【数学】安徽省合肥市一中、合肥六中2018-2019学年高一下学期期末联考试题(解析版)
安徽省合肥市一中、合肥六中2018-2019学年高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．578【答案】D【解析】第6行第6列开始的数为808（不合适），436，789（不合适），535，577，348，994（不合适），837（不合适），522，535（重复不合适），578则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578则第6个编号为578本题正确选项：D2．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在河岸边选定一点C，测出AC的距离为，45ACB∠=o，105CAB∠=o后，就可以计算A、B两点的距离为（）A．100m B．C．D．200m【答案】A【解析】在ABC ∆中，AC =，45ACB ∠=o ，105CAB ∠=o ，即30ABC ∠=o ， 由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，sin 45sin 30AB ∴=o o，解得100AB = ，故选：A. 3．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=； 1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=；3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=.4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 的值为9，故选：C.4．已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%的户数进行调査，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（ ）A ．100，20B ．100，10C ．200，20D ．200，10【答案】B【解析】由图1得样本容量为()35020045010%100010%100++⨯=⨯=，抽取贫困户的户数为20010%20⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为200.510⨯=户． 故选：B.5．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >【答案】A【解析】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<Q ，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<Q ，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c ab b a+∴<+，B 选项错误；对于C 选项中的不等式，01c b <<<Q ，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<Q ，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，01a <<Q ，∴函数xy a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选：A.6．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．716【答案】B【解析】设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为=，对应每个小等腰三角形的面积112224S =⨯=， 则阴影部分的面积之和为13344⨯=，正方形的面积为4， 若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为344631=，故选：B ． 7．若正实数,x y 满足1x y +=，则411x y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．92【答案】D【解析】0x Q >，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ (当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ．8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选：C ．9．圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ） A ．10π B ．12πC ．16πD ．18π【答案】B【解析】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为12π44π2l =⨯⨯=，即圆锥的底面周长为4π， 设圆锥的底面半径是r ，则得到2π4πr =，解得2r =，这个圆锥的底面半径是2，∴圆锥的表面积为2π42π212πS =⋅⋅+⋅=．故选：B ．10．已知向量a r 、b r 的夹角为60o，2a =r ，1b =r ，则a b -=r r （ ）ABC．D【答案】B【解析】向量a r 、b r 的夹角为60o，2a =r ，1b =r ，则a b -====r r B ．11．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )A ．1603B ．160C ．2563D ．64【答案】A 【解析】由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成， 根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33，故选A. 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x f x m =-，则()2019f =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A【解析】Q 函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，()()()2f x f x f x ∴+=-=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，∴函数()y f x =的周期为4，由于函数()y f x =是R 上的奇函数，则()010f m =-=，得1m =. 所以，当01x ≤≤时，()21xf x =-.()()()()()120194505111211f f f f ∴=⨯-=-=-=--=-，故选：A.13．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞U【答案】C【解析】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．Q 关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤-⎥⎝⎦．故选：C ． 14．已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．5π4B ．34π C ．π2D ．π3【答案】C【解析】函数()222cos 12cos π22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 4π6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 6π41y g x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由()4262πππx k k -=+∈Z ，解得()π2π6k x k =+∈Z ； 其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且2π2π4T ==．故选：C ． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*n ∈N ，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】011111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n ∈N 都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤ 当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤ 故选B二、填空题16．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98.【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆，a =___________.【答案】2【解析】1cos 3A =Q，sin 3A ∴==，23b c =Q ，且ABC ∆， 1sin 2ABC S bc A ∆∴=，12233c c =⨯⨯，2c ∴=，b =由余弦定理得2229192cos22232a b c bc A=+-=+-=，a∴=.故答案为：2．18．若62sin3c5osαβ-=-，12cos3s5inαβ-=-，则()sinαβ+=___________.【答案】2425【解析】若62sin3c5osαβ-=-，12cos3s5inαβ-=-，将上述两等式平方得22364sin9cos12sin cos25αβαβ+-=，①2214cos9sin12cos sin25αβαβ+-=，②，①＋②可得()374912sin25αβ+-+=，求得()24sin25αβ+=，故答案为：2425．19．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，若11a=，35S a=，2019ma=，则m=________【答案】1010【解析】根据题意，设等差数列{}n a公差为d，则()32133S a a d==+，又由11a=，35S a=，则()3114d d+=+，2d=，则()11212019ma a m d m=+-=-=，解可得1010m=；故答案为：1010．20．在ABC∆中，150ABC∠=o，D是线段AC上的点，30DBC∠=o，若ABC∆的面BD取到最大值时，AC=___________.【答案】【解析】由题意可得11sin15024ABCS ac ac∆===oac=，设BD x=，则144ABC BCD ABDS S S ax∆∆∆=+=+=x=，由基本不等式可得1x=≤===，当且仅当a=时，x取得最大值1，a∴=2c=，由余弦定理得(2222222cos222282AC b a c ac ABC⎛⎫==+-∠=+-⨯⨯-=⎪⎪⎝⎭，解得AC=三、解答题21．底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．解：（1）根据比例关系式求出h关于x的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为y，得到关系式224y x xh=+，根据二次函数的性质求出y的最大值即可.试题解析：（1）根据相似性可得：6=，解得：(20h x x=<<；（2）设该正四棱柱的表面积为y．则有关系式()(2222242426648y x xh x x x x x=+=+=-+=--+，因为0x<<x=max48y=，故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48.22．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,)A ωϕπ>><，它的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 解：（1）依题意，ππ2π2,4π,2312A T ωω⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，故()()22f x sin x ϕ=+.将点π,23⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得2π13sin ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则()π2π6k k ϕ=-∈Z ， πϕ<又，故π=6ϕ-， 故函数解析式为()π226f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， ππ2π2363x -≤-≤ ，则π216sin x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，π2226sin x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x的值域为2⎡⎤⎣⎦.23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ；（2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 解：（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =．