第十一章 恒定磁场
灯泡发光 电容器释放能量 电源提供
把a、b直接连起来，灯泡持续发光。
非静电力： 能把正电荷从电势较低点 （如电源负极板）送到电势较高点（ 如电源正极板）的作用力称为非静电 力，记作Fk。
非静电场强
Ek
Fk q
提供非静电力的装置就是电源。
+–
静电力欲使正电荷从高电势到低电势。
非静电力欲使正电荷从低电势到高电势。
P
X
B
0I 4a
(cos1
cos 2 )
I 2
无限长载流直导线
P
1 0 2
B 0I 2a
1
直导线上或其延长线上
B
1 2 0
B0
I
2. 圆型电流轴线上的磁场
Y
已知: R、I，求轴线上P I
点的磁感应强度。
Idl
建立坐标系OXY
O
r0
R
dB dB
p•
dBx
X
任取电流元 Idl
大小
dB
静电平衡时，导体内电 导体内电场不为零，导体 场为零，导体是等势体 内任意两点不是等势
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
维持静电场不需要能 量的转换
稳恒电场的存在总要 伴随着能量的转换
11－2 电源 电动势
实验
K
ab
开关倒向a, 电容器充电。
开关倒向b, 电容器放电。
载流圆环 圆心角 2 B 0I
2R
B
I
载流圆弧 圆心角
B 0 I • 0 I 2R 2 4R
B
I
练 如图，求圆心O点的 B 习
I
O
•
R
B 0I
4R
I
R
O•
B 0I •
8R
R
•O I
B 0I 0I 4R 2R
•
2 3 I
•R
O
B 0I 0I (1 3 ) 6R R 2
方向:右手螺旋
B
dB
0 4
Idy sin
r2
Y
I 2
dy
r
y
1
r0
O
a
dB
P
X
统一积分变量
dy a csc2 d
y acot( ) acot
Y
r a sin
B
0 I sindy 4 r2
2
1
0 4a
I
sin d
I 2
dy
r
y
B
0I 4a
(cos1
cos 2 )
O
1
r0
a
dB
OR
x
dB dB
p•
dBx
X
结论
大小：
B 0IR2
2(R2 x2 )3 2
方向： 右手螺旋法则，圆环左右两侧磁场 的方向如何？
B
2
0I R2
(R2 x2
)3
2
1. x R B ?
m ISn B
2
0m
(R2 x2
)3
2
B
0 IR 2
2x3
0I R2 2 x3
0 IS 2 x3
2. x 0 B ?
v
+
Fm
B
11-4 毕奥---萨伐尔定律（毕－萨定律）
I dB
一、毕奥-萨伐尔定律
电流元
Idl
.P
dB
0 4
Idl sin
r2
r
方平向面，判d断B和：dIBdl的及方r向三垂0矢直4量于满电1足0流7矢T元m量IAd叉l1 乘与关r 系组。成的
——右手螺旋定则
dB
0 4
Idl rˆ r2
第十一章 恒定磁场
静止的电荷产生静电场，静电场 是一种物质。运动电荷周围既有电场 又有磁场，磁场也是一种物质。恒定 电流（运动电荷）的磁场在研究方法 上与静电场有许多相似之处，因此要 与静电场部分类比学习。
电流密度（矢量）
用来细致刻画电流在截面上分布的物理量。
垂直通过单位截面的电流强度，称为此处的电流 密度。
注意：电动势 是标量
基本的磁现象
天然磁石
S
同极相斥
N
异极相吸
S
N
电流的磁效应 1820年 奥斯特
I
SN
F F I
电子束
S
+
N
静止电荷 静电场
运动电荷 电场 磁场
稳恒电流 稳恒磁场
学习方法： 类比法
11-3 磁场 磁感应强度
电流（或磁铁） 磁场 电流（或磁铁）
磁场对外的重要表现为： 1、磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力作
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
R
I
求：
20 A a 4cm P、R、S、T四点的
B
•
a
LI
L I
A a
•P
解： P点 B p BLA BLA
S•a
•T
0 0 I 5 105T 4a
方向
R 点 BR BLA BLA
0 I (cos 0 cos 3 ) 0I (cos 1 cos )
S
dt
稳恒电流：导体内各处的电流密度都不随时间变化( 即导体内任何地方无电荷堆积)
对稳恒电流有：
j dS 0
S
在稳恒电流情况下，导体内电荷的分布不随时间改
变。不随时间改变的电荷分布产生不随时间改变的
