高等数学公式定理全集(完整编辑版)
高等数学公式
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
2
22212211cos 12sin u du
dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ，
a
x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22=
'='?-='?='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-
='+=
'--
='-=
'?
?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
2222222?
????++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a
x a x a x dx x a C
a x x a a x x dx a x C
a x x a a x x dx a x I n
n xdx xdx I n n n
n arcsin 22ln 22)ln(221
cos sin 22
2222222
2222222
22
2
22
2
π
π
一些初等函数： 两个重要极限：
三角函数公式： ·诱导公式：
·和差角公式： ·和差化积公式：
2
sin
2sin 2cos cos 2cos
2cos 2cos cos 2sin
2cos 2sin sin 2cos
2sin
2sin sin β
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ
αβα-+=--+=+-+=--+=+α
ββαβαβαβ
αβαβ
αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=
±?±=
±=±±=±1
)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμx
x
arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x
x x
x x
x -+=-+±=++=+-=
=+=
-=
----11ln
21)1ln(1ln(:2
:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1
1(lim 1
sin lim
0==+=∞→→e x
x
x
x x x
·倍角公式：
·半角公式：
α
α
αααααααααααα
α
ααα
cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12
2
cos 12cos 2cos 12
sin -=
+=-+±=+=-=+-±
=+±=-±=ctg tg
·正弦定理：R C
c
B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：
C ab b a c cos 2222-+=
·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=
-=
2
arccos 2
arcsin π
π
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
)
()
()()2()1()(0
)
()()
(!
)1()1(!2)1()
(n k k n n n n n
k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=
---'=-)(F )
()
()()()()())(()()(ξξξ
曲率：
α
ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=
-=-=α
α
αααααααααα
αα22222212221
2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=
-=
-=-=-==
.
1
;0.)
1(lim M s M M :.,13202a
K a K y y ds d s K M M s
K tg y dx y ds s =='+''==??='?'???=
=''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α
ααα
α
定积分的近似计算：
???----+++++++++-≈
++++-≈
+++-≈
b
a
n n n b
a
n n b
a n y y y y y y y y n
a
b x f y y y y n a b x f y y y n
a
b x f )](4)(2)[(3)(])(2
1
[)()()(1312420110110ΛΛΛΛ抛物线法：梯形法：矩形法：
定积分应用相关公式：
??--==?=?=b
a
b a dt t f a b dx
x f a b y k r
m
m k F A
p F s
F W )(1)(1
,2
221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：
空间解析几何和向量代数：
。
代表平行六面体的体积为锐角时，
向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22
2
2
2
2
2
212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k
j i
b a
c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M
d z
y
x z y x
z
y x
z
y
x
z y x
z
y x z y x z
z y y x x z z y y x x u u ?
???
?????????????
??
?????????==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：
同号）
（、抛物面：、椭球面：二次曲面：
参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：
1
1
3,,2221
1};,,{,1
302),,(},,,{0)()()(122
222222
22222
222
22220000002
220000000000=+-=-+=+=++??
?
??+=+=+===-=-=-+++++=
=++=+++==-+-+-c
z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt
z z nt
y y mt
x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D
Cz By Ax d c
z
b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A ??
多元函数微分法及应用
z
y z x y x y x y x y x F F y z
F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x
v
v z x u u z x z y x v y x u f z t
v
v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z
u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -
=??-=??=?
-??
-??=-==??+??=??+??===???
??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=
， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：
时，
，当
：
多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22
)
,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0
),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v
G u
G v F
u
F v u
G F J v u y x G v u y x F v
u v u ???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=???== 隐函数方程组：
微分法在几何上的应用：
)
,,(),,(),,(30
))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}
,,{,0
),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()
()()
(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y
x y x x z x z z y z y -=
-=-=-+-+-==????
?====-'+-'+-''-=
'-='-??
?
??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：
上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线?
?ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：
上的投影。在是单位向量。方向上的
，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。
轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f l f
l j i e e y x f l
f j y
f i x f y x f y x p y x f z l x y f
x f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(??∴?+?=?=????+??=
=??+??=??=???
???????
?多元函数的极值及其求法：
????
???
??=-<-???><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22
000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x
重积分及其应用：
??????
??????????????
????++-=++=++==>===
=
==
?
??
?
????+??? ????+==='
D
z D
y D
x z y x D
y D
x D
D
y D
x
D
D D
a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M
M y d y x d y x x M
M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2
3
22
2
2
3
22
2
2
3
22
2
22D
2
2
)
(),()
(),()
(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ
ρσ
ρσ
ρσρσρσ
ρσ
ρσ
ρσ
ρθ
θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：
????????????????????????????????????Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
ΩΩ+=+=+====
=
=
===???=??