所以21n a n =+．（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 34<． 24．已知函数()()2221x xm f x m R --=∈+. （1）当3m =时，判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）当1m >时，判断并证明函数()f x 在R 上的单调性.解：（1）当3m =时，()1221xx f x -=+，函数()y f x =为R 上的奇函数.证明如下：()1221xx f x -=+，其定义域为R ，则()()()()12212212121212x xx x xx x x f x f x -----⋅---====-+++⋅，故函数()y f x =为奇函数； （2）当1m >时，函数()y f x =在R 上单调递减.证明如下：()22112121x xx m m f x ---==-++，任取12x x <， 则()()()()()()2212111212*********111121112222x x x x x x x x m m m m m f x f x ------⎛⎫⎛⎫-=---=-=- ⎪ ⎪++⎭+⎝+⎝⎭++，又由12x x <，则12220x x -<，则有()()120f x f x ->，即()()12f x f x >. 因此，函数()y f x =为R 上的减函数．25．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表.规定：,,A B C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[)[)[)[)[]50,6060,7070,8080,9090,100，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（I ）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（II ）在选取的样本中，从,A D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率．解：（I ）由题意可知，样本容量6250,0.0040.012105010n x ====⨯⨯10.040.10.120.560.01810y ----==因为成绩是合格等级人数为：()10.15045-⨯=人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，依据样本估计总体的思想，所以，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为910（II ）由茎叶图知，A 等级的学生共有3人，D 等级学生共有0.1505⨯=人，记A等级的学生为123,,A A A ，D 等级学生为12345,,,,D D D D D ，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为：121311,,,A A A A A D1213141523212223242531323334351213,,,,,,,,,,,,,,,,,A D A D A D A D A A A D A D A D A D A D A D A D A D A D A D D D D D1415232425343545,,,,,,,D D D D D D D D D D D D D D D D 共28个基本事件记“至少有一名学生是A 等级”事件为A ，则事件A 的可能结果为1213,,D D D D 14152324,,,,D D D D D D D D 25343545,,,D D D D D D D D 共10种因此()()109112814P A P A =-=-= 26．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求角B 的大小；（2）若3a =，点D 在AC 边上，且BD AC ⊥，14BD =，求c 边的长. 解：（1）由()2cos cos 0a c B b C ++=及正弦定理，可得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，即()2sin cos sin 0A B B C ++=， 由πA B C ++=可得()()sin sin πsin B C A A +=-=，所以()sin 2cos 10A B +=， 因为0πA <<，sin 0A >，所以1cos 2B =-，0πB <<Q ，π23B ∴=； （2）由于23B π=，由余弦定理得2222222cos 39b a c ac B a c c c c a =+==++++-， 又因为BD AC ⊥，所以ABC ∆的面积11sin 22ABC S ac B b BD ∆==⋅，把3a =，π23B =，14BD =75b c =，所以227395c c c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得5c =． 27．设数列{n a }满足12a =，12n n n a a +-=；数列{b n }的前n 项和为n S ，且()2132n S n n =-．（Ⅰ）求数列{n a }和{n b }的通项公式；（Ⅱ）若n c ＝n n a b ，求数列{n c }的前n 项和n T ． 解：（Ⅰ）由已知，当n 2≥时，()()()()1112211222n n n n n n n a a a a a a a a ----⎡⎤=-+-+⋯+-+=++⋯+⎣⎦+2=2n ， 又因为12a =，所以数列{n a }的通项公式为2nn a =．因为()2132n S n n =-，所以()(211[31)1n 22n S n n -⎤=---≥⎦（）， 两式作差可得32n b n =-，且111b S ==也满足此式，因此所求通项公式为32n b n =-.（Ⅱ）由2,32nn n a b n ==-，可得c n =(3n −2)×2n ，∴()123124272322nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅()()23121242352322n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减得()()23123222322nn n T n +-=+⋅++⋅⋅⋅+--⋅=()11422332212n n n ++-+⋅--⋅-，整理得()110352n n T n +=+-⋅.28．下表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将,A B 两同学的成绩（对应于图中,A B 两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩()x与物理成绩()y 的相关系数为0.8222γ=，回归直线l （如图所示）的方程为0.500618.68y x =+.（1）若不剔除,A B 两同学的数据，用全部44人的成绩作回归分析，设数学成绩()x 与物理成绩()y 的相关系数为0γ，回归直线为0l ，试分析0γ与γ的大小关系，并在图中画出回归直线0l 的大致位置；（2）如果B 同学参加了这次物理考试，估计B 同学的物理分数（精确到个位）； （3）就这次考试而言，学号为16号的C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式i i X XZ s-=统一化成标准分再进行比较，其中i X 为学科原始分，X 为学科平均分，s 为学科标准差）． 解:(1)0γγ<， 说明理由可以是：①离群点A ,B 会降低变量间的线性关联程度；②44个数据点与回归直线0l 的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小；③42个数据点与回归直线l 的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大； ④42个数据点更加贴近回归直线l ；⑤44个数据点与回归直线0l 更离散，或其他言之有理的理由均可.要点：直线0l 斜率须大于0且小于l 的斜率，具体为止稍有出入没关系，无需说明理由. （2）令125x =，代入0.500618.680.500612518.68y x =+=⨯+ 得62.57518.6881y =+≈所以，估计B 同学的物理分数大约为81分.（3）由表中知C 同学的数学原始分为122，物理原始分为82， 数学标准分为16161122110.511.50.6318.3618.36x x Z s --===≈ 物理标准分为16162827480.7211.1811.18y y Z s --===≈ 0.720.63>，故C 同学物理成绩比数学成绩要好一些.。
2018-2019安徽省合肥市高一下学期期末数学试题
2018-2019学年安徽省合肥市一六八中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．在ABC ∆中，,3,63A BC AB π∠===,则C ∠=（）A ．344ππ或 B ．34πC ．4π D ．6π 【答案】C 【解析】【详解】 解：因为由正弦定理,3,63A BC AB π∠===，所以36sin 22sin sin 3a c c AsinC A C a⨯=∴=== 344C ππ∴=或又ｃ＜ａ 所以C A ∠<∠， 所以4Cπ2．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【解析】由流程图循环4次，输出k ，即可得出结果.． 【详解】初始值9k =，1S =，是，第一次循环：910S =，8k =，是， 第二次循环：45S =，7k =，是，第三次循环：710S =，6k =，是，第四次循环:S 35=，5k =，否，输出5k =．故选C ． 【点睛】本题考查程序框图的循环，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题．3．已知等差数列{a n }的前n 项和为，满足S 5=S 9，且a 1＞0，则S n 中最大的是（ ） A ．6S B ．7S C ．8SD ．9S【答案】B【解析】由S 5=S 9可得a 7+a 8=0，再结合首项即可判断S n 最大值 【详解】依题意，由S 5=S 9，a 1＞0，所以数列{a n }为递减数列，且S 9-S 5=a 6+a 7+a 8+a 9=2（a 7+a 8）=0，即a 7+a 8=0，所以a 7＞0，a 8＜0， 所以则S n 中最大的是S 7， 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列S n 最值的判断，属于基础题4．已知数据1210,,,x x x ⋯，2的平均值为2，方差为1，则数据1210,,,x x x ⋯相对于原数据( ) A ．一样稳定 B ．变得比较稳定 C ．变得比较不稳定 D ．稳定性不可以判断【答案】C【解析】根据均值定义列式计算可得1210,,,x x x ⋯的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得()()()2221210222x x x -+-⋯⋯+-，从而得方差．然后判断．由题可得：12101210222011x x x x x x +++=⇒++=⇒平均值为2，由()()()22221210222(22)111x x x -+-⋯⋯+-+-=，()()()2221210222 1.1110x x x -+-⋯⋯+-=>，所以变得不稳定. 故选：C. 【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．5．“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）A ．493B ．383C ．183D ．123【答案】C【解析】根据题意将四进制数转化为十进制数即可. 【详解】根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到3224+34+14+3=183.⨯⨯⨯故答案为:C. 【点睛】本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．6．已知集合2A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+【答案】B【解析】由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，∴只需{1010x t x +->->或{1010x t x +-<-<恒成立，∴只需{11x tx >->或{11x tx <-<恒成立，113t -≤-≤只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键． 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n (λ－n )－6，若数列{a n }单调递减，则λ的取值范围是 A ．(－∞，2) B ．(－∞，3) C ．(－∞，4) D ．(－∞，5)【答案】A【解析】()113221,2n n n n a S S n n λ--=-=--≥，139a λ=-，因为{}n a 单调递减，所以()10,2n n a a n --<≥， 所以()213410,3n n n a a n n λ---=⋅--<≥，且21360a a λ-=-<，所以只需10n λ--<，3n ≥，且2n <， 所以2n <，故选A ．