电场，这种电场称稳恒电场。
l E dl 0
静电场
稳恒电场
产生电场的电荷始终 固定不动
电荷分布不随时间改变， 但伴随着电荷的定向移动
j dI dS
方向：该点场强的方向。
dI
dS
dI j n
dS
电流密度和电流强度的关系
dI jdS jdS cos j dS
I
S
j
dS
dq dt
dI dS dS
通过某曲面的电流强度就是通过该曲面的电流密 度的通量。
I S j dS
二、稳恒电场
I S j dS
j dS dq ——电流的连续性方程
0 4
Idl r2
方向 且知
Idl r0
Idl r0
分析对称性、写出分量式
B
dB 0
Bx
dB x
0 Idl sin 4 r2
统一积分变量 sin R r
Bx
dB x
0 Idl sin 4 r2
0 IR 4r 3
dl
0IR2
2(R2 x2 )3 2
Y
I Idl
r0
电动势 ： 把单位正电荷从负极经电 源内部移到正极时，电源中非静电力 所做的功。
Ek dl
与电势差公式比较
+–
方向：自负极经电源内部到正极的方向为正方向。
电源外部Ek为零， Ek dl Ek dl
单位正电荷绕闭合回路一周时，电L源中非静电力所
做的功。
电动势描述电路中非静电力做功本领 电势差描述电路中静电力做功本领
用，对静止电荷无作用。
2、载流导体在磁场中移动时，磁力将对载流导体作 功，表明磁场具有能量。
磁感应强度
运动电荷在磁场中受力与 运动方向有关
大小: B Fmax q0v
v
+ B
方向: 不受磁场力时v 的方向。
与小磁针在该点的N极指向一致或相 反
单位: T (特斯拉)
1T 104G (高斯)
磁力
0 4
Idl r r3
毕奥-萨伐尔定律
毕奥-萨伐尔定律
dB
0 4
Idl r
r3
对一段载流导线
B
dB
0
4
Idl r L r3
二、 毕奥---萨伐尔定律的应用举例
1.载流直导线的磁场
已知：真空中I、1、 2、a
建立坐标系OXY
任取电流元 Idy
大小
dB 0 Idy sin 4 r 2
大学物理（下）十一章十二章作业与解答
⼤学物理（下）⼗⼀章⼗⼆章作业与解答第⼗⼀章恒定磁场⼀. 选择题1．在⼀平⾯内，有两条垂直交叉但相互绝缘的导线，流经两条导线的电流⼤⼩相等，⽅向如图，在哪些区域中有可能存在磁感应强度为零的点？(A) 在Ⅰ、Ⅲ象限(B) 在Ⅰ、Ⅳ象限(C) 在Ⅱ、Ⅲ象限(D) 在Ⅱ、Ⅳ象限[ ]2. 载流导线在同⼀平⾯内，形状如图，在圆⼼O处产⽣的磁感应强度⼤⼩为(A)(B)(C)(D) [ ]注意见第11章课件最后的总结的那个图，半圆载流回路在圆⼼处的磁感强度是多少？3. ⼀圆形回路1及⼀正⽅形回路2，圆的直径与正⽅形边长相等，⼆者中通有⼤⼩相同电流，则它们在各⾃中⼼处产⽣的磁感应强度⼤⼩之⽐为(A) 0.90(B) 1.00(C) 1.11(D) 1.22 [ ]注意教材page304,及课件最后总结的那个图4. 在磁感应强度为的均匀磁场中做⼀半径为r的半球⾯S，S边线所在平⾯的法线⽅向单位⽮量与的夹⾓为θ，则通过半球⾯S 的磁通量（取半球⾯向外为正）为(A)(B)(C)(D)[ ]5. 如图，⽆限长载流直导线附近有⼀正⽅形闭合曲⾯S，当S向导线靠近时，穿过S的磁通量和S上各点的磁感应强度的⼤⼩B 将(A) 增⼤，B增强(B) 不变，B不变(C) 增⼤，B不变(D) 不变，B增强[ ]6. 取⼀闭合积分回路L，使若⼲根载流导线穿过它所围成的⾯，若改变这些导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则(A) 回路L内的电流的代数和不变，L上各点的不变(B) 回路L内的电流的代数和不变，L上各点的改变(C) 回路L内的电流的代数和改变，L上各点的不变(D) 回路L内的电流的代数和改变，L上各点的改变[ ]7. 如图，两根导线ab和cd沿半径⽅向被接到⼀个截⾯处处相等的铁环上，恒定电流I 从a端流⼊⽽从d端流出，则磁感应强度沿闭合路径L的积分等于(A)(B)(C)(D)[ ]8. ⼀电荷为q的粒⼦在均匀磁场中运动，下列说法正确的是(A) 只要速度⼤⼩相同，粒⼦所受的洛仑兹⼒就相同(B) 在速度不变的前提下，若电荷q变为 -q，则粒⼦受⼒反向，数值不变(C) 粒⼦进⼊磁场后，其动能和动量都不变(D) 洛仑兹⼒与速度⽅向垂直，所以带电粒⼦运动的轨迹必定是圆[ ]9. 