2018-2019学年上海市浦东新区高二第一学期期末质量测试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市浦东新区高二第一学期期末质量测试数学试题一、单选题1．直线关于直线对称的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】所求直线的斜率与直线的斜率互为相反数，且在处有公共点，求解即可。
【详解】直线与直线的交点为，则所求直线过点,因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.故答案为A.【点睛】本题考查了直线的斜率，直线的方程，直线关于直线的对称问题，属于基础题。
2．用数学归纳法证明时，在证明等式成立时，此时等式的左边是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，时，等式的左边是，即可得到答案。
【详解】由知，时，等式的左边是，故答案为D.【点睛】本题考查了数学归纳法的步骤，考查了学生对基础知识的掌握情况，在平常学习中要重视基础知识。
3．下列方程是圆的切线方程的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：已知圆的圆心为，半径为1，圆心只有到直线的距离为1，即此直线与圆相切．故选C．【考点】直线与圆的位置关系．4．已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】建立直角坐标系，，，，设，，，，即可得到，结合m,n的范围即可求出最小值。
【详解】如图建立平面直角坐标系，，，，设，，，，则，，，因为，所以，即的最小值.故答案为C.【点睛】本题考查了向量的坐标表示，向量的数量积，向量在平面几何中的应用，属于基础题。
二、填空题5．直线10x y --=的倾斜角为_____________________ 【答案】4π 【解析】试题分析：根据题意,由于直线10x y --=的斜率为y=x-1,即可知斜率为1，借助于特殊角的正切值为1可知，其倾斜角为4π，故答案为4π 【考点】直线的斜率与倾斜角点评：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题． 6．直线与的距离是________________【答案】3【解析】利用两条平行直线间的距离公式可得：，可得到答案。
【详解】由两条平行直线间的距离公式可得：.【点睛】两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离.7．直线的一个方向向量可以是________ .【答案】(2,1)【解析】由直线，可以知道直线方程为，从而可以得到直线的方向向量。
【详解】 由题意知，，故直线的一个方向向量可以是.【点睛】本题考查了直线的方向向量的求法，直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个方向向量是，属于简单题。
8．若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是________ ． 【答案】m ≠ ±2【解析】因为方程组有唯一解，所以2144m ≠⨯=，即2m ≠±，所以填2m ≠±. 9．正方形中，点为坐标原点，且向量，边所在直线的点法向式方程为______. 【答案】【解析】分别求出直线的法向量和它经过的一个点，即可写出它的点法向式方程。
【详解】 由题意知是直线的法向量，且直线经过点，故边所在直线的点法向式方程为.【点睛】本题考查直线的法向量，直线的点法向式方程，属于基础题。
10．直线与直线互相垂直，则实数=____ . 【答案】1或2【解析】利用两直线垂直的充要条件，列方程求解即可。
【详解】 由题意知，，解得或者.【点睛】直线与垂直的充要条件：.11．设直线和圆相交于点A 、B ，则弦AB 的长度是_________． 【答案】【解析】先求出圆的圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，则弦AB的长度为.【详解】圆的方程为：，圆心到直线的距离为，则弦AB 的长度为.【点睛】本题考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，圆中弦长的计算，属于基础题。
12．已知向量，．若向量在方向上的投影为6，则实数_________.【答案】【解析】由向量在方向上的投影为，代入计算即可得到答案。
【详解】由题意知，，因为向量在方向上的投影为，所以，解得.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，及一个向量在另一个向量上的投影，考查了学生分析能力及计算能力，属于基础题。
13．若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是____.【答案】2【解析】由无穷等比数列各项的和为，结合等比数列的前n项和公式列方程求解即可。
【详解】由题意知，，，且，所以各项的和，解得或，因为，所以只有满足题意。
【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与极限思想，属于基础题。
14．设，则的最大值是____【答案】【解析】设，可得，代入中，可以得到关于的一元二次方程，令，即可求出的范围，进而得到的最大值。
【详解】设，则，代入中，可得，即，则关于的一元二次方程有解，即，解得，即，故的最大值是.【点睛】本题主要考查了利用函数法求最值的问题，解题的关键就是构造一个一元二次方程，根据判别式求范围，属于中档题。
15．在△中，，，，则线段长的最小值为____________．【答案】【解析】由，可以求出，由，即可求出答案。
【详解】由题意知，可得，则，（当且仅当，即2时取“=”.）故，即线段长的最小值为.【点睛】本题考查向量的数量积，向量的模，向量在几何中的应用，及基本不等式求最值，属于中档题。
三、解答题16．已知向量，，．（1）当，求向量与的夹角大小.（2）∥，求实数的值。
【答案】（1）（2）【解析】（1）由，求解即可；（2）由平行向量的性质列方程求解即可。
【详解】（1）设向量与的夹角为，∵，，∴.∵，∴，即向量与的夹角为.（2）∥【点睛】本题考查了向量夹角的求法，考查了平行向量的性质，属于基础题。
17．已知定点，动点满足行列式，求线段的中点的轨迹方程【答案】【解析】点在上，设，由中点坐标公式可得，代入圆即可得到答案。
【详解】设，，为所求点的轨迹方程.【点睛】代入法求轨迹方程，适合已知的轨迹方程的点与所求动点有固定关系，用所求轨迹方程的点的坐标表示已知轨迹方程的点的坐标，然后代入已知的轨迹方程，从而求出动点的坐标所满足的方程。
18．在直角坐标平面内，、分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，对任意正整数n，.(1) 若实数，求；(2) 设, 证明点在直线上.【答案】（1）= （2）见解析【解析】（1）将代入，由，即可求出答案；（2）由，可知，结合，得到，，进而可以求出的坐标，即可证明点在直线上。
【详解】（1），=（2）设，则，所以；即满足方程，所以点在直线上.【点睛】本题考查了向量的坐标表示及运算，考查了点与直线的位置关系，属于基础题，解题时要认真审题，注意挖掘题中的条件。
19．已知点在直线（）上，点在函数图像上，过作轴的垂线，垂足为，（1）当时，数列前项和是，设，求；（2）当时，设，求的值。
【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意知（），可知是等比数列，进而可以求出，，，由，可得到答案；（2）先求出，进而可知道，可知是以为首项，为公比的等比数列，结合及等比数列的前项和公式，可求出.【详解】由题意知，，.（1）当时，，，，（2），当时，,当时，当时，（n）是以为首项，为公比的等比数列，n=1时，也符合题意.【点睛】本题考查了数列与函数的综合问题，考查了数列的极限，考查了三角形的面积公式，属于中档题。
20．一束光从从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处.（1）若，，求光从出发，到达点时所走过的路程；（2）若，求反射光的斜率的取值范围；（3）若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）求出关于轴的对称点，进而可以求出反射光线所在直线，从而可以求出，求出即可；（2）将代入线段中，结合关于轴的对称点，可求出反射光斜率的取值范围；（3）分析可知反射光与直线垂直时，光所走过的路程最短，可求出反射光线所在直线的方程，进而求出反射直线与的交点，然后分别讨论交点在线段上与不在线段上，可求出对应的最短路程。
【详解】（1）关于轴的对称点，，则此时所以光所走过的路程即（2）对于线段，令其端点则，所以反射光斜率的取值范围是（3）若反射光与直线垂直，光所走过的路程最短，则由①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离，所以路程；②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中所以综上：【点睛】本题考查了直线的方程，考查了点关于直线的对称问题，考查了斜率问题，距离问题，属于中档题。
上海市2018-2019学年交大附中高二上期末数学期末试卷
2018~2019学年交附高二上期末试卷2019.1一、填空题：1、(19交附高二期末1)复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，i 为虚数单位，实数m =______； 答案：2m =；2、(19交附高二期末2)复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为______； 答案：1-3、(19交附高二期末3)抛物线212x y =的准线方程为______； 答案：3y =-4、(19交附高二期末4)已知向量()1,2a =-，()1,1b =，m a b =-，n a b λ=+，如果m n ⊥，则实数λ=______； 答案：25、(19交附高二期末5)若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数a 的值为______； 答案：3-或26、(19交附高二期末6)设双曲线()222109x y b b-=>的焦点为1F 、2F ，P 为该双能线上的一点，若15PF =，则2PF =______； 答案：117、(19交附高二期末7)设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是______；答案：6-；8、(19交附高二期末8)若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =______；答案：1；9、(19交附高二期末9)在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 位于第二象限，且在AOB ∠的平分线上，2OC =，则OC =______；答案：⎛ ⎝⎭；10. (19交附高二期末10)参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；答案：()3703x y x +-=≠11、(19交附高二期末11)在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中点在原点，它的一个焦点坐标为)，()12,1e =、()22,1e =-分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若()12,OP ae be a b R =+∈，则a 、b 满足的一个等式是______；答案：14ab =； 12、(19交附高二期末12)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P满足()()1AP OA R λλ=-∈，且48OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______； 答案：10； 二、选择题：13、(19交附高二期末13)对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c R ∈，0a ≠）下列命题不正确的是（ ）A 、两根12,x x 满足12b x x a +=-，12cx x a=；B 、两根12,x x 满足12x x -C 、若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D 、若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 答案：B ；14、(19交附高二期末14)已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条答案：C ；15、(19交附高二期末15)如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =，AD b =，则AC BD ⋅=（ ） A 、22b a -B 、22a b -C.22a b +D.ab答案：A ；16、(19交附高二期末16)已知F 为抛物线2:4C y x =的集点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A 、0个B 、1个C 、3个D 、无数个答案：D ； 三、解答题：17、(19交附高二期末17)设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.答案：（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；18、(19交附高二期末18)（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21zz +都是实数，求虚数z .（1）1z =-±；（2）12z =-；19、(19交附高二期末19)已知椭圆22142x y +=.（1）M 为直线:142x yl +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值；（2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =，求弦AB 所在的直线方程.答案：（1；（2）x =或8100y +-=；20、(19交附高二期末20)圆(22219:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.答案：（1）()2211y x y -=≥；（2）1,k ⎛∈- ⎝⎭；（3）m =；21、(19交附高二期末21)过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由. 答案：（1）24y x =；（2）3-；（2）()[),610,-∞-+∞；。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