8．在ABC 中，若tan tan tan A B A B ++=⋅，且sin cos B B ⋅=，则ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．正三角形或直角三角形D ．正三角形【答案】D【解析】由两角和的正切公式求得A B +，从而得C ，由二倍角公式求得B ，再求得A ，注意检验符合题意，可判断三角形形状． 【详解】tan tan tan tan A B A B ++=⋅，∴tan tan tan()1tan tan A BA B A B+==+-⋅，∴23A B π+=，3C π=由sin cos 4B B ⋅=，即sin 22B =. ∴23B π=或23π. 当6B π=时，2A π=，tan A 无意义.当3B π=时，3A π=，此时ABC 为正三角形.故选：D. 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查两角和的正切公式和二倍角公式，根据三角公式求出角是解题的基本方法．9．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201620171a a >，20162017101a a -<-，下列结论中正确的是( )A ．20162017S S >B ．2016201810a a ->C ．2017T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最小值【答案】D【解析】根据题干条件可得到数列2016a >1,20171,a <0<q<1,数列之和越加越大，故A 错误；根据等比数列性质得到20162018a a =220171a <进而得到B 正确；由前n 项积的性质得到2016T 是数列{}n T 中的最大值；n T 从2017T 开始后面的值越来越小，但是都是大于0的，故没有最小值. 【详解】因为条件：11a >，201620171a a >，20162017101a a -<-，可知数列2016a >1,2017 1,a <0<q<1,根据等比数列的首项大于0，公比大于0，得到数列项均为正，故前n 项和，项数越多，和越大，故A 不正确；因为根据数列性质得到20162018a a =220171a <，故B 不对；前n 项之积为n T ，所有大于等于1的项乘到一起，能够取得最大值，故2016T 是数列{}n T 中的最大值. 数列{}n T 无最小值,因为n T 从2017T 开始后面的值越来越小，但是都是大于0的，故没有最小值.故D 正确. 故答案为D. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．21π-B ．122π- C ．2πD ．1π【答案】A【解析】试题分析：设扇形OAB 半径为，此点取自阴影部分的概率是112π-，故选B. 【考点】几何概型.【方法点晴】本题主要考查几何概型，综合性较强，属于较难题型.本题的总体思路较为简单：所求概率值应为阴影部分的面积与扇形的面积之比．但是，本题的难点在于如何求阴影部分的面积，经分析可知阴影部分的面积可由扇形面积减去以为直径的圆的面积，再加上多扣一次的近似“椭圆”面积．求这类图形面积应注意切割分解，“多还少补”.11．设P 是ABC ∆内任意一点，ABC S ∆表示ABC ∆的面积，记12,PBC PCA ABC ABC S S S S λλ∆∆∆∆==3,PAB ABCSS λ∆∆=，定义()()123,,f P λλλ=，已知()111,,236f Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，G 是ABC ∆的重心，则（ ）A ．点Q 在GAB ∆内 B ．点Q 在GBC ∆内 C ．点Q 在GCA ∆内D ．点Q 与G 点重合【答案】A【解析】解：由已知得，f （P ）=（λ1，λ2，λ3）中的三个坐标分别为P 分△ABC 所得三个三角形的高与△ABC 的高的比值， ∵f （Q ）=（1/ 2 ，1/ 3 ，1/ 6 ）∴P 离线段AB 的距离最近，故点Q 在△GAB 内 由分析知，应选A ．12．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．－1 B．1 C ．2 D ．2 【答案】D【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－， 得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－. ∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c＝1)＝2. 故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误二、填空题13．已知关于实数x ，y 的不等式组2190802140x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩构成的平面区域为Ω，若(x,y)∀∈Ω，使得2(x 1)-+2(y 4)m -恒成立，则实数m 的最小值是______．【答案】[20,)+∞【解析】由(),x y ∀∈Ω，使得()()2214x y m -+-≤恒成立可知，只需求出()()2214x y -+-的最大值即可，再由()()2214x y -+-表示平面区域内的点与定点()1,4距离的平方，因此结合平面区域即可求出结果.【详解】作出约束条件2190802140x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域如下：由(),x y ∀∈Ω，使得()()2214x y m -+-≤恒成立可知，只需求出()()2214x y -+-的最大值即可；令目标函数()()22z 14x y =-+-，则目标函数表示平面区域内的点与定点()M 1,4距离的平方，由图像易知，点B 到M 的距离最大.由214080x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得()B 2,10，所以()()222110437max z =-+-=. 因此37m ≥，即m 的最小值为37. 故答案为37 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需分析清楚目标函数的几何意义，即可结合可行域来求解，属于常考题型.14．cot 20cos103sin10tan 702cos 40+-=________. 【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦公式，对表达式进行化简，由此求得表达式的值. 【详解】 依题意，原式tan 70cos103sin10tan 702cos 40=+-()2tan 70sin 30102cos 40=+-2sin 70sin 402cos 70cos 40cos 70-=2cos1102cos 702cos 70cos 70-===.【点睛】本小题主要考查诱导公式、两角和与差的正弦公式的综合应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15．若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a的取值范围是_____. 【答案】25[,)6-+∞ 【解析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值． 【详解】设x x t e e -=-，1xxx x t e e e e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤， 不等式()()2220x xxx a e eee ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立，0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t-≤+对3[0,]2t ∈上恒成立，由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =，∴256a -≤，即256a ≥-． 综上，256a ≥-． 故答案为：25[,)6-+∞． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值． 16．已知数列{}n a 满足：*13(N 21)ma m =∈-，13,32,3n n n n na a a a a +->⎧=⎨≤⎩，则数列{}n a 的前44m +项的和44m S +=_______.【答案】112(21)21m m+-- 【解析】通过令1,2,3m =求出数列的前几项，猜测{}n a 是以1m +为周期的周期数列，且每个周期内都是以1a 为首项，2为公比的等比数列．然后根据递推式给予证明，最后由等比数列的前n 项和公式计算． 【详解】当1m =时，13a =，26a =，33a =，46a =，53a =，， 当2m =时，11a =，22a =，34a =，41a =，52a =，，当3m =时，137a =，267a =，3127a =，4247a =，537a =，，猜测，{}n a 是以1m +为周期的周期数列，且每个周期内都是以1a 为首项，2为公比的等比数列．设 {}n a 中133n n a a +≤⎧⎨>⎩，即13232132321n m n m -⎧⋅≤⎪⎪-⎨⎪⋅>⎪-⎩，∴12212n m n -≤-<，由于,m n 都是正整数，所以m n =，所以数列{}n a 中第1m +项开始大于3，前1m +项是以1a 为首项，2为公比的等比数列．211133323232121m mm m m m a a a a ++=-=⋅-=⋅-==--， 所以{}n a 是以1m +为周期的周期数列， 所以11114411(12)12(21)444(21)1221m m m m m ma S S a +++++--==⨯=-=--． 故答案为：112(21)21m m+--． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查数列的周期性．解题关键是确定数列的周期性．方法采取的是从特殊到一般，猜想与证明．三、解答题17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ..(1)求角A 的大小； (2)若sin B ＋sin C ＝，试判断△ABC 的形状.【答案】（1）；（2）等边三角形.【解析】（1）利用余弦定理表示出cosA ，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的cosA 中，化简后求出cosA 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；（2）由A 为60°，利用三角形的内角和定理得到B+C 的度数，用B 表示出C ，代入已知的sinB+sinC=中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B 的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出B 为60°，可得出三角形ABC 三个角相等，都为60°，则三角形ABC 为等边三角形． 【详解】(1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝,∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°， 由sin B ＋sin C ＝，得sin B ＋sin(120°－B )＝，∴sin B ＋sin120°cos B －cos120°sin B ＝，∴sin B ＋cos B ＝，即sin(B ＋30°)＝1， ∵0°＜B ＜120°，∴30°＜B ＋30°＜150°， ∴B ＋30°＝90°，B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形. 【点睛】此题考查了三角形形状的判断，正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等边三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．数列{}n a 中，148,2a a ==且满足*212n n n a a a n N ++=-∈，.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12...n n S a a a =+++，求n S ； ⑶设()()()**121,...12n n n n b n N T b b b n N n a =∈=+++∈-，是否存在最大的整数m ，使得对任意*n N ∈，均有32n mT >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）102n a n =-；（2）229,5940,6n n n n S n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩（3）7.【解析】（1）由212,n n n a a a n N *++=-∈可得{}n a 为等差数列，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）先判断5n ≤时数列的各项为正数，5n >时数列各项为负数，分两种情况讨论分别利用等差数列求和公式求解即可；（3）求得()11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭利用裂项相消法求得()12...21n n n T b b b n =+++=+，由1162m <可得结果. 