质量为m、电量为q的粒⼦，以速度v垂直射⼊均匀磁场中，则粒⼦运动轨道包围范围的磁通量与磁感应强度的⼤⼩之间的关系曲线为[ b ]注意见P317,(11.30)10. 如图，长直载流导线与⼀圆形电流共⾯，并与其⼀直径相重合(两者间绝缘),设长直电流不动，则圆形电流将(A) 向上运动(B) 绕旋转(C) 向左运动(D) 向右运动(E) 不动[ ]11. 磁场中有⼀载流圆线圈，其既不受⼒也不受⼒矩作⽤，这说明(A) 该磁场⼀定均匀，且线圈的磁矩⽅向⼀定与磁场⽅向平⾏(B) 该磁场⼀定不均匀，且线圈的磁矩⽅向⼀定与磁场⽅向平⾏(C) 该磁场⼀定均匀，且线圈的磁矩⽅向⼀定与磁场⽅向垂直(D) 该磁场⼀定不均匀，且线圈的磁矩⽅向⼀定与磁场⽅向垂直[ ]注意见P325 第⼆段表述，11.36式12. ⽤细导线均匀密绕成长为l、半径为a（l >>a）、总匝数为N的螺线管，管内充满相对磁导率为的均匀磁介质，线圈中载有电流I，则管中任⼀点(A) 磁感应强度⼤⼩为(B) 磁感应强度⼤⼩为(C) 磁场强度⼤⼩为(D) 磁场强度⼤⼩为[ ]⼆. 填空题13.如图，电流元在P点产⽣的磁感应强度的⼤⼩为___________________.14. 真空中有⼀载有电流I的细圆线圈，则通过包围该线圈的闭合曲⾯S的磁通量Φ=________________. 若通过S⾯上某⾯元的磁通为，⽽线圈中电流增加为2I时，通过该⾯元的磁通为，则_______________.0 ； 1︰215. 如图，两平⾏⽆限长载流直导线中电流均为I，两导线间距为a，则两导线连线中点P的磁感应强度⼤⼩，磁感应强度沿图中环路L的线积分_______________________.0 ；16. 恒定磁场中，磁感应强度对任意闭合曲⾯的积分等于零，其数学表⽰式是____________，这表明磁感应线的特征是_________________________. ；闭合曲线17. ⼀长直螺线管是由直径的导线密绕⽽成，通以的电流，其内部的磁感应强度⼤⼩B =_____________________.（忽略绝缘层厚度）18. 带电粒⼦垂直磁感应线射⼊匀强磁场，它做______________运动；带电粒⼦与磁感应线成300⾓射⼊匀强磁场，则它做__________________运动；若空间分布有⽅向⼀致的电场和磁场，带电粒⼦垂直于场⽅向⼊射，则它做__________________运动.圆周；螺旋线；变螺距的螺旋线19. 在霍尔效应实验中，通过导电体的电流和的⽅向垂直（如图）.如果上表⾯的电势较⾼，则导电体中的载流⼦带___________电荷；如果下表⾯的电势较⾼，则导电体中的载流⼦带___________电荷.正；负20. 如图，⼀载流导线弯成半径为R的四分之⼀圆弧，置于磁感应强度为的均匀磁场中，导线所受磁场⼒⼤⼩为______________，⽅向为_____________.； y轴正向注意：积分IRBdθ，θ的积分上下限？21. 如图，半径为R的半圆形线圈通有电流I，线圈处在与线圈平⾯平⾏指向右的均匀磁场中，该载流线圈磁矩⼤⼩为___________，⽅向____________；线圈所受磁⼒矩的⼤⼩为_________________，⽅向_____________.；垂直纸⾯向外；；向上22. 磁场中某点，有⼀半径为R、载有电流I的圆形实验线圈，其所受的最⼤磁⼒矩为M，则该点磁感应强度的⼤⼩为_________________.注意见教材324页三. 计算题23. 如图，两长直导线互相垂直放置，相距为d，其中⼀根导线与z轴重合，另⼀与x轴平⾏且在Oxy平⾯内，设导线中皆通有电流I，求y轴上与两导线等距的P点处的磁感应强度.解：长直载流导线在距其r处的磁感应强度为两长直载流导线在P点产⽣的磁感应强度⽅向⼀沿z轴⽅向，⼀沿x轴负⽅向且⽅向平⾏于Oxz平⾯与Oxy⾯成45o，如图⽰。
第十一章 恒定磁场
dB
0
R Indx
2
x Rcot
B
2018/8/15
0 nI
2
1
2
R csc d 0 nI 3 3 2 R csc
3 2
2
1
sin d
23
shenyuhm44@
11 – 4 毕奥-萨伐尔定律
讨 论
B
0 nI
2
cos 2 cos 1
1 0 nI 2
l 2
O
0 nI
x
l 2
25
shenyuhm44@
11 – 5 磁通量 磁场的高斯定理 一 磁感线 规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强 度 B 的大小.