浦东新区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
浦东新区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．其中符号为负的是（）A．①B．②C．③D．④2．数列{a n}满足a n+2=2a n+1﹣a n，且a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，则log2（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（）A．2 B．3 C．4 D．53．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A． C． D．4．运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（）A．y=x+2 B．y=C．y=3x D．y=3x35．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）A ．4B ．5C ．6D ．76． 函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2.3） D ．（3，4）7． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I （A ∩B ）等于（ ） A ．{3，4} B ．{1，2，5，6} C ．{1，2，3，4，5，6} D ．∅8． 以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 坐标为（2，1），双曲线C 上点P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0）满足=，则﹣S（ ） A ．2B ．4C ．1D ．﹣19． 已知点A （﹣2，0），点M （x ，y ）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（ ）A ．5B ．3C ．2D ．10．过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）A ．x ﹣2y+7=0B ．2x+y ﹣1=0C ．x ﹣2y ﹣5=0D ．2x+y ﹣5=011．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ）A ．50x -<<或5x >B ．5x <-或5x >C ．55x -<<D ．5x <-或05x << 12．已知函数()cos()3f x x π=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23π个单位二、填空题13．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 14．抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ．15．设,则16．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）．17．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为 ．18．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．三、解答题19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知tanA=，c=．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若三角形△ABC 的面积为，求角C ．20．已知{a n }为等比数列，a 1=1，a 6=243．S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=3，S 5=35． （1）求{a n }和{B n }的通项公式； （2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ，求T n ．21．（本小题满分12分）已知函数131)(23+-=ax x x h ，设x a x h x f ln 2)(')(-=， 222ln )(a x x g +=，其中0>x ，R a ∈.（1）若函数)(x f 在区间),2(+∞上单调递增，求实数的取值范围； （2）记)()()(x g x f x F +=，求证：21)(≥x F .22．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），P 是椭圆C 上任意一点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 1，l 2是椭圆的任意两条切线，且l 1∥l 2，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知函数f （x ）=cos （ωx+），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x ∈R 且图象相邻两对称轴之间的距离为；（1）求f （x ）的对称轴方程和单调递增区间；（2）求f （x ）的最大值、最小值，并指出f （x ）取得最大值、最小值时所对应的x 的集合．24．已知α、β、是三个平面，且c αβ=，a βγ=，b αγ=，且a b O =．求证：、、三线共点．浦东新区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，∴＞0，其中符号为负的是②，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．2．【答案】C【解析】解：函数f（x）=+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6，∵a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，∴a2014，a2016是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．数列{a n}中，满足a n+2=2a n+1﹣a n，可知{a n}为等差数列，∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16，从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4．故选：C．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．3．【答案】D【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故实数t的取值范围是[，2]，故选D．【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．4．【答案】C【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序运行后输出的是实数对（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；这组数对对应的点在函数y=3x的图象上．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．5．【答案】C【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前100 0/第一圈100﹣20 1 是第二圈100﹣20﹣21 2 是…第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0 6 是则输出的结果为7．故选C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．【答案】A【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．故选A【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．7．【答案】B【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，∴A∩B={3，4}，∵全集I={1，2，3，4，5，6}，∴∁I（A∩B）={1，2，5，6}，故选B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．8．【答案】A【解析】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A．【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．9．【答案】D【解析】解：不等式组表示的平面区域如图，结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，即|AM|min=．故选：D．【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．10．【答案】A 【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x ﹣2y+7=0 故选A ． 【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x ﹣2y+c=0．11．【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.112．【答案】B【解析】试题分析：函数()cos ,3f x x π⎛⎫=+∴ ⎪⎝⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数 ()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将函数函数()y f x =的图象上所有的点向左平移2π个单位长度得到5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换. 二、填空题13．【答案】D 【解析】14．【答案】 3x ﹣y ﹣11=0 ．【解析】解：设过点P （4，1）的直线与抛物线的交点 为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），即有y 12=6x 1，y 22=6x 2，相减可得，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=6（x 1﹣x 2），即有k AB ====3，则直线方程为y ﹣1=3（x ﹣4）， 即为3x ﹣y ﹣11=0．将直线y=3x ﹣11代入抛物线的方程，可得 9x 2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0， 故所求直线为3x ﹣y ﹣11=0． 故答案为：3x ﹣y ﹣11=0．15．【答案】9【解析】由柯西不等式可知16．【答案】 27【解析】解：若A 方格填3，则排法有2×32=18种，若A 方格填2，则排法有1×32=9种，根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种． 故答案为：27．【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．17．【答案】（x﹣1）2+（y+1）2=5．【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，∴a+b=0，①且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，根据垂径定理得：r2﹣d2=，即r2﹣（）2=③；由方程①②③组成方程组，解得；∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．18．【答案】2．【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，∴2+x+4+6+10=5×5，解得x=3，∴此组数据的方差[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，∴此组数据的标准差S==2．