【详解】 （1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得2832d d =+⇒=-，. （2）若时，6n ≥时，，故.（3），若对任意成立，的最小值是，1,162m ∴<对任意成立，的最大整数值是7,即存在最大整数使对任意，均有【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） n k n ++1n k n k=+； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 19．在平面直角坐标系中，已知射线3(0)y x x =≥与射线3(0)y x x =≥，过点()1,0M 作直线l 分别交两射线于点A 、B （不同于原点O ）.（1）当OA OB +取得最小值时，直线l 的方程； （2）求22MA MB +的最小值； 【答案】（1）1x =；（2）6.【解析】（1）设(3)A a a ，(,3)(,0)B b b a b >，利用,,A M B 三点共线可得,a b 的关系，计算出OA OB +后由基本不等式求得最小值．从而得直线方程；（2）由（1）中所设坐标计算出22MA MB +，利用基本不等式由（1）中所得关系2a b ab +=可得+a b 的最小值，从而得22MA MB +的最小值．【详解】（1）设(3)A a a ，(,3)(,0)B b b a b >， 因为A ，B ，M 三点共线，所以MA 与MB 共线， 因为(3)MA a a =-，(1,3)MB b b =-， 所以3(1)3(1)0b a a b ---=， 得2a b ab +=，即112a b+=， 1122()24a b OA OB a b a b a b b a ⎛⎫+=+=++=++≥ ⎪⎝⎭，等号当且仅当1a b ==时取得， 此时直线l 的方程为1x =.（2）222222(1)3(1)3MA MB a a b b +=-++-+224()2()2a b a b =+-++2225174()2()824()10()24()44a b a b ab a b a b a b =+-+-+=+-++=+--因为由222()2a b a b ab ++=≤，所以2a b +≥，当且仅当1a b ==时取得等号， 所以当1a b ==时，22MA MB +取最小值6. 【点睛】本题考查直线方程的应用，考查三点共线的向量表示，考查用基本不等式求最值．用基本不等式求最值时要根据目标函数的特征采取不同的方法，如（1）中用“1”的代换配凑出基本不等式的条件求得最值，（2）直接由已知应用基本不等式求最值．20．近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表l 所示： 表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．(1)根据散点图判断，在推广期内，x y a bx y c d =+=⋅与(c ，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次； 参考数据：其中7111,7i i i i gy υυυ===∑参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ⋅⋅⋅，其回归直线ˆˆˆa u υβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆˆˆ,ˆni i i nii u nu au unu υυβυβ==-==--∑∑. 【答案】（1）x y c d =⋅（2）3470【解析】(1) 根据散点图判断，x y c d =⋅适宜；（2）x y c d =⋅，两边同时取常用对数得：()11xgy g c d=⋅ 11gc gd x =+⋅，根据公式得到均值和系数即可得到公式，再代入x=8可得到估计值. 【详解】（1）根据散点图判断，xy c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型； （2）x y c d =⋅，两边同时取常用对数得：()11xgy g c d =⋅ 11gc gd x =+⋅；设1,gy v = 11v gc gd x ∴=+⋅4, 1.54,x v ==721140ii x==∑，7172217ˆl 7i i i i i x v xv gdx x ==-∴==-∑∑250.1274 1.5470.251407428-⨯⨯==-⨯，把样本中心点()4,1.54代入11v gc gd x =+⋅,得: 4ˆl 0.5gc =， 0.5405ˆ.2vx ∴=+，l 0.540.ˆ25gy x ∴=+， y ∴关于x 的回归方程式：()0.540.250.540.250.2510101040ˆ 3.71xx x y +==⨯=⨯； 把8x =代入上式，23.4734ˆ107y=⨯=； 活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470； 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.21．(本小题满分16分)如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且．（1）若，求的长；（2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【答案】（1）1或3（2）【解析】试题分析：（1）在中,因为，，，所以由余弦定理，且，，所以，解得或（2）该空地产生最大经济价值等价于种植甲种水果的面积最大，所以用表示出，再利用三角函数求最值得试题解析：（1）连结，已知点在以为直径的半圆周上，所以为直角三角形，因为，，所以，，在中由余弦定理，且，所以，解得或，6分（2）因为，，所以 ，所以，在中由正弦定理得：所以， 8分 在中，由正弦定理得：所以， 10分若产生最大经济效益，则的面积最大，， 14分因为，所以所以当时，取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大．16分【考点】①解三角形及正弦定理的应用②三角函数求最值 22．若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（为常数），则称数列{}n b 是公差为d 的“隔项等差”数列． （Ⅰ）若，{}n c 是公差为8的“隔项等差”数列，求{}n c 的前15项之和；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=． ①求证：数列{}n a 为“隔项等差”数列，并求其通项公式； ②设数列{}n a 的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）535（Ⅱ）① 当为偶数时，，当为奇数时，；②0a =【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由新定义知：前15项之和为两等差数列之和，一个是首项为3，公差为8的等差数列前8项和，另一个是首项为17，公差为8的等差数列前7项和，所以前15项之和（Ⅱ）①根据新定义知：证明目标为，，相减得，当为奇数时，依次构成首项为a ，公差为2的等差数列,, 当为偶数时，依次构成首项为2-a，公差为2的等差数列,②先求和：当为偶数时，；当为奇数时，故当时，，，，由，则，解得．试题解析：（Ⅰ）易得数列前15项之和（Ⅱ）①（）（A）（B）（B）（A）得（）．所以，为公差为2的“隔项等差”数列．当为偶数时，，当为奇数时，；②当为偶数时，；当为奇数时，．故当时，，，，由，则，解得．a ，使得成等比数列（）所以存在实数0【考点】新定义，等差数列通项及求和。
2018-2019学年安徽省示范高中高一下学期联考数学试题(解析版)
2018-2019学年安徽省示范高中高一下学期联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由一元一次不等式的解法求得集合B，由交集运算求出，得到结果。
【详解】由题意得，，又，所以，故选C【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题2．在中，内角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据正弦定理，可得，带入数据可求解。
【详解】由正弦定理，变形可得，故选B【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题。
3．在数列中，，，且，则（）A．22 B．-22 C．16 D．-16【答案】C【解析】由数列的递推关系，带入，，即可求出，再将带入，即可求出。
【详解】令，则，又，，所以；再令，则，所以，故选C【点睛】本题考查数列的递推公式，对赋值，求解数列中的项，属于简单题。
A．B．C．D．【答案】D【解析】根据正弦定理，带入数据，即可求解。
【详解】由正弦定理，变形可得，故选D【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题。
5．在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（）A．2 B．C．3 D．【答案】A【解析】由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值。
【详解】由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，所以或（舍），故选A【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题。
6．的内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【解析】逐一分析每个选项，结合正弦定理及大边对大角原则，进行判断。
【详解】选项A，由正弦定理，所以，又，所以，只选项B，由余弦定理，所以，只有一解。
选项C，由正弦定理，所以，又，所以，所以只有一解。
选项D，由正弦定理，所以，又，所以，且，所以，即此时有两组解，故选D【点睛】本题考查了正弦定理的应用，及大边对大角的性质，属中档题。
安徽省合肥六校联盟2018-2019学年第一学期期末联考高一年级数学试卷(解析版)
2018-2019学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={-1，0，1}，N={y|y=x2-1，x∈M}，则M∩N等于（）A. 0，B.C.D.2.已知向量=（1，m），=（2，-4），若 ∥，则实数m=（）A. 2B.C.D.3.已知cos（π-α）=-，则sin（α+）=（）A. B. C. D.4.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为10的图形运动一周，O，P两点间距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，则点P所走的图形是（）A.B.C.D.5.已知a=log 1.2，b=（）-0.8，c=1.2，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D. 6.设函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），已知函数f（x）的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x=时，f（x）取得最大值，则下列结论正确的是（）A. 函数的最小正周期是B. 函数在上单调递增C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称7.设cos2019°=a，则（）A. ∈B. ∈C. ∈D. ∈8.已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，则log（）=（）A. B. C. 2 D.9.函数f（x）=1-cos x-log4|x|的所有零点之和等于（）A. 0B. 8C. 14D. 1810.已知函数f（x）=，则方程f（f（a））=1的a的个数是（）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.计算：（）-2+8-（lg5+lg20）=______．12.若幂函数y=（k-2）x m-1（k，m∈R）的图象过点（，），则k+m=______．13.已知函数f（x）=sin x•cos x+cos2x-在x=θ时取得最大值，则cos（4θ+）=______．14.平行四边形ABCD中，E为BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=______．15.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=10x-10，则f（lg2019）═______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知函数f（x）=2x-．（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x的不等式f（log2x）＜f（1）．17.已知函数＞（1）若a=1，求函数f（x）的零点；（2）若函数f（x）在[-7，+∞）上为增函数，求a的取值范围．18.