I I I
2018/8/15
shenyuhm44@
2018/8/15
B
0 IR
2
2 2 3/ 2
22
（ 2 x R）
shenyuhm44@
11 – 4 毕奥-萨伐尔定律
1
x1
o p
++ + + + + + + + + + + + + +
2
x2
x
2 R 2 x 2 3/ 2 2 dx R csc d 0 nI x 2 R 2dx B dB 2 2 2 2 3 / 2 2 2 R x R csc 2 x1 R x
11 – 4 毕奥-萨伐尔定律 (2) 无限长的螺线管 （3）半无限长螺线管
大学物理答案第11章
第十一章恒定磁场11－1两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R和r的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R＝2r，螺线管通过的电流相同为I，螺线管中的磁感强度大小满足（）（A）（B）（C）（D）分析与解在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比因而正确答案为（C）.11－2一个半径为r的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量为（）（A）（B）（C）（D）题11-2 图分析与解作半径为r的圆S′与半球面构成一闭合曲面，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，即穿进半球面S 的磁通量等于穿出圆面S′的磁通量；．因而正确答案为（D）．11－3下列说法正确的是（）（A）闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过（B）闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零（C）磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零（D）磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可能为零分析与解由磁场中的安培环路定律，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和必定为零.因而正确答案为（B）．11－4在图（ａ）和（ｂ）中各有一半径相同的圆形回路L1 、L2 ，圆周内有电流I1 、I2 ，其分布相同，且均在真空中，但在（ｂ）图中L2 回路外有电流I3 ，P1 、P2 为两圆形回路上的对应点，则（）（A），（B），（C），（D），题11-4 图分析与解由磁场中的安培环路定律，积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回路的积分；但同样会改变回路上各点的磁场分布．因而正确答案为（C）．11－5半径为R的圆柱形无限长载流直导体置于均匀无限大磁介质之中，若导体中流过的恒定电流为I，磁介质的相对磁导率为μｒ（μｒ＜1），则磁介质内的磁化强度为（）（A）（B）（C）（D）分析与解利用安培环路定理可先求出磁介质中的磁场强度，再由M＝（μｒ－1）H求得磁介质内的磁化强度，因而正确答案为（B）．11－6北京正负电子对撞机的储存环是周长为240 m的近似圆形轨道，当环中电子流强度为8 mA时，在整个环中有多少电子在运行？已知电子的速率接近光速.分析一个电子绕存储环近似以光速运动时，对电流的贡献为，因而由，可解出环中的电子数.解通过分析结果可得环中的电子数11－7已知铜的摩尔质量M ＝63.75ｇ·mol－1，密度ρ＝8.9 g· cm－3 ，在铜导线里，假设每一个铜原子贡献出一个自由电子，（1）为了技术上的安全，铜线内最大电流密度，求此时铜线内电子的漂移速率v d；（2）在室温下电子热运动的平均速率是电子漂移速率v d的多少倍？分析一个铜原子的质量,其中N A为阿伏伽德罗常数，由铜的密度ρ可以推算出铜的原子数密度根据假设，每个铜原子贡献出一个自由电子，其电荷为e，电流密度．从而可解得电子的漂移速率v d．将电子气视为理想气体，根据气体动理论，电子热运动的平均速率其中k为玻耳兹曼常量，m e为电子质量．从而可解得电子的平均速率与漂移速率的关系．解（1）铜导线单位体积的原子数为电流密度为j m时铜线内电子的漂移速率（2）室温下（T＝300 Ｋ）电子热运动的平均速率与电子漂移速率之比为室温下电子热运动的平均速率远大于电子在恒定电场中的定向漂移速率．电子实际的运动是无规热运动和沿电场相反方向的漂移运动的叠加．考虑到电子的漂移速率很小，电信号的信息载体显然不会是定向漂移的电子．实验证明电信号是通过电磁波以光速传递的．11－8有两个同轴导体圆柱面，它们的长度均为20 m，内圆柱面的半径为3.0 mm，外圆柱面的半径为9.0 mm.若两圆柱面之间有10 μA电流沿径向流过，求通过半径为6.0 mm的圆柱面上的电流密度．题11-8 图分析如图所示是同轴柱面的横截面，电流密度j对中心轴对称分布．根据恒定电流的连续性，在两个同轴导体之间的任意一个半径为r的同轴圆柱面上流过的电流I 都相等，因此可得解由分析可知，在半径r＝6.0 mm的圆柱面上的电流密度11－9如图所示，已知地球北极地磁场磁感强度B的大小为6.0×10－5T．如设想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的，此电流有多大？流向如何？解设赤道电流为I，则由教材第11－4节例2 知，圆电流轴线上北极点的磁感强度因此赤道上的等效圆电流为由于在地球地磁场的Ｎ极在地理南极，根据右手螺旋法则可判断赤道圆电流应该是由东向西流，与地球自转方向相反．题 11-9 图11－10如图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a、b两点，并与很远处的电源相接.