???=====???
??===dv
y x I dv z x I dv z y I dv
x M dv z M
z dv y M
y dv x M
x dr
r
r F d d d drd r
r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z
z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ??
θθ??θ?θ
??θ???θ?θ?θθθθθθθπ
πθ?)()()(1,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )
,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220
)
,(0
2
2
2
， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标：曲线积分：
??
?==<'+'=≤≤?
?
?==?
?)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t
x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L
?βαψ?ψ?βαψ?β
α
特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：
第一类曲线积分（对弧
。
，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！
减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；
、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为
和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00
)
,()
,(00==+=
+????????-===??-??=-=+=??-??+=??-??+=+'+'=+?
?
?==??????????????y x
dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y
P
x Q y
P
x Q G y x Q y x P G ydx
xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P
x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt
t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L
D L D L L
L
L
βαβαψψ??ψ?ψ?β
α
曲面积分：
??????????????????????
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++±=±=±=++++=ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx
yz
xy
xy
D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(2
2γβα系：两类曲面积分之间的关号。
，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正
号；，取曲面的上侧时取正
，其中：
对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：
??????????????????Ω
∑
∑
∑
∑
∑
Ω
∑=++==?
A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n ??
??
?div )cos cos cos (...
,0div ,div )cos cos cos ()(
成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
?????????Γ
Γ
∑
∑∑
Γ
?=++Γ??
????=
??=
????=????=????????
=??????++=??-??+??-??+??-??ds
t A Rdz Qdy Pdx A R
Q P z y x A y P
x Q x R z P z Q y R R
Q
P
z y x R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P
x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ?
???的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k
j i rot cos cos cos )()()(
γβ
α
常数项级数：
是发散的
调和级数：等差数列：等比数列：n
n
n n q q q q q n n 1
312112
)1(3211111
2
+++++=
++++--=
++++-ΛΛΛ 级数审敛法：
散。
存在，则收敛；否则发、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散
时，级数收敛
，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞
→+∞→∞
→+++=??
?
??=><=??
?
??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211Λρρρρρρρρ
。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和
如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n
n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u ΛΛ绝对收敛与条件收敛：
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
１时发散ｐ
级数： 收敛；
级数：收敛；
发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11
1
)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n
n n n Λ
ΛΛΛ 幂级数：
01
0)3(lim
)3(111
1111
221032=+∞=+∞
===
≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n
n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。
，其中时不定
时发散时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散
时，收敛于
ρρρ
ρρΛΛΛΛ函数展开成幂级数：
Λ
ΛΛ
Λ+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00
lim )(,)()!1()
()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：
)
()!12()1(!5!3sin )11(!
)1()1(!2)1(1)1(1
21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--x n x
x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n
m ΛΛΛΛΛ 欧拉公式：
???
????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix
ix ix e e x e e x x i x e 或 三角级数：
。
上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。
，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )
sin cos (2)sin()(00101
0ππω???ω-====++=++=∑∑∞
=∞
=ΛΛnx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n
傅立叶级数：
是偶函数 ，余弦级数：是奇函数
，正弦级数：（相减）
（相加）
其中，周期∑?
∑???∑+=
==
======+-+-=++++=+++=
+++???
?
???=====++=--∞
=nx a a x f n nxdx x f a b nx b x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n
n n n n n n n cos 2
)(2,1,0cos )(2
0sin )(3,2,1n sin )(2
012413121164
1312112461412185
1311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(1
2)sin cos (2)(0
2
2222
2222
222
2
221
0ΛΛΛΛΛΛΛΛπ
π
π
ππ
ππ
π
πππππππ
周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：
???
?
???=====++=??∑--∞=l
l n l l n n n n n dx l x n x f l b n dx l x
n x f l a l
l
x n b l x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos
)(12)sin cos (2)(10ΛΛ 其中，周期ππππ
微分方程的相关概念：
即得齐次方程通解。
，
代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。
得：的形式，解法：
为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x
y
y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0
),(),(),(???一阶线性微分方程：
)
1,0()()(2))((0)(,0)()
()(1)()()(≠=+?
+?=≠?