已知，，是共面的三个向量，其中=（1，2），||=，||=2且与反向．（1）求|-|；（2）若+2与2-3垂直，求•（+）的值．19.已知函数f（x）=2sin（2x+）．（1）写出由函数y=sin x的图象，经过怎样的变换得到f（x）的图象；（2）若方程f（x）-a=0在[0，]上有解，求实数a的取值范围．20.如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、M在单位圆上，且B（，），M（-，），∠BOM=α．（1）求tanα的值；（2）若OC为∠AOB的平分线，点P在劣弧上运动，且EP∥OC交OA于点E，EPQF为扇形OAB的内接矩形，记∠POC=θ，求角θ为何值时，矩形EPQF的面积最大？并求出这个最大面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={-1，0，1}，N={y|y=x2-1，x∈M}={-1，0}，∴M∩N={-1，0}．故选：B．分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：向量=（1，m），=（2，-4），若∥，则2m-1×（-4）=0，解得m=-2．故选：D．根据两向量平行的坐标表示，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵cos（π-α）=-，∴cosα=，∴sin（α+）=cosα=．故选：B．由已知利用诱导公式即可求解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：①点P运动到周长的一半即x=5时，OP最大；②点P的运动图象是抛物线．A，B对应的图象一开始为直线，排除A，B，选项D中，OM≤OP，不符合条件①，排除D，故选：C．认真观察函数的图象，根据其运动特点，采用排除法求解．本题考查动点问题的函数图象，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．选项C中出现了椭圆，增加了试题的难度．5.【答案】B【解析】解：a=log 1.2＜0，b=（）-0.8＞1c=1.2∈（0，1），故a＜c＜b，故选：B．根据指数函数和对数函数的单调性，分析三个式子值的范围，可得答案．本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．6.【答案】A【解析】解：由题意，f（x）的最小正周期为4π，∴ω==，∵当x=时，f（x）取得最大值．即+φ=2kπ+，k∈Z．∴φ=2kπ+，k∈Z．∵0＜φ＜，可得：φ=．那么f（x）=2sin （x+），对于A，正确；对于B，当x∈[0，]，x+∈[，]，由正弦函数的单调性可知错误；对于C，由2sin （×+）≠2，故错误；对于D，由2sin （×+）≠0，故错误；故选：A．根据f（x）的最小正周期为4π，可得ω，当x=时，f（x）取得最大值．可得φ的值，得到了f（x）的解析式，利用正弦函数的性质逐项判断即可．本题考查了三角函数的图象变换规律，以及正弦函数的性质的应用，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：∵39°∈（30°，45°），∴cos39°∈（，），可得：-cos39°∈（-，-），∴a=cos2019°=cos（360°×5+180°+39°）=-cos39°∈（-，-）．故选：A．根据角的范围和余弦函数的图象和性质可求cos39°∈（，），根据诱导公式化简已知即可求解．本题主要考查了余弦函数的图象和性质，诱导公式在解题中的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，∴sinαcosβ+cosαsinβ=，sinαcosβ-cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，相除可得=7，则log（）==2，故选：C．由题意利用两角和差的正弦公式，求得sinαcosβ和cosαsinβ，相除可得的值，从而得到要求式子的值．本题主要考查两角和的三角公式的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f（x）=1-cos x-log4|x|，有f（-x）=1-cos（-）-log4|-x|=1-cos x-log4|x|=f（x），则f（x）为偶函数，则函数f（x）=1-cos x-log4|x|的零点也关于原点对称，则其所有零点之和等于0；故选：A．根据题意，由函数的解析式可得f（-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数，结合偶函数的性质分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析函数f（x）的奇偶性．10.【答案】B【解析】解：设t=f（a），解方程f（t）=1，得：t1=1，t2=2，方程f（f（a））=1的a的个数等价于t=f（a）的图象与直线，t1=1和t2=2的交点个数之和，由图可知：t=f（a）的图象与直线，t1=1和t2=2的交点个数之和为4，故选：B．由方程的解的个数与函数图象交点个数的关系得：方程f（f（a））=1的a的个数等价于t=f（a）的图象与直线，t1=1和t2=2的交点个数之和，再结合数形结合的数学思想方法作t=f（a）的图象与直线，t1=1和t2=2的图象观察即可得解本题考查了数形结合的数学思想方法及方程的解的个数与函数图象交点个数的关系，属中档题11.【答案】6【解析】解：（）-2+8-（lg5+lg20）=4+4-2=6．故答案为：6．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】2【解析】解：函数为幂函数，则k-2=1，得k=3，则幂函数为y=f（x）=x m-1，∵函数过点（），∴f（）=（）m-1=4，即21-m=4，得1-m=2，得m=1-2=-1，则k+m=3-1=2．故答案为：2．根据幂函数的定义求出k的值，结合幂函数过定点，代入求出m的值即可．本题主要考查幂函数的应用，结合漫幂函数的定义求出k，m是解决本题的关键．13.【答案】0【解析】解：函数函数f（x）=sinx•cosx+cos2x-==，故当2θ+=2kπ+，k∈Z，即θ=kπ+，k∈Z时，函数f（x）取得最大值为1．则cos（4θ+）=cos（4kπ+）=cos（）=0．故答案为：0．利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）═sin（2x+）．由题意可得2θ+=2kπ+，k∈Z，求出θ，再代入cos（4θ+）求解即可．本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，两角和的余弦函数公式，属于中档题．14.【答案】1【解析】解：根据题意得，=+=-∴+μ=）+μ（-）=（λ+μ）+（-μ）=∴λ+μ=1故答案为：1．运用向量的数乘运算可解决此问题．本题考查向量的数乘运算的简单应用．15.【答案】-【解析】解：根据题意，f（x+2）=f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，又由lg103＜lg2019＜lg104，即3＜lg2019＜4，则-1＜lg2019-4＜0，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（lg2019）=f（lg2019-4）=-f（4-lg2019），若x∈[0，1）时，f（x）=10x-10，则f（4-lg2019）=104-lg2019-10=-10=，则f（lg2019）=-，故答案为：-．根据题意，分析可得f（x）是周期为2的周期函数，分析lg2019的范围，结合函数的奇偶性可得f（lg2019）=f（lg2019-4）=-f（4-lg2019），结合函数的解析式计算f（4-lg2019）的值，变形可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数的运算性质，属于基础题．16.【答案】解：（1）∵f（-x）=2-x-2x=-（2x-）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，则当x≥0时，设0≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=--+=-+=（-），∵0≤x1＜x2，∴1≤＜，即-＜0，＞1，则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x）在[0，+∞）上是增函数，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）在R上是增函数．（2）∵f（x）在R上是增函数，∴不等式f（log2x）＜f（1）等价为不等式log2x＜1，即0＜x＜2．即不等式的解集为（0，2）．【解析】（1）先判断函数的奇偶性，然后利用函数单调性的定义进行证明即可（2）利用函数单调性的性质将不等式进行转化求解即可本题考查函数的单调性的判定以及应用，关键是分析证明函数f（x）的单调性．利用函数单调性的定义是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）若a=1，则＞当x＞1时，由得，x=2；…………………（2分）当x≤1时，由x2+2x=0得，x=0或x=-2…………………（4分）所以，f（x）的零点为-2，0，2…………………（6分）（2）显然，函数在[1，+∞）上递增，且g（1）=-2；函数h（x）=x2+2ax-3a+3在[-a，1]上递增，且h（1）=4-a．故若函数f（x）在[-7，+∞）上为增函数，则，，∴a≥7．…………………（10分）故a的取值范围为[7，+∞）．……………（12分）【解析】（1）利用分段函数，分段求解函数的零点即可．（2）利用函数的单调性，列出不等式组，求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：∵ =（1，2），||=2且与反向，∴ =λ，λ＜0，∴||=|λ|，∴2=|λ|，解得λ=-2，∴ =-2（1，2）=（-2，-4），∴ -=（-3，-6）∴|-|==3（2）∵ +2与2-3垂直，∴（+2）•（2-3）=2-6+•=0，∴ •=6×3-2×5=8，∴ •（+）=•+•=8+（1，2）×（-3，-6）=8-3-12=-7【解析】（1）先求出向量的C的坐标，再根据向量的坐标运算和向量模即可求出，（2）根据向量的垂直求出•=8，再根据向量的数量积即可求出．本题考查了向量的模的运算向量的数量积和向量的坐标运算，属于基础题19.【答案】（本题满分为10分）解：（1）把函数y=sin x的图象向左平移的单位，可得函数y=sin（x+）的图象，再把所得图象上点的横坐标变为原来的倍，可得函数y═sin（2x+）的图象再把所得图象上点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数f（x）═2sin（2x+）的图象．…（5分）（2）∵x∈[0，]，可得：2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[-，1]，∵方程f（x）=a在x∈[0，]上有解，∴实数a的取值范围为：[-，1]；…（10分）【解析】（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．（2）利用三角函数的图象与性质即可求出a的取值范围；本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的减区间，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题意知，tan∠BOA==，tan∠MOA==-2，又∠BOM=α，∴tanα=tan（∠MOA-∠BOA）==；（2）由条件得∠AOB=，∠AOC=，且CP=sinθ，EP=cosθ-=cosθ-sinθ，∴矩形EPQF的面积为S（θ）=2CP•EP=2sinθ•（cosθ-sinθ）=2sinθcosθ-2sin2θ=sin2θ-•（1-cos2θ）=2sin（2θ+）-，当2θ+=，即θ=时，矩形EPQF的面积取得最大值，为2-．【解析】（1）由题意知tan∠BOA和tan∠MOA的值，利用两角差的正切公式计算tanα的值；（2）用θ的三角函数值表示出CP、EP的值，求出矩形EPQF的面积，计算它的最大值以及对应θ的值．本题考查了三角函数的运算与性质的应用问题，也考查了矩形的面积计算问题和两角和与差的运算问题，是中档题．。
安徽合肥六中2019级高一数学下册期末考试数学试题卷(含答案和解析)
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4
5
年产量 y（万吨） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
根据上表可近似得回归方程 yˆ 0.2x aˆ ，预测该地区 2020 年蔬菜的产量为
（万吨）.
14.在 ABC 中，内角 A、B、C 所对应的边分别是 a，b，c。若 c2 (a b)2 4 ，C 2 , 3
n2 n ，
a1
a2
a2020
1 2 3 2020
2020 2021 1010 2021 . 2
第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.【答案】6. x 3, y 5.4 ， (3, 5.4) 在回归直线上，代入回归直线方程得 5.4 0.23 a, a 4.8, y 0.2x 4.8 ，依题意 2020 年份代码为 6 ，当 x 6, y 6 .
4.