求环心O的磁感强度．题11-10 图分析根据叠加原理，点O的磁感强度可视作由ef、b e、fa三段直线以及ac b、a d b两段圆弧电流共同激发．由于电源距环较远，．而b e、fa两段直线的延长线通过点O，由于，由毕奥－萨伐尔定律知．流过圆弧的电流I1、I2的方向如图所示，两圆弧在点O激发的磁场分别为,其中l1、l2分别是圆弧ac b、a d b的弧长，由于导线电阻R与弧长l成正比，而圆弧ac b、a d b 又构成并联电路，故有将叠加可得点O的磁感强度B．解由上述分析可知，点O的合磁感强度11－11如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，它们在点O的磁感强度各为多少？题 11-11 图分析应用磁场叠加原理求解．将不同形状的载流导线分解成长直部分和圆弧部分，它们各自在点O处所激发的磁感强度较容易求得，则总的磁感强度.解（ａ）长直电流对点O而言，有，因此它在点O产生的磁场为零，则点O 处总的磁感强度为1/4 圆弧电流所激发，故有B0的方向垂直纸面向外．（ｂ）将载流导线看作圆电流和长直电流，由叠加原理可得B0的方向垂直纸面向里．（c）将载流导线看作1/2 圆电流和两段半无限长直电流，由叠加原理可得B0的方向垂直纸面向外．11－12载流导线形状如图所示（图中直线部分导线延伸到无穷远），求点O的磁感强度B．题11-12 图分析由教材11－4 节例题2的结果不难导出，圆弧载流导线在圆心激发的磁感强度，其中α为圆弧载流导线所张的圆心角，磁感强度的方向依照右手定则确定；半无限长载流导线在圆心点O激发的磁感强度，磁感强度的方向依照右手定则确定.点O的磁感强度可以视为由圆弧载流导线、半无限长载流导线等激发的磁场在空间点O的叠加.解根据磁场的叠加在图（ａ）中，在图（ｂ）中，在图（c）中，11－13如图(a)所示，载流长直导线的电流为I，试求通过矩形面积的磁通量．题11-13 图分析由于矩形平面上各点的磁感强度不同，故磁通量Φ≠BS．为此，可在矩形平面上取一矩形面元d S＝l d x，如图（ｂ）所示，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为矩形平面的总磁通量解由上述分析可得矩形平面的总磁通量11－14已知10 mm2裸铜线允许通过50 A电流而不会使导线过热．电流在导线横截面上均匀分布．求导线内、外磁感强度的分布.题11-14 图分析可将导线视作长直圆柱体，电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场必然呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上的各点，B大小相等、方向与电流成右手螺旋关系．为此，可利用安培环路定理，求出导线表面的磁感强度．解围绕轴线取同心圆为环路L，取其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理，有在导线内r＜R，，因而在导线外r＞R，，因而磁感强度分布曲线如图所示．11－15有一同轴电缆，其尺寸如图（ａ）所示．两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑．试计算以下各处的磁感强度：（1）r＜R1；（2）R1＜r＜R2；（3）R2＜r＜R3；（4）r＞R3．画出B－r图线．题11-15 图分析同轴电缆导体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称，取半径为r的同心圆为积分路径，，利用安培环路定理，可解得各区域的磁感强度．解由上述分析得r＜R1R1＜r＜R2R2＜r＜R3r＞R3磁感强度B（r）的分布曲线如图（ｂ）．11－16如图所示，N匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上．求通入电流I后，环内外磁场的分布．题11-16 图分析根据右手螺旋法则，螺线管内磁感强度的方向与螺线管中心轴线构成同心圆，若取半径为r的圆周为积分环路，由于磁感强度在每一环路上为常量，因而依照安培环路定理，可以解得螺线管内磁感强度的分布．解依照上述分析，有r＜R1R2＞r＞R1r＞R2在螺线管内磁感强度B 沿圆周，与电流成右手螺旋．若和R2，则环内的磁场可以近似视作均匀分布，设螺线环的平均半径，则环内的磁感强度近似为11－17电流I均匀地流过半径为R的圆形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过图中所示剖面的磁通量．题11-17 图分析由题11－14 可得导线内部距轴线为r处的磁感强度在剖面上磁感强度分布不均匀，因此，需从磁通量的定义来求解．沿轴线方向在剖面上取面元ｄS＝lｄr，考虑到面元上各点B相同，故穿过面元的磁通量ｄΦ＝BｄS，通过积分，可得单位长度导线内的磁通量解由分析可得单位长度导线内的磁通量11－18已知地面上空某处地磁场的磁感强度，方向向北．若宇宙射线中有一速率的质子，垂直地通过该处．求：（1）洛伦兹力的方向；（2）洛伦兹力的大小，并与该质子受到的万有引力相比较．题11-18 图解（1）依照可知洛伦兹力的方向为的方向，如图所示．（2）因，质子所受的洛伦兹力在地球表面质子所受的万有引力因而，有，即质子所受的洛伦兹力远大于重力．11－19霍尔效应可用来测量血流的速度，其原理如图所示．在动脉血管两侧分别安装电极并加以磁场．设血管直径为d＝2.0 mm，磁场为B＝0.080 T，毫伏表测出血管上下两端的电压为U H＝0.10 mV，血流的流速为多大？题11-19 图分析血流稳定时，有由上式可以解得血流的速度．解依照分析11－20带电粒子在过饱和液体中运动，会留下一串气泡显示出粒子运动的径迹．