故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，则=，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，由正弦定理，a=b，则=1；…（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为，a=b、c=，所以S=absinC=a2sinC=，则，①由余弦定理得，=，②由①②得，cosC+sinC=1，则2sin（C+）=1，sin（C+）=，又0＜C＜π，则C+＜，即C+=，解得C=…．【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵{a n}为等比数列，a1=1，a6=243，∴1×q5=243，解得q=3，∴．∵S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．∴5×3+d=35，解得d=2，b n=3+（n﹣1）×2=2n+1．（Ⅱ）∵T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，∴①②①﹣②得：，整理得：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21．【答案】（1）]34,(-∞.（2）证明见解析. 【解析】试题解析：解：（1）函数131)(23+-=ax x x h ，ax x x h 2)('2-=，1111] 所以函数x a ax x x a x h x f ln 22ln 2)(')(2--=-=，∵函数)(x f 在区间),2(+∞上单调递增，∴0222ln 2)(')('2≥--=-=x a ax x x a x h x f 在区间),2(+∞上恒成立，所以12+≤x x a 在),2(+∞∈x 上恒成立.令1)(2+=x x x M ，则2222)1(2)1()1(2)('++=+-+=x x x x x x x x M ，当),2(+∞∈x 时，0)('>x M ， ∴34)2(1)(2=>+=M x x x M ，∴实数的取值范围为]34,(-∞. （2）]2ln )ln ([22ln ln 22)(222222xx a x x a a x x a ax x x F +++-=++--=， 令2ln )ln ()(222x x a x x a a P +++-=，则111]4)ln (4)ln ()2ln (2ln )2ln ()2ln ()(2222222x x x x x x a x x x x x x a a P +≥+-+-=+++-+-=.令x x x Q ln )(-=，则x x x x Q 111)('-=-=，显然)(x Q 在区间)1,0(上单调递减，在区间),1[+∞上单调递增，则1)1()(min ==Q x Q ，则41)(≥a P ，故21412)(=⨯≥x F .考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【方法点晴】本题主要考查导数在解决函数问题中的应用.考查利用导数证明不等式成立.（1）利用导数的工具性求解实数的取值范围；（2）先写出具体函数()x F ,通过观察()x F 的解析式的形式,能够想到解析式里可能存在完全平方式,所以试着构造完全平方式并放缩,所以只需证明放缩后的式子大于等于41即可,从而对新函数求导判单调性求出最值证得成立.22．【答案】【解析】解：（1）∵椭圆的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），P 是椭圆C 上任意一点，且椭圆的离心率为，∴=，解得，∴椭圆C 的方程为．…（2）①当l 1，l 2的斜率存在时，设l 1：y=kx+m ，l 2：y=kx+n （m ≠n ），△=0，m 2=1+2k 2，同理n 2=1+2k 2m 2=n 2，m=﹣n ，设存在，又m 2=1+2k 2，则|k 2（2﹣t 2）+1|=1+k 2，k 2（1﹣t 2）=0或k 2（t 2﹣3）=2（不恒成立，舍去） ∴t 2﹣1=0，t=±1，点B （±1，0），②当l 1，l 2的斜率不存在时，点B （±1，0）到l 1，l 2的距离之积为1． 综上，存在B （1，0）或（﹣1，0）．…23．【答案】【解析】解：（1）函数f （x ）=cos （ωx+）的图象的两对称轴之间的距离为=，∴ω=2，f （x ）=cos （2x+）．令2x+=k π，求得x=﹣，可得对称轴方程为 x=﹣，k ∈Z ．令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，可得函数的增区间为，k∈Z．（2）当2x+=2kπ，即x=kπ﹣，k∈Z时，f（x）取得最大值为1．当2x+=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最小值为﹣1．∴f（x）取最大值时相应的x集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；f（x）取最小值时相应的x集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．24．【答案】证明见解析．【解析】考点：平面的基本性质与推论．。
2019-2020学年上海浦东新区高二上学期数学期末试卷
浦东新区高二期末数学试卷2020.01一. 填空题1. 写出方程组32538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵 2. 已知(1,0)a =，(2,4)b =，则||a b += 3. 32lim 32n nn nn →∞-=+ 4. 直线40x my -+=的倾斜角为4π，则m 的值是 5. 已知点(1,2)A ，(3,0)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是 6. 直线l 的一个方向向量(1,2)d =，则l 与直线0x y -=的夹角大小为（用反三角函数表示）7. 向量(,12)OA k =，(1,2)OB =，(3,4)OC =，若A 、B 、C 三点共线，则k =8. 若无穷等比数列{}n a 的各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是9. 已知点(4,1)P ，点Q 的坐标(,)x y 满足212x y =，则点P 与点Q 距离的最小值为 10. 已知(2,0)A -，点P 为曲线221x y +=上一个动点，O 为原点，则AO AP ⋅的取值范 围是11. 已知△ABC 满足313()||||||ABAC AB AC AB AC AB AC ++=+，则BAC ∠为12. 若实数x 、y 满足221x y +=的取值范围为二. 选择题13. 直线210x y ++=与直线36100x y +-=的位置关系是（ ）A. 相交B. 重合C. 平行D. 垂直14. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）A. 22x y =B. y x =C. ||y x =D. 0x y +=15. 已知数列{}n a 满足1120191()20202n n n a n ≤≤⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，则lim n n a →∞=（ ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 不存在16. 已知△ABC 中，2A π∠= ，1AB AC ==，当每个i λ（1,2,3i =）取遍1±时，123||AB BC CA λλλ++的取值不可能是（ ）A. 0B. 1C. 2D.三. 解答题17. 已知二元一次方程组(3)223(21)20k x y k x k y k --=⎧⎨++++=⎩无解，求k 的值.18. 等差数列{}n a 中，若33a =，69a =.（1）求等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）求limn n nna S →∞.19. 已知△ABC 的三个顶点分别为(1,2)A 、(4,1)B 、(3,6)C .（1）求BC 边上的中线所在直线的一般式方程；（2）求△ABC 的面积.20. 如图，已知点G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，线段DE 经过点G ，并绕点G 转 动，分别交边AB 、AC 于点D 、E ，设AD mAB =，AE nAC =，其中01m <≤，01n <≤.（1）求表达式11m n+的值，并说明理由； （2）求△ADE 面积的最大和最小值，并指出相应的m 、n 的值.21. 已知直线20x y ++=与圆心为坐标原点的圆O 相切.（1）求圆O 的方程；（2）过点(2,2)P 的直线与圆O 交于A 、B 两点，若弦长230||5AB =，求直线AB 的斜 率的值；（3）过点(1,1)Q 作两条相异直线分别与圆O 相交于M 、N ，且直线QM 和直线QN 的 倾斜角互补，试判断向量OQ 和MN 是否共线？请说明理由.参考答案一. 填空题1. 325318-⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 53. 14. 15. 1y x =-6. arccos10 7. 11 8. (2,4)9.10. [2,6] 11. 3π 12. [4,6]二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. B三. 解答题 17. 32k =. 18.（1）23n a n =-，22n S n n =-；（2）2.19.（1）3570x y -+=；（2）7.20.（1）113m n+=，理由略；（212m =，25n =或1m =，12n =，23m n ==. 21.（1）222x y +=；（2）2或12；（3）共线，理由略.。
浦东新区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
浦东新区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（）A ．2B ．C ．D ．32． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A ．B ．（4+π）C ．D ．3． 直角梯形中,,直线截该梯形所得位于左边图OABC ,1,2AB OC AB OC BC ===A :l x t =形面积为，则函数的图像大致为（）()S f t =4． 拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．105． 已知集合，，则（ ）{2,1,1,2,4}A =--2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈A B = A ．B ．C ．D ．{2,1,1}--{1,1,2}-{1,1}-{2,1}--【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．6． 已知AC ⊥BC ，AC=BC ，D 满足=t+（1﹣t ），若∠ACD=60°，则t 的值为（）A ．B ．﹣C ．﹣1D ．7． 已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m ），且∥，则=（）A ．（﹣5，﹣10）B ．（﹣4，﹣8）C ．（﹣3，﹣6）D ．（﹣2，﹣4）8． 如果集合 ，同时满足,就称有序集对,A B {}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠ ，A =为“ 好集对”. 这里有序集对是指当时，和是不同的集对， 那么(),A B (),A B A B ≠(),A B (),B A “好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个9． 如图所示，在三棱锥的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）111]P ABC -A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对10．函数f （x ）=cos 2x ﹣cos 4x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A ．，πB ．，C ．，πD ．，11．（m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）C ．D ．12．若将函数y=tan （ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan （ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知向量=（1，2），=（m ，1），如果向量与平行，则m 的值为（）A ．B ．C ．2D ．﹣214．已知函数的定义域为，函数的图象如图甲所示，则函数的图象是()f x [],a b ()y f x =(||)f x 图乙中的（）15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则=（ ）A ．3B ．4C ．D ．13二、填空题16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则{a n }的通项公式a n = ． 17．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．18．