已知向量 a
(1, 2),b (3,3)
，若
ma
nb
与
a
3b
共线，则
m
（
）
n
A． 1 3
B． 3
C． 1 3
D． 3
5.将长度为 1 米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于 0.2 米的概率是（ ）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
6.为了测试小班教学的实践效果，刘老师对 A、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成
D．
ED
3 在 BC
3
方向上的投影为
7
6
12.若 x 表示不超过 x 的最大整数（例如：0.1 0,0.1 1），数列an 满足：a1 3，
合肥市重点名校2018-2019学年高一下学期期末质量检测数学试题含解析
合肥市重点名校2018-2019学年高一下学期期末质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是A ．8B ．5C ．3D ．2【答案】C 【解析】试题分析：k=1，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1 k=2，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2 k=3，满足条件k ＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3 k=4，不满足条件k ＜4，则退出执行循环体，此时p=3 考点：程序框图2．在Rt ABC ∆中，2,CA CB M N ==，是斜边AB 上的两个动点，且2MN =CM CN ⋅的取值范围为（ ）A ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[]12，D ．[)2+，∞ 【答案】A 【解析】 【分析】可借助直线方程和平面直角坐标系，代换出,M N 之间的关系，再结合向量的数量积公式进行求解即可 【详解】 如图所示：设直线方程为：221x y+=，()(),2,,2M a a N b b --，()02,02a b ≤≤≤≤， 由2MN =得()21a b -=，可设a b >，则1a b -=，1a b =+，01b ≤≤()(),2,,2CM a a CN b b =-=-，()()()22224CM CN ab a b ab a b ⋅=+--=-++()221321=2+24b b b ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当01b ≤≤时，21332+,2242b ⎛⎫⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故3,22CM CN ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦故选A 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量法在几何中的应用，属于中档题 3．直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，如图所示，则（ ）A ．321k k k <<B ．231k k k <<C ．123k k k <<D ．213k k k <<【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得出直线1l ，2l ，3l 的倾斜角满足132090180ααα︒︒︒<<<<<，由倾斜角与斜率的关系得出结果. 【详解】解：设三条直线的倾斜角为123ααα、、， 根据三条直线的图形可得132090180ααα︒︒︒<<<<<，因为tan ,[,)(,)k 09090180αα︒︒︒=∈，当[,)090α︒∈时，tan k 0α=>，当(,)90180α︒︒∈时，tan k α=单调递增，且tan 0α<， 故tan tan tan 3210ααα<<<， 即321k k 0k <<< 故选A. 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，解题的关键是熟悉正切函数的单调性. 4．用[]x 表示不超过的x 最大整数（如[]2.12=，[]3.54-=-）.数列{}n a 满足*114,1(1),()3n n n a a a a n N +=-=-∈，若12111n nS a a a =+++，则[]n S 的所有可能值的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】数列{}n a 取倒数，利用累加法得到n S 通项公式，再判断[]n S 的所有可能值. 【详解】()111n n n a a a +-=-两边取倒数：()11111111111111n n n n n n n na a a a a a a a ++==-⇒-=-----利用累加法：1111113111n n n S a a a ++=-=---- ()21110n n n n n a a a a a ++-=-≥⇒≥⇒{}n a 为递增数列. 123441313313477,,,39816561a a a a ====计算：134S = ，整数部分为027552S =，整数部分为13656136916S =- ，整数部分为211331n n S a +=-<-[]n S 的所有可能值的个数为0,1,2答案选C 【点睛】本题考查了累加法求数列和，综合性强，意在考查学生对于新知识的阅读理解能力，解决问题的能力，和计算能力. 5．把直线3y x =绕原点逆时针转动，使它与圆2223230x y x y ++-+=相切，则直线转动的最小正角度（）． A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角。
安徽省合肥市2018-2019学年高一下学期期中数学试卷(合肥一中、合肥六中)及解析
安徽省合肥市2018-2019学年高一下学期期中数学试卷（合肥一中、合肥六中）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题( ) A. 22a b >B.11a b< C. a c b c >D.2211a bc c >++ 2.若,A B 是ABC ∆的内角，且sin sin A B >，则A 与B 的关系正确的是( ) A.A B <B.A B >C.2A B π+>D.无法确定3.已知实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，则实数x 的值为( ) A.3或－3B.3C.－3D.不确定4.在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A.50a =，30b =，60A = B.30a =，65b =，30A = C.30a =，60b =，30A =D.30a =，50b =，30A =5.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件，若使得该女子所织布的尺数不少于10尺，则该女子所需的天数至少为（ ） A.8B.7C.6D.56.若关于x 的不等式230ax bx ++>的解集为1(1,)2-，其中,a b 为常数，则不等式230x bx a ++<的解集是（ ）A.(1,2)-B.(2,1)-C.1(,1)2-D.1(1,)2-7.一艘轮船按照北偏东40︒方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为原来的距离为（ ）A.6海里B.12海里C.6海里或12海里D.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a ≠，22n n n S a a =+，则11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为（ ） A.12nn- B.1n n+ C.1n n- D.11n n -+ 9.已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A.2B.92 C.143D.510.已知正项数列{}n a 单调递增，则使得不等式()211i a x -<对任意(1,2,3,,)i a i k =⋯都成立的x 的取值范围是（ ） A.110,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.120,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,ka ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.20,ka ⎛⎫ ⎪⎝⎭11.在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C （ ）A.18B.34C.23 D.1612.已知数列{}n a 中，11a =，且11()()2n n n a a n N ++-=-∈，若存在正整数n ，使得1()()0n n t a t a +--<成立，则实数t 的取值范围为（ ）A.213t << B.112t << C.2536t << D.122t << 第II 卷（非选择题）二、解答题012<-+-a x ax . （1）当2a =时，解关于x 的不等式； （2）当a R ∈时，解关于x 的不等式.14.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =. （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆ABC ∆的周长为6，求a ．15.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，3922a a +=，且125,,a a a 成等比数列；数列{}n b 的前n 项和n S ，且满足21n n S b =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 16.合肥一中、六中为了加强交流，增进友谊，两校准备举行一场足球赛，由合肥一中版画社的同学设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为24000cm ，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白.（1）如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小? （2）设画面的高与宽的比为t ，且29510t ≤≤，求t 为何值时，宣传画所用纸张面积最小? 17.在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、. （1）若已知()cos cos c A B a b +=+，判断ABC ∆的形状； （2）若已知BC 边上的高为2a ，求c bb c+的最大值. 18.已知数列{}n a 中，11a =，()1122n n na a a a +=++⋯+，数列{}n b 满足112b =，2121()nn n n b b b a ++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：21111(1)n n b b n +->-+； （3）证明：1n b <.三、填空题19.已知实数x ，y 满足不等式组{2x −y ≤0x +y −3≥0x +2y ≤6，则z =x −2y 的最小值为__________．20.已知数列{}n a 中，12019a =，()*132n n a a n N +=+∈，则数列{}n a 的通项公式为__________.21.已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 其面积为S ，且(b +c )2−a 2=4√3S ，则角A =________。
2018-2019学年安徽省合肥市一中、合肥六中高一下学期期末联考数学试题扫描含答案
合肥一中、合肥六中2018—2019学年第二学期高一期末联考数学试题参考答案12601.【答案】D【解析】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选D．2.【答案】A【解析】在中，，，，即，由正弦定理得，，解得故选A．3.【答案】C【解析】执行如图所示的程序框图如下，时，，时，，时，，时，，满足循环终止条件，此时，则输出的n值是9．故选C．4.【答案】B【解析】由图1得样本容量为，抽取贫困户的户数为人，则抽取C村贫困户的户数为人．故选B．5.【答案】A【解析】，故A正确；，故B不正确；是递减函数，又，所以，故D不正确．故选A．6.【答案】B【解析】设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为，则等腰直角三角形的边长为，对应每个小等腰三角形的面积，则阴影部分的面积之和为，正方形的面积为4，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为，故选B．7.【答案】D【解析】，，，，当且仅当，取等号，故选D．8.【答案】C【解析】在中，，,，．，，代入，，解得．的形状是等边三角形．故选C．9.（合肥六中学生做）【答案】B【解析】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为，设圆锥的底面半径是r，则得到，解得，这个圆锥的底面半径是2，圆锥的表面积为．故选B．（合肥一中学生做）【答案】B【解析】向量、的夹角为，，，则．故选B．10.（合肥六中学生做）【答案】A【解析】作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积，四棱锥的体积，由三视图可知两个四棱锥大小相等，．故选A．（合肥一中学生做）【答案】A【解析】是定义在R上的奇函数，且，，，的周期为4，时，，，，时，，．故选A．11.（合肥六中学生做）【答案】C【解析】当，即．当时，不等式化为，其解集为空集，因此满足题意；当时，不等式化为，即，其解集不为空集，因此满足题意，应舍去；当，即时．关于x的不等式的解集为空集，，解得．综上可得：a的取值范围是．故选C．（合肥一中学生做）【答案】C【解析】函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数的图象，若，则，；解得，；其中、是三角函数最高点的横坐标，的值为T的整数倍，且．故选C．12.【答案】B【解析】因为，所以，所以．又时，，，所以最大值为1，最小值为．若对任意，都有，则且，所以，所以实数p的取值范围是．故选B．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）13.【答案】【解析】经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为，有20个车次的正点率为，有10个车次的正点率为，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：．故答案为．14.（合肥六中学生做）【答案】【解析】，，，且的面积是，，，，，由余弦定理可得，，故答案为．（合肥一中学生做）【答案】【解析】若，，则，，可得，求得，故答案为．15.【答案】1010【解析】根据题意，设等差数列公差为d，则，又由，，则，，则，解可得；故答案为1010．16.【答案】【解析】由题意可得：，解得：，设，则：，可得：，当且仅当时x取得最大值，，，由余弦定理可得：，解得：．