设在气泡室有一质子垂直于磁场飞过，留下一个半径为3.5cm的圆弧径迹，测得磁感强度为0.20 Ｔ，求此质子的动量和动能．解根据带电粒子回转半径与粒子运动速率的关系有11－21从太阳射来的速度为0.80×108m/ｓ的电子进入地球赤道上空高层范艾伦辐射带中，该处磁场为4.0 ×10－7Ｔ，此电子回转轨道半径为多大？若电子沿地球磁场的磁感线旋进到地磁北极附近，地磁北极附近磁场为2.0 ×10－5Ｔ，其轨道半径又为多少？解由带电粒子在磁场中运动的回转半径高层范艾伦辐射带中的回转半径地磁北极附近的回转半径11－22如图（ａ）所示，一根长直导线载有电流I1＝30 A，矩形回路载有电流I2＝20 A．试计算作用在回路上的合力．已知d＝1.0 cm，b＝8.0 cm，l＝0.12 m．题11-22图分析矩形上、下两段导线受安培力F1和F2的大小相等，方向相反，对不变形的矩形回路来说，两力的矢量和为零．而矩形的左右两段导线，由于载流导线所在处磁感强度不等，所受安培力F3和F4大小不同，且方向相反，因此线框所受的力为这两个力的合力．解由分析可知，线框所受总的安培力F为左、右两边安培力F3和F4之矢量和，如图（ｂ）所示，它们的大小分别为故合力的大小为合力的方向朝左，指向直导线．11－23一直流变电站将电压为500k V的直流电，通过两条截面不计的平行输电线输向远方．已知两输电导线间单位长度的电容为3.0×10－11F·m－1，若导线间的静电力与安培力正好抵消．求：（1）通过输电线的电流；（2）输送的功率．分析当平行输电线中的电流相反时，它们之间存在相互排斥的安培力，其大小可由安培定律确定．若两导线间距离为d，一导线在另一导线位置激发的磁感强度,导线单位长度所受安培力的大小．将这两条导线看作带等量异号电荷的导体，因两导线间单位长度电容C和电压U 已知，则单位长度导线所带电荷λ＝CU，一导线在另一导线位置所激发的电场强度，两导线间单位长度所受的静电吸引力．依照题意，导线间的静电力和安培力正好抵消，即从中可解得输电线中的电流．解（1）由分析知单位长度导线所受的安培力和静电力分别为由可得解得（2）输出功率11－24在氢原子中，设电子以轨道角动量绕质子作圆周运动，其半径为．求质子所在处的磁感强度．h 为普朗克常量，其值为分析根据电子绕核运动的角动量可求得电子绕核运动的速率v．如认为电子绕核作圆周运动，其等效圆电流在圆心处，即质子所在处的磁感强度为解由分析可得，电子绕核运动的速率其等效圆电流该圆电流在圆心处产生的磁感强度11－25如图[a]所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为μr（μr＜1），导体的磁化可以忽略不计．沿轴向有恒定电流I通过电缆，内、外导体上电流的方向相反．求：（1）空间各区域内的磁感强度和磁化强度；*（2）磁介质表面的磁化电流．题11-25 图分析电流分布呈轴对称，依照右手定则，磁感线是以电缆对称轴线为中心的一组同心圆．选取任一同心圆为积分路径，应有，利用安培环路定理求出环路内的传导电流，并由，，可求出磁感强度和磁化强度．再由磁化电流的电流面密度与磁化强度的关系求出磁化电流．解（1）取与电缆轴同心的圆为积分路径，根据磁介质中的安培环路定理，有对r＜R1得忽略导体的磁化（即导体相对磁导率μr =1），有，对R2＞r＞R1得填充的磁介质相对磁导率为μr，有，对R3＞r＞R2得同样忽略导体的磁化，有，对r＞R3得，，（2）由，磁介质内、外表面磁化电流的大小为对抗磁质（），在磁介质内表面（r＝R1），磁化电流与内导体传导电流方向相反；在磁介质外表面（r＝R2），磁化电流与外导体传导电流方向相反．顺磁质的情况与抗磁质相反．H（r）和B（r）分布曲线分别如图（ｂ）和（c）所示．。
川师大学物理第十一章-恒定电流的磁场习题解
第十一章 恒定电流的磁场11–1 如图11-1所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，求它们在O 点处的磁感应强度B 。
（1）高为h 的等边三角形载流回路在三角形的中心O 处的磁感应强度大小为 ，方向 。
（2）一根无限长的直导线中间弯成圆心角为120°，半径为R 的圆弧形，圆心O 点的磁感应强度大小为 ，方向 。
…解：（1）如图11-2所示，中心O 点到每一边的距离为13OP h =，BC 边上的电流产生的磁场在O 处的磁感应强度的大小为012(cos cos )4πBC I B dμββ=-^IB21图11–2图11–1…B（a ）AE（b ）0(cos30cos150)4π/3Ih μ︒︒=-=方向垂直于纸面向外。
另外两条边上的电流的磁场在O 处的磁感应强度的大小和方向都与BC B 相同。
因此O 处的磁感应强度是三边电流产生的同向磁场的叠加，即3BC B B ===方向垂直于纸面向外。
（2）图11-1（b ）中点O 的磁感强度是由ab ，bcd ，de 三段载流导线在O 点产生的磁感强度B 1，B 2和B 3的矢量叠加。
由载流直导线的磁感强度一般公式012(cos cos )4πIB dμββ=- 可得载流直线段ab ，de 在圆心O 处产生的磁感强度B 1，B 3的大小分别为01(cos0cos30)4cos60)IB R μ︒=︒-︒π(0(12πI R μ=-031(cos150cos180)4πcos60IB B R μ︒==︒-︒0(12πI R μ=-】方向垂直纸面向里。
半径为R ，圆心角α的载流圆弧在圆心处产生的磁感强度的大小为04πI B Rμα=圆弧bcd 占圆的13，所以它在圆心O 处产生的磁感强度B 2的大小为00022π34π4π6II I B R R Rμμαμ===方向垂直纸面向里。
因此整个导线在O 处产生的总磁感强度大小为000012333(1)(1)0.212π22π26I I I I B B B B R R R Rμμμμ=++=-+-+=方向垂直纸面向里。
第11章-恒定磁场
3、当带电粒子在磁场中 垂直于此特定方向运动时 受力最大.