直线与抛物线交于，两点，且与轴负半轴相交，若为坐标原点，则20x y t +-=216y x =A B x O 面积的最大值为.OAB ∆【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.19．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数的零点在区间()ln 4f x x x =+-内，则正整数的值为________．()1k k +，k 三、解答题20．如图，椭圆C 1：的离心率为，x 轴被曲线C 2：y=x 2﹣b 截得的线段长等于椭圆C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过点M 的两条互相垂直的直线l 1，l 2分别交抛物线于A 、B 两点，交椭圆于D 、E 两点，（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求直线AB的方程．21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=，c=．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为，求角C．22．已知函数，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方．23．等差数列{a n}的前n项和为S n．a3=2，S8=22．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．24．在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=．（1）若cos∠ADC=，求AB的值；（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？25．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：周需求量n1819202122频数12331以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望．浦东新区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】C解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ．2． 【答案】 D【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，故选D ．【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察． 3． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，当时，，当时，01t <≤()2122f t t t t =⋅⋅=12t <≤，所以，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符()112(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩合，故选C.考点：分段函数的解析式与图象.4． 【答案】【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为－＝1，其焦点为（±2，0），由题意得＝2，x 22y 22p 2∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，由，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.{y 2＝8x y ＝±x)5． 【答案】C【解析】当时，，所以，故选C ．{2,1,1,2,4}x ∈--2log ||1{1,1,0}y x =-∈-A B = {1,1}-6． 【答案】A【解析】解：如图，根据题意知，D 在线段AB 上，过D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ；若设AC=BC=a ，则由得，CE=ta ，CF=（1﹣t ）a ；根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；∴；即；解得．故选：A ．【点评】考查当满足时，便说明D ，A ，B 三点共线，以及向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，余弦函数的定义． 7． 【答案】B【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4，故选B ． 8． 【答案】B 【解析】试题分析：因为，所以当时，；当{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠ ，A ={1,2}A ={1,2,4}B =时，；当时，；当时，；当时，{1,3}A ={1,2,4}B ={1,4}A ={1,2,3}B ={1,2,3}A ={1,4}B ={1,2,4}A =；当时，；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.{1,3}B ={1,3,4}A ={1,2}B =考点：元素与集合的关系的判断.【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]9． 【答案】B 【解析】试题分析：三棱锥中，则与、与、与都是异面直线，所以共有三对，故选P ABC PA BC PC AB PB AC B ．考点：异面直线的判定．10．【答案】B【解析】解：y=cos 2x ﹣cos 4x=cos 2x （1﹣cos 2x ）=cos 2x •sin 2x=sin 22x=，故它的周期为=，最大值为=．故选：B ． 11．【答案】C【解析】解：不等式（m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立，即（m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立若m+1=0，显然不成立若m+1≠0，则 解得a ．故选C ．【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．12．【答案】D【解析】解：y=tan （ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan （ωx+）∴﹣ω+k π=∴ω=k+（k ∈Z ），又∵ω＞0∴ωmin =．故选D ． 13．【答案】B 【解析】解：向量，向量与平行，可得2m=﹣1．解得m=﹣．故选：B ． 14．【答案】B 【解析】试题分析：的图象是由这样操作而来：保留轴右边的图象，左边不要.然后将右边的图象关于(||)f x ()f x y y 轴对称翻折过来，故选B ．考点：函数图象与性质．【思路点晴】本题主要考查函数的奇偶性、数形结合的数学思想方法.由加绝对值所得的图象有如下几种，()f x 一个是——将函数在轴下方的图象翻折上来，就得到的图象，实际的意义就是将函数值()f x ()f x ()f x 为负数转化为正的；一个是，这是偶函数，所以保留轴右边的图象，左边不要.然后将右边的图象关()f x y 于轴对称翻折过来.y15．【答案】D【解析】解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，=4，∴S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8也成等比数列，且S 8=4S 4，∴（S 8﹣S 4）2=S 4×（S 12﹣S 8），即9S 42=S 4×（S 12﹣4S 4），解得=13．故选：D ．【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题． 二、填空题16．【答案】 ．【解析】解：∵数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，∴S n =3n ．故a 1=s 1=3，n ≥2时，a n =S n ﹣s n ﹣1=3n ﹣3n ﹣1=2•3n ﹣1，故a n=．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，数列的前n项的和Sn与第n项an的关系，属于中档题．17．【答案】 x﹣y﹣2=0 ．【解析】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，故答案为x﹣y﹣2=0．【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．18．【解析】19．【答案】2【解析】三、解答题20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率为，∴a2=2b2，令x2﹣b=0可得x=±，∵x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，∴2=2b，∴b=1，∴C1、C2的方程分别为，y=x2﹣1；…（Ⅱ）设直线MA的斜率为k1，直线MA的方程为y=k1x﹣1与y=x2﹣1联立得x2﹣k1x=0∴x=0或x=k1，∴A（k1，k12﹣1）同理可得B（k2，k22﹣1）…∴S1=|MA||MB|=•|k1||k2|…y=k1x﹣1与椭圆方程联立，可得D（），同理可得E（）…∴S2=|MD||ME|=••…∴若则解得或∴直线AB的方程为或…【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，确定点的坐标是关键．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，则=，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，由正弦定理，a=b，则=1；…（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为，a=b、c=，所以S=absinC=a2sinC=，则，①由余弦定理得，=，②由①②得，cosC+sinC=1，则2sin（C+）=1，sin（C+）=，又0＜C＜π，则C+＜，即C+=，解得C=…．【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．22．【答案】【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性【试题解析】（Ⅰ）对求导，得，所以，解得，所以．（Ⅱ）由，得，因为，所以对于任意，都有．设，则．令，解得．当x变化时，与的变化情况如下表：所以当时，．因为对于任意，都有成立，所以．所以的最小值为．（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”，即要证，所以只要证．由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）．所以只要证明当时，即可．设，所以，令，解得．由，得，所以在上为增函数．所以，即．所以．故函数的图象在直线的下方．23．【答案】【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=2，S8=22．∴，解得，∴{a n}的通项公式为a n=1+（n﹣1）=．（2）∵b n===﹣，∴T n=2+…+=2=．24．【答案】【解析】（本小题满分12分）解：（1）∵，∴，∴…2分（注：先算∴sin∠ADC给1分）∵，…3分∴，…5分（2）∵∠BAD=θ，∴， (6)由正弦定理有，…7分∴，…8分∴，…10分=，…11分当，即时f（θ）取到最大值9．…12分【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．25．【答案】【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000，当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000，∴．（II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，X的分布列为X88009400100001020010400P0.10.20.30.30.1∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．。
浦东新区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