故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题满分10分）（合肥六中学生做）【解析】根据相似性可得：，解得：；……分设该正四棱柱的表面积为则有关系式因为，所以当时，故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48……10分（合肥一中学生做）【解析】依题意，，，，故，将点的坐标代入函数的解析式可得，则，又，故，故函数解析式为……5分当时，，则，，所以函数的值域为……10分18.（本题满分12分）（合肥六中学生做）【解析】设数列的公差为d，由题意知：，解得，．所以．……5分由，，则有．则．所以，．……12分（合肥一中学生做）【解析】当时，，为R上的奇函数证明如下：，其定义域为R，则，故函数为奇函数；……5分当时，函数在R上单调递减，证明如下：，设，则，又由，则，则有，即函数为R上的减函数．……12分19.（本题满分12分）【解析】由题意知，样本容量，，；因为成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；……6分由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有人，记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；至少有一名是A等级的基本事件是：概率．AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个；故所求的概率为．……12分20.（本题满分12分）【解析】由及正弦定理，可得，即，由可得，所以，因为，，所以．……6分由得，又因为，所以的面积，把，带入得，所以，解得．……12分21.（本题满分12分）【解析】Ⅰ，，，，，以上个式子相加得：时，时，，符合上式，；……6分Ⅱ得 (12)分22.（本题满分12分）【解析】Ⅰ，说明理由可以是：离群的点A，B会降低变量间的线性关联程度，个数据点与回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，个数据点与回归直线l的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，个数据点更加贴近回归直线l，个数据点与回归直线更离散，或其他言之有理的理由均可；，要点：直线斜率须大于0且小于l的斜率，具体位置稍有出入没有关系，无需说明理由；……4分Ⅱ令，代入，故估计B同学的物理分数大约是81分；……7分Ⅲ由表中知C同学的数学原始分为122，物理原始分为82，数学标准分为，物理标准分为，，故C同学物理成绩比数学成绩要好一些．……12分。
2018-2019学年安徽省合肥市六校联盟高一（下）期末数学试卷
2018-2019学年安徽省合肥市六校联盟⾼⼀（下）期末数学试卷2018-2019学年安徽省合肥市六校联盟⾼⼀（下）期末数学试卷⼀、选择题：（本⼤题共12⼩题，每⼩题4分，共48分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1．（4分）演讲⽐赛共有9位评委分别给出某选⼿的原始评分，评定该选⼿的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最⾼分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相⽐，不变的数字特征是（）A．中位数B．平均数C．⽅差D．极差2．（4分）已知a，b，c满⾜c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项⼀定正确的是（）A．ca2＞ac2B．ac＞bc C．ab2＞cb2D．ab＞ac3．（4分）某学校为了解1000名新⽣的⾝体素质，将这些学⽣编号1，2，…，1000，从这些新⽣中⽤系统抽样⽅法等距抽取50名学⽣进⾏体质测验．若66号学⽣被抽到，则下⾯4名学⽣中被抽到的是（）A．16B．226C．616D．8564．（4分）在等差数列{a n}中，a5，a10是⽅程x2﹣10x﹣6＝0的两个根，则{a n}的前14项和为（）A．55B．60C．65D．705．（4分）在△ABC中，C＝60°，，，则A＝（）A．15°B．45°C．75°D．105°6．（4分）已知等⽐数列{a n}的公⽐，该数列前9项的乘积为1，则a1＝（）A．8B．16C．32D．647．（4分）设实数x，y满⾜约束条件，则z＝x+4y的最⼤值为（）A．﹣2B．9C．11D．8．（4分）从装有2个红球和2个⿊球的⼝袋中任取2个球，那么互斥但不对⽴的事件是（）A．⾄少⼀个⿊球与⾄少⼀个红球B．⾄少⼀个⿊球与都是⿊球C．⾄少⼀个⿊球与都是红球D．恰有⼀个⿊球与恰有两个⿊球9．（4分）已知a、b、c分别是△ABC的内⾓A、B、C的对边，若，则△ABC的形状为（）A．钝⾓三⾓形B．直⾓三⾓形C．锐⾓三⾓形D．等边三⾓形10．（4分）若正实数x，y满⾜+＝1，且x+≥a2﹣3a恒成⽴，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，4]B．（﹣1，4）C．[﹣4，1]D．（﹣4，1）11．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S8＜S10＜S9，则满⾜S n＞0的正整数n的最⼤值为（）A．16B．17C．18D．1912．（4分）如图所⽰，它是由3个全等的三⾓形与中间的⼀个⼩等边三⾓形拼成的⼀个⼤等边三⾓形，设DF＝3AF ＝6，若在⼤等边三⾓形中随机取⼀点，则此点取⾃⼩等边三⾓形的概率是（）A．B．C．D．⼆、填空题（共4⼩题，每⼩题4分，满分16分）13．（4分）已知关于x的不等式x2+bx+c＞0的解集是（﹣∞．﹣2）∪（﹣，+∞），则b+c的值为．14．（4分）执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的结果为15．（4分）△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，sin A＝2sin C，B＝，则△ABC的⾯积为．16．（4分）已知⼀组样本数据x1，x2，…x10，且x12+x22+…+x102＝2020，平均数＝9，则该组数据的标准差为．三、解答题：（本⼤题共5⼩题，共56分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知正项等⽐数列{a n}中，a1＝2，a3＝18，等差数列{b n}中，b1＝2，且a1+a2+a3＝b1+b2+b3+b4．（1）求数列{a n}的通项公式a n；。
2018-2019学年安徽省合肥市一中、合肥六中高一下学期期末联考数学试题(解析版)
安徽省合肥市一中、合肥六中2018-2019学年高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（ ） A ．522 B ．324C ．535D ．578【答案】D【解析】第6行第6列开始的数为808（不合适），436，789（不合适），535，577，348，994（不合适），837（不合适），522，535（重复不合适），578 则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578 则第6个编号为578 本题正确选项：D2．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为，45ACB ∠=，105CAB ∠=后，就可以计算A 、B 两点的距离为（）A ．100mB ．C ．D ．200m【答案】A【解析】在ABC ∆中，AC =，45ACB ∠=，105CAB ∠=，即30ABC ∠=，由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，sin 45AB ∴=o ，解得100AB = ，故选：A. 3．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=； 1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=；3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=.4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 的值为9，故选：C.4．已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%的户数进行调査，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（）A ．100，20B ．100，10C ．200，20D ．200，10【答案】B【解析】由图1得样本容量为()35020045010%100010%100++⨯=⨯=，抽取贫困户的户数为20010%20⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为200.510⨯=户． 故选：B.5．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（） A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >【答案】A【解析】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c abb a+∴<+，B 选项错误； 对于C 选项中的不等式，01c b <<<Q ，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选：A.6．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A ．14B ．316C ．38D ．716【答案】B【解析】设正方形的边长为2，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为=，对应每个小等腰三角形的面积112224S =⨯=， 则阴影部分的面积之和为13344⨯=，正方形的面积为4， 若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为344631=，故选：B ． 7．若正实数,x y 满足1x y +=，则411x y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．92【答案】D 【解析】0x >，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ．8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a b c +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选：C ．9．圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（） A ．10π B ．12πC ．16πD ．18π【答案】B【解析】一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为12π44π2l =⨯⨯=，即圆锥的底面周长为4π， 设圆锥的底面半径是r ，则得到2π4πr =，解得2r =，这个圆锥的底面半径是2，∴圆锥的表面积为2π42π212πS =⋅⋅+⋅=．故选：B ．10．已知向量a 、b 的夹角为60，2a =，1b =，则a b -=（）A BC ．D【答案】B【解析】向量a 、b 的夹角为60，2a =，1b =，则a b -====r r B ．11．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )A ．1603B ．160C ．2563D ．64【答案】A 【解析】由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成， 根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33，故选A. 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x f x m =-，则()2019f =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A 【解析】函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，()()()2f x f x f x ∴+=-=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，∴函数()y f x =的周期为4，由于函数()y f x =是R 上的奇函数，则()010f m =-=，得1m =. 所以，当01x ≤≤时，()21xf x =-.()()()()()120194505111211f f f f ∴=⨯-=-=-=--=-，故选：A.13．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞【答案】C【解析】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤-⎥⎝⎦．故选：C ．14．已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（） A ．5π4B ．34π C ．π2D ．π3【答案】C【解析】函数()222cos 12cos π22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 4π6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 6π41y g x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由()4262πππx k k -=+∈Z ，解得()π2π6k x k =+∈Z ； 其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且2π2π4T ==．故选：C ． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*n ∈N ，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】011111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n ∈N 都成立，当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤ 当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤ 故选B二、填空题16．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98.【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1c o s 3A =，23b c =，且ABC ∆，a =___________.【答案】2【解析】1cos 3A =Q ，sin A ∴==23b c =Q ，且ABC ∆的面积是，1sin2ABC S bc A ∆∴=，1223c c =⨯，c ∴=，b =由余弦定理得2229192cos 22232a b c bc A =+-=+-=，a ∴=.故答案为：2． 18．若62sin 3c 5os αβ-=-，12cos 3s 5in αβ-=-，则()sin αβ+=___________. 