Fmax 大小与 q, v 无关
qv
13
11-3
磁场
磁感强度
磁感强度 B的定义：
➢ 方向：若带电粒子在磁场中某点向某方向运动
不受力，且该方向与小磁针在该点指向一致，此特
定方向定义为该点的 B 的方向.
➢ 大小：B F / qv
Fmax
➢ 运动电F荷在q磁v 场B中 受力
Idl er r2
真空磁导率 0 4π 107 N A2
P * r
Idl
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度叠加原理
B
dB
0I dl er
4π r2
15
11-4 毕奥—萨伐尔定律
dB 0 Idl er 毕奥—萨伐尔定律
4π r2
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
1、5 点 ：dB 0
30
11-5 磁通量 磁场的高斯定理
二 磁通量 磁场的高斯定理
磁感线密度：磁场中某点处垂直于 B矢量的单位 面积上通过的磁感线数目 N / S
磁场中某点处的磁感线密度等于该点 B矢量的大小
B N S
S B
31
11-5 磁通量 磁场的高斯定理
enB B
磁通量：通过某一曲面的 磁感线数为通过此曲面的 磁通量.
方向有关。
➢ 实验结论
1、带电粒子在磁场中某 点P 沿某一特定方向（或 其反方向）运动时不受力， 此特定方向与小磁针指向 一致.
y
F 0
v +* v
P
o
z
x
12
11-3 磁场 磁感强度
2、带电粒子在磁场中沿
第十一章 电磁学 恒定磁场 Ma 2016
0 qnS d lv er dB 4 r2
d B 0 qv er B d N 4 r 2 方向根据右手螺旋法则， B 垂直 v 、 正， B 为 v r 的方向；q为负， B 与
q
+
r B
v
q－
q为 r组成的平面。 v r 相反。
μ0 I B (cos θ1 cos θ 2 ) 4πr0
0 π
2
I
无限长载流长直导线的磁场
θ1 θ2
μ0 I B 2πr0
注意用右手螺旋关系判断方向。 半无限长载流长直导线的磁场
1
r0
P
θ1 θ2
2 π
μ0 I B 4πr0
I
r0
P
大学物理 电磁学
2、载流圆线圈轴线上的磁场 真空中，半径为R的载流导线，通有电流I，称圆电流。求其 轴线上一点 P的磁感强度的方向和大小
1、5 点 ： dB 0
7
6 5
Idl
R
×
× 3
3、7点 ： dB
0 Idl 4 π R2
4
2、4、6、8 点 ：
dB
0 Idl
4π R
2
sin 45
0
大学物理 电磁学
3. 毕—萨定律应用举例
dB 的方向均
沿x 轴负方向
(1) 载流长直导线的磁场
z
dz
解
2
dB
大学物理 电磁学
磁现象与电现象有没有联系？
静电场 ？
静止的电荷 运动的电荷
1820年奥斯特：发现电流的磁效应
N
第11章稳恒磁场B
en
b I B x
A=
∫
90
30
Mdθ= IabB
∫
90
30
cosθdθ
z
o
θ
= IabB(sin90 − sin30 )
= 2.5×10−3 J
20
§11.7 磁 介 质 一. 磁介质的磁化 1.磁介质的种类 磁介质的种类
磁场中的所有的物质磁介质。 磁场中的所有的物质磁介质。 电介质极化后，在均匀电介质表面出现极化电 电介质极化后，在均匀电介质表面出现极化电 电介质中的电场： 荷，电介质中的电场：
6
Negative(-)
例题6.1 电子在匀强磁场 中沿半圆从 到b ， 电子在匀强磁场B中沿半圆从 中沿半圆从a到 例题 相距0.1m。求B和电子的速度。 和电子的速度。 t=1.57×10-8s，a、b相距 ， 相距 。 和电子的速度 × 垂直纸面向里。 垂直纸面向里。 磁场方向： 解 磁场方向：
大小： 大小：dF=IdlBsinθ 方向： 方向： Idl × B
F
θ
B Idl
的方向垂直于Idl 组成的平面， 即：dF 的方向垂直于 和B组成的平面，指 组成的平面 向由右手螺旋确定。 向由右手螺旋确定。
11
对载流导体，可分为若干电流元积分： 对载流导体，可分为若干电流元积分：
F=
∫
Idl × B
B=Bo+B′ =µrBo 抗磁质—相对磁导率µ 略小于1的磁介质 的磁介质。 抗磁质 相对磁导率µr略小于 的磁介质。 相对磁导率 顺磁质—相对磁导率µ 略大于1的磁介质 的磁介质。 顺磁质 相对磁导率µr略大于 的磁介质。 相对磁导率 铁磁质—相对磁导率 相对磁导率µ 铁磁质 相对磁导率µr»1 , 而且还随外磁场的 大小发生变化的磁介质。 大小发生变化的磁介质。 2.抗磁质和顺磁质的磁化 (1)分子磁矩 分子中电子运动的磁效应可用 一个圆电流(分子电流 来等效。 分子电流)来等效 一个圆电流 分子电流 来等效。 这个圆电流的磁矩p 这个圆电流的磁矩 m称为分子 固有磁矩。 的固有磁矩。 pm
第十一章恒定磁场
一 基本磁现象
磁性：能够吸引铁、钴、镍等物质的性质
磁体：具有磁性的物体（永磁体，电流，运动电荷）
磁场：磁体在其周围激发磁场
对放入其中的其它磁体有力的作用（安培力，洛伦兹力）
磁体 磁场 磁体
磁现象的电本质：安培分子环流（即电荷的运动）
恒定磁场（静磁场）：由恒定电流激发，不随时间变化。B(r )
说明磁感应线为闭合曲线。
E dl 0 说明电场线为非闭合曲线
例 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩形
面积的磁通量.（P204：例6）
B
dx
I
l
d1 d2
ox
x
解 B 0I
2π x
dΦ BdS 0I ldx
2π x
Φ
S
B dS
0Il
2π
例 带电粒子在电场和磁场中运动举例
1.速度选择器
+
A A’ K
eE
ev0
B
+ 速度选择器
p1 p2
........................