浦东新区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知集合A={y|y=x 2+2x ﹣3}，，则有（）A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A=BD ．A ∩B=φ2． 已知集合，则A0或B0或3C1或D1或33． 定义在R 上的奇函数f （x ），满足，且在（0，+∞）上单调递减，则xf （x ）＞0的解集为（）A ．B ．C ．D ．4． 偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．15． 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（）m n +A ．10B ．11C ．12D ．13【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力．6． 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ）sin()y A x ωϕ=+A ． B ． C ． D ．2sin(2)3y x π=+22sin(23y x π=+2sin()23x y π=-2sin(2)3y x π=-7． 过点（0，﹣2）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8． 已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k +与2﹣互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ．C ．D ．9． 在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）A ．20种B ．24种C ．26种D ．30种11．特称命题“∃x ∈R ，使x 2+1＜0”的否定可以写成（ ）A ．若x ∉R ，则x 2+1≥0B ．∃x ∉R ，x 2+1≥0C ．∀x ∈R ，x 2+1＜0D ．∀x ∈R ，x 2+1≥012．设a ，b 为实数，若复数，则a ﹣b=（）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2二、填空题13．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ． 14．已知为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点．若线段的中点的纵坐标为2，M N 、24y x =F MN ，则直线的方程为_________.||||10MF NF +=MN15．函数的定义域是，则函数的定义域是__________.111]()y f x =[]0,2()1y f x =+16．三角形中，，则三角形的面积为 .ABC 2,60AB BC C ==∠=ABC 17．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为 ．18．已知三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则= ．三、解答题19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]如图，点为圆上一点，为圆的切线，为圆的直径，.C O CP CE 3CP =（1）若交圆于点，，求的长；PE O F 165EF =CE （2）若连接并延长交圆于两点，于，求的长.OP O ,A B CD OP ⊥D CD20．设A （x 0，y 0）（x 0，y 0≠0）是椭圆T ： +y 2=1（m ＞0）上一点，它关于y 轴、原点、x 轴的对称点依次为B ，C ，D ．E 是椭圆T 上不同于A 的另外一点，且AE ⊥AC ，如图所示．（Ⅰ） 若点A 横坐标为，且BD ∥AE ，求m 的值；（Ⅱ）求证：直线BD 与CE 的交点Q 总在椭圆+y 2=（）2上．21．如图：等腰梯形ABCD，E为底AB的中点，AD=DC=CB=AB=2，沿ED折成四棱锥A﹣BCDE，使AC=．（1）证明：平面AED⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．22．（本小题满分13分）已知函数，32()31f x ax x =-+（Ⅰ）讨论的单调性；()f x （Ⅱ）证明：当时，有唯一的零点，且．2a <-()f x 0x 01(0,)2x ∈23．数列{a n }满足a 1=，a n ∈（﹣，），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *）．（Ⅰ）证明数列{tan 2a n }是等差数列，并求数列{tan 2a n }的前n 项和；（Ⅱ）求正整数m ，使得11sina 1•sina 2•…•sina m =1． 24．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=2，AB=BC ，且AB ⊥BC ，O 为AC 中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置． 浦东新区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴y≥﹣4．则A={y|y≥﹣4}．∵x＞0，∴x+≥2=2（当x=，即x=1时取“=”），∴B={y|y≥2}，∴B⊆A．故选：B．【点评】本题考查子集与真子集，求解本题，关键是将两个集合进行化简，由子集的定义得出两个集合之间的关系，再对比选项得出正确选项．2．【答案】B【解析】，，故或，解得或或，又根据集合元素的互异性，所以或。
上海市交大附中2018-2019学年上学期高二数学期末试卷(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m ＝．2．（3分）复数z＝（2+i）（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（3分）抛物线x2＝12y的准线方程为4．（3分）已知向量＝（1，﹣2），，，，如果，则实数λ＝．5．（3分）若直线l1：ax+2y＝0和l2：3x+（a+1）y+1＝0平行，则实数a的值为．6．（3分）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝．7．（3分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣3y的最小值是．8．（3分）若复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），则|z|＝．9．（3分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝．10．（3分）参数方程（t为参数）化成普通方程为；11．（3分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．二、选择题：13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c∈R，a≠0）下列命题不正确的是（）A．两根x1，x2满足，B．两根x1，x2满足C．若判别式△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根D．若判别式△＝b2﹣4ac＝0时，则方程有两个相等的实数根14．（3分）已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条15．（3分）如图．在四边形ABCD中．AB⊥BC，AD⊥DC，若||＝a，||＝b．则＝（）A．b2﹣a2B．a2﹣b2C．a2+b2D．ab16．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的集点，A，B，C为抛物线C上三点，当时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A．0个B．1个C．3个D．无数个三、解答题：17．设z+1为关于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求m、n的值；（2）若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2+4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．18．（1）已知非零复数z满足|z+2|＝2，，求复数z．（2）已知虚数z使和都是实数，求虚数z．19．已知椭圆．（1）M为直线上动点，N为椭圆上动点，求|MN|的最小值；（2）过点，作椭圆的弦AB，使，求弦AB所在的直线方程．20．圆，圆，动圆P与两圆M1、M2外切．（1）动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）过点N（1，0）的直线与曲线C交于不同的两点N1，N2，求直线N1N2斜率的取值范围；（3）是否存在直线l：y＝kx+m与轨迹C交于点A，B，使，且|AB|＝2|OA|，若存在，求k，m的值；若不存在，说明理由．21．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线的方程；（2）求的值（其中O为坐标原点）；（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．【解答】解：∵复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（i为虚数单位）是纯虚数，∴m2﹣5m+6＝0且m2﹣3m≠0，解得m＝2，故答案为：2．2．【解答】解：z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i．则z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．4．【解答】解：∵＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），，∴＝﹣3（﹣2+λ）＝0，解得λ＝2．∴实数λ＝2．故答案为2．5．【解答】解：∵l1：ax+2y＝0与l2：3x+（a+1）y+1＝0平行∴∴a＝﹣3或2故答案为：﹣3或26．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，其中a＝＝3，则有||PF1|﹣|PF2||＝6，又由|PF1|＝5，解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）故|PF2|＝11，故答案为：11．7．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z＝2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值为z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故答案为：﹣6．8．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），∴（a+bi）•2i＝a2+b2+1，∴2ai﹣2b＝a2+b2+1，∴，解得a＝0，b＝﹣1，∴|z|＝＝1．故答案为：1．9．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD＝1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||＝2∴＝（﹣，）故答案为：（﹣，）10．【解答】解：由题意，可知：，对于①式，可化成用x表示t的函数形式，x（1+t）＝2+3t化简，整理得：，其中x≠3同理，对于②式，可化成用y表示t的函数形式，y（1+t）＝1﹣2t化简，整理得：，其中y≠﹣2联立两个t的表达式，得：＝两式交叉相乘，得：（x﹣3）（1﹣y）＝（2﹣x）（y+2）化简，整理，得：3x+y﹣7＝0（x≠3）．故答案为3x+y﹣7＝0（x≠3）．11．【解答】解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a＝2，b＝1双曲线方程为，＝（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab＝1．故答案为4ab＝1．12．【解答】解：∵，∴＝，则O，A，P三点共线，∵，设Op与x轴的夹角为θ，B为A（x，y）在x轴上的投影，则线段OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝＝＝≤48×＝10，当且仅当即|x|＝时取得最大值10．故答案为：10．二、选择题：13．【解答】解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式△≥0还是△＜0，两根x1，x2满足，，故A正确，若两根x1，x2为虚根，则不成立，故B错误，判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根，故C，D，正确，故选：B．14．【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，与以点B为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，故选：C．15．【解答】解：∵AD⊥DC，∴•＝0，∴•＝（+）•（﹣）＝﹣•（+）＝﹣•（+），∵AB⊥BC，∴•＝0，∴﹣•（+）＝﹣，∵||＝a，||＝b，∴＝b2﹣a2，故选：A．16．【解答】解：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线C三点，当满足时时，F为△ABC的重心，连接AF并延长至D，使FD＝AF，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．故“和谐三角形”有无数个，故选：D．三、解答题：17．【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，则方程x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．由根与系数的关系可得，即m＝0，n＝1；（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）＝（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|＝＝∈[4，6]．18．【解答】解：（1）设z＝a+bi，则z+＝a+bi+＝a+bi+＝a++（b ﹣）i，∵，∴b﹣＝0，得b（1﹣）＝0，得b＝0或1﹣＝0，得a2+b2＝4，若b＝0，则z＝a，由|z+2|＝2得|a+2|＝2得a＝0，此时z＝0，不满足条件．