰易懂，描述机器人作业动作及与上位机的通信均较方便，实时功能强；可以在在线和离线两种状态下编程，适用于多种计算机控制的机器人；能够迅速地计算出不同坐标系下复杂运动的连续轨迹，能连续生成机器人的控制信号，可以与操作者交互地在线修改程序和生成程序；VAL语言包含有一些子程序库，通过调用各种不同的子程序可很快组合成复杂操作控制；能与外部存储器进行快速数据传输以保存程序和数据。
VAL语言系统包括文本编辑、系统命令和编程语言三个部分。
在文本编辑状态下可以通过键盘输入文本程序，也可通过示教盒在示教方式下输入程序。
在输入过程中可修改、编辑、生成程序，最后保存到存储器中。
在此状态下也可以调用已存在的程序。
第二章_位姿描述和齐次变换(2010-09)
Py Puvw j y j y ( Pu iu Pv jv Pw k w )
x
Pw P Pv o
(O')
v y
Pu
Pz Puvw jz jz ( Pu iu Pv jv Pw k w )
acr cos(
mn mn
)
位置描述(position)---点在坐标系的位置
一旦建立了一个坐标系，我们就能够用某个3×1位置矢量来确定该空 间内任一点的位置。对于直角坐标系{A}，空间任一点p的位置可用3×1的 列矢量AP表示。其中，px、py、pz入是点p在坐标系{A}中的三个坐标分量。 Ap的上标A代表参考坐标系{A}。我们称Ap为位置矢量，见图2．1。
T
解2：用分步计算的方法 ① R（x, 90°）
1 0 0 1 1 P ' 0 0 - 1 2 3 0 1 0 3 2
（2-14）
② R（z, 90°）
0 - 1 0 1 3 P '' 1 0 0 3 1 0 0 1 2 2
(2.10)
旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
① 初始位置时，动静坐标系重合，O、O´ 重合，如图。各轴 对应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。 则P点在ΣO´uvw中可表示为：
z
Puvw Pu iu Pv ju Pw k w
在机器人工作台上加装一电视摄像机摄像机可见到固联着6dof关节机器人的机座坐标系原点它也可以见到被操作物体立方体的中心如果在物体中心建一局部坐标系则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵t来表示如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵t处它的xyz轴分别与机座坐标系的yxz轴平行
工业机器人技术基础
机器人 末端
右手定则
直角坐标系
1 机器人坐工标业系机器人基础知识
（2）直角坐标系 由于轨迹为空间插补，所以会遇到指定的位置和姿态不
能到达，即奇异现象。 常见的奇异有：
a）4、6轴共线附件，即5轴角度0附件。 b）2、3、5轴关节坐标系原点接近共线，即已经到达工作范 围边界。 c） 5轴关节坐标系原点在Z轴正上方附近。
T6
0 n
R
0
0 n
p
1
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
p
y
pz 1
3 机器人运工动业学机器人基础知识
逆运动学计算：
如何选取 某个解
3 机器人运工动业学机器人基础知识
逆动学应注意的问题：奇异性 奇异性：造成机器人运动能力缺失（缺少自由度）的特性。 工具坐标系常见的奇异有：
建立了各连杆坐标系后，n-1系与n系间的变换关系可以用坐标系的平移、旋转来实现。 从n-1系到n系的变换，可先令以n-1系绕Z n-1轴旋转θn角，再沿Z n-1轴平移dn ，然后沿Xn轴平移an ，最后绕 Xn轴旋转αn角，使得n-1系n系重合。 上述四次变换时应注意到坐标系在每次旋转或平移后发生了变动，后一次变换都是相对于动系进行的，因 此在运算中变换算子应该右乘。
动力学 ——动力学方程
惯性
离心
哥氏Leabharlann 粘摩静摩重力
外力
关节
力
力
力
擦
擦
力矩
••
•
••
•
•
B(q) q C1(q) q C2(q, q) q Fv q Fssign(q) G(q) f