===+?--n y x Q y x P dx
dy
e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx
dy
n dx
x P dx
x P dx
x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：
二阶微分方程：
时为非齐次
时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy
x P dx y d
全微分方程：
通解。
应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u
y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
2
122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：
为常数；，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r
二阶常系数非齐次线性微分方程
型
为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''
高等数学常用公式大全
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学所有公式汇总
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数上册归纳公式篇 完整
公式篇 目录 一、 1.常用双曲函数 2.常用等价无穷小 3.两个重要极限 二、 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 2.n阶导数公式 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算 三、 1.一阶中值定理 2.高阶中值定理 3.部分函数使用麦克劳林公式展开 4.曲率 四、 1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分 五、 1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数 3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 4.三角相关定积分 5.典型反常积分的敛散性 6.Γ函数(选) 六、 1.平面图形面积 2.体积 3.弧微分公式 七、 1.可降阶方程 2.变系数线性微分方程 3.常系数齐次线性方程的通解 4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(选) 一、函数与极限 1.常用双曲函数( sh(x).ch(x).th(x) ) 2.常用等价无穷小(x→0时)
3.两个重要极限 二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 (凡是“余”求导都带负号) 2.n阶导数公式 特别地,若n λ = 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 函数的0阶导数可视为函数本身 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算(x?很小时) (注意与拉格朗日中值定理比较) 常用: (与等价无穷小相联记忆) 三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 () a连续,) a可导 ) (b , [b f在] (x , 罗尔定理 ( 端点值相等) a f f= ) ( (b ) 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (0 ) x g≠0 ) ('≠ 2.高阶中值定理 () (+ a上有直到)1 n阶导数 ) (x f在) , (b
高中高等数学公式汇总
空间解析几何和向量代数： 。 代表平行六面体的体积为锐角时， 向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 21212 1221221221c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ? ??? ????????????? ?? ?????????==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-= = （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面： 同号） （、抛物面：、椭球面：二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 30 2),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A ??
大学全册高等数学知识点(全)
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
高等数学公式定理整理
高等数学公式定理整理 1.01 版 本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理红色为公式 三角函数恒等公式： 两角和差 cos(a ? cos a ?cos B sin a ?sin B COS (a - [3 ) cos a os a +°s C a in a*s sin( a±3 ) sin a in a ±cos a os a ?s tan( a + 、(tan a +tan 3 a 3) (1-tan a an a ? ta tan( a - | 和差化积 3 ) (tan a -tan 3 an 3tan a an a ? ta a^icosg sin a -sin 3= 2cos[ cos a -cos 3= -2sin[(a + 3)in[( a - 3) 2 2 (a + 2 3)in [号) cos a + cos 3= 2cos[ (a + 2
积化和差 1 ? sin a in a = c[sin( a+ B ) sin( a- B )] cos a os a=~Ssin( a+ B -sin( a- B )] 1 cos a os a = c[cos( a+ B + COS(a- B )] 1 sin a in a=,-s[cos( a+ B - cos( a- B )] 倍角公式(部分)：很重要！ sin2 a = 2 2sin a sin a= ? (tan a+ cot ao cos2 a ==cos2a- sin2a= 2cos2a-1 = 1- 2sin2a tan2 a= 2ta n a 1-tan2a 、函数 函数的特性：
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d () x x ax b +?＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C 11．x ?＝22(3215ax b C a - 12．x x ?＝22232(15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22(23ax b C a - 14． 2x ＝22232(34815a x abx b C a -+
15 ． ＝(0)(0)C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b 18 ．x ＝2a x -+? （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0)(0)C b C b ?+>+< 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 21ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +?＝21d a x bx b ax b --+?
(word完整版)高等数学公式定理整理
高等数学公式定理整理 1.01版 本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理 红色为公式 三角函数恒等公式： 两角和差 tan αanα·ta +tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta -(1tan βa +(tan α= β)+tan(αcos αosα·s ±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(?-?=+ 和差化积 ] 2 β) -(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β) -(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α] 2β) -(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α] 2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α
积化和差 β)] -cos(α-β)+[cos(α2 1 -=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21 =cos αosα·c β)] -sin(α-β)+[sin(α21 =cos αosα·s β)] -sin(α+β)+[sin(α21 =sin αinα·c 倍角公式（部分）：很重要！ α tan -1α tan 2= tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2 = 2sin αsinα·=sin2α22222 一、函数 函数的特性： 1.有界性： 假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。则称f （x ）是D 的有界函数。 如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。 2.单调性 设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。X1，x2∈I ，那么，如果x1
高中数学常用公式及定理