若a2+b2＝4，由|z+2|＝2得|a+bi+2|＝2，得＝2，即（a+2）2+b2＝4，即a2+4a+4+b2＝4，得4+4a+4＝4，得a＝﹣1，此时b＝±，即z＝﹣1±i．（2）设z＝a+bi，（b≠0），∵和都是实数，∴设＝m和＝n，即z2＝m（z+1），z＝n（z2+1），即a2﹣b2+2abi＝m（a+1+bi）＝m（a+1）+mbi，则，即m＝2a，即a2+b2+2a＝0，①由z＝n（z2+1），得a+bi＝n（a2﹣b2+2abi+1）即，得n＝，a＝（a2﹣b2+1），即a2+b2﹣1＝0，②则2a＝﹣1，得a＝﹣，b＝±，即z＝﹣±i．19．【解答】解：（1）设点N的坐标为，则点N到直线l的距离为＝＝，所以，|MN|的最小值为；（2）设直线AB的参数方程为（t为参数，且β为倾斜角），设点A、B 对应的参数分别为t1、t2，由于，则﹣t1＝3t2，将直线AB的参数方程代入椭圆的方程，并化简得，由韦达定理得＝，，则，所以，，化简得，得cosβ＝0或，因此，弦AB所在的直线方程为或y，即或．20．【解答】解：（1）圆M1的圆心为M1（0，﹣），半径为r1＝，圆M2的圆心为M2（0，），半径为r2＝．设P（x，y），动圆P的半径为R，则|PM1|＝＝R+，|PM2|＝＝R+，∴＝+2，整理得：y2﹣x2＝1．∴动圆圆心P的轨迹C的方程y2﹣x2＝1（y≥1）．（2）设y＝k（x﹣1），则﹣1＜k＜0．联立，化为：（k2﹣1）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0，△＝4k4﹣4（k2﹣1）（k2﹣1）＞0，解得：﹣1＜k＜﹣．∴．（3）k＝0时，不成立．k≠0时，直线OA的方程为：y＝﹣x，则＞1或＜﹣1，解得﹣1＜k＜0，或0＜k＜1．联立，解得＝，＝．∴|OA|2＝+＝．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（k2﹣1）x2+2kmx+m2﹣1＝0，△＝4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2﹣1）＞0，化为：k2+m2﹣1＞0．∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|2＝（1+k2）[﹣4x1x2]＝（1+k2）[﹣4×]，∵|AB|＝2|OA|，∴|AB|2＝4|OA|2，∴（1+k2）[﹣4×]＝4×．化为：m2＝2﹣2k2．联立，解得：A．∴＝，化为：m2＝．∴2﹣2k2＝，0＜k2＜1．∴（1﹣k2）＝k2+1，解得．因此存在k，m满足题意．21．【解答】（1）y2＝4x；（2）﹣3；（2）（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）；解：（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），抛物线的焦点F的坐标为，设直线MN的方程为，将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x并整理得y2﹣2mpy﹣p2＝0．由韦达定理得，由于p＞0，解得p＝2．因此，抛物线的方程为y2＝4x；（2）＝；（3）设点、．，．∵AB⊥BC，则．易知，y3≠2，y4≠y3，化简得（y3+2）（y4+y3）+16＝0，所以，．①当y3+2＜0时，由基本不等式可得，当且仅当，即当y3＝﹣6时，等号成立；②当y3+2＞0时，．当且仅当时，即当y3＝2时，等号成立，事实上，y3≠2，此时，有y4＜﹣6．综上所述，C点纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．。
浦东新区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
浦东新区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 复数z=（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想. 3． 已知函数f （x ）=31+|x|﹣，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（﹣，）D ．4． 已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）A ．240x y +-=B ．240x y --=C ．20x y +-=D ．20x y --=5． 高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）A ．(]0,2016 B ．[]0,2015 C ．(]1,2016 D ．[]1,20177． 已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（ ）A ．2017B ．﹣8C ．D ．8． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 16＜0，S 17＞0，那么S n 中最小的是（ ） A ．S 6B ．S 7C ．S 8D ．S 99． 已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．πB ．C ．D ．10．椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ）A ．31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．11．若偶函数y=f （x ），x ∈R ，满足f （x+2）=﹣f （x ），且x ∈[0，2]时，f （x ）=1﹣x ，则方程f （x ）=log 8|x|在[﹣10，10]内的根的个数为（ ） A ．12B ．10C ．9D ．812．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．B ．y=x 2C ．y=﹣x|x|D ．y=x ﹣2二、填空题13．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．1310 B ．3 C ．4 D ．2110【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．14．已知函数32()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ．15．已知随机变量ξ﹣N （2，σ2），若P （ξ＞4）=0.4，则P （ξ＞0）= ．16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1；③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则的最大值为；④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且•=5，则△ABC 的形状是直角三角形．17．已知平面上两点M （﹣5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1是“单曲型直线”的是 ．18．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．三、解答题19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），点3(1,)2在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，A 为椭圆C 的右顶点，直线PA ，QA 分别交直线：4x =于M 、N 两点，求证：FM FN ⊥．20．已知点F （0，1），直线l 1：y=﹣1，直线l 1⊥l 2于P ，连结PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线l 2于点H ．设点H 的轨迹为曲线r ． （Ⅰ）求曲线r 的方程；（Ⅱ）过点P 作曲线r 的两条切线，切点分别为C ，D ， （ⅰ）求证：直线CD 过定点；（ⅱ）若P （1，﹣1），过点O 作动直线L 交曲线R 于点A ，B ，直线CD 交L 于点Q ，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．阿啊阿21．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S2=4，且a2，a5，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）从数列{a n}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n}，记该数列的前n项和为T n，求T n的表达式．22．已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．23．已知函数f（x）=alnx﹣x（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a﹣x）；（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α24．已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．浦东新区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：z====+i，当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1；当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1；当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解；故选：C．【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．2．【答案】15【解析】3．【答案】A【解析】解：函数f（x）=31+|x|﹣为偶函数，当x≥0时，f（x）=31+x﹣∵此时y=31+x为增函数，y=为减函数，∴当x≥0时，f（x）为增函数，则当x≤0时，f（x）为减函数，∵f（x）＞f（2x﹣1），∴|x|＞|2x﹣1|，∴x2＞（2x﹣1）2，解得：x∈，故选：A．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．4． 【答案】D【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而1222y y +=，∴12121y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ． 5． 【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，故目标被击中的概率为1﹣=，故选：D ．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．6． 【答案】B 【解析】7． 【答案】D【解析】解：∵f （x+2）=﹣f （x ）， ∴f （x+4）=﹣f （x+2）=f （x ）， 即f （x+4）=f （x ）， 即函数的周期是4．∴a 2017=f （2017）=f （504×4+1）=f （1）， ∵f （x ）为偶函数，当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ， ∴f （1）=f （﹣1）=， ∴a 2017=f （1）=， 故选：D ．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．8．【答案】C【解析】解：∵S16＜0，S17＞0，∴=8（a8+a9）＜0，=17a9＞0，∴a8＜0，a9＞0，∴公差d＞0．∴S n中最小的是S8．故选：C．9．【答案】D【解析】解：由函数f（x）=sin2（ωx）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为=π，可得ω=1，故f（x）=﹣cos2x．若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），可得y=﹣cos2（x﹣a）=﹣cos（2x﹣2a）的图象；再根据所得图象关于原点对称，可得2a=kπ+，a=+，k∈Z．则实数a的最小值为．故选：D【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．10．【答案】B11．【答案】D【解析】解：∵函数y=f（x）为偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），∴偶函数y=f（x）为周期为4的函数，由x∈[0，2]时，f（x）=1﹣x，可作出函数f（x）在[﹣10，10]的图象，同时作出函数f（x）=log8|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求．数形结合可得交点个为8，故选：D．12．【答案】D【解析】解：函数为非奇非偶函数，不满足条件；函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件；函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件；故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．二、填空题13．【答案】D【解析】14．【答案】5【解析】试题分析：'2'=++∴-=∴=．f x x ax f a()323,(3)0,5考点：导数与极值．