【答案】2425【解析】若62sin 3c 5os αβ-=-，12cos 3s 5in αβ-=-，将上述两等式平方得22364sin 9cos 12sin cos 25αβαβ+-=，① 2214cos 9sin 12cos sin 25αβαβ+-=，②， ①＋②可得()374912sin 25αβ+-+=，求得()24sin 25αβ+=，故答案为：2425．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，35S a =，2019m a =，则m =________ 【答案】1010【解析】根据题意，设等差数列{}n a 公差为d ， 则()32133S a a d ==+，又由11a =，35S a =，则()3114d d +=+，2d =， 则()11212019m a a m d m =+-=-=，解可得1010m =； 故答案为：1010．20．在ABC ∆中，150ABC ∠=o ，D 是线段AC 上的点，30DBC ∠=，若ABC ∆的面BD 取到最大值时，AC =___________.【答案】【解析】由题意可得11sin15024ABC S ac ac ∆===o ，解得ac =设BD x =，则14ABC BCD ABD S S S ax ∆∆∆=+==x =由基本不等式可得1x =≤===，当且仅当a =时，x 取得最大值1，a ∴=2c =，由余弦定理得(2222222cos 22228AC b a c ac ABC ⎛==+-∠=+-⨯⨯= ⎝⎭，解得AC =三、解答题21．底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x ，试将棱柱的高h 表示成x 的函数； （2）当x 取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．解：（1）根据比例关系式求出h 关于x 的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为y ，得到关系式224y x xh =+，根据二次函数的性质求出y 的最大值即可.试题解析：（1）根据相似性可得：6=，解得：(20h x x =<<； （2）设该正四棱柱的表面积为y ．则有关系式()(2222242426648y x xh x x x x x =+=+=-+=--+，因为0x <<x =max 48y =，故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48.22．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,0,)A ωϕπ>><，它的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 解：（1）依题意，ππ2π2,4π,2312A T ωω⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，故()()22f x sin x ϕ=+. 将点π,23⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得2π13sin ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()π2π6k k ϕ=-∈Z ，πϕ<又，故π=6ϕ-， 故函数解析式为()π226f x sin x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2363x -≤-≤，则π216sin x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，π2226sin x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x的值域为⎡⎤⎣⎦.23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ； （2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 解：（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =．所以21n a n =+．（2）由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭34<． 24．已知函数()()2221xxm f x m R --=∈+. （1）当3m =时，判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）当1m >时，判断并证明函数()f x 在R 上的单调性.解：（1）当3m =时，()1221xx f x -=+，函数()y f x =为R 上的奇函数.证明如下：()1221xx f x -=+，其定义域为R ，则()()()()12212212121212x xx x xx x x f x f x -----⋅---====-+++⋅，故函数()y f x =为奇函数； （2）当1m >时，函数()y f x =在R 上单调递减.证明如下：()22112121x xx m m f x ---==-++，任取12x x <， 则()()()()()()2212111212121221111111121112222x x x x x x x x m m m m m f x f x ------⎛⎫⎛⎫-=---=-=- ⎪ ⎪++⎭+⎝+⎝⎭++， 又由12x x <，则12220x x -<，则有()()120f x f x ->，即()()12f x f x >. 因此，函数()y f x =为R 上的减函数．25．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表.规定：,,A B C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[)[)[)[)[]50,6060,7070,8080,9090,100，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（I ）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（II ）在选取的样本中，从,A D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率．解：（I ）由题意可知，样本容量6250,0.0040.012105010n x ====⨯⨯10.040.10.120.560.01810y ----==因为成绩是合格等级人数为：()10.15045-⨯=人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，依据样本估计总体的思想，所以，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为910（II ）由茎叶图知，A 等级的学生共有3人，D 等级学生共有0.1505⨯=人，记A 等级的学生为123,,A A A ，D 等级学生为12345,,,,D D D D D ，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为：121311,,,A A A A A D1213141523212223242531323334351213,,,,,,,,,,,,,,,,,A D A D A D A D A A A D A D A D A D A D A D A D A D A D A D D D D D1415232425343545,,,,,,,D D D D D D D D D D D D D D D D 共28个基本事件记“至少有一名学生是A 等级”事件为A ，则事件A 的可能结果为1213,,D D D D 14152324,,,,D D D D D D D D 25343545,,,D D D D D D D D 共10种因此()()109112814P A P A =-=-= 26．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos 0a c B b C ++=. （1）求角B 的大小；（2）若3a =，点D 在AC 边上，且BD AC ⊥，BD =c 边的长. 解：（1）由()2cos cos 0a c B b C ++=及正弦定理，可得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，即()2sin cos sin 0A B B C ++=， 由πA B C ++=可得()()sin sin πsin B C A A +=-=，所以()sin 2cos 10A B +=， 因为0πA <<，sin 0A >，所以1cos 2B =-，0πB <<，π23B ∴=； （2）由于23B π=，由余弦定理得2222222cos 39b a c ac B a c c c c a =+==++++-， 又因为BD AC ⊥，所以ABC ∆的面积11sin 22ABC S ac B b BD ∆==⋅，把3a =，π23B =，BD =75b c =，所以227395c c c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得5c =． 27．设数列{n a }满足12a =，12n n n a a +-=；数列{b n }的前n 项和为n S ，且()2132n S n n =-．（Ⅰ）求数列{n a }和{n b }的通项公式；（Ⅱ）若n c ＝n n a b ，求数列{n c }的前n 项和n T ． 解：（Ⅰ）由已知，当n 2≥时，()()()()1112211222n n n n n n n a a a a a a a a ----⎡⎤=-+-+⋯+-+=++⋯+⎣⎦+2=2n ， 又因为12a =，所以数列{n a }的通项公式为2nn a =．因为()2132n S n n =-，所以()(211[31)1n 22n S n n -⎤=---≥⎦（）， 两式作差可得32n b n =-，且111b S ==也满足此式，因此所求通项公式为32n b n =-. （Ⅱ）由2,32nn n a b n ==-，可得 = × ， ∴()123124272322nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅()()23121242352322n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减得()()23123222322nn n T n +-=+⋅++⋅⋅⋅+--⋅=()11422332212n n n ++-+⋅--⋅-，整理得()110352n n T n +=+-⋅.28．下表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将,A B 两同学的成绩（对应于图中,A B 两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩()x与物理成绩()y 的相关系数为0.8222γ=，回归直线l （如图所示）的方程为0.500618.68y x =+.（1）若不剔除,A B 两同学的数据，用全部44人的成绩作回归分析，设数学成绩()x 与物理成绩()y 的相关系数为0γ，回归直线为0l ，试分析0γ与γ的大小关系，并在图中画出回归直线0l 的大致位置；（2）如果B 同学参加了这次物理考试，估计B 同学的物理分数（精确到个位）； （3）就这次考试而言，学号为16号的C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式i i X XZ s-=统一化成标准分再进行比较，其中i X 为学科原始分，X 为学科平均分，s 为学科标准差）． 解:(1)0γγ<， 说明理由可以是：①离群点A ,B 会降低变量间的线性关联程度；②44个数据点与回归直线0l 的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小； ③42个数据点与回归直线l 的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大； ④42个数据点更加贴近回归直线l ；⑤44个数据点与回归直线0l 更离散，或其他言之有理的理由均可.要点：直线0l 斜率须大于0且小于l 的斜率，具体为止稍有出入没关系，无需说明理由. （2）令125x =，代入0.500618.680.500612518.68y x =+=⨯+ 得62.57518.6881y =+≈所以，估计B 同学的物理分数大约为81分.（3）由表中知C 同学的数学原始分为122，物理原始分为82， 数学标准分为16161122110.511.50.6318.3618.36x x Z s --===≈ 物理标准分为16162827480.7211.1811.18y y Z s --===≈，故C同学物理成绩比数学成绩要好一些.0.720.63。
安徽省示范高中2018_2019学年高一数学下学期联考试题
安徽省示范高中学年高一数学下学期联考试题（含解析）第Ⅰ卷（共分）一、选择题：本大题共个小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知集合，，则（）. . . .【答案】【解析】【分析】由一元一次不等式的解法求得集合，由交集运算求出，得到结果。
【详解】由题意得，，又，所以，故选【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题.在中，内角的对边分别为，若，则（）. . . .【答案】【解析】【分析】根据正弦定理，可得，带入数据可求解。
【详解】由正弦定理，变形可得，故选【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题。
.在数列中，，，且，则（）. . . .【答案】【解析】【分析】由数列的递推关系，带入，，即可求出，再将带入，即可求出。
【详解】令，则，又，，所以；再令，则，所以，故选【点睛】本题考查数列的递推公式，对赋值，求解数列中的项，属于简单题。
.的内角的对边分别为，若，，，则（）. . . .【答案】【解析】【分析】根据正弦定理，带入数据，即可求解。
【详解】由正弦定理，变形可得，故选【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题。
.在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（）. . . .【答案】【解析】【分析】由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出的值。
【详解】由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，所以或（舍），故选【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题。
.的内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）. ，，. ，，. ，，. ，，【答案】【解析】【分析】逐一分析每个选项，结合正弦定理及大边对大角原则，进行判断。
【详解】选项，由正弦定理，所以，又，所以，只有一解。
选项，由余弦定理，所以，只有一解。
选项，由正弦定理，所以，又，所以，所以只有一解。
选项，由正弦定理，所以，又，所以，且，所以，即此时有两组解，故选【点睛】本题考查了正弦定理的应用，及大边对大角的性质，属中档题。