高中数学常用公式及定理 1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数 学成绩将会起到很大的作用。 2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。 1.元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ()U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个；非空子集有2n －1个；非 空的真子集有2n －2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式：()N f x M <
高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大 全) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π
高等数学重要定理及公式
高等数学重要定理及公式
作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫 说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word 及MathType 输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。 线性代数重要公式 1.矩阵与其转置矩阵关系：E A AA =* 2.矩阵行列式：*1 1A A A =- 1*-=n A A *1*)(A k kA n -= ? ? ??? ?????=-=-<=n A r n n A r n A r A r )(,1)(,11)(,0)(* 3.矩阵与其秩：{}()min (),()()()() (,)()() (,)max(()()) r AB r A r B r A B r A r B r A B r A r B r A B r A r B ≤+≤+≤+≥+ 4.齐次方程组0=Ax ：非0解?线性相关?n A R =)( 5.非齐次方程组b Ax =：有解??=)()(A R A R 线性表出 6.相似与合同：相似—n 阶可逆矩阵A,B 如果存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 则A 与B 相 似，记作：B A ~；合同—A,B 为n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵C 使得AC C B T =则称A 与B 合同。（等价，A 与B 等价—A 与B 能相互线性表出。） 7，特征值与特征向量：λαα=A ，求解过程：求行列式0=-A E λ 中参数λ即为特征值，再求解0)(=-x A E i λ即可求出对应的特征向量。矩阵A 的特征值与A 的主对角元及 行列式之间有以下关系：? ? ? ???????==∑∑A a n n ii n i λλλλ...2111。上式中∑==n i ii a A 1)(tra 称为矩阵的迹。 8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A 的互异特征值对应的特征向 量线性无关；若n 阶矩阵的特征值都是单特征根，则A 能与对角矩阵相似；n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A 的每一个i k 重特征根，齐次方程组0)(=-x A E i λ的基础解析由i k 个解向量组成即对应每一个i k 重特征根i λi i k n A E R -=-)(λ。 9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A 为一个实对称矩阵，那么对应于A 的不同特征值的特征向量彼此正交。任意n 阶实对称矩阵A 都存在一个n 阶正交矩阵C ，使得 AC C AC C T 1-=为对称矩阵。
同济高等数学公式大全
同济高等数学公式大全 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
大学高数常用公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 高数中的重要定理与公式及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。 1）常用的极限 0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1 lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想 过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1 lim(1 )x x x e →+=与0sin lim 1x x x →=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技 巧。 证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限1 0lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x →+=。 01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0 lim 11 t t t e →=-。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01 lim 1x x e x →-=。 01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011 lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011lim ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。因此有01 lim ln x x a a x →-=。 导数公式： 基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-=' 31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32． ＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C 初中数学常用公式定理 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a ．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a ＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、幂的运算性质：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤()n＝n． ⑥a－n ＝1 n a，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3- )3＝27a9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如： ①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝ 24 b b ac -±- 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点． 10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反． 11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或 高数中的重要定理与公式及其证明(二) 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。 6) 定积分比较定理 … b 如果在区间［a,b］上恒有f(x)^O，则有［f(x)dxAO b b 推论：i如果在区间［a,b］上恒有f(x)Ag(x)，则有f f (x)dx A j g(x)dx ; ii设M和m是函数f(x)在区间［a b ］上的最大值与最小值，则有： b m(b-a)岂 f (x)dx 岂 M (b-a) '■ a 【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。 7) 定积分中值定理 设函数f(x)在区间［a,b］上连续，则在积分区间［a,b］上至少存在一点?使得下式成立： b a f (x)dx 二 f ( )( b -a) 【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。 8) 变上限积分求导定理 x 如果函数f(x)在区间［a,b ］上连续，则积分上限的函数 ①(x)=［ f(x)dx 在［a,b ］上 ■■a 可导，并且它的导数是 设函数 F (x) f (t)dt ，则有 F (x) = f (u(x))u (x) - f (v(x))v (x)。 t(x) 【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材 9) 牛顿-莱布尼兹公式 b 如果函数f(x)在区间［a,b ］上连续，则有f f(x)dx = F(b)-F(a)，其中F(x)是 y a f (x)的原函数。 【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的 推论。具体证明过程见教材。 10) 费马引理： 设函数f (x)在点x 0的某领域U (x 0)内有定义，并且在x 0处可导，如果对任意的 X U(x °)，有 f(x °) _ f (x)或 f(xj 一 f (x)，那么 f (X 。)=0 【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是 很重要的思想方法。具体证明过程见教材。 11) 罗尔定理： 如果函数f(x)满足 (1) 在闭区间［a,b ］上连续； (2) 在开区间(a,b)上可导 (3) 在区间端点处的函数值相等，即 f(a) = f(b) 那么在(a, b)内至少存在一点 (a 「：：： b)，使得f'( ) = 0。 【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理； 它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相 互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主 要的证明方法。中 值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过 程见教材。 "(X ) dx a f (x)dx 二 f (x),a 乞x 岂b高数中的重要定理与公式及其证明(一)
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