15．【答案】0.6．【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴曲线关于x=2对称，∴P（ξ＞0）=P（ξ＜4）=1﹣P（ξ＞4）=0.6，故答案为：0.6．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．16．【答案】：①②③【解析】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③正确；对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，则cosB＜cos（﹣A），即cosB＜sinA，故④不正确．对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵=|，由则，即则又BC=5则有由余弦定理可得cosC＜0，即有C为钝角．则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．故答案为：①②③17．【答案】①②．【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即，（x＞0）．对于①，联立，消y得7x2﹣18x﹣153=0，∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．对于②，联立，消y得x2=，∴y=2是“单曲型直线”．对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．对于④，联立，消y得20x2+36x+153=0，∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．故符合题意的有①②．故答案为：①②．【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．18．【答案】．【解析】解：∵asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，∴由正弦定理得a 2=b 2+c 2﹣bc ，即：b 2+c 2﹣a 2=bc ，∴由余弦定理可得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，∴cosA===，A=60°．可得：sinA=， ∵bc=4，∴S △ABC=bcsinA==．故答案为： 【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．三、解答题19．【答案】（１） 22143x y +=；（２）证明见解析． 【解析】试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中c b a ,,的等式关系可得b a ,的值，求得椭圆的方程；（２）可设直线P Q 的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，得直线PA l ，直线QA l ，求得点 M 、N 坐标，利用0=⋅得FM FN ⊥．试题解析： （1）由题意得22222191,41,2,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=．又111x my =+，221x my =+， ∴112(4,)1y M my -，222(4,)1y N my -，则112(3,)1y FM my =-，222(3,)1y FN my =-， 1212212121222499111()y y y y FM FN my my m y y m y y ⋅=+⋅=+---++22222363499906913434m m m m m -+=+=-=---+++ ∴FM FN ⊥考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件．20．【答案】【解析】满分（13分）．解：（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，∴点H 到点F （0，1）的距离与到直线l 1：y=﹣1的距离相等，…（2分）∴点H 的轨迹是以点F （0，1）为焦点，直线l 1：y=﹣1为准线的抛物线，…（3分）∴点H 的轨迹方程为x 2=4y ．…（4分）（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P （x 1，﹣1），切点C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）．由y=，得．∴直线PC ：y+1=x C （x ﹣x 1），…（5分）又PC过点C，y C=，∴y C+1=x C（x﹣x1）=x C x1，∴y C+1=，即．…（6分）同理，∴直线CD的方程为，…（7分）∴直线CD过定点（0，1）．…（8分）（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，﹣1）在直线CD的方程为，得x1=1，直线CD的方程为．设l：y+1=k（x﹣1），与方程联立，求得x Q=．…（9分）设A（x A，y A），B（x B，y B）．联立y+1=k（x﹣1）与x2=4y，得x2﹣4kx+4k+4=0，由根与系数的关系，得x A+x B=4k．x A x B=4k+4…（10分）∵x Q﹣1，x A﹣1，x B﹣1同号，∴+=|PQ|==…（11分）==，∴+为定值，定值为2．…（13分）【点评】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）依题意得：，解得．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．即a n=2n﹣1；（Ⅱ）由已知得，．∴T n=b1+b2+…+b n=（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n+1﹣1）=（22+23+…+2n+1）﹣n=．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和的求法，考查了化归与转化思想方法，是中档题．22．【答案】【解析】解：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，须m﹣1＜0，即p是真命题，m＜1f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，须5﹣2m＞1即q是真命题，m＜2，由于p或q为真命题，p且q为假命题，故p、q中一个真，另一个为假命题因此，1≤m＜2．【点评】本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义，指数函数的单调性与特殊点，分类讨论思想，化简这两个命题是解题的关键．属中档题．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）令，所以x=a．易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减．故f（x）max=f（a）=alna﹣a．（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x．所以，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）．（Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）．又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．24．【答案】【解析】解：（1）f（x）=•=2cos2x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，函数y=f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，（Ⅱ）∵f（A）=2∴2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=…．又∵0＜A＜π，∴A=．…∵a=，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①…∵sinB=2sinC∴b=2c ②…由①②得c2=．…∴S△ABC=．…。
2018～2019学年上海市浦东新区高二上学期期末质量测试数学试题(解析版)
绝密★启用前上海市浦东新区2018～2019学年高二上学期期末质量测试数学试题（解析版）一、填空题（本大题满分36分）1.________ .【答案】【解析】【分析】将的分子和分母同除以,得到,当时,,则可以得到的值。
【详解】由题意知.【点睛】本题考查了数列极限的四则运算,的利用是本题的关键,属于基础题。
2.直线的倾斜角为_____________________【答案】【解析】试题分析：根据题意,由于直线的斜率为y=x-1,即可知斜率为1,借助于特殊角的正切值为1可知,其倾斜角为,故答案为考点：直线的斜率与倾斜角点评：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,是基础题．3.直线与的距离是________________【答案】3【解析】【分析】利用两条平行直线间的距离公式可得：,可得到答案。
【详解】由两条平行直线间的距离公式可得：.【点睛】两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离.4.直线的一个方向向量可以是________ .【答案】(2,1)【解析】【分析】由直线,可以知道直线方程为,从而可以得到直线的方向向量。
【详解】由题意知,,故直线的一个方向向量可以是.【点睛】本题考查了直线的方向向量的求法,直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量是,属于简单题。
5.若某线性方程组对应的增广矩阵是,且此方程组有唯一一组解,则实数m的取值范围是________ ．【答案】m ≠ 2【解析】因为方程组有唯一解,所以,即,所以填.6.正方形中,点为坐标原点,且向量,边所在直线的点法向式方程为______.【答案】【解析】【分析】分别求出直线的法向量和它经过的一个点,即可写出它的点法向式方程。
【详解】由题意知是直线的法向量,且直线经过点,故边所在直线的点法向式。
2018-2019学年上海市浦东新区高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 下列命题正确的是（ ）A. 单位向量都相等B. 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C. 若|a +b |=|a −b |，则a ⋅b =0D. 若a 与b 都是单位向量，则a ⋅b =12. 在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2-4x +3=0的两根，则a 6的值是（ ）A. ± 3B. − 3C. 3D. ±33. 已知a=（5，4），b =（3，2），则与2a -3b 平行的单位向量为（ ） A. ( 55,2 55) B. ( 55,2 55)或(− 55,−2 55) C. ( 55,−2 55)或(− 55,2 55)D. (− 55,−2 55)4. 已知等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的和S n ，若集合M ={S |S =n →∞limSn S 2n，q ≠-1}，则M 等于（ ）A. {0}B. {0,12,1}C. {1,12}D. {0,12}二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 计算：n →∞lim3n +4n=______ 6. 行列式a 1b 1c 1a 2b 2c 2a 3b 3c 3中c 2的代数余子式是______ 7. 已知向量a =（2，3），b =（-2，1），则a 在b 方向上的投影等于______． 8. 用对角线法则计算行列式： 30−2213−231=______9. 数列{a n }中，a 1=8，a 4=2，且满足a n +2-2a n +1+a n =0，数列{a n }的递推公式是______ 10. 关于x 、y 的二元线性方程组 nx −y =22x +my =5的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 103011 ，则二阶行列式 2m n −1 =______． 11. 设i ，j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且AB =4i +2j ，AC =3i +4j ，则△ABC 面积的值等于______． 12. 用数学归纳法证明“1+12+13+…+12n−1＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n =k （k ＞1）不等式成立，推证n =k +1时，左边应增加的项数共______项．；13. 已知数列{a n }是无穷等比数列，其前n 项和是S n ，若a 1+a 2=2，a 3+a 4=1，则n →∞limS n 的值为______．14. 已知直角三角形ABC 中，∠B =π2，A （2，-2），B （m ，3），C （3，7），那么m =______15. n →∞lim （1n 2+4n 2+7n 2+⋯+3n−2n 2）=______16. 设点A （2，2），B （4，1），在x 轴上求一点P ，使AP ⋅BP 最小，此时∠APB =______． 三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17. 