-
L
d
v0
E B
2 . 质谱仪
速度选择器
照相底片
...........
-p1
...
... ... ...
.. .. ..
s1 s2
p2
使带电粒子在磁场的作用下作回旋运动。 使带电粒子在电场的作用下得到加速。
NN
D2
O
~
D1
B
S
回旋加速器原理图
频率与半径无关
f qB 2π m
11_4毕-萨定律
0
r
ϕ
v dB⊥ dB
p
dB =
µ 0 Idl
4 π r2
o
R
dBx dBx x
解 根据对称性分析
I
dB⊥
B⊥ = 0
Bx ≠ 0
B = B x= ∫ dB x = ∫ dB sin ϕ
11-4 毕-萨定律 萨定律
圆形载流导线轴线上的磁场. 轴线上的磁场 例2 圆形载流导线轴线上的磁场 µ 0 I sin ϕ d l B = ∫ dBx = ∫ dB sin ϕ = ∫ 2 4π r v cos α = sin ϕ = R Id l
d N = nS d l
v j
S
dl
11-4 毕-萨定律 萨定律
运动电荷的磁场 v v r v d B µ0 qv × er B= = d N 4 π r2 适用条件 v << c
q+
v v vθ v r ×B
−q
v r
θ
v v
v B
第十一章 恒定磁场
11-4 毕-萨定律 萨定律
(恒定磁场 恒定电流在空间产生的磁场 恒定磁场----恒定电流在空间产生的磁场) 恒定磁场 恒定电流在空间产生的磁场 毕奥－ 一 毕奥－萨伐尔定律 叠加思想 v r 电流元的 v µ0 Idl × er -------毕－萨定律 毕 dB = v 磁场强度 磁场强度 v 4 π r2 dB Id l
o
ω
11-4 毕-萨定律 萨定律
圆电流的磁场 ω dI = σ 2 π rdr = σω rdr 2π σ R µ0dI µ0σω dB = = dr o 2r 2 r µ 0σω R µ 0σω R dr B= ∫0 dr = 2 2 ω v v σ > 0, B 向外 σ < 0, B 向内 解法一
第11章恒定磁场解读PPT课件
洛仑兹力：
➢ 洛仑兹力公式：FmqvB
➢ 洛仑兹力大小：
FqvBsin
v//B ， FF m in0
x
v B ， F F m a x q v B
17
例3：电流沿如图的导线流动(直线部分伸向
无限远)，求O点的磁感应强度。
①
O
I
②R
解：
I
I
③
➢ 导线可划分成三部分。
➢ 根据磁场的叠加原理： B B 1B 2B 3
18
➢ 第①部分：
➢ 由于O点在直导线的延长线上，所以：B1 0
➢ 第②部分： 是一个1/4 圆弧，在圆心O处的
磁感应强度的大小为：
B2
10I
4 2R
0I
8R
B2 的方向垂直于纸面向外。
19
➢ 第③部分：是一段直线电流，它在距导线为
R 的O点的磁感应强度大小为：
B34 0R Ico1sco2s4 0R Ico2scos4 0R I
B3 的方向垂直于纸面向外。
➢ 由于B2 与B3 同向，B1=0，所以：
B=B2B380 RI4 0R I
ΦmBS BScoθs
BS
S
en
B
28
（2）非均匀磁场通过给定面积 S 的磁通量：
dΦ mB•dSBcoθdsS
Φm SdΦm
SB•dS
SBcoθsdS
B
dS
B
s
29
11－7 带电粒子在磁场中运动
一、带电粒子在磁场中所受的力 二、带电粒子在磁场中运动举例
30
一、带电粒子在磁场中所受的力
B 的方向垂直于纸面向外。 20
（1） I
R o