数列{a n }的通项公式是a n = 2−nn +1(n =1，2)13n (n ＞2)，前n 项和为S n ， 计算（1）n →∞lima n ； （2）n →∞limS n ．18. 已知线性方程组 2x +5y =85x +2y =10．（1）写出方程组的系数矩阵和增广矩阵； （2）运用矩阵变换求解方程组．19. 已知|a |=2，|b |=3，且向量a 与b 的夹角为π3，求|3a -2b |．20. 已知e 1 ，e 2 是平面内两个不共线的非零向量，AB =2e 1 +e 2 ，BE =−e 1 +λe 2 ，EC =−2e 1 +e 2 ，且A ，E ，C 三点共线． （1）求实数λ的值；（2）已知e 1 =（2，1），e 2 =（2，-2），点D （3，5），若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．21. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =12n 2+112n （n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设c n =1(2an −11)(2a n−9)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k2013对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值；（Ⅲ）设f （n ）= 3a n−13,(n =2k ,k ∈N ∗)a n ,(n =2k−1,k∈N ∗)是否存在m ∈N *，使得f （m +15）=5f （m ）成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A不对；B选项对三个非零向量是正确的，若是零向量时，若与共线，与共线，则与共线不一定成立．当两个向量互相垂直时两向量和的模与差的模一定相等，故C选项是正确的．若与都是单位向量，则•=1不一定成立，当两者垂直时，内积为零．故选：C．题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除．本题考点是向量的共线与相等，属于对基础概念考查的题目，解答此类题需要对相关的概念熟练掌握才能正确作答．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的性质，隔项同号是解决问题的关键，属中档题．解方程可得a4和a8，可得a62=a4•a8，解之由a4，a6同号可得．【解答】解方程x2-4x+3=0可得x=1，或x=3故a4=1，a8=3，或a4=3，a8=1故a62=a4•a8=3，故a6=，又a52=a4•a6＞0，即a4，a6同号，又a4＞0，故a6=故选：C．3.【答案】B【解析】解：∵=（5，4），=（3，2），∴2-3=（1，2），∴，则与2-3平行的单位向量为（2-3）=，化简得，．故选：B．先求出2-3的模，再利用平行的单位向量公式加以计算，可得所求的单位向量的坐标本题着重考查了向量的坐标运算、向量模的公式和单位向量等知识．4.【答案】B【解析】解：当q=1时，S n=na1，S2n=2na1，∴=．当q≠1时，S n=，∴==．∴S==，当q＞1时，S=0．当0＜|q|＜1时，S=1．当q＜-1时，S=0．综上可得：集合M={0，1，}．故选：B．当q=1时，S n=na1，S2n=2na1，即可得出．当q≠1时，S n=，可得=．对q分类讨论即可得出．本题考查了等比数列的性质及其前n项和公式、数列极限性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】3【解析】解：=（3+）=3．故答案为：3．直接利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．6.【答案】-a1b1 a3b3【解析】解：行列式中c2的代数余子式是：（-1）2+3=-．故答案为：-．利用行列式的代数余子式的定义直接求解．本题考查行列式的代数余子式的求法，考查行列式的代数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】-55【解析】解：根据投影的定义可得：在方向上的投影为||cos＜，＞==-．故答案为：-根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义，要求熟练应用公式．8.【答案】-40【解析】解：：=3×1×1+0×3×（-2）+（-2）×2×3-（-2）×1×（-2）-2×0×1-3×3×3=-40．故答案为：-40．利用行列式展开对角线法则直接求解．本题考查三阶行列式的展开式的求法，考查行列式展开对角线法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】a n=−2+an−1,n≥28,n=1【解析】解：数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2-2a n+1+a n=0，即有a n+2-a n+1=a n+1-a n=…=a4-a3=a3-a2=a2-a1，即数列{a n}为首项为8的等差数列，则公差d===-2，则数列{a n}的递推公式是a n=，故答案为：a n=．由题意可得a n+2-a n+1=a n+1-a n=…=a4-a3=a3-a2=a2-a1，即数列{a n}为首项为8的等差数列，运用等差数列的通项公式可得公差，即可得到所求递推式．本题考查数列的递推式，注意运用等差数列的性质，考查化简整理能力，属于基础题．10.【答案】-1【解析】解：矩阵为，对应的方程组为：，由题意得：关于x、y的二元线性方程组的解为：，∴⇒∴则二阶行列式=-2-mn=-1故答案为：-1．先由矩阵为，对应的方程为：，再由题意得：关于x、y的二元线性方程组的解为：，从而求得m，n的值，最后利用行列式的计算法则求解即可．本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，解答的关键是对增广矩阵的理解，利用方程组同解解决问题．11.【答案】5【解析】解：由题意知又cos∠BAC===，∴sin∠BAC=又S△ABC=sin∠BAC=×2×5×=5故答案为5由题意，是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且，可得由三角形面积公式知，可先由公式cos∠BAC=求出两向量夹角余弦，再求出sin∠BAC，代入面积公式S△ABC=sin∠BAC，即可求出三角形的面积本题考查向量在几何中的应用，考查了向量坐标的定义，向量夹角的坐标表示，向量模的坐标表示，同角三角函数关系，三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握三角形的面积公式S△ABC=sin∠BAC，由公式确定出解题的方向先求出两向量的夹角．由题设条件得出两向量的坐标是本题的难点，理解向量坐标表示的定义是突破难点的关键．12.【答案】2【解析】解：n=k时，左边=1+++…+，当n=k+1时，左边=1+++…+++．∴左边增加的项数为2．故答案为：2．分别写出n=k和n=k+1时，不等式左边的所有项，根据分母特点计算多出的项数．本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=2，a3+a4=1，∴，解得a=4-2，q=，或a1=4+2，q=-1当a1=4-2，q=，∴=4-．∵=0，∴=4．a1=4+2，q=-∴=4-．∵=0，∴=4．故答案为：4．利用当等比数列{a n}的公比q满足0＜|q|＜1时，则=0，即可得出．熟练掌握：满足0＜|q|＜1时，=0是解题的关键．14.【答案】-2或7【解析】解：∵；∴AB⊥BC；；∴；解得m=-2，或7．故答案为：-2或7．根据即可得出，而，从而得出，解出m即可．考查向量垂直的充要条件，根据点的坐标可求向量的坐标，向量数量积的坐标运算．15.【答案】32【解析】解：（）===（-）=-=-0=．故答案为：．运用等差数列的求和公式和=0，结合极限的运算性质可得所求值．本题考查数列极限的求法，注意运用等差数列的求和公式和重要数列的极限，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】arccos1010【解析】解：设P（x，0），则=（x-2，-2），=（x-4，-1），∴=（x-2）（x-4）+2=x2-6x+10=（x-3）2+1．∴当x=3时，取得最小值．此时，=（-1，2），=（1，1），∴cos∠APB===．∴∠APB=arccos．故答案为：．设P（x，0），得出关于x的二次函数，从而可求出最小时的P点坐标，再根据平面向量的夹角公式得出∠APB ．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．17.【答案】解：（1）n ＞2，n →∞lim a n =n →∞lim13=0． （2）n ＞2时，S n =12+0+127[1−(13)n −3]1−13=12+118[1−(13)n−3]． n →∞lim S n =12+118=59．【解析】（1）利用通项公式与极限的定义即可得出．（2）利用等比数列的求和公式可得n ＞2时，S n =+0+．化简利用极限的定义即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵线性方程组 2x +5y =85x +2y =10．∴方程组的系数矩阵为 5225， 增广矩阵为 5210258．--------4分 （2）∵ 2x +5y =85x +2y =10，∴ 5210258 → 5210−10−25−40 → 52100−21−20 → 5210012021→ 5017021012021 → 103421012021，∴ x =3421y =2021． 【解析】（1）由线性方程组，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵． （2）由→→→，能求出方程组的解．本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：|3a -2b |2=9a 2+4b 2−12a ⋅b =36+36-12×2×3×cos π3=36； |3a -2b |=6．【解析】首先由已知求出的数量积，然后利用向量的平方与其模的平方相等解答．本题考查了平面向量的模的计算；一般的，利用向量的平方与模的平方相等解答．20.【答案】解：（1）AE =AB +BE =（2e 1 +e 2 ）+（-e 1 +λe 2 ）=e 1 +（1+λ）e 2 ．∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE =k EC， 即e 1 +（1+λ）e 2 =k （-2e 1 +e 2 ），得（1+2k ）e 1 =（k -1-λ）e 2 ．∵e 1 ，e 2 是平面内两个不共线的非零向量，∴ λ=k −11+2k =0，解得k =-12，λ=-32． （2）BC =BE +EC =-3e 1 -12e 2=（-6，-3）+（-1，1）=（-7，-2）．∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴AD =BC ．设A （x ，y ），则AD=（3-x ，5-y ）， ∵BC=（-7，-2）， ∴ 5−y =−23−x =−7，解得y =7x =10，即点A 的坐标为（10，7）． 【解析】（1）可以利用三点共线，得到向量的线性关系，解出λ的值，得到本题结论， （2）由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到A 点的坐标，即本题答案． 本题考查了向量共线和向量的坐标运算，本题难度不大，属于基础题． 21.【答案】解：（I ）当n =1时，a 1=S 1=12+112=6．当n ≥2时，a n =S n -S n -1=(12n 2+112n )-[12(n −1)2+112(n −1)]=n +5．此式对于n =1时也成立．因此a n =n +5(n ∈N ∗)．（II ）∵c n =1(2an −11)(2a n −9)=1(2n−1)(2n +1)=12(12n−1−12n +1)， ∴T n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n +1)]=12(1−12n +1)=n 2n +1． ∵T n +1-T n =n +12n +3−n 2n +1=1(2n +3)(2n +1)＞0，∴数列{n 2n +1}单调递增， ∴（T n ）min =T 1=13．令13＞k 2013，解得k ＜671，∴k max =670．（III ）f （n ）= 3a n −13,(n =2k ,k ∈N ∗)a n ,(n =2k−1,k∈N ∗)= 3n +2,(n =2k ,k ∈N ∗)n +5,(n =2k−1,k∈N ∗)， （1）当m 为奇数时，m +15为偶数，∴3m +47=5m +25，解得m =11． （2）当m 为偶数时，m +15为奇数，∴m +20=15m +10，解得m =57∉N ∗（舍去）． 综上可知：存在唯一的正整数m =11，使得f （m +15）=5f （m ）成立．【解析】（I ）利用当n=1时，a 1=S 1，当n≥2时，a n =S n -S n-1即可得出； （II ）利用“裂项求和”即可得出T n ，再利用其单调性即可得出k 的最大值； （III ）利用（I ）求出f （n ），再对m 分为奇数和偶数讨论即可得出． 熟练掌握“利用当n=1时，a 1=S 1，当n≥2时，a n =S n -S n-1即可得出a n ”